金融学概论

lecture 2 货币的时间价值#

复利（Compounding）：

$$FV_{n}=PV_{0}(1+i)^{n}$$

现值：

$$PV_{0}= FV_{n}\times \frac{1}{(1+i)^{n}}$$

Annuity（年金）：每年付款 C

$$PV_{0}= \frac{C}{i}[1- \frac{1}{(1+i)^{t}}]$$

Perpetuity（永续年金）：

$$PV = \frac{C}{i}$$

APR（年度百分率）= $period~rate\times \#~of~periods$ EFF（有效年利率）=$(1 + \frac{APR}{m})^{m} - 1$

Lecture 3 资产类别#

1 T-bill Yields#

• $\text{Discount Yield}=\frac{FV-P}{FV}\times\frac{360}{M}$
• $\text{Investment Yield}=\frac{FV-P}{P}\times\frac{365or366}{M}$

2 Bonds pricing#

$P_B=\sum_{t=1}^T\frac{C_t}{(1+r)^t}+\frac{\text{Face Value}}{(1+r)^T}$ Yields的来源：时间价值、通胀、信用风险、流动性、税收

Lecture 4 交易，保证金和做空#

做多的 margin：ratio(比率) of net worth to value of shares owned 做空的 Margin：ratio(比率) of net worth to value of shares owed

1. Initial margin（适用于购买时,通常为50%）
2. Maintenance margin（随后适用,对价格变动敏感）

Lecture 5 股票市场指数#

PWI（Price Weighted Index）：每个股票的价格加权 VWI（Value Weighted Index）：每个股票的市值加权 拆股：对 VWI 没影响，PWI 要加上一个分母

Lecture 6 基金#

基金的类别：

• 开放式基金（例如共同基金、对冲基金）是最大的类别,由基金创建和赎回的股票。
  • 投资者从基金购买股票,然后按照每个交易日收盘时确定的资产净值将其卖回给基金。
• 封闭式基金在证券交易所上市交易,固定数量的已发行股票（需额外发行）。
  • 封闭式基金份额以市场价格在投资者之间进行交易,通常不等于基金的资产净值。
• 交易所交易基金（ETF）是最新的基金类型,结合了开放式基金和封闭式基金的最佳特点。
  • 发明人之间在交易所进行股票交易,但存在套利机制（套利机制）比保持市场价格的机制接近资产净值

Lecture 8 风险资产的历史回报#

实际回报率 $r_{t+1}=\frac{P_{t+1}-P_t}{P_t}-\pi_{t+1}$

Lecture 9 证券组合的选择#

效用方程： $U=E(r)-\frac{1}{2}A\sigma^2$ certainty equivalent（确定等价收益率）使得风险资产效用等于无风险资产的效用的无风险利率

Lecture 10 构建证券投资组合#

投资组合 C 由无风险资产和风险资产组成 $E(r_c)=(1-y)r_f+yE(r_p)=r_f+y(E(r_p)-r_f)$ $\sigma_c=y\sigma_p$ $S=\frac{\text{Risk premium}}{\text{SD of excess returns}}=\frac{E(r_p)-r_f}{\sigma_p}$ 资本配置线（CAL）：Linear relation between $E(r_c)$ and $\sigma_c$ $E(r_c)=r_f+S\sigma_c$ 最优选择：$y^*=\frac{E(r_p)-r_f}{A\sigma_p^2}$

Lecture 11 最优风险投资组合#

两个资产的投资组合 最小方差投资组合：$\frac{d\sigma_p^2}{dx}=0$

Lecture 12 MPT#

1 分离定理#

• 风险偏好与投资组合分离，始终选择斜率最大的 CAL
• 无风险利率可以多也可以空
• 特殊情况：
  • 没有无风险利率：分离定理失效
  • 不能做空：CAL 止于切点
  • 不同的借贷利率 MPT 的推论：所有投资者都持有相同的风险投资组合（市场组合），但在无风险资产上的投资比例不同。

2 多个风险资产#

Lecture 13 指数模型#

Consider a market index M with $R_m=r_m-r_f$, index models are base on the hypothesis that movements in $R_i$ and $R_m$ are correlated.

$R_i = \alpha_i+\beta_iR_m +e_i$

• $e_i$ 是反映特定风险的随机变量
• $\beta_i$ 反映对影响所有证券的因素的敏感性(可能是大的、小的甚至是负的)
• 航空公司、建筑公司的贝塔系数很高
• 公用事业、黄金的贝塔系数较低/为负 $E(e_i)=0,cov(e_i,R_m)=0,cov(e_i,e_j)=0$

Lecture 14 CAPM#

CML 是 由无风险资产和市场组合构成的CAL Key idea of CAPM :

• 分散化（Diversification）消除特定风险
• 资产价格不存在套利机会

$$\begin{align*} &\frac{w_i(E(r_i)-r_f)}{E(r_m)-r_f}=\frac{w_i\sigma_{im}}{\sigma_m^2}\\ \Rightarrow & E(r_i) = r_f+\frac{\sigma_{im}}{\sigma_m^2}(E(r_m)-r_f)\quad(\text{SML: }\beta-E(r)) \end{align*}$$

$\beta_i = \frac{\sigma_{im}}{\sigma_m^2},\beta_m=1$

Lecture 15 APT#

Returns#

• Individual Securities
• 联立 Index model , $R_i$定义, $F=r_m-E(r_m)$ 可得: $r_i=E(r_i)+\beta_iF+e_i$
• Portfolio

$r_i=E(r_i)+\beta_iF$ 个股不一定在 SML 上，APT 不去要严格的 CAPM 假设，而且利用的是套利而非均衡

Lecture 16 Bond#

yield（收益率）对于 ZCB：

$$P = \frac{100}{(1+y)^{t}}$$

美国债券半年付息

$$\frac{P}{100}= \sum\limits_{i=1}^{2T}\frac{c/2}{({1+y/2)^{i}}}+1/({1+y/2)^{2T}}$$

零息债券：假设coupon为 $c$

• 若 $y=c$ , 债券按面值交易(trades at par)
• 若 $y<c$ , 债券溢价交易(trades at premium)
• 若 $y>c$ , 债券折价交易(trades at discount) 标价（quoted price）：净价 全价（all-in / dirty ）: 净价加上应计利息
• 应计利息（accured interest）的计算公式$AI = C\times \frac{N_{t}}{D}$
• 其中 $N_{t}$ 是从上次付息到现在的天数，$D$ 是从上次付息到下次付息的天数

DV01（Duration Value of 01）:债券对收益率变化的敏感度

$$\Delta P = -DV01 \times \Delta y$$

Lecture 17 利率期限结构#

远期利率（forward interest rate)

$$1+f_{n}= \frac{(1+y_{n})^{n}}{(1+y_{n-1})^{n-1}}$$

Lecture 18 权益定价#

市场资本化率（Market Capitalization Rate）：

$$k= r_{f} + \beta (r_{m}-r_{f})$$

也叫做必要收益率（required rate of return） 股利折现模型

$$V_{0}= \frac{D_{1}}{1+k} + \frac{D_{2}}{(1+k)^{2}} + \cdots$$

固定增长模型（Constant Growth Model）：

$$D_{2}=D_{1}(1+g),D_3=D_{2}(1+g),\cdots$$ $$V_{0}= \frac{D_{1}}{k-g}$$

Price-Earning Ratios：$E_1$ 表示息税后利润，b 表示收益留存率

$$V_{0}= \frac{E_1(1-b)}{k-g}$$

市盈率

$$\frac{P_{0}}{E_{1}}=\frac{1-b}{k-g}$$

Lecture 19 期权策略和 put-call parity#

$$S_{0} + P_{0} = C_{0} + \frac{X}{(1+r)^{T}}$$

Lecture 20 期权定价#

$$C_{0}\ge S_{0} - \frac{X}{(1+r)^{T}}$$

对冲比率

$$H=\frac{C^{+}-C^{-}}{S^{+}-S^{-}}$$

Lecture 21 期货#

基差（Basis）：

$$\text{Basis} = \text{Spot Price} - \text{Futures Price}$$

定价

$$F_{0} = S_{0}(1+r_{f}-d)^{T}$$

CIP

$$(1+i_{euro}) \frac{S_{0}}{F_{0}}=1+i_{dollar}$$