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具身智能导论：任务

Sun, 07 Jun 2026 00:00:00 GMT

Lecture 11

why 机器人仍然使用 PPO

PPO-Clip 保证了更新保守、训练稳定，
而且能吃下大规模并行仿真的数据；虽然样本效率一般，但在仿真环境里可以用数量补。
避免了 Q 函数的学习

Sim-to-Real 的 Gap 来源（2024-2025）

物理建模不完美
接触过于理想化
真实电机不够稳定

解决 sim-to-real gap 的办法

Domain Randomization：仿真环境参数随机化
Realistic Motor Modeling：考虑电机的各种问题
Asymmetric Actor-Critic：给 critic 网络全局信息，但是 actor 只有局部观测信息

怎么把人类动作迁移到人形机器人上。 难点叫 Embodiment Gap：人和机器人的身体结构不同，比如腿长、关节范围、质量分布、脚底形状、自由度都不一样。人类 motion capture 里的动作不能直接拿给机器人执行。

整体流程是： 1. Human Motions 先收集人类动作数据，比如 MoCap。这些动作可能包括走路、搬箱子、爬障碍、蹲下、转身等。 2. Interaction Mesh Retargeting 把人类动作 retarget 到机器人身上。这里不是简单地让机器人关节角等于人的关节角，而是保留“人和环境/物体的交互关系”。

$$ q_t^*

\arg\min_{q_t} \sum_i |L(p_{t,i}^{source}) - L(p_{t,i}^{target}(q_t))|^2 + |q_t-q_{t-1}|^2 $$

也就是找一个机器人姿态，使得机器人关键点和人类动作中的关键点关系尽量一致，同时动作要平滑。

约束包括：

不能穿模或碰撞：

$$ \phi_j(q_t) \ge 0 $$

关节角不能超过范围：

$$ q_{\min} \le q_t \le q_{\max} $$

关节速度不能太快：

$$ v_{\min}dt \le q_t-q_{t-1} \le v_{\max}dt $$

支撑脚接触点要稳定：

$$ F_t^p = F_{t-1}^p $$

3. Efficient Augmentation 为了让机器人更鲁棒，会对动作和环境做增强。比如换不同物体、不同障碍、不同空间位置。每种增强都重新解一次优化，生成更多机器人可执行的参考轨迹。 4. RL Training 然后用这些 retarget 后的机器人动作作为 reference motion，让 PPO 之类的 RL 算法训练机器人策略。策略不是死记轨迹，而是学会在动力学约束下跟踪这些参考动作，同时保持平衡、控制接触、处理扰动。 5. Zero-Shot Sim 2 Real 最后希望在仿真训练完之后，不再额外真实机器人 fine-tuning，直接部署到真实人形机器人上。这个叫 zero-shot sim-to-real。

致谢

Sun, 24 May 2026 00:00:00 GMT

首先，最想感谢的是我的母亲。从小到大，她是对我影响最大的人，但我从未像样地向她表达过感谢——即使是四年前升学时，我满脑也只有对自己考得没有更好的懊悔和迷茫，而从未感念她的含辛茹苦。是她让我大学四年都能远离家庭琐事的烦恼。除此以外，母亲还始终给予我无条件的信任。我也常常惭愧，自己还要等许久才能真正回报家庭。过去两年放长假时，我总觉得尚无足够的成绩可以带回家，平时也很少主动给家里打电话。直到外公去世之后，我才慢慢意识到，母亲的衰老其实发生得比我想象的快；而我一直期盼、向往的生活，或许很遥远，或许根本比不上即刻的陪伴。希望现在抓住每一个机会抢绿皮也要回家的我，能对当时有所弥补。感谢我的妈妈。

博雅塔前宜聆教，未名湖畔好读书。其次，我想感谢北京大学和经济学院——在高考后接纳了我，并将在未来的两年里容我继续学习。高中时，我成天念叨“如果不能上北京大学，这辈子就毁了”。如今想来，彼时的焦虑固然有些滑稽，但其中相当一部分却未必是错误的：北京大学让我能在一个如此自由、开放、多元的环境中幸福地学习。在这里我有机会结识到志趣相投、在各个方向都出类拔萃的朋友们。在这里的每一天都是新的，每天都会遇到许多值得学习的东西，或许对于北大而言，每一天的我也是崭新的。我很惋惜曾经没有在一入学就意识到这一点；不过现在的我，比当初更年轻。

这篇论文要特别感谢我的导师王熙老师，他为我提供了选题和写作方面的指导。他是我大学生涯中最喜爱的老师之一，他的课堂永远充满激情、信息密度爆炸而又能做到娓娓道来，给了我许多启发与帮助。不光是作为学生，或许在我给小朋友们讲课时，也在不知不觉中模仿他。此外，我还想感谢数院的王冠香老师，我学习了他的两门数学分析；我非常愧疚没能在他的两门课上取得理想的成绩，也没能修好数学双学位，但他上课的风格和做人的态度令我由衷敬佩；在我陷入自我怀疑的时候，他给了我鼓励让我坚持下去。感谢葛颢老师，感谢 B 站 up 主 PiKaChu 345，他们让我开始对学习方法的选择有更多的思考。我还想感谢李博老师，他没有计较我半途而废的助研计划，还给了我一个机会，圆了我从大一开始的习题课梦。

我还想感谢那些陪伴我走过整个本科生涯的人。感谢我的两位辅导员张亚楠和王嘉——他们是我尚未踏入校门时就已认识的人，在我仍懵懂时给予了我许多帮助。他们愿意站在我的角度思考问题，不轻易反驳我过去那些十分幼稚的想法，也引导我思考，让我仔细审视自己仓促得出的结论。感谢我的老乡兼学长龚诚欣：在我大学的前半段，我向他请教了无数问题，他为我提供了宝贵的帮助，当然我也为此请了不少次客；在我大学的后半段，他顺利地从我的学长“进化”成了我的挚友，不过不变的是——他的生活一直是我羡慕的范本。感谢曹老师和 4 班的朋友们，还有巩老师和金融系的同学们，最初的朋友们是我步入新环境时的底气。我还要感谢经济学院足球队和北大赣学——这是让我最有归属感的两个组织。当我还不太懂得为人处世时，它们为我提供了轻松的氛围，让我结识了许多或许本与我的世界线毫无交集的朋友。遗憾没能在这支球队里练就足够好的球技，不过还好在赣学里，我完成了前辈交付的职责与使命。感谢球队的每一位学长、同学和学弟，也感谢江西老表们。感谢我的几位舍友包容并适应我的作息，也感谢四十楼的许多朋友们。

一路走来，也遇到了不少可爱的同伴们。首先要感谢我的女朋友许湘悦——这份感谢，一部分要留给上天——感谢安排我遇见一个如此聪明又可爱的灵魂。她在我压力最大、心情最阴郁的时候，像一束阳光突如其来地照进了我阴郁的生活，为我带来了希望，陪我坚持了下去。顺便感谢我上过的第一门通识课，李猛老师的《哲学导论》——《会饮》里阿里斯托芬提到的神话传说，至今仍是我提起爱情时最先想到的故事：我不相信爱情只是好坏的权衡取舍，我更愿意相信它是人类对完整自我的追寻。在悦悦身上，我能看到生命的另一番鲜活的模样、对生活的另一份热爱和激情；完满的人生或许是怎么也做不到的，但是能和另一半一起，简单的生活也会更快乐。

其次，我想感谢秦世芳学姐。从她身上我学到了很多具体而珍贵的东西：永远积极乐观，永远专注负责，对小朋友充满耐心与鼓励，必要时刻也能逼自己成为样样精通的人。我也想感谢远在牛津的方磊学长，他是一个脑袋灵活、敢想敢做的人，是他让我下定决心修习数学双学位——这是一个回头看来决不会做出的选择，却确实带给我一段奇妙的体验。感谢丁玟欣学姐和王翊扬学长，他们在我对未来感到迷茫时提供了切实的指导，迈出更踏实的步伐。感谢卓致用学长，他的博客为我的大学生活提供了很多便利。感谢庞锐同学，在他身上我看到了坚定而幸运。我还想感谢一下江西的吴明睿同学和黄政同学——好兄弟，在心中。最后还有魔术协会，每周六晚能和有趣的人在一起很快乐。另外，也感谢经院院楼，感谢西部马华牛肉面，它们一个在前两年为我提供了熬夜自习的场所，另一个在后两年为我提供了通宵作战的口粮。

最后也要感谢 ChatGPT、Gemini、DeepSeek 等除了 Anthropic 以外的各家 AI，他们不止为我的学习和生活带来了便利，也为我所在的这个时代带来了更多可能，让我这样一个普通人也能真切体会到时代的巨变。“若能做一朵小小的浪花，汇入献身者的滚滚洪流，推动历史向前发展，才是一生中最值得骄傲和自豪的事情。”没能加入建设者的队伍我很遗憾，但是作为时代潮流的见证者我很高兴。同时也感谢 P-lib 的朋友们，和聪明而热心的朋友打交道是一件很有趣的事情，看到朋友们能代自己实现梦想也是一件很幸福的事情。

“用水将心上的雾气淘洗干净，荣光才会照耀最初的梦想”。刚刚本科毕业的我，并没有资格谈论“成就了我的人”，只能在脑海中重新走过来时的路。我时常悲伤，我涣散的 Attention 并不能为每一位朋友都赋上 100% 的权重，但这也让一切经历弥足珍贵。谨以这篇致谢作为我的 memory 之一，我将带着这段美好的回忆，迎接未来的每一个 token。

校园网内魔法总是超时？

Mon, 11 May 2026 20:00:00 GMT

从今年 3 月以来，在 mac 上使用魔法的时候，总是出现所有代理节点全部超时的情况。而且在重启等方法恢复正常之后，只要开着机从宿舍走到二教，节点又都全部超时了。经过一番排查，发现问题不是代理垃圾，也不是 DNS 设置或者 interface-name 等参数问题，而是校园网认证状态只通过了 IPv6 出口，IPv4 出口被认证网关拦截了。具体的原因可能和我学习 PKU VPN 3 - 用校内服务器实现 PKU 内网和 Clash/Surge 兼容使用，使用了 Tailscale 转发 IPv4 请求到校内服务器有关，导致我在访问 its.pku.edu.cn 认证页时，IPv4 请求被转发到内网的 Tailscale 服务器上了，而不是直接访问校园网认证网关。下面是我详细的排查过程和解决办法，由于我并没有系统学过计算机系统和网络相关知识，因此大部分内容和判断都是和 GPT-5.5 讨论得到的。供有类似问题的同学参考。

现象

失败但有启发的排查过程

首先我根据学长的建议，检查了一下网卡参数

networksetup -listallhardwareports
route -n get default

结果显示 Wi-Fi 是 en0，默认路由也是 en0，是合理的。

但代理测试失败：

curl -I -x http://127.0.0.1:7890 https://www.google.com

同时 Clash 日志里出现大量：

i/o timeout
connect: operation timed out

当我使用

lsof -nP -iTCP -sTCP:LISTEN | grep -Ei 'mihomo|clash|party'

时，发现 Clash 并没有在监听 7890 等端口。

GPT-5.5 认为可能是内核的问题，让我重启内核

osascript -e 'quit app "Clash Party"'
open -a "Clash Party"

结果也不 work，但是 Clash 没有监听 7890 了，说明问题不一定在 Clash 本身，可能是网络本身哪里出了问题.

尤瑞卡！

curl -6 https://www.baidu.com

是正常的，但是

curl -4 https://www.baidu.com

就超时了。说明 IPv6 出口是正常的，而 IPv4 是有问题的。由于 Clash 的节点走 IPv4，节点就会全部超时了。

GPT-5.5 指导我使用以下命令检查是否是 IPv4 的网关被拦截：

curl --noproxy '*' -4 http://captive.apple.com/hotspot-detect.html

如果正常联网，会返回：

<HTML><HEAD><TITLE>Success</TITLE></HEAD><BODY>Success</BODY></HTML>

当时返回的是 PKU 认证跳转：

https://its.pku.edu.cn/?cause=unauthN...

说明 IPv4 出口还被校园网认证网关拦截。由于 Clash 的节点走 IPv4，节点就会全部超时。所以问题的根源是校园网认证状态失效了。

临时解决办法

先关闭系统代理，再打开认证页登录：

http://captive.apple.com/hotspot-detect.html

登录成功后恢复代理，即可发现节点全部正常了。

长期解决办法

绕开系统代理

如果不想每次都这么麻烦一遍，可以把校园网认证入口加入 macOS 的代理绕过列表，让认证页始终直连：

networksetup -setproxybypassdomains "Wi-Fi" \
127.0.0.1 \
192.168.0.0/16 \
172.16.0.0/12 \
localhost \
'*.local' \
'*.crashlytics.com' \
'<local>' \
captive.apple.com \
its.pku.edu.cn

这样系统代理仍然保持开启，但访问 captive.apple.com 和 its.pku.edu.cn 时会直连，不会经过 Clash。

注意我没有加入：

*.pku.edu.cn

因为这会让所有 PKU 域名都绕过代理，范围太大。

让认证相关域名直连

也可以在 Clash 的规则覆写里，在 pku.edu.cn 的前面添加以下规则：

+rules:
-   DOMAIN,its.pku.edu.cn,DIRECT
-   DOMAIN-SUFFIX,pku.edu.cn,🎓 北京大学

这样在使用魔法时，访问 its.pku.edu.cn 就会直接走直连，不会经过 Tailescale 了。以后切换 Wi-Fi 后可以直接打开认证页登录，不需要手动关闭系统代理了。

验证

认证成功后检查：

curl --noproxy '*' -4 http://captive.apple.com/hotspot-detect.html

看到 Success 说明 IPv4 已经放通。

再测试 Clash：

curl -I -x http://127.0.0.1:7890 https://github.com
curl -I -x http://127.0.0.1:7890 https://www.google.com

能返回 200 就说明代理恢复正常。

总结

这次故障的本质是校园网 IPv4 认证状态失效。Clash 本地端口和 Wi-Fi 网卡参数都正常。长期方案是让认证相关域名直连，这样以后切换 Wi-Fi 后可以直接打开认证页登录，不需要手动关闭系统代理。

具身智能导论：视觉与抓取

Sat, 09 May 2026 00:00:00 GMT

Lecture 5

1 Grasping

位置和方向

4-DoF grasp 也被称为 top-down grasp；只有一个方向，即上下动
主要学习 6-DoF grasp，位置和方向都是 3 D

关节活动度（手指自由度）

平行夹爪：1 个自由度，二指夹爪看起来两个手指，但实际上只有一个自由度
- 在夹东西的时候常常是一把抓到死，即加上最大负载
灵巧手：最多可达 22 个自由度

6-DoF 怎么得到

对于已知物品（labeled）：一种方法是直接给出物体的 3 D 坐标加 3 D 旋转，然后从世界坐标系转移到机械臂坐标系
对于未知物品（unknown）：根据点云估计，泛化能力更强

但是这两种方法都是开环策略，即 control 与 grasp 分开，如果物品移动或已经碰撞到了则无法处理；与之相对的是闭环策略，可以处理各种干扰，但是基本都需要用到大模型，可解释性不强（实际工作常常不容许半点差错，且干扰不那么多）

2 6D Estimation

物体首先得是刚体，然后要确定他的标架

为了确定物体的 6D 坐标，在相机内参确定时，RGB 图就足够了；
但是内参未知的时候，RGB 是不够的，还需要 depth（深度）得到点云
大部分情况下，Depth 相机获得点云就够了，RGB 不是重要的，但是对于对称性比较好的物体，RGB 是必需的。

PoseCNN

判断平移（translation）中心
- 先判断像素属于哪个物体类别（segmentation）
- 再让像素投票判断距离中心的方向和距离
- 使用 Hough voting layer ，综合 segmentation 和投票的结果得到最终结果（相比直接卷积出结果，这样更加鲁棒）

判断旋转
- 与判断平移类似，但是加了一步
- 对每个物品做 ROI Pool 得到 feature map，然后再塞 MLP

实际操作中，平移和旋转的判断精度都不那么高。

3 Iterative Closest Point (ICP)

对于已知物体，由于已经知道了它的形状和坐标，我们可以 sample 出初始点云，根据算出的 $R$ 和 $T$ 给出估计的新点云，将其与真实目标点云比较，迭代更新 $R,T$

具体的比较过程是，根据当前的每个 $p_{i}$ ，去找到异动后最接近的 $q_{i}$，形成点对，然后分别去中心化，通过最小化中心间距离的方法确定旋转矩阵

$$ \hat{R} = \arg\min \lVert \tilde{P}_{corr}-R\tilde{P} \rVert $$

计算 $R,T$ 的方法是进行 SVD 分解

$$ \begin{align} & U,D,V = SVD(\tilde{P}{corr}\tilde{P}^{\top}) \ & \hat{R} = U \operatorname{diag}{ 1,1,|UV^{\top}| } V^{\top} \ & \hat{T} = \bar{Q}-\hat{R}\bar{P} \ & P{new}= \hat{R}P+\hat{T} \end{align} $$

ICP 的 Loss 不可能做到 0，因为 1） sample 的点个数不一定相等 2）sample 是随机的
- 对于一一对应的东西，我们只需要做 SVD，然后得到一个旋转矩阵
- 对于没有一一对应的东西，我们把最近的点作为其估计（nearest estimation），估错了不要紧，因为可以反复迭代更新
ICP 不一定迭代到最好的结果，而且 ICP 速度不快，在实时性要求高的领域很难应用。但是需要 depth，对于现实要求可能不符合。
ICP 属于估计的 post process，本质是点云的配准；为了达到更快的收敛速度，不一定要 point-to-point，也可以 point-to-plane。

4 Rotation Regression

旋转回归的问题：对奇异点和连续性敏感对于旋转的判断，其目标函数可以选取 quaternion 的 L2 Loss，但是对神经网络这种连续函数，不连续点会出现很大误差。可以证明在 $\mathbb{R}^5$ 以下的空间不存在到 $SO(3)$ 连续的双射

所以可以用 6D 预测，直接看前两列向量，然后施密特正交化。
可以用 $9$ 维空间来预测，对其进行 SVD，去掉奇异值部分，只看旋转部分

5 Pose Fitting

可以用坐标的 Pose-Fitting：每个像素输出其对应的 3 D 坐标（有 depth 是 3 D-3 D，否则需要相机内参），然后使用 RANSAC 并 SVD

6 Render-and-Compare: FoundationPose as an Example

2D 版本的 ICP。先用基础模型粗略估计模型的坐标，然后渲染出粗略的估计，并输入下一个模块，让下一个模块猜测如何微调。但是需要 CAD model，为了解决这个问题，我们又研究了 Category-Level 6 D Object Pose Estimation，只需要已知类别就可以泛化。

Lecture 6

对于已知物体，可以采取从 Object pose 到 grasping pose 的办法，但是未知物体需要直接预测 grasping pose 开环策略指的是只能 motion plan 然后去抓，应对不了位置改变，闭环策略指的是循环操作，可以应对 object 位置的改变

1 Grasp Detection

detect 的目标：6D（R 和 T）+1D（开合的宽度）如何选取 input？我们很少直接使用 image（RGB）作为预测，而是使用 3D 特征，比如多方向图片得到 Voxel。但是 Voxel 的精度导致太昂贵了，我们一般选取物体表面的点云来进行预测。

抓取效果

success rate：越高越好
Percent cleared：越高越好
Planning time：越低越好

1.1 GS-Net

GS-Net：一个常用的 Grasp detection 网络 voxel-based 的网络设计较简单：先预测 voxel 是否是抓取中心，再输出抓取预测点云怎么办：不能只对表面猜测，而是 where + how

where：通过 encoder-decoder 结构学习哪些位置附近适合抓取，给出 graspness 评分，再进一步筛选得到前 M 个
- graspness 分为点级别的 graspness 和 view-level 的 graspness，前者是每个点的评分，后者是每个方向抓取点的评分
how：xyz+view（视线朝向）+angle（旋转角度）+depth（插入深度）一共 7 DoF，其中每一步都是在离散得到，然后分别评分
为什么 GS-Net 优秀？
- 抓取对象是点云，只有几何信息，与颜色无关
- 抓取本身与物体关系不大，只看局部信息，所以好泛化
- GS-Net 本身在确定抓取 angle 时只处理附近的局部信息，不看其他无关变量
但是 GS-Net 离散太多了，不是很自然

1.2 条件生成模型-Conditional Grasp Generative Model for Dexterous Hand

如果不想采用离散模型，可以考虑扩散模型，但是扩散模型也很容易包含很多无关信息，所以要做很多局部化所以借鉴 GS-Net 的思路，也要先选点，然后考虑点附近的局部信息。

where：这部分和 GS-Net 差不多，也是找点然后预测是否合适抓
- 使用局部特征预测 objectness 和 graspness
how：这部分不一样，是将局部信息喂给 Diffusion 模型
- 只用第一步的局部特征，来预测 7 个参数

2 抓取数据合成

force-closure：物理上的合成方法，其核心思想是任意微小扰动都能维持抓取状态

所有接触点的 wrench cone 的正组合，可以覆盖整个 wrench space。
- 其中 wrench 包括力和力矩，$\omega=[f,\tau]^{\top}$
- 其实就是说摩擦力可以抵消所有力
所谓 form-closure，指的是不靠摩擦，只用几何形状就锁住了物体
通常来说，successful grasp <= force-closure <= form-closure

在 GS-Net 中，合成数据的过程其实尝试了很多 $\mu$ 下的 force closure 来训练模型，结果发现 $\mu=0.1$ 这种小的值效果最好，抓法也更保守。

3 Camera Model

pinhole camera

$$ \begin{cases} x' = f \frac{x}{z} \ y' = f \frac{y}{z} \end{cases} $$

但是当光少的时候特别糊，所以我们加上透镜透镜的特点：平行光汇聚于焦点根据 snell 定律

$$ \begin{cases} x' = z' \frac{x}{z} \ y' = z' \frac{y}{z} \ z' = f+ z_{0} \ f = \dfrac{R}{2(n-1)} \end{cases} $$

3.1 内参

$$ P=(x,y,z) \to P'=\left( \alpha\frac{ x}{z}+c_{x}, \beta\frac{ y}{z}+c_{y} \right) $$

其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是 focal length 乘以像素的宽高，$c_{x}$ 和 $c_{y}$ 是主点坐标为了用线性变换来描述它，我们引入齐次坐标 $P=(x,y,z,1)$，则可以得到

$$ P'{h} = \begin{bmatrix} \alpha x+ c{x}z \ \beta y + c_{y}z \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha & 0 & c_{x} & 0 \ 0 & \beta & c_{y} & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \ 1 \end{bmatrix} $$

也即 $P'=MP$ 其中 $M$ 就是内参矩阵如果加点偏斜，就是

$$ P' = \begin{bmatrix} \alpha & -\alpha \cot \theta & c_{x} & 0 \ 0 & \beta / \sin \theta & c_{y} & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \ 1 \end{bmatrix} $$

3.2 外参

将世界坐标系下的点 $P_{world}$ 转换到相机坐标系下的点 $P_{camera}$，需要知道相机相对于世界坐标系的位置和朝向，即外参 $[R,T]$ 然后

$$ P' = K[R , T]P_{w} $$

4 Hand-Eye Calibration

hand in eye: 机械臂上装了一个相机，在计算基座坐标系下位置时，要先从相机坐标系到机械臂末端坐标系，然后再从机械臂末端坐标系到基座坐标系

$$ XYZ_{CAMERA} \to XYZ_{EE} \to XYZ_{ROBOT} $$

hand to eye: 相机相对基座位置不变，可以直接从相机坐标系到基座坐标系

$$ XYZ_{CAMERA} \to XYZ_{ROBOT} $$

4.1 Hand in Eye

为了解决这个问题，其实就是要解决 camera 到 end-effector 的坐标变换 $H_{CAMERA}^{EE}$ 固定住标定板的位置然后移动机械臂获取两方面数据：机械臂相对基座的位置和相机看到的标定板位置根据前者，我们可以知道机械臂的变换 $A: E_{1}\to E_{2}$；根据后者，我们可以计算出相机的变换 $B: C_{1}\to C_{2}$，于是我们就可以算出但是从 $E_{i}$ 到 $C_{i}$ 的变换 $H_{CAMERA}^{EE}$ 不变，所以只需要解方程

$$ A H_{CAMERA}^{EE} = H_{CAMERA}^{EE} B $$

4.2 Hand to Eye

类似地，我们把 calibration board 放在机械臂末端，然后移动机械臂获取两方面数据：机械臂相对基座的位置和相机看到的标定板位置，但是由于标定板在机械臂末端，所以 $E_{i}$ 到 $C_{i}$ 的变换 $H_{board}^{EE}$ 是不变的，我们也可以得到类似地方程

$$ A H_{board}^{EE} = H_{board}^{EE} B $$

然后再根据它得到，相机相对基座的变换

$$ H^{Camera}{Base}= H^{Camera}{board}H^{board}{EE}H^{EE}{Base} $$

具身智能导论：策略

Mon, 04 May 2026 00:44:51 GMT

Lecture 7

1 Policy Learning

状态 $s_{t}$，观察 $o_{t}$ ，动作 $a_{t}$，奖励 $r_{t}$，策略 $\pi(a_{t}|s_{t}),\pi(a_{t}|o_{t})$ 如果 $s_{t}=o_{t}$ ，那么这是一个完全信息的学习问题

通常有两种学习模式：

可监督：对于任意状态 $s_{t}$，我们都知道最优动作 $a_{t}^{}$，所以可以直接监督学习，最大化 NLL loss $\mathcal{L}=-\sum_{t}\log \pi(a_{t}^{}|s_{t})$ （离散情况），这也被称为模仿学习
强化学习：对于任意状态 $s_{t}$，我们不知道最优动作 $a_{t}^{*}$，只能通过试错来学习，最大化 reward $\mathcal{L}=-\sum_{t}r_{t}$

2 模仿学习

world model：给出世界发展的动力学 $p(s_{t+1}|s_{t},a_{t})$ ，不少 video gen 自称为世界模型，其思想就是给定当前的 text 和当前画面 $I_{t}$，预测下一帧 $p(I_{t+1}|I_{t},text)$ 模仿学习和 image classification 的区别就是：很容易进入预期外的、不理想的状态区域，这一部分并没有学习过，即 out of distribution 如何解决 drift ：在 drift 的情况下，模型也要也能找到回到正确路径的方式

Dagger：Dataset Aggregation（借助人类标注）

train $\pi_{\theta}(a_{t}|o_{t})$ from human data $D = {o_{1}, a_{1},..., o_{N}, a_{N}}$
run $\pi_{\theta}(a_{t}|o_{t})$ to get dataset $D_{\pi} = {o_{1},.., o_{m}}$
Ask human to label $D_{\pi}$ with actions $a_{t}$
Aggregate: $D=D \cup D_{\pi}$
goto 1 for loop

对于当前的人形机器人，Dagger 不是直接获得 label，而是人接管，即 HG-DAgger，当策略出错的时候，人纠正，并且记录下这个状态和动作，之后再用这些数据来训练模型。这样可以提高数据效率。

其它最优 actions 来源：

来自最优策略，比如 3d 场景下的路径可以从 2 D 路径中获得
1. On policy diagram：随着训练的进行，策略会不断更新，数据分布也会不断变化，所以需要不断地从新的策略中采样数据来训练模型
2. Off policy diagram：策略更新的时候，数据分布并不发生改变，可能会出现重复修正、训练低效的问题。
从 teacher policy 学习，student 提供 $o_{t}$ ，teacher 给出 $\pi_{T,t}$，让 student 学习 $\pi_{t}\approx\pi_{T,t}$ ，通常让 teacher 拥有更多信息

Non-Markovian 问题：运用历史信息不一定会让策略更好，因为很容易会出现过拟合对专家拟合失败的原因

多峰问题：对于一个问题的答案不一定是 Gaussian 的，而有可能是多峰的，要解决这个问题要么离散化，要么使用类似 diffusion 的 model，或者加入隐变量

Lecture 8

1 强化学习

MDP (Markov Decision Process)：$\mathcal{M}=(S,A,\mathcal{T},r)$ 其中 $S$ 是状态空间，$A$ 是动作空间，$\mathcal{T}$ 是转移概率，$r$ 是奖励函数，且满足 $\mathcal{T}{ijk}=P(s{t+1}=i|s_{t}=j,a_{t=k})$ 如果是 POMDP (Partially Observable MDP)，则 agent 只能观察到 $o_{t}$，而不能直接观察到 $s_{t}$，此时 $\mathcal{M}=(S,A,\mathcal{T},r,O)$ 其中 $O$ 是观察函数

强化学习的目标是找到一个 policy $\pi(a_{t}|s_{t})$ 来最大化 reward 的期望

$$ \begin{align} \theta^{\star} & = \arg\max_{\theta} \mathbb{E}{\tau\sim p{\theta}(\tau)}\left[\sum_{t=0}^{T}r(s_{t},a_{t})\right] \ & = \arg\max_{\theta} \sum_{i=1}^{T}\mathbb{E}{(s{t},a_{t})\sim p_{\theta}(s_{t},a_{t})}\left[r(s_{t},a_{t})\right] \end{align} $$

2 策略梯度

令 $J_{\theta}=\mathbb{E}{\tau \sim p{\theta}(\tau)}r(\tau)=\int p_{\theta}(\tau)r(\tau)\mathrm{d}\tau$，则可以给出梯度的表达式

$$ \nabla_{\theta} J_{\theta} = \int \nabla_{\theta} p_{\theta}(\tau) r(\tau) \mathrm{d}\tau = \int p_{\theta}(\tau) \nabla_{\theta} \log p_{\theta}(\tau) r(\tau) \mathrm{d}\tau = \mathbb{E}{\tau \sim p{\theta}(\tau)}\left[\nabla_{\theta} \log p_{\theta}(\tau) r(\tau)\right] $$

又根据 $\log p_{\theta}(\tau)=\log p (s_1) + \sum_{t=1}^{T}\left(\log \pi_{\theta}(a_{t}|s_{t}) + \log p(s_{T}|a_{T},s_{T})\right)$，可以得到

$$ \nabla {\theta} J{\theta} = \mathbb{E}{\tau \sim p{\theta}(\tau)}\left[\sum_{t=1}^{T} \nabla_{\theta} \log \pi_{\theta}(a_{t}|s_{t}) \sum_{t=1}^{T}r(s_{t},a_{t})\right] $$

Monte Carlo 模拟：

$$ E_{\tau\sim p_{\theta}(\tau)}\left[\sum_{t}r(\mathbf{s}{t},\mathbf{a}{t})\right]\approx\frac{1}{N}\sum_{i}\sum_{t}r(\mathbf{s}{i,t},\mathbf{a}{i,t}) $$

另外，梯度也使用

$$ \nabla_{\theta} J(\theta) \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \left( \sum_{t=1}^{T} \nabla_{\theta} \log \pi_{\theta}(\mathbf{a}{i,t} | \mathbf{s}{i,t}) \right) \left( \sum_{t=1}^{T} r(\mathbf{s}{i,t}, \mathbf{a}{i,t}) \right) $$

REINFORCE algorithm:

sample ${\tau^{i}}$ from $\pi_{\theta}\left(\mathbf{a}{t} \mid \mathbf{s}{t}\right)$ (run the policy)
$\nabla_{\theta} J(\theta) \approx \sum_{i}\left(\sum_{t} \nabla_{\theta} \log \pi_{\theta}\left(\mathbf{a}{t}^{i} \mid \mathbf{s}{t}^{i}\right)\right)\left(\sum_{t} r\left(\mathbf{s}{t}^{i}, \mathbf{a}{t}^{i}\right)\right)$
$\theta \leftarrow \theta + \alpha \nabla_{\theta} J(\theta)$

但是这通常十分昂贵，因为每次采样的数据都不能复用，这也被称为 on policy RL，与之相对的，off policy RL 允许复用一段时间前的数据 on policy 一般只能在 simulator 里面搞，现实数据太昂贵搞不了

[!note] 一个值得注意的区分这里的梯度长得很像 behavior cloning 那里的 Maximum Likelihood 梯度

$$ \nabla_{\theta} J_{ML}(\theta) \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \left( \sum_{t=1}^{T} \nabla_{\theta} \log \pi_{\theta}(\mathbf{a}{i,t} | \mathbf{s}{i,t}) \right) $$

但是这完全是两种东西，因为后者的 $a_{t}$ 是 teacher 的，而前者的是自己生成的；所以不能认为 reinforcement learning 是 imitation learning 加权得到的

事实上，如果 $a_{t}$ 是由当前策略自己生成的，那么一定有

$$ E_{\tau \sim p_{\theta}(\tau)}\left[\nabla_{\theta} \log \pi_{\theta}\left(\mathbf{a}{i, t} \mid \mathbf{s}{i, t}\right)\right]=0 $$

但是如果是 behavior cloning 的结果，那么有

$$ \nabla_{\theta} J_{\mathrm{ML}}(\theta)=\mathbb{E}{\tau \sim \pi{\text {expert }}(\tau)}\left[\nabla_{\theta} \log \pi_{\theta}\left(a_{i, t} \mid s_{i, t}\right)\right] \neq 0 $$

2.1 高斯策略

策略服从高斯分布： $\pi_{\theta}\left(\mathbf{a}{t} \mid \mathbf{s}{t}\right)=\mathcal{N}\left(f_{\text {neural network }}\left(\mathbf{s}{t}\right) ; \Sigma\right)$ 此时，由于 $\log \pi{\theta}\left(\mathbf{a}{t} \mid \mathbf{s}{t}\right)=-\frac{1}{2}\left|\boldsymbol{f}\left(\mathbf{s}{t}\right)-\mathbf{a}{t}\right|{\Sigma}^{2}+\text { const }$ 于是，梯度可以协作： $\nabla{\theta} \log \pi_{\theta}\left(a_{t} \mid s_{t}\right)=-\left(\frac{d f}{d \theta}\right)^{T} \Sigma^{-1}\left(f\left(s_{t}\right)-a_{t}\right)$ 然后再进行 reinforcement 算法

2.2 Partial Observability

直接用 $o_{t}$ 替换 $s_{t}$ 即可，也即

$$ \nabla_{\theta} J(\theta) \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left(\sum_{t=1}^{T} \nabla_{\theta} \log \pi_{\theta}\left(\mathbf{a}{i, t} \mid \mathbf{o}{i, t}\right)\right)\left(\sum_{t=1}^{T} r\left(\mathbf{s}{i, t}, \mathbf{a}{i, t}\right)\right) $$

3 降低方差

对于强化学习而言，梯度存在很大不确定性，降低方差可以让算法更快地收敛第一个办法是只保留 reward to go，也即只考虑 $t'\geq t$ 的部分

$$ \nabla_{\theta} J(\theta) \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left[\sum_{t=1}^{T} \nabla_{\theta} \log \pi_{\theta}\left(\mathbf{a}{i, t} \mid \mathbf{s}{i, t}\right)\left(\sum_{t'=t}^{T} r\left(\mathbf{s}{i, t'}, \mathbf{a}{i, t'}\right)\right)\right] $$

第二个办法是减去一个常数 baseline

$$ \nabla_{\theta} J(\theta) \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \nabla_{\theta} \log p_{\theta}(\tau)[r(\tau)-b] $$

可以证明，最优的 $b$ 是

$$ b = \dfrac{\mathbb{E}g^{2}(\tau)r(\tau)}{\mathbb{E}g^{2}(\tau)} ,\quad g(\tau) = \nabla_{\theta} \log p_{\theta}(\tau) $$

但是无法得到，所以通常我们会把 $b$ 取为 $b=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} r(\tau)$，

[!tip] 强化学习算法常常训不出好的 policy，因为 reward 的设计，或者采样太过稀疏，gradient 太 noisy。

4 On-Policy Actor Critic Algorithm

Q function 和 Value function

$Q^{\pi}\left(\mathbf{s}{t}, \mathbf{a}{t}\right)=\sum_{t^{\prime}=t}^{T} E_{\pi_{\theta}}\left[r\left(\mathbf{s}{t^{\prime}}, \mathbf{a}{t^{\prime}}\right) \mid \mathbf{s}{t}, \mathbf{a}{t}\right]:$ total reward from taking $\mathbf{a}{t}$ in $\mathbf{s}{t}$
$V^{\pi}\left(\mathbf{s}{t}\right)=\sum{t^{\prime}=t}^{T} E_{\pi_{\theta}}\left[r\left(\mathbf{s}{t^{\prime}}, \mathbf{a}{t^{\prime}}\right) \mid \mathbf{s}{t}\right]:$ total reward from $\mathbf{s}{t}$

如果能学到很好的 Q 和 V，那么第三种降低方差的方式是使用

$$ \nabla_{\theta} J(\theta) \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} \nabla_{\theta} \log \pi_{\theta}\left(\mathbf{a}{i, t} \mid \mathbf{s}{i, t}\right)\left(Q\left(\mathbf{s}{i, t}, \mathbf{a}{i, t}\right)-V\left(\mathbf{s}_{i, t}\right)\right) $$

通常我们会定义 $A^{\pi}\left(\mathbf{s}{t}, \mathbf{a}{t}\right)=Q^{\pi}\left(\mathbf{s}{t}, \mathbf{a}{t}\right)-V^{\pi}\left(\mathbf{s}{t}\right)$ 叫做 advantage function，表示在 $\mathbf{s}{t}$ 的状态下，$\mathbf{a}_{t}$ 的动作相比于平均水平的优势程度；于是上式也可以写作

我们通常不直接拟合 $Q,A$ 而是利用

$$ A^{\pi}\left(\mathbf{s}{t}, \mathbf{a}{t}\right) \approx r\left(\mathbf{s}{t}, \mathbf{a}{t}\right)+V^{\pi}\left(\mathbf{s}{t+1}\right)-V^{\pi}\left(\mathbf{s}{t}\right) $$

只拟合出 $V^{\pi}$ 就可以了，这也被称为 Actor-Critic 方法

4.1 如何拟合 Value Function

传统办法：直接用 $V^{\pi}\left(\mathbf{s}{t}\right) \approx\frac{ 1}{N}\sum{i=1}^{N}\sum_{t'=t}^{T} r\left(\mathbf{s}{t'}, \mathbf{a}{t'}\right)$ 来拟合，但是需要 reset，在现实中很难做到
Monte Carlo 模拟：直接用 $V^{\pi}\left(\mathbf{s}{t}\right) \approx \sum{t'=t}^{T} r\left(\mathbf{s}{t'}, \mathbf{a}{t'}\right)$ 来拟合
bootstrap：用 $V^{\pi}\left(\mathbf{s}{t}\right) \approx r\left(\mathbf{s}{t}, \mathbf{a}{t}\right)+\hat{V}^{\pi}{\phi}\left(\mathbf{s}_{t+1}\right)$ 来拟合，这样就不需要 reset 了，但是会引入 bias，因为用到了自己上一次估计的 Value Function
- 此时的误差 $\delta_{t}=y_{t}-\hat{V}{\phi}(s{t})$ ，其中 $y_{t}=r\left(\mathbf{s}{t}, \mathbf{a}{t}\right)+\hat{V}^{\pi}{\phi}\left(\mathbf{s}{t+1}\right)$ 叫做 TD target，$\delta_{t}$ 叫做 TD error

5 无穷情形（折现因子）

对于无穷情形，我们需要引入 discount factor $\gamma$ 来保证 reward 的收敛性，此时

$$ J(\theta) = \mathbb{E}{\tau \sim p{\theta}(\tau)}\left[\sum_{t=0}^{\infty} \gamma^{t} r(s_{t}, a_{t})\right] $$

而且

$$ A^{\pi}\left(\mathbf{s}{t}, \mathbf{a}{t}\right) \approx r\left(\mathbf{s}{t}, \mathbf{a}{t}\right)+\gamma V^{\pi}\left(\mathbf{s}{t+1}\right)-V^{\pi}\left(\mathbf{s}{t}\right) $$

此时 $\gamma$ 越接近 $1$，越看重长远的 reward，但是也会导致 variance 增大；$\gamma$ 越接近 $0$，越看重短期的 reward，但是也会导致 bias 增大

5.1 Generalized Advantage Estimation (GAE)

首先，对于折现因子的选择，我们通常是使用

$$ \nabla_{\theta} J(\theta) \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} \nabla_{\theta} \log \pi_{\theta}\left(\mathbf{a}{i, t} \mid \mathbf{s}{i, t}\right)\left(\sum_{t^{\prime}=t}^{T} \gamma^{t^{\prime}-t} r\left(\mathbf{s}{i, t^{\prime}}, \mathbf{a}{i, t^{\prime}}\right)\right) $$

而非

$$ \nabla_{\theta} J(\theta) \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} \nabla_{\theta} \log \pi_{\theta}\left(\mathbf{a}{i, t} \mid \mathbf{s}{i, t}\right)\left(\sum_{t=1}^{T} \gamma^{t-1} r\left(\mathbf{s}{i, t^{\prime}}, \mathbf{a}{i, t^{\prime}}\right)\right) $$

这是因为我们使用折现因子，是想对相对位置进行折现，而不是绝对时间

另外，我们在使用 bootstrap 和 policy gradient 的时候，其实分别是用到

$$ \nabla_{\theta} J(\theta) \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} \nabla_{\theta} \log \pi_{\theta}\left(\mathbf{a}{i, t} \mid \mathbf{s}{i, t}\right)\left(r\left(\mathbf{s}{i, t}, \mathbf{a}{i, t}\right)+\gamma \hat{V}{\phi}^{\pi}\left(\mathbf{s}{i, t+1}\right)-\hat{V}{\phi}^{\pi}\left(\mathbf{s}{i, t}\right)\right) $$

with lower variance but probably bias 和

$$ \nabla_{\theta} J(\theta) \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} \nabla_{\theta} \log \pi_{\theta}\left(\mathbf{a}{i, t} \mid \mathbf{s}{i, t}\right)\left(\left(\sum_{t^{\prime}=t}^{T} \gamma^{t^{\prime}-t} r\left(\mathbf{s}{i, t^{\prime}}, \mathbf{a}{i, t^{\prime}}\right)\right)-b\right) $$

with high variance but no bias 所以首先我们就可以改进为

$$ \nabla_{\theta} J(\theta) \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} \nabla_{\theta} \log \pi_{\theta}\left(\mathbf{a}{i, t} \mid \mathbf{s}{i, t}\right)\left(\left(\sum_{t^{\prime}=t}^{T} \gamma^{t^{\prime}-t} r\left(\mathbf{s}{i, t^{\prime}}, \mathbf{a}{i, t^{\prime}}\right)\right)-\hat{V}{\phi}^{\pi}\left(\mathbf{s}{i, t}\right)\right) $$

其次，我们考虑前两者之间的优缺点，可以通过 N-steps 的方式权衡，即不止考虑一步，而是考虑

$$ G_t^{(n)}= \sum_{t'=t}^{t+n-1} \gamma^{t'-t} r(s_{t'},a_{t'})+ \gamma^n \hat V_\phi^\pi(s_{t+n}) $$

换言之，我们综合了两种 Advantage

$$ \begin{aligned} \hat{A}{C}^{\pi}\left(\mathbf{s}{t}, \mathbf{a}{t}\right) & =r\left(\mathbf{s}{t}, \mathbf{a}{t}\right)+\gamma \hat{V}{\phi}^{\pi}\left(\mathbf{s}{t+1}\right)-\hat{V}{\phi}^{\pi}\left(\mathbf{s}{t}\right) \ \hat{A}{\mathrm{MC}}^{\pi}\left(\mathbf{s}{t}, \mathbf{a}{t}\right) & =\sum_{t^{\prime}=t}^{\infty} \gamma^{t^{\prime}-t} r\left(\mathbf{s}{t^{\prime}}, \mathbf{a}{t^{\prime}}\right)-\hat{V}{\phi}^{\pi}\left(\mathbf{s}{t}\right) \end{aligned} $$

给出了新的 Advantage

$$ \hat{A}{n}^{\pi}\left(\mathbf{s}{t}, \mathbf{a}{t}\right)=\sum{t^{\prime}=t}^{t+n} \gamma^{t^{\prime}-t} r\left(\mathbf{s}{t^{\prime}}, \mathbf{a}{t^{\prime}}\right)-\hat{V}{\phi}^{\pi}\left(\mathbf{s}{t}\right)+\gamma^{n} \hat{V}{\phi}^{\pi}\left(\mathbf{s}{t+n}\right) $$

但是这个 $n$ 不一定要人工固定。若 $n$ 过小，估计更依赖价值函数 $\hat V_\phi^\pi$，方差较小，但当价值函数估计不准时会引入较大偏差；若 $n$ 过大，估计更接近 Monte Carlo return，偏差较小，但会受到长轨迹采样噪声的影响，方差较大。因此，一个自然的想法是将不同步数的 advantage 进行加权组合，而不是只选择某一个固定的 $n$。这就得到 GAE：

$$ \hat A_{\mathrm{GAE}}^\pi(s_t,a_t)

\sum_{n=1}^{\infty} w_n \hat A_n^\pi(s_t,a_t) $$

其中权重通常按指数衰减选取：

$$ w_n \propto \lambda^{n-1} $$

这里 $\lambda\in[0,1]$ 控制对长时间尺度回报的依赖程度。等价地，GAE 可以写成 TD error 的加权

$$ \hat A_{\mathrm{GAE}}^\pi(s_t,a_t)

\sum_{l=0}^{\infty} (\gamma\lambda)^l \delta_{t+l} $$

其中

$$ \delta_t

r(s_t,a_t) + \gamma \hat V_\phi^\pi(s_{t+1})

\hat V_\phi^\pi(s_t) $$

是一步 TD error。这个形式说明，GAE 本质上是在累计当前以及未来若干步的 TD error，但越远的 TD error 权重越小。当 $\lambda=0$ 时，GAE 退化为一步 TD advantage，方差较低但偏差较大；当 $\lambda$ 接近 $1$ 时，GAE 更接近 Monte Carlo advantage，偏差较小但方差较大。实际的 on-policy actor-critic 方法，常使用 $\lambda\approx 0.95$，

Lecture 9

1 policy 的简单修正

policy 部分的两个核心问题

gradient 很 noisy，variance 很大
- 一旦维度高了，batch 就得大一点来降低 noisy
on policy 是一个 data sample efficiency 很低的方法
- 所有 data 用一次就废
- 所以要 reuse data：off policy RL，将 data 存在 buffer 里面

在 AC 里面用 off policy 的数据的潜在问题

target 不对：$y_{i}=r_{i}+\gamma \hat{V}{\phi}^{\pi}(s{i}')$ 用的是旧策略 $\mu$ sample 出来的 $a$ ，并影响了 $s'$，这时的 $r(s,a)$ 不对，$V_{\phi}^{\pi}(s')$ 也不对
梯度不对：$\log \pi_{\theta}(a_{i}|s_{i})$ 里用到的 $\pi_{\theta}$ 不对

对于第一个问题：我们需要放弃价值函数，因为这时候的 $s'$ 无法再改变，转而使用 $Q$ ，然后我们使用

$$ y_{i}= r_i + \gamma \hat{Q}_{\phi}^{\pi}(s'_i, a'_i) $$

相应地，loss 改为 $\mathcal{L}(\phi) = \frac{1}{N} \sum_{i} \left| \hat{Q}_{\phi}^{\pi}(s_i, a_i) - y_i \right|^2$

对于第二个问题，首先，由于第一个问题的解决方案，我们不再能估计 $V^{\pi}$ ，所以就不能使用 $A^{\pi}$ 。然后还有一个问题未解决，就是 $s_{i}$ 采样的概率其实发生了改变，但是我们暂且不管他，先解决另一个问题，就是这里的 $a_{i}$ 也是旧策略采样的，现在我们需要重新采样

$$ \nabla_{\theta} J(\theta) \approx \frac{1}{N} \sum_{i} \nabla_{\theta} \log \pi_{\theta}(\mathbf{a}_i^{\pi} | \mathbf{s}i) \hat{Q}{\phi}^{\pi}(\mathbf{s}_i, \mathbf{a}_i^{\pi}) $$

最后结果是

2 TRPO 和 PPO

PPO 的想法，既然要提升数据 efficiency，那么是否可以简单的数据复用，同一批数据复用 $K$ 次。但是出于策略更新的的考量，不能直接这么搞。我们需要重要性采样

$$ \mathbb{E}{x\sim p(x)}[f(x)] = \mathbb{E}{x\sim q(x)}[ \dfrac{p(x)}{q(x)}f(x)] $$

理论上来说，重要性采样的乘子应该是

$$ \frac{p_{\theta'}(\tau)}{p_{\theta}(\tau)} = \frac{\prod_{t=1}^{T} \pi_{\theta'}(\mathbf{a}t | \mathbf{s}t)}{\prod{t=1}^{T} \pi{\theta}(\mathbf{a}_t | \mathbf{s}_t)} $$

但是为了简化，我们做了两件事，第一对于未来奖励，我们考虑 $r$ 不做重要性采样，这样 reward to go 是可以复用的；另外，由于 $\frac{p_{\theta'}(\tau)}{p_{\theta}(\tau)}$ 连乘太多了，所以我们选择用最后一项 $\frac{ \pi_{\theta'}(\mathbf{a}_t | \mathbf{s}t)}{ \pi{\theta}(\mathbf{a}_t | \mathbf{s}_t)}$ 来近似。

接下来的问题是，只要这个新策略和旧策略差的比较多，就很容易训崩，未来减小差距，我们的想法是减小 $K$ ，但是这就和我们原来的思想矛盾，所以有人是采用的。 TRPO 把这个变为了一个优化问题，但是太复杂了，不是很多人用。

另一种思路是 PPO，直接控制重要性部分 PPO-Clip：Clip 后保证

$$ \lvert \frac{ \pi_{\theta'}(\mathbf{a}_t | \mathbf{s}t)}{ \pi{\theta}(\mathbf{a}_t | \mathbf{s}_t)}-1 \rvert \le \epsilon $$

PPO-penalty：加上惩罚 $L_{KL\text{PEN}}(\theta) = \hat{\mathbb{E}}t \left[ \frac{\pi{\theta}(a_t | s_t)}{\pi_{\theta_{\text{old}}}(a_t | s_t)} \hat{A}t - \beta \text{KL} \left[ \pi{\theta_{\text{old}}}(\cdot | s_t), \pi_{\theta}(\cdot | s_t) \right] \right]$ Compute $d = \hat{\mathbb{E}}t [\text{KL}[\pi{\theta_{\text{old}}}(\cdot | s_t), \pi_{\theta}(\cdot | s_t)]]$，记得 $\beta$ 要动态确认

If $d < d_{\text{targ}} / 1.5$, $\beta \leftarrow \beta / 2$
If $d > d_{\text{targ}} \times 1.5$, $\beta \leftarrow \beta \times 2$

看起来，在具身的任务中，clip 是最优秀的，

其他注意点，初始化和激活：

正交初始化：高斯采样初始化矩阵，然后 SVD 得到正交的初始化矩阵
使用 Tanh 激活函数

PPO 的经验：首先调好奖励，然后网格搜索参数。PPO 已经是 off policy 领域，最“on policy” 的办法了，虽然很难训，但是已经是最好用的了。本课程没有提到 Q-learning，和 PPO 的核心区别是，Q-learning 更倾向于学习价值表，一旦动作、状态空间太大了，那么效果不佳；但是 PPO 学习的是策略，会更 robust 一点。Q-learning 的好处在于数据效率高。

Lecture 10

1 Diffusion Model

why diffusion？因为无论是估计策略还是估计价值函数，一般都是假设策略满足高斯分布，这天然的是带有单峰分布的假设的，但是真实任务常出现多峰分布。

mixture of gaussian：但是到底多少个多峰分布很难确定，很少用
离散化： RT-2，OpenVLA，但是牺牲了精度，而且无法利用到相邻点之间的相关信息

GAN：现在已经很少用了，他只有对规则分布（如人脸）用的比较好用 Diffusion：现在大家基本用 Diffusion-Based 的算法，甚至是其简化 Flow-matching

2 Flow Matching

先介绍 Flow Matching 模型

基础假设：$z \sim p_{\text{noise}} , x \sim p_{\text{data}} , t \sim U[0, 1]$ (对于不同 step，z 都是同一个) 考虑：$x_t = (1 - t)x + tz$ 尝试预测：$v = z - x$ 损失函数为：$L = ||f_\theta(x_t, t) - v||_2^2$

重建的过程反过来，进行积分，整个过程没有随机性，而且没有条件约束，$x,z$ 也必须在同一个维度的空间里。就像空间中有流速场一样，流线建立了 $x$ 和 $z$ 之间的一一映射。 Flow Matching 是结果导向，flow 模型需要显式写出概率模型，但是很难处理。

conditional flow matching

在训练的时候，对不同的类别，采用不同的 sample 方式，model 加一个参数 $v= model(x_{t},y,t)$，一般 $y$ 为 one hot 向量。
如果希望同时学习 unconditional 的模型，可以单独取一个 $y$ 为 everything，即 $[0,0,\cdots,0]$
- 然后利用 $v = v_{\phi} + w(v_{y}- v_{\phi})$
noise schedule：sample 的时候中间步骤的东西比较难学，所以训练时经常会使用 sigmoid 采样，保证中间步骤学到概率更大；当使用时，仍然维持均匀的采样
- 对于高清晰度的图像修复，噪声阶段会更嘈杂，为了能够在早期学习更充分，往往会采用 log normal 的 schedule

Diffusion 相比 flow matching 的区别：插值不再采用线性插值，而是使用和 $t$ 相关的参数；而且每一期的噪声都是新随机采样的

一般对于 diffusion model，我们会选择：

$$ x_{t}=\sqrt{\bar{\alpha}{t}}x+\sqrt{1-\bar{\alpha}{t}}z $$

此时可以近似写成随机微分方程

$$ dx = f(x, t)dt + g(t)dw $$

另外， $c,d$ 的选择取决于你到底预测的是什么

x-prediction: $y_{gt} = x \quad [c(t) = 1; d(t) = 0]$
$\epsilon$ prediction: $y_{gt} = z \quad [c(t) = 0; d(t) = 1]$
v-prediction: $y_{gt} = b (t) z - a (t) x$

diffusion/flow matching 能 work 的本质原因：因为搞了很多小分布加一起，如果强行蒸馏效果可能不乐观。原则上来说，越复杂的分布，需要越大的步数

diffusion 的关键难题，积分形式下已经写不出来他的显式 $p(x)$，这样就没办法做好 PPO 的重要性采样 diffusion 的本质：根据自己目前的时间进度和任务完成情况，继续微调。

3 Diffusion policy

如何克服 diffusion 的随机性导致的决策的不连续性？每次预测一批序列，然后成批执行 action chunk

但是这会导致小开环的结果，也就是说一批东西太多了，反应慢
所以现在的改进方法之一是只执行第一个动作，后面的动作用插值的办法影响到后续决策
但是 diffusion 还是太慢了，所以 VLA 现在用 flow matching 的多一点

4 LLM

LLM 本质也是一个序列生成模型，在 GPT-3 以后，大家发现可以用 RLHF 的办法，用 RL 来解决生成的结果不满意的问题。但是 reward 仍然是一个大问题，早期的探索是，用人类来标注，具体标注的内容是 preference，是弱 reward，然后用Bradley-Terry model 来设计 reward

$p(\tau_i \succ \tau_j) = \frac{\exp\left(\sum_t r_{\psi}(s_t^{(i)}, a_t^{(i)})\right)}{\exp\left(\sum_t r_{\psi}(s_t^{(i)}, a_t^{(i)})\right) + \exp\left(\sum_t r_{\psi}(s_t^{(j)}, a_t^{(j)})\right)}$ 得到 $\log p(\tau_i \succ \tau_j) = \log \sigma(r_{\psi}(\tau_i) - r_{\psi}(\tau_j))$ 于是更新 $\psi \leftarrow \arg \max_{i,j} \sum \log \sigma(r_{\psi}(\tau_i) - r_{\psi}(\tau_j))$

“Better trajectories are exponentially more likely to be chosen based on their reward”

5 RL for Diffusion Policy

diffusion model 无法用在 policy 上的一个关键障碍是：模型可以很好的预测动作，但是用一个简洁的形式算出对应动作的概率是很困难的。

$$ p_\theta(x_0=a_t \mid s_t) = \int p(x_K) \prod_{k=1}^{K} p_\theta(x_{k-1}\mid x_k,s_t) dx_{1:K} $$

目前的学界思路：

DPPO：对内层的每一个去噪过程都看成一个 RL 的过程，所以一共两次 MDP
FPO：

目前的观点：Diffusion policy 处理 multi modal 的问题确实效果更好一点；而且 Diffusion 在处理 imitation learning 部分的效果也更好一点，但是一旦去 RL，效果就烂了。

具身智能导论：机器人学

Sun, 03 May 2026 20:22:27 GMT

Lecture 2

运动学 VS 动力学：运动学描述运动而不考虑力的来源

[!note] 记号假设小写字母 $p$ 代表坐标，加粗字母 $\mathbf{v}$ 代表向量

运动信息可以用六维坐标 $(R_{s\to b}^{s},\mathbf{t}_{s\to b}^{s})$ 表示（三维是旋转，三维是平移）

$$ p_{1}^{s} = R_{s\to b}^{s}p_{1}^{b}+\mathbf{t}_{s\to b}^{s} $$

为了让它变为线性变换，我们考虑齐次坐标

$$ \tilde{x} :=\begin{pmatrix} x \ 1 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{4}, T_{s\to b}^{s}= \begin{bmatrix} R_{s\to b}^{s} &\mathbf{t}{s\to b}^{s} \ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad \tilde{x}^{s} = T{s\to b}^{s}\tilde{x}^{b} $$

变换可以复合而且可逆

$$ T_{1\to {3}}^{1}= T_{1\to {2}}^{1}T_{2\to {3}}^{2},\quad T_{2\to 1}^{2}=(T_{1\to{2}}^{1})^{-1} $$

Forward Kinematics：根据参数 $\theta$，计算 $T=f(\theta)$
Inverse Kinematics：根据 $T(\theta)$ ，反解 $\theta$ 。有可能无解，但是如果有解往往无穷多解，因为在设计自由度的时候我们会留出来一些冗余，以增加避障等灵活性

Leture 3

旋转矩阵的性质

$\lVert Rp \rVert = \lVert p \rVert$ 保长度
$Rp\times Rq =R (p\times q)$

所以我们可以推出 $R R^{\top} = R^{\top}R=I,\det(R)=1$ 在三维空间中，所有的刚体变换只有旋转和平移，没有手性变换（反射）。但是平移不是线性变换，所以要引入第四维形成齐次坐标。

$$ \begin{align} SO(3) &= { R \in \mathbb{R}^{3\times{3}}| R R^{\top} = R^{\top}R=I,\det(R)=1} \ SE(3) &= { (R,t)| R\in SO(3),t\in \mathbb{R}^{3}} \end{align} $$

$SO(3)$ 里面的矩阵虽然是九个元素，但是其自由度只有 $3$ 个，可以用 Euler Angle 来解释。

（Yaw-Pitch-Roll）的顺序
- Yaw：绕着 $z$ 轴
- Pitch：绕着新 $y$ 轴 $y'$
- Roll：绕着新 $x$ 轴 $x''$

$$ \begin{align} & R_{x}(\alpha):= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}, R_{y}(\beta):= \begin{bmatrix} \cos \beta & 0 & \sin \beta \ 0 & 1 & 0 \ -\sin \beta & 0 & \cos \beta \ \end{bmatrix}, R_{z}(\gamma):= \begin{bmatrix} \cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \ \sin \gamma & \cos \gamma & 0 \ 0 & 0 & 1 \ \ \end{bmatrix} \ & R(\alpha,\beta,\gamma) = R_{z}(\gamma)R_{y}(\beta)R_{x}(\alpha) \end{align} $$

缺点：但是不是一一对应，同一个旋转矩阵可以有多个 Euler Angle 与之对应，而且三个变量不独立，万向节死锁插值如果碰到奇异点会乱飞

Euler's Theorem 证明也可以用 Axis Angle 来表示，$\hat{\omega}$ 表示转轴单位向量，$\theta$ 代表转动角度，但是只在 $\theta \in(0,\pi)$ 上的时候是一一对应的，一旦 $\theta=\pi$ 就会出现一对多，具体形式可以表示为

$$ \mathrm{Rot} (\hat{\omega},\theta)x = \mathrm{e}^{ [\hat{\omega}] \theta}x $$

Rodrigues Formula：

$$ \mathrm{e}^{ [\hat{\omega}] \theta} = I + \sin \theta [\hat{\omega}] + (1-\cos \theta)[\hat{\omega}]^2 $$

给定 $R$，而且确定 $\theta \in(0,\pi)$ 那么 $\hat{\omega}$ 和 $\theta$ 可以唯一确定为

$$ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{\mathrm{tr}(R)-1}{2} \right),\quad \hat{\omega} = \dfrac{1}{2\sin \theta}(R-R^{\top}) $$

1 Quaternion

四元数（Quaternion）：真正我们经常使用的表示方法。

$$ \begin{align} & q=w + x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k} \ & \mathbf{i}^{2}=\mathbf{j}^{2}=\mathbf{k}^{2}=\mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k}=-1 \ & \mathbf{i}\mathbf{j}=\mathbf{k}=-\mathbf{j}\mathbf{i},\mathbf{j}\mathbf{k}=\mathbf{i}=-\mathbf{k}\mathbf{j},\mathbf{k}\mathbf{i}=\mathbf{j}=-\mathbf{i}\mathbf{k} \end{align} $$

其中 $\omega$ 为实部，$\vec{v}=(x,y,z)$ 为虚部四元数乘法的性质：

向量形式 (Vector form): $q = (w, \vec{v})$
乘法 (Product):
- 对于 $q_1 = (w_1, \vec{v}_1)$ 和 $q_2 = (w_2, \vec{v}_2)$，
  
  $q_1 q_2 = (w_1 w_2 - \vec{v}_1^T \vec{v}_2, w_1 \vec{v}_2 + w_2 \vec{v}_1 + \vec{v}_1 \times \vec{v}_2)$
- 不可交换 (Not commutable)（注意：$\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 \neq \vec{v}_2 \times \vec{v}_1$）
共轭 (Conjugate): $q^* = (w, -\vec{v})$
范数 (Norm): $| q |^2 = w^2 + \vec{v}^T \vec{v} = q q^* = q^* q$
逆 (Inverse): $q^{-1} := \frac{q^*}{| q |^2}$

所有模为 $1$ 的四元数用来表示一个旋转，恰好有 $3$ 个自由度。从 Axis Angle 可以直接转化为四元数 $q=[\cos(\theta / 2),\sin(\theta / 2)\hat{\omega}]$ 如何用四元数旋转

首先扩展 $\vec{x}$ 为 $x = (0, \vec{x})$
然后共轭变换 $x' = qxq^{-1}$

四元数旋转可以直接复合：先 $q_{1}$ 再 $q_{2}$ ，则相当于 $q_{2}q_{1}$

[!note] 坐标表示注意不同引擎下坐标顺序不同，可能是 $(w,x,y,z)$ 或 $(x,y,z,w)$。

从 quaternion 到 axis angle：

$$ \theta = 2\cos^{-1}(w),\quad \hat{\omega} = \frac{1}{\sin(\theta/2)}\vec{v} \mathbb{1}_{\theta \ne 0} $$

1.1 插值

在 $\mathbb{S}^{3}$ 上的四元数之间夹角 $<p,q> = \arccos (|p\cdot q|)$，对应的旋转的夹角是 $dist(p,q)=2\arccos(\lvert p\cdot q \rvert)$，所以在四元数上做插值等价于在 $\mathbb{S}^{3}$ 上做插值。

四元数插值（slerp）

$$ \begin{align} \psi & =\cos ^{-1}(q_{0}\cdot q_{1} ) \ q(t) & = \frac{q_{0}\sin(1-t)\psi+q_{1}\sin t\psi}{\sin \psi} \end{align} $$

[!note] 为什么不能直接对四元数进行线性插值

首先线性运算得到的未必是归一化的

即使归一化之后，也不能保持在球面上恒定的旋转速率

1.2 采样

球面上均匀分布的采样方法，可以高斯采样然后归一化

$$ x \sim \mathcal{N}(0, I),\quad q = \frac{x}{| x |} $$

两个旋转 $R_{1},R_{2}$ 之间的距离：

$$ (R_{2}R_{1}^{\top})R_{1}=R_{2}\implies \operatorname{dist}(R_{1},R_{2})=\arccos \left( \frac{\mathrm{tr}(R_{2}R_{1}^{\top})-1}{2} \right) $$

[!summary] Why Quaternions？

尽量少的冗余，四个数就够用

乘法更简单，每次乘法 16 个乘运算+12 个加运算

数学性质

旋转矩阵连乘会因为浮点数精度损失更多

四元数正交化只要归一化就可以了

复合运算很方便

Lecture 4

Motion Planning 可以转换为路径搜索问题：如何在无碰撞空间 $C_{free}$ 里找到一条路径连接 $q_{start}$ 和 $q_{goal}$ ，不过该问题是在一个高维空间内的。

1 Collision Check

由于维度过高，直接做搜索是不可能的。且如何确定一个 $q$ 是否属于 $C_{free}$ 都是困难的，这个工作称之为 Collision Check

我们通常使用球来做近似，因为它做碰撞检测更简单；但模拟情况下不碰撞不代表真实情况下不碰撞。碰撞十分致命，尤其对于灵巧手，没有力传感器做 Compliance ，非常容易坏。
更精确的是凸凸碰撞测试（convex-convex collision check），对于非凸的形状，我们用尽量少的分解 Approximate Convex Decomposition (ACD):将其转化为凸凸碰撞

2 路径搜索

Probabilistic Roadmap Method

第一步在 $C_{free}$ 里面做 sample，连接其中相邻的节点，连接起点终点，变成一个图
- sample 的算法：rejection sampling，但是 uniform sample 可能导致忽视狭窄通道，所以我们考虑 Gaussian sample（最终会贴近障碍物边缘）和 bridge sample（最终会贴近狭窄通道）
- edge 的建立：对于每个点，只看最近的几个点就可以。这个过程是可以并行的。
第二步做路径搜索，如 Dijkstra

RT-based 算法

RRT：绕着试试（exploration）和贪婪前进（exploitation）的结合
- 如何找到树中最近的点：需要使用 KD Trees 等方法
- 如何确定 $\epsilon$ ：如果 $\epsilon$ 太大了，很容易撞；如果 $\epsilon$ 太小了，可能会导致搜索效率过低。
RRT-connect：从起点和终点同时开搜，朝着同一个点的方向前进
Shortcutting：RRT 找出来的路径通常很绕，为了路径平滑性，我们会在已知节点里面随机 sample 两点，找到不绕路的做法
- 但是只是局部做法，只能基于已知的节点，可能会错过更好的路径
- 在一开始非常好用，后面边际收益递减

从 path 到 trajectory：考虑每个点到达的时间——除了路径是否可能，我们还需要考虑 dynamics 上速度、加速度是否可能。

3 Control System

controller：考虑如何从当前位置 $s_{t}$ 到达目标位置 $\tilde{s}_{t}$，可能会出现 over shoot 和 under shoot 以及外力干扰等，所以需要 closed-loop control

3.1 PD-controller

对于一阶问题，我们使用系统动力学

$$ \ddot x + d \dot{x}+kx = u $$

其中，$u$ 是外力控制 P-term：$u=K_{p}x_{e}(t)$ 只考虑和误差 proportion 相关，$K_{p}$ 越大反应越快，但是也可能会过冲 D-term：$u = K_{p}x_{e}+K_{d}\dot{x}_{e}$ 考虑误差的导数，缓解了过冲

一般的操作是先调好 $K_{p}$ ，然后再加大 $K_{d}$ ，偶尔可能还会涉及到 $K_{i}$ 对于多自由度系统的 PD control，由于关节之间是耦合的，所以我们是先分别调，合起来再调。

3.2 PID control

I（积分）control term：$K_{i}\int x_{e}\mathrm{d}t$，代表对过去误差的累积，通常用来消除稳态误差

PID control law

$$ u=K_{p}x_{e}+K_{i}\int x_{e}\mathrm{d}t+K_{d}\dot{x}_{e} $$

当时对于现代机器人学，很少用到 PID，往往 PD 就够了，因为调起来简单，且够用，而且不那么需要关注每步的误差；对于误差的过度要求，反而可能会导致不必要的动力加强（比如意外的障碍导致无法达到准确稳态，反而不安全）；对于 PD 系统，如果希望消除稳态误差，可以考虑更多基于模型的补偿方案

计算机小白指北

Sun, 22 Mar 2026 20:00:00 GMT

import {Aside} from 'astro-pure/user'

大一才拥有人生中第一台电脑的自己，在学习计算机的路上磕磕碰碰；虽然还未掌握很多，但靠着自己的囤积癖积累了一些实用小经验，希望能帮到有需要的人。以下部分推荐可能需要一点魔法才能尝试，如果不知道是什么，可以看看翻墙 - CS自学指南

管理好你的文件

1 什么是文件

除了计算机的历史、计算机的意义，聊到计算机绕不开的一个话题就是文件，先得补充一下文件的基础知识。比如在 Linux 系统中，一个核心理念就是“一切皆文件”。文件其实就是对于输入输出流的一种抽象，把一段持久化存储的数据，当作一个有名字、可顺序或随机访问的字节序列来管理。

在许多从文件外部识别的场景下，文件是由 路径 + 文件名 唯一确定的，比如 C:\Users\用户名\Documents\file.txt 代表的是 C 盘下的 Users\用户名\Documents 目录（文件夹）中的 file.txt 文件。路径和文件的关系类似于户口和姓名的关系（不考虑一家里几个人叫一个名字的情况）：在同一个户口下，不同的姓名唯一指定了一个人，但是在不同的户口本上，允许出现名字的重复。其中，路径有两种表达方式，绝对路径和相对路径，前者类似于指定 xx 省 xx 市 xx 路 xx 号，后者只说 xx 号，显然前者唯一确定了一个地点，而后者是基于访问者和被访问者在同一省、市、路的前提下使用的。文件名由两部分组成，形如 主文件名.扩展名，扩展名用于指定文件类型，主文件名则用于标记和区分不同文件。

常见的文件类型有很多，根据处理字节方式的不同，可以区分为文本文件和二进制文件。.txt, .md, .log, .py, .cpp 都是常见的文本文件，而编辑软件 Word 使用的 .docx 却是二进制文件，类似的还有 .xlsx, .ppt, .exe, .zip 等等。两者的区别在于，文本文件可以编码成可读的字符形式，或者直观理解为：在某种编码下，人是可以直接用文本编辑器修改它们的；而二进制文件则是以特定格式存储数据，通常不可直接阅读和修改（也不是不能改，主要是改的时候人看不懂，改完之后机器看不懂），需要用到对应的软件打开，例如 .docx 其实类似于一个压缩文件，需要 Word、 WPS 等软件来打开。

在大多数情况下，都可以在不修改文件内容的情况下，随意修改文件的主文件名和扩展名，但是修改后者可能会造成文件的损坏（尤其是二进制文件）。Windows 和 Mac 上，有时候会出现不显示文件扩展名从而无法修改的情况，这可以在查询教程后模仿着修改设置。

2 Windows 下的文件管理

在讨论 Windows 之前，非常推荐不担心笔记本失窃的同学，关掉自己电脑的 Bitlocker，操作流程可以参考这篇文章，但这个过程可能要花一点时间。另外如果你没有不良网站访问的习惯，也可以学习彻底关闭掉 Windows 安全中心，以减少不必要的麻烦。

Windows 的内存管理做的很烂，当你发现设备卡顿了，可能意味着需要重启释放一下内存；另外电池健康度掉的很快，注意电池的有效保护、及时充电和散热。

2.1 分盘

在 Windows 操作系统中，C盘和D盘是硬盘驱动器上默认的两个分区，这个命名纯粹出于习惯，没什么意义，现代的电脑上二者不过是同一片空间的不同分配。有的电脑甚至只有一个 C 盘，但如果希望在电脑里保存重要数据的话，建议还是分出一个 D 盘。但是习惯上和默认设置下，二者的主要功能却有许多的不同，具体来看：

C 盘：Windows 系统盘，存放操作系统和默认软件，电脑启动主要依赖它。
D 盘：数据盘，用来放个人文件、文档、视频和额外安装的软件。

一般 C 盘用于放置对系统比较重要的软件，访问速度更快，但是重装时会和系统一起消失；但大多数软件都不识好歹地默认自己是重要的软件，这需要我们手动纠正，纠正的关键步骤在于安装时选择将其存放的位置（现在有许多软件会把它藏在自定义选项里面），一般我会新建一个名为 D:\Applications 的文件夹，把 99% 不重要的软件安装在里面。对于微信、Edge 这种还会下载文件的软件，则需要再次手动设置一下默认的下载文件存放的位置。大部分的数据都可以存放在 D 盘。系统推荐的图片、视频、文档等文件夹通常在 C 盘下，建议自己在 D 盘中单独开一个文件夹；除此之外还有一个容易忽略的位置是桌面，桌面也属于 C 盘，不建议在桌面放置过多的文件。经过这些设置之后，大致可以有效延缓 C 盘爆红的情况发生。此外，一个良好的文件管理方式，也能有效帮助大家随时进行电脑瘦身。

还有一个细节问题是，文件路径中最好不要出现中文，因为许多软件对中文路径并没有良好的支持。在激活 Windows 时，经常有同学会将用户名设置为中文，这样就会导致 C 盘下的用户目录出现中文路径，进而导致一些常用的软件无法正确识别路径而报错，比如 Python 使用 pandas 读取 Excel 文件时就会报错。因此建议在激活 Windows 时，用户名使用英文或拼音数字组合。对于已经设置为中文的用户，可以趁电脑里东西不多，新建一个用户，或者重装系统重新设置，把数据迁移过去即可。另外不建议直接修改用户目录名，或是修改注册表，因为这样很容易修改失败，甚至导致某些未知错误造成系统崩溃，得不偿失。

2.2 卸载软件

Windows 相比手机，给用户提供了更高的自由度，但也减少了很多便利，一个常见的手机上很简单，但 Windows 上十分复杂的问题是卸载软件。桌面上的是快捷方式！桌面上的是快捷方式！桌面上的是快捷方式！重要的事情说三遍。删除一个软件的方式通常是执行软件自带的卸载程序，在 Windows 上有两种方式：

方式1：点击 Win 键，在弹出的搜索框中 → “卸载”，就会来到系统的卸载功能区
方式2：右击待删软件的快捷方式 → “打开文件所在位置” → 找类似 uninst.exe 名字的可执行文件，执行它
流氓软件：在上两者都无法完成使命时，可用 GeekUninstaller 或者 360 等，但是推荐慎用

2.3 Everything

在很多时候，即使进行了有效的文件管理，但是需要寻找某些文件时还是会捉襟见肘，如果使用系统自带的搜索工具会发现本就烦躁的心，更加急不可耐。这就要推荐文件搜索工具 Everything + EverythingToolbar, 高效、准确、批量寻找文件，还支持正则。

3 Mac 的文件管理

对于小白而言，Mac 要友好的多，更加清爽的界面，不需要分盘，应用程序码放整齐。

3.1 Mac 上的应用管理

Mac 对于应用程序的管理会更方便一些，大部分的应用程序安装后都会指引你放在 ~/Applications 这个目录下，并且可以在访达随时找到，卸载也只需要在这里将它丢进废纸篓。 Mac 与 ios 不同，除了可以在 AppStore 下载应用，还可以在网络上下载更多来源的软件并安装。对于未知来源的应用，Mac 有时会显示无法打开。但和 Windows 安全中心一样，只需要你打开设置-隐私和安全性，滑到下面点击“将应用报告为安全”，即可正常使用。

3.2 文件搜索

Mac 上有类似 Everything 一样的文件搜索工具，Easyfind，同样的轻量且高效，除了丑了点，非常友好。不过 Mac 本身自带的搜索个人感觉也比 Windows 优秀，同时还有各种智能搜索软件

其界面大概长这样：

可爱的小松许会快速找到你落下的 $100%$ 的文件

3.3 终端的使用

对于普通用户而言，Mac 的终端使用场景多于 Windows 不少。cmd+[space] 输入 terminal 即可唤醒终端，也可以设置快捷键。默认的 shell 应该是 zsh，支持 cd 路径 切换目录，ls 陈列文件，open 文件 打开特定文件等操作，还支持 code 目录 使用 VSCode 打开特定目录等程序特定操作。

在某些情况下，终端解除系统限制会比图形界面更加方便快捷，比如如果需要保持电脑显示屏常亮，可以直接终端输入 caffeinate -d 即可，关闭终端或者按 Ctrl + C 即可取消该命令。在 Homebrew 的加持下，还可以便捷下载各类程序包、Python 等工具。如果对开发感兴趣，还可以在顺手了解一下 zsh 配置，定制一个适合自己的终端。

终端支持非常丰富的操作，比如针对一些重复性的任务，就可以写成脚本来自动化完成。我经常需要把 Safari 下载的 map.json 文件移动到指定目录下，然后进入该目录执行一个 Python 脚本 rename.py 来重命名视频文件，就可以写成下面这样一个脚本，存放进 ~/.zshrc 文件中：

rename() {
  # 固定文件名
  local src="/Users/adl/Downloads/Safari Downloads/map.json"
  local dst="/Users/adl/Downloads/Downie 视频下载"
  local py="rename.py"    

  # 检查文件是否存在
  if [[ ! -f "$src" ]]; then
    echo "❌ 找不到文件：$src"
    return 1;
  fi

  # 1. 移动
  mv "$src" "$dst" || { echo "❌ 文件移动失败"; return 1; }
  echo "📦 map.json 已移动到 $dst"

  # 2. 进入工作目录
  cd "$dst" || { echo "❌ 无法进入目录 $dst"; return 1; }
  echo "📂 已进入 $dst"

  # 3. 执行 Python
  uv run python "$py" || { echo "❌ Python 脚本执行失败"; return 1; }
}

以后只需要在终端输入 rename 即可完成一系列操作，省时省力。

另外，顺带说一句，使用命令行中的工具，比如 pip、brew、npm 等等，安装软件包时，都会遇到下载异常或速度过慢的问题，这时我们通常会更换下载源为国内镜像，比如清华大学的 TUNA 镜像源等，具体如何操作可以面向 LLM 学习一下。

资源搜索基础知识

1 电子书搜索网站

大学牲对于教材的需求大致会经历“新书-二手书-电子书-不看书”的变化。电子书阶段通常是一片新天地：因为许多的小说、基础教材其实都可以在互联网上找到资源，以下是几类常见的网站（资源都可以免费获取，要钱的一般都是假的）

z-library：正在和 FBI 斗智斗勇中，所以站点经常变化；可以去知乎搜索相关关键词如 z-lib, zlibrary 等，查看最新的域名，不要直接百度，很容易导航到诈骗网站，目前 Zlib 最新地址还在保持网址更新；请注意在下载之前需要注册账号并登录，否则会显示超出限额
Anna’s Archive： https://zh.annas-archive.org 不懂这个为什么不被封，资源更全，但是下载速度慢、等待时间长。
其他如 Libgen、经管之家，以上都没有可以去淘宝、闲鱼问问，不过希望渺茫。

如果是下载小说等只关注文字的文本，可以找 EPUB、MOBI 这种文件格式的版本下载，然后使用专业的电子书阅读器，比如微信读书，可以节省不少的存储空间；对于图片需求较大的文本，比如理工科教材，建议下载 PDF 版本，因为数学公式、图片等信息可能会渲染错误，带来不必要的麻烦。在搜索需要的文本时，经常会遇到同名的其他课本影响搜寻的情况，比如搜索线性代数、高等数学时会出现许多其他院校的教材，这时可以空格加上作者、出版社等信息辅助搜索，比如搜索 高等数学李忠 或者 高等数学北京大学出版社，能更有效的找到小红书。

2 软件下载

贵校为在校同学提供了部分正版软件资源：software.pku.edu.cn。

当然，如果你是学生，可以找到一些学习版软件，比如：

微信公众号：如 新小白自习室。
种子平台：BT/PT 资源共享（推荐趁着还有高校邮箱和校园网环境，注册高校 PT 站，比如北邮人、北洋园，然后就可以在校园网环境下完成下载）。
Mac 软件：MacKed - 专注于Mac破解资源的分享与下载可以下载许多软件，另外 Adobe 软件下载可以在 GitHub - X1a0He/Adobe-Downloader: macOS Adobe apps download & installer 快速下载所需软件，并且使用激活工具 adobe activation tool 进行离线激活。

3 搜索引擎

当遇到一些问题毫无解决的头绪，想要用到搜索引擎提供参考的时候，我推荐的优先级是 Google > 搜索 - Microsoft 必应 > 微信搜一搜 > 百度一下，你就知道。当然，如果对实时新闻、机构宣传文章有需求，微信的优先级还可以高一点，毕竟公众号的文章被人家垄断了。

搜索时，许多搜索引擎支持加上一些高级指令来限制搜索的范围，一个简单的例子如 "三中全会" filetype:pdf site:gov.cn -十九届，其中：

"" 表示精确匹配
filetype:用于指定文件类型
site:gov.cn 代表从以下域名搜索
A -B 排除掉带有 B 关键词的内容

笔记电子化

1 笔记软件

建议尽早学习 Markdown 和 LaTeX 语法，尤其对理工科同学来说，掌握 Latex 公式的编写能大大提升笔记的质量和效率。相比而言，Latex 更适合专业文档的编写，其语法相对复杂，而 Markdown 更适合日常笔记的编写和管理，除了公式、链接外，基本和普通 txt 文本编写方式无异。 Markdown 有一个非官方但够用的教程，可以访问 Markdown 教程获取，只不过其含有微量广告，建议在广告拦截插件的帮助下使用。

以下是一些常见的 Markdown 语法笔记软件推荐：

Obsidian：插件丰富，本地存储，免费版功能就足够强大了。
Typora：所见即所得，只是一个简单的编辑器，无存储、管理功能，适合轻量化操作，90 元可以获得 3 台设备终身使用，
Notion：服务器存储，依赖网络，免费版够用，但是一旦存储的东西太多了就很容易卡顿。
Overleaf：免费的 Tex 在线编译器（如果经常出现断联的情况可以尝试其中文网址，https://cn.overleaf.com），但 overleaf 的免费计划功能有限，建议贵校学生使用 latex.pku.edu.cn 进行编辑。
VSCode：配合 VSCode 生态，可以和其它编程任务无缝衔接，推荐安装 Markdown All in One、Overleaf Workshop 等插件。

个人非常推荐 Obsidian， Obsidian 插件推荐 • ADreamLeft's site 供参考在必须使用 Latex 或者 Overleaf 的场景，比如多人协作编辑 Latex 文档，推荐 VScode 上的 Overleaf Workshop 插件（latex.pku.edu.cn也可以正常使用哦），在 VScode 上搭配 Github Copilot 获得更加丝滑的编辑体验。

2 LaTeX公式识别

看到某些渲染后的 LaTex 公式，如果不想自己手动编写公式源码，可以截图后借助以下工具识别：

免费的多模态大模型：比如豆包、KIMI、QWen，都能够快速准确地识别公式，注意尽量使用有多模态功能而非只是接入 ocr+文本的模型，比如 DeepSeek 在识别图片中的公式时效果并不好。
专门的 OCR 工具： Simpletex（限量免费）、Mathpix（付费）。

打通学习障碍

1 更好看的教学网

A 神的教学网美化插件 PKU-Art，让你的教学网更有果味，而且方便录播的下载。其界面大致长这样：

心动了就快去试试吧：

Github：PKU-Art。
在 Edge 上需要先下载 Greasyfork 扩展，记得在扩展的开发者选项开启下载文件权限。

2 文献阅读与管理：Zotero

推荐：Zotero + 翻译插件 + Sci-hub 插件。
Sci-hub：https://sci-hub.usualwant.com是一个非常强大的文献搜索网站，可以免费下载许多文献。
理工科同学可以在 arxiv 上找到许多最新的论文。

3 VS Code 下的配置

Python：下载好 Python 后，使用 uv 管理你的项目，比起 conda 更加快捷（Rust 神力能带来速度数量级的提升），而且管理更加透明、方便
C/C++：推荐使用谷雨同学的配置工具 GitHub - VSCodeConfigHelper/v4: VS Code C++ 配置器，一键完成配置
插件：~~微软大战代码~~MS VS Code 其实只是一个编辑器，其功能的强大主要依赖于插件生态，借助插件神力，你甚至可以在其中刷知乎、小红书，但抛去这些花哨的功能，以下是一些实用的插件推荐：
- Github Copilot：在 github 上申请学生开发者包，可以免费使用 Copilot
- Overleaf Workshop：这个刚刚推荐过了
- Ruff：Python 代码格式化工具
- LeetCode：在 VSCode 上刷力扣
- Remote - SSH：远程连接服务器，在 VSCode 上直接编辑服务器文件

4 Wolfram Alpha

在线高数工具，快速计算极限、导数、积分。
高阶需求可学习 Mathematica，如果对于画图等有需求，可以尝试 Geogebra

5 LLM 助手

ChatGPT、Gemini 等闭源模型普遍表现更好，但是其免费计划对于多模态有各种限制，而付费计划又过于昂贵。

如果你也是注重性价比的学生党，可以选择收费更廉价的 API 平台，搭配各种 AI 客户端使用。比如我现在正在使用的云雾 API 平台，搭配 Cherry Studio 使用，使用数学最好的 Gemini-3-pro 模型整理笔记。

实测如果仅用初级分组，即 OpenAI 使用 AZ 分组，Gemini 使用优质 gemini 分组（响应速度大概在 10s/次），且只是解答作业疑问，轻度、合理使用，每人每月仅需约 30 元，对于提升工作效率来说性价比非常高。详见通过第三方平台 API 使用大语言模型 • ADreamLeft's site

顺带一提，如果你和我一样，喜欢高倍速听录播，而又苦恼于麦克风糟糕的收音或是老师特色的口音，可以在教学网下载课堂录播后，使用 AI 来生成视频字幕辅助。根据多模态学习的基本知识，我们可以知道，视觉一定程度上可以反哺听觉，让你接收信息更快更准确。比如在通义听悟中导入视频，转写后导出为 srt 文件，就可以在播放器中加载字幕进行倍速播放了。通义听悟有 20h 的免费额度，学生认证后再赠送 500h，对大多数同学来说应付一两年的课程应该足够了。

其它推荐

Git Tortoise：Windows 下的图形化 Git 工具，避免记忆复杂命令。
解压缩软件：Windows 下用 Bandizip，Mac 下用 Keka，都是免费软件，支持大部分压缩格式。
Libvio：https://www.libvio.link
B站视频下载：可以试试 B 站视频下载，如果对于清晰度有追求，可以试试 BBDown，或者Downkyi 等等一系列产品，查看更多请参见如何评价如今的 Bilibili？
截图工具：Snipaste，免费版即可，高清晰度，快捷键简单，功能丰富，比起系统自带的更好用。
Chrome 插件
- B站网页插件：BewlyCat，让你的 B 站页面更好看；小电视空降助手（那些奇奇怪怪的空降弹幕原来是这个意思）
- Listen 1：音乐插件，可免费播放多平台歌曲。
- 沉浸式翻译：非常强大的在线翻译插件。
- AdGuard：实用的广告屏蔽插件，Safari 也有对应的版本。
- Global Speed：视频加速工具，最快可以达到 16 倍速，Safari 可以使用类似的 Accelerate，另外 Mac 上可以快速拖动进度条跳过某些视频。
Mac 下的推荐
- PasteNow：剪贴板，弥补了 Mac 的缺陷。
- iBar：可以自定义菜单栏是否隐藏图标，保持菜单栏整洁，68元买断制/18 元订阅制；不过貌似在系统设置的 "MENUBAR_SIDEBAR_TITLE" 里也可以设置类似的功能；另有开源平替 Ice。
- IINA：更自由的视频播放器，支持大部分视频格式，字幕调度、音频调节等强大功能完全开放。
- Rectangle：窗口管理工具，可以让你的 Mac 轻松分屏。
- Downie：一款视频下载软件，可以下载教学网录播链接对应视频。
安卓软件：
- 跳过广告类：李跳跳、GKD，一系列通过无障碍模式跳过广告的软件。
- PiliPlus：手机端更简洁的 B 站
- ModYolo：安卓应用市场，提供大量破解软件和游戏，尤其是离线但付费的功能，比如 CamScanner 的去水印等。
- 微信读书：免费电子书阅读器，支持导入本地电子书，支持多种格式，在阅读体验上优于大部分电子书阅读器。

有时间也可以多在 Github 或 App Store 上逛逛，随时可能发现好用的工具和资源。

Obsidian 插件推荐

Mon, 02 Mar 2026 21:00:00 GMT

Obsidian 是一款强大的免费笔记软件，支持丰富的插件生态系统，可以极大地增强其便捷程度和美观性。小红书上已经有不少插件推荐和使用教程了，这里我按照插件的功能分类和个人的推荐程度整理了一些常用的插件，供大家参考；值得注意的是，过多的插件会降低 Obsidian 的启动速度，因此建议按照自己的需求选择安装。

以下提到的插件均可以在 Obsidian 的插件市场或 github 中找到。

编辑增强类

Quick LateX：通过快捷指令快速插入常用的 LaTex 数学符号，支持自主添加快捷指令，比如输入 al + [space] 可以插入 \alpha 等，同时也支持自定义。
Latex Suite：目前的编辑新宠，是基于 snippets 开发的实时转换工具，比如 mk 命令可以快速开启 $$ 行内数学公式环境，打字快到飞起。配置同样支持自定义，这是我的配置文件
Number Headings：自动为 # 标题添加编号，不过在使用中文输入法键入标题时经常中途卡顿，可以在每次输入前等待一会儿或快速添加标题。
Heading Shifter：支持快速批量调整标题层级，选中文本后，Tab 键上移标题，Shift + Tab 键下移标题。
Github Copilot：集成 GitHub Copilot，提供智能代码补全和建议，不过目前只支持简单的补全功能而且模型响应速度和补全质量不够理想，使用体验不如 VSCode 丝滑。（由于可能泄露个人隐私信息，没有放在 plugins.zip 中）
Typewriter Scroll：让编辑光标保持居中，专注写作，中文也叫禅模式。
Easy Typing：是一个增强编辑工具，既有括号匹配等基本功能，也有专门针对中英输入法的优化，比如中英文之间自动添加空格，标点自动转换等。
Editing Toolbar：在编辑区上方添加工具栏，提供常用的编辑功能按钮，如粗体、斜体、引用等，在熟悉 Obsidian 的快捷键后用处不大。
Markdown Table Editor：支持直接插入指定行列数的表格，并在表格上直接编辑。
Advanced Tables：自动对齐和智能编辑 Markdown 表格。

文件与图像管理类

Paste image rename：粘贴图片时自动弹出窗口，允许用户高效地重命名图片文件，避免截图或粘贴时产生的随机文件名。
File Cleaner：清理未被引用的附件和图片。
Mousewheel Image zoom：支持鼠标滚轮缩放图片。
Image Uploader：配合 Imagekit 将图片上传到图床，并自动插入图片链接，目前支持多种图床服务。

定制功能类

BRAT：测试和自动更新社区 Beta 插件，用于添加未登录社区插件市场的插件，可以通过添加测试版本的 github 地址纳入管理。
Global Search and Replace：多文件批量搜索和替换文本，但是目前感觉比较鸡肋，因为暂时没有单文件内的批量替换功能。
QuickAdd：通过模板和脚本快速创建笔记。
Commander：自定义命令和快捷操作，可以通过命令面板快速执行。
MySnippets：保存并插入自定义文本或代码片段。

外观与界面美化类

Phtcat：目前见过 Obsidian 上最好看的主题
Icon Shortcodes：用简码插入图标美化内容。
Style Settings：调整主题样式和界面细节。
Banners：为笔记顶部添加横幅图片。
Homepage：设置默认打开的首页笔记，可以与 banner 插件配合使用，创建美观的首页。
Custom Frames：在笔记中嵌入网页应用或服务，也就是在 Obsidian 中使用浏览器（较鸡肋）。

其它类

Auto Link Title：插入链接时自动获取网页标题。
Rich Links：将普通链接转换为美观的富文本卡片。
Calendar：提供日历视图，用于日记和时间管理。
Kanban：创建可视化任务看板。
Better Export PDF：将 md 文件导出为 PDF 时可以更好的按需调整。

绿皮书题目整理：随机过程与随机微积分

Sat, 21 Feb 2026 20:00:00 GMT

马尔可夫链

常返态 (recurrent)：从该点出发可以到达每一个点，且从每一个点出发可以回到该点
瞬态（transient）：不是常返态的点
吸收马尔可夫链（absorbing markov chain）：如果链中存在一个点只能回到自身

[!note] 连续出现的平均次数独立重复实验，每次实验某个结果出现的概率是 $p$，那么连续出现 $k$ 次该结果所需的次数的期望是 $\mathbb{E}_{k}=\frac{1}{(1-p)}[{(\frac{1}{p})^{k}-1}]$

1 赌徒输光问题

与基本的赌徒输光问题一样
可以用状态转移矩阵来求解，即求解 $\pi= A \pi, s.t. \pi_{0}=0, \pi_{N}=1$，N 为钱的总数

2 骰子问题

两个人扔两个骰子，A 认为和为 12 先出现，B 认为两次连续的和为 7 先出现，问 A 赢的概率是多少

3 硬币三连

扔公平硬币，扔出连续的三次正面（HHH）的次数期望是多少，THH 呢？
考虑四种情况，S，H，HH，HHH 考虑他们的转移概率，然后根据转移概率写出他们到达 HHH 的转移次数
第二个问题也是一样，考虑四种情况，S，T，TH，THH
扔硬币直到出现 HHH 或者 THH，问 HHH 比 THH 先出现的概率是多少
当然也可以仿照上面的操作，考虑到达 HHH 的概率，有以下几种情况：THH, TH, T, S(开始), H, HH, HHH，其中 THH 到达的概率是 0，HHH 到达的概率是 1，然后考虑他们的状态转移，就可以解出来
但是实际上通过观察可以发现，HHH 必须要保证它的前面没有 T 出现，否则就会先到达 THH，所以概率其实就是三个 H 一起出现，是 $\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
A 和 B 分别挑一种三连的硬币策略，A 挑完之后告诉 B，B 不能重复 A。然后比谁的情况先出现。问，理性人应该选 A 还是 B？
后手出招更优，只需要让自己的后两个硬币等于对方的前两个硬币即可，这样的话对方要赢，必须保证自己的第一个硬币不出现

4 彩球

一个箱子里有 n 个不同颜色的球，每次取出两颗球，涂成一样的颜色放回去，问全涂成一样的颜色需要的次数期望是多少？
首先需要意识到颜色的对称性保证了 $\mathbb{E}[N_{n}]=\mathbb{E}[N_{n}|F_{i}]$ 其中 $F_{i}$ 表示最后剩下的颜色是 $i$，不妨就考虑 $\mathbb{E}[N_{n}|F_{1}]$. 然后我们就去计算 markov 链：$\mathbb{E}[N_{k}|F_{1}]=1+P_{k,k-1} \mathbb{E}[N_{k-1}|F_{1}]+P_{k,k} \mathbb{E}[N_{k}|F_{1}]+P_{k,k+1} \mathbb{E}[N_{k+1}|F_{1}]$，其中 $P_{k,l}$ 表示从 $k$ 个颜色 $i$ 到 $l$ 个颜色 $i$ 的概率。

鞅和随机游走

随机游走：${ X_{i} }{i=1}^{\infty}$ 是 iid，则 $S{n} = \sum_{i=1}^{n}X_{i}$ 称之为随机游走，当 $X_{i}$ 以 $p,1-p$ 概率取 $\pm1$ 时，称为简单随机游走，如果 $p=\frac{1}{2}$，称为对称随机游走
鞅：${ X_{i} }{i=1}^{\infty}$ 是一个鞅，如果 $\mathbb{E}[|X{i}|]<\infty$，且 $\mathbb{E}[X_{i+1}|X_{1},\cdots,X_{i}]=X_{i}$，如果 $\mathbb{E}[X_{i+1}|X_{1},\cdots, X_{i}] \ge X_{i}$，则称之为下鞅，如果 $\mathbb{E}[X_{i+1}|X_{1},\cdots, X_{i}] \le X_{i}$，则称之为上鞅
- 随机游走 $S_{n}$ 是一个鞅，且 $S_{n}^{2}-n$ 也是一个鞅
停时：一个随机变量 $T$ 是一个停时，如果 ${ T=n }$ 只依赖于 $X_{1},\cdots,X_{n}$，停时的意思是说，是否停止只能根据已经发生的事件来决定，而不能根据未来的事件来决定
- Wald 定理：如果 $T$ 是一个停时，且 $\mathbb{E}[T]<\infty$，则 $\mathbb{E}[S_{T}]=\mathbb{E}[X_{1}] \mathbb{E}[T]$
- 停时鞅也是一个鞅

1 醉酒人

一条 100 m 的桥，醉酒人站在 $17$ m 的位置，每次以 $0.5$ 的概率向左走 $1$ m，以 $0.5$ 的概率向右走 $1$ m，问醉酒人先到达桥末端的概率是多少？结束时间期望是多少？
考虑停时 $N=\inf{ n|S_{n}=-17 \text{或}83 }$ ，根据停时鞅的性质，$\mathbb{E}[S_{N}]=\mathbb{E}[S_{0}]=0$，又因为 $S_{N}$ 只能取 $-17$ 或者 $83$，所以 $\mathbb{P}(S_{N}=-17) \cdot (-17) + \mathbb{P}(S_{N}=83) \cdot 83 = 0$，所以 $\mathbb{P}(S_{N}=-17) = \frac{83}{100}$，$\mathbb{P}(S_{N}=83) = \frac{17}{100}$；又因为 $S_{N}^{2}-N$ 是一个鞅，所以 $\mathbb{E}[S_{N}^{2}-N]=\mathbb{E}[S_{0}^{2}]=0$，所以 $\mathbb{E}[N] = \mathbb{E}[S_{N}^{2}] = \frac{83}{100} \cdot (-17)^{2} + \frac{17}{100} \cdot 83^{2} = 1441$
我们有结论：对于对称随机游走 $S_{n}$，停时 $N$ 为 $\inf{ n:S_{n} =-\alpha,\beta}$ ，则 $\mathbb{P}(S_{N}=-\alpha) = \frac{\beta}{\alpha+\beta}$，$\mathbb{P}(S_{N}=\beta) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$，$\mathbb{E}[N] = \alpha \cdot \beta$，对于非对称随机游走 $S_{n}$，停时 $N$ 为 $\inf{ n:S_{n} =-\alpha,\beta}$，则 $\mathbb{P}(S_{N}=-\alpha) = \frac{1-(\frac{p}{1-p})^{\beta}}{(\frac{p}{1-p})^{\alpha}-(\frac{p}{1-p})^{\beta}}$，$\mathbb{P}(S_{N}=\beta) = \frac{(\frac{p}{1-p})^{\alpha}-1}{(\frac{p}{1-p})^{\alpha}-(\frac{p}{1-p})^{\beta}}$，$\mathbb{E}[N] = \frac{\alpha}{1-2p}-\frac{\alpha+\beta}{1-2p}\cdot \frac{1-(\frac{p}{1-p})^{\alpha}}{1-(\frac{p}{1-p})^{\alpha+\beta}}$

2 掷骰游戏

一直掷骰子，知道投出 $1,2,3$ ，问期望总点数是多少？
直接运用 Wald 定理，停时 $N$ 是 $\inf{ n|X_{n} \in {1,2,3}}$，所以 $\mathbb{E}[N] = \frac{1}{\mathbb{P}(X_{n} \in {1,2,3})} = 2$，又因为 $\mathbb{E}X_{n}=\dfrac{7}{2}$ ，所以 $\mathbb{E}[\sum_{i=1}^{N}X_{i}] = \mathbb{E}[N] \cdot \mathbb{E}[X_{n}] = 7$

3 排队

$2n$ 个人在排队买票，$n$ 个人只有 $5$ 块，$n$ 个人有 $10$ 块，售票员没有零钱，如果每个人都买 $5$ 元的一张票，问无需调整顺序即可完成售票的概率是多少？
运用反射定理即可。首先，一共有 $\binom{2n}{n} = \dfrac{2n!}{n!n!}$ 条路径，我们需要考虑的是 $\forall0<i<2n, S_{i}\ge 0$ 的路径的数量。根据反射定理，$\exists 0<i<2n,S_{i}=-1$ 的路径数量等于终点落在 $(2n,-2)$ 的路径数量，即 $\binom{2n}{n-1} = \dfrac{2n!}{(n-1)!\cdot (n+1)!}$，所以 $\forall0<i<2n, S_{i}\ge 0$ 的路径数量等于 $\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1} = \dfrac{2n!}{n!n!}-\dfrac{2n!}{(n-1)!\cdot (n+1)!} = \dfrac{1}{n+1}\cdot \dfrac{2n!}{n!n!}$，所以无需调整顺序即可完成售票的概率是 $\dfrac{\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}}{\binom{2n}{n}} = \dfrac{1}{n+1}$

4 硬币序列

公平硬币，问要求出连续出现 $k$ 次正面（HHH）的次数期望是多少？
考虑连续出现 $k$ 次正面的期望次数为 $\mathbb{E}f(n)$ ，只需根据转移概率写出 $\mathbb{E}f(n)$ 的递推式即可，$\mathbb{E}f(n) = \dfrac{1}{2}[\mathbb{E}f(n-1)+1] + \dfrac{1}{2}\mathbb{E}f(n-1)$, 且 $\mathbb{E}f(1)=2$, 所以 $\mathbb{E}f(n) = 2^{n+1}-2$，所以连续出现 $k$ 次正面的期望次数为 $\mathbb{E}f(k) = 2^{k+1}-2$。
通用鞅方法：这个解释起来比较麻烦，首先明确，每投一次会有一个赌徒加入战场。对于这个赌徒而言，他花 $1$ 押注接下来的 $k$ 次投掷都是正面，对于每一次结果揭晓，如果猜的不对则清零，否则奖金翻倍，直到猜对 $k$ 次为止。对于这个赌徒而言，他的期望收益是 $0$，所以这是一个公平博弈。最后大家获得的总奖金应该等于总的参与人数，也就等于总的投掷次数。对于一个长度为 $k$ 的序列，只有最后 $k$ 个人有拿到奖金的权利。我们可以得到 $\mathbb{E}N= 2^k+2^{k-1}+\cdots+2^1 = 2^{k+1}-2$。这个结论可以继续推广到任意序列和概率。

动态规划

动态系统基础概念：假设问题有 $N+1$ 个阶段，分别记为 $0,1,\cdots,N-1,N$。在阶段 $k, 0\le k\le N-1$，状态转移可以表示为 $x_{k+1}=f(x_{k},u_{k},w_{k})$ ，其中 $x_{k}$ 是阶段 $k$ 的状态，$u_{k}$ 是阶段 $k$ 的决策，$w_{k}$ 是阶段 $k$ 的随机扰动。对于每一个阶段 $k, 0\le k\le N-1$，有一个损失函数 $g_{k}(x_{k},u_{k},w_{k})$，对于阶段 $N$，有一个终止损失函数 $g_{N}(x_{N})$。动态规划的目标是找到一个决策序列 $\pi^{\star}={ u_{0}^{\star}, u_{1}^{\star}, \cdots, u_{N-1}^{\star} }$ 来最小化总的期望损失 $J_{\pi^{\star}}(x_{0})=\min_{\pi}\mathbb{E}[\sum_{k=0}^{N-1}g_{k}(x_{k},u_{k},w_{k})+g_{N}(x_{N})]$
DP 算法：对于有限决策问题，DP 算法的核心思想是决策一定要对于尾部子问题最优，即最小化 $J_{k}(x_{k})=\min_{u_{k}}\mathbb{E}[g_{k}(x_{k},u_{k},w_{k})+J_{k+1}(f(x_{k},u_{k},w_{k}))]$，其中 $J_{N}(x_{N})=g_{N}(x_{N})$。最后得到的 $J_{0}(x_{0})$ 就是最优的期望损失，$\pi^{\star}$ 就是最优的决策序列。

1 掷骰问题

掷一个骰子至多三次，每次投完可以选择拿走对应点数的奖金或者继续投掷，问期望奖金是多少？
最后一次投掷的期望收益是 $3.5$; 因此倒数第二次只有在 $4,5,6$ 才有可能停下，所以倒数第二次决策是期望收益是 $\dfrac{1}{6}(4+5+6)+\dfrac{1}{2} \cdot\dfrac{7}{2}=\dfrac{17}{4}$; 因此第一次只有在 $5,6$ 才有可能停下，所以第一次决策的期望收益是 $\dfrac{1}{6}(5+6)+\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{17}{4} = \dfrac{14}{3}$。

2 世界大赛系列赛

世界大赛系列赛，A 队和 B 队进行比赛，先赢得 4 场比赛的队伍获胜，每场比赛五五开。假如你有 100 块，你只能对每场下注，想要达到的效果是，如果 A 队总冠军，则再赚 100，否则全部输光。如果每场比赛都是公平博弈，问应该采取什么策略。
用 $(i,j)$ 表示 A 队已经赢了 $i$ 场，B 队已经赢了 $j$ 场的状态，那么对于状态 $(i,j)$，如果 $i=4$，则期望收益是 $100$；如果 $j=4$，则期望收益是 $-100$。期望收益用 $f(i,j)$ 表示，即 $f(4,j)=100, j=0,1,2,3$ 且 $f(i, 4)=-100, i=0,1,2,3$。考虑完终止条件后，我们考虑中间情况，对于每一局 $(i,j)$，假设下注 $y$ ，无非两种情况：局势变为 $(i,j+1)$ 或 $(i+1,j)$ ，期望收益分别变成 $f(i,j)-y$ 或 $f(i,j)+y$。由此我们得到 $$ \begin{align} f(i+1,j) &= f(i,j)+y \ f(i,j+1) &= f(i,j)-y \end{align} $$
因此可以解出来 $$ \begin{align} f(i,j) &= \dfrac{f(i+1,j)+f(i,j+1)}{2} \ y &= \dfrac{f(i+1,j)-f(i,j+1)}{2} \end{align} $$

3 动态掷骰问题

一个骰子在没投到 6 之前可以一直投掷，每次投掷的点数都会累加到总分上，每次你可以决定是否继续投掷，问期望总分是多少？
每次决策只看期望收益和损失，当已经拥有 $n$ 元时，期望收益是 $\dfrac{1}{6}(n+1) + \dfrac{1}{6}(n+2) + \dfrac{1}{6}(n+3) + \dfrac{1}{6}(n+4) + \dfrac{1}{6}(n+5) =\dfrac{5}{6}n+\dfrac{5}{2}$ ，期望损失是 $n$，所以只要 $n<15$ 就继续投掷，$n\ge 15$ 就停下，所以不再投掷的情况包括 $15,16,17,18,19$，它们的期望收益就是它们本身，对于前面的数 $$ \mathbb{E}(f(n)|n<15)= \dfrac{1}{6} \sum_{i=1}^{5}\mathbb{E}(f(n+i)) $$
由此递归，可以解出来 $\mathbb{E}f(0)=6.15$。

4 动态卡牌问题

一副牌 52 张，26 张红的 26 张黑的，发牌员每次抽一张，如果是红的，你就赢 1 块，如果是黑的，你就输 1 块。你随时可以让发牌员停下来，问最优策略是什么？
用 $(b,r)$ 来表示当前剩下的黑牌数量和红牌数量，那么当 $b=0$ 时，期望收益是 $0$，当 $r=0$ 时，期望收益是 $b$。对于其他情况，我们知道 $$ \mathbb{E}[f(b,r)]= \max{ b-r,\dfrac{b}{b+r}\mathbb{E}f(b-1,r)+\dfrac{r}{b+r}\mathbb{E}f(b,r-1) } $$

布朗运动和随机微积分

布朗运动：$W_{t}$ 是一个布朗运动，如果满足以下条件

$W_{0}=0$，且 $W_{t}$ 是连续的
$W_{t}$ 有独立增量，即对于 $0\le t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}$，$W_{t_{2}}-W_{t_{1}}, W_{t_{3}}-W_{t_{2}}, \cdots, W_{t_{n}}-W_{t_{n-1}}$ 互相独立
$W_{t}$ 的增量服从正态分布，即对于 $s<t$，$W_{t}-W_{s} \sim N(0,t-s)$ 布朗运动的性质
路径连续
$\mathbb{E}W(t)=0, \mathbb{E}W^{2}(t)=t$
马尔可夫性质
鞅性质：$W_{t}$ 是一个鞅，即 $\mathbb{E}[W_{t}|\mathcal{F}{s}]=W{s}, s<t$，且 $Cov(W(s),W(t))=s, \forall_{0}<s<t$
还有两个和布朗运动有关的重要的鞅：$Y(t)= W^{2}(t)-t$ 和 $Z(t) = \exp \left{ \lambda W(t) -\frac{ 1}{2}\lambda^{2}t \right}$ （指数鞅）首达时（FPT）：对于布朗运动 $W_{t}$，定义首达时 $\tau_{a} = \inf{ t>0: W_{t}=a }$
FPT 的期望是很好求的，可以通过 $B_{t}^{2}-t$ 这个鞅来求解，$\mathbb{E}[\tau_{a}] = a^{2}$
FPT 的分布需要用到反射定理，$\mathbb{P}(\tau_{x}\le t) = \mathbb{P}(\sup_{0\le s\le t}W_{s}\ge x) = 2\mathbb{P}(W_{t}\ge x)$ 于是我们就可以得到 $\tau_{x}$ 的分布函数为 $F_{\tau_{x}}(t) = 2\mathbb{P}(W_{t}\ge x) = 2\int_{x}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{y^{2}}{2t}}dy$，所以 $\tau_{x}$ 的概率密度函数为 $f_{\tau_{x}}(t) = \dfrac{x}{\sqrt{2\pi t^{3}}}e^{-\frac{x^{2}}{2t}}$，所以 $\tau_{x}$ 服从 Levy 分布。
有两侧边界的 FPT （分别为 $-\alpha,\beta$）撞到两侧的概率可以用停时鞅的性质求解：对于布朗运动 $W_{t}$，停时 $N$ 是 $\inf{ t: W_{t}=-\alpha \text{或} \beta }$，则由 $-P_{-\alpha}\alpha+P_{\beta}\beta=0$，可以知道 $\mathbb{P}(W_{N}=-\alpha) = \dfrac{\beta}{\alpha+\beta},\mathbb{P}(W_{N}=\beta) = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$；当然，我们也可以再次证明 $\mathbb{E}N = \alpha \cdot \beta$

Feynman-Kac 方程：对于伊藤过程 $X_{t}$ ，满足 $\mathrm{d}X(t) = \beta(t,X)\mathrm{d}t + \gamma(t,X)\mathrm{d}W(t)$，定义 $V(t,x) = \mathbb{E}[f(X_{T})|X_{t}=x]$，则 $V(t,x)$ 满足以下偏微分方程 $$ \frac{\partial V}{\partial t} + \beta(t,x)\frac{\partial V}{\partial x} + \frac{1}{2}\gamma^{2}(t,x)\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}} = 0 , $$ 其中 $V(T,x) = f(x)$。

对于带 drift 项 $m$ 的布朗运动，这个过程不再是鞅，我们考虑 $P(t,x)$ 表示 $W_{t}+mt$ 在 $t$ 时刻，在达到 $-5$ 前达到 $x$ 的概率。根据马尔可夫性质我们知道 $P(t,x)$ 与 $t$ 独立。根据 $Feynman-Kac$ 方程，我们可以给出 $mP_{x}(x)+\frac{ 1}{2}P_{xx}(x)=0, -5<x<3$ 。又有 $P(-5)=0,P(3)=1$。于是解出这个常微分方程的结果是 $P(x)= c_{1}+c_{2}e^{-2mx}$ ，其中 $c_{1} = \dfrac{1}{1-e^{-16m}}, c_{2} = -\dfrac{1}{e^{10m}-e^{-6m}}$，所以 $P(0) = \dfrac{1-e^{-10m}}{1-e^{-16m}}$。
- 另一种方法是考虑指数鞅 $Z(t) = \exp \left{ \lambda (X-mt) -\frac{ 1}{2}\lambda^{2}t \right}$，只需取 $\lambda=-2m$ 则可以得到 $\mathbb{E}[\exp(-2mX)] = 1$, 我们就可以很快算出 $P(0) = \dfrac{1-e^{-10m}}{1-e^{-16m}}$。

伊藤引理：对于伊藤过程 $X_{t}$，满足 $\mathrm{d}X(t) = \beta(t,X)\mathrm{d}t + \gamma(t,X)\mathrm{d}W(t)$，以及一个二阶可微函数 $f(x,t)$，则 $f(X_{t},t)$ 也是一个伊藤过程，满足 $$ \mathrm{d}f(X_{t}) = \left[ \frac{ \partial f }{ \partial t } +\beta(t,X)\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\gamma^{2}(t,X)\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} \right]\mathrm{d}t + \gamma(t,X)\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}W(t) $$ 其中，漂移项为 $\frac{ \partial f }{ \partial t } +\beta(t,X)\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\gamma^{2}(t,X)\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}$，扩散项为 $\gamma(t,X)\frac{\partial f}{\partial x}$。

根据伊藤引理，我们可以判断更复杂的伊藤过程的性质，比如 $Z_{t}=\sqrt{ t }B_{t}$，我们可以知道 $Z_{t}\sim N(0,t^{2})$ 即 $Z_{t}$ 的期望是 $0$，方差是 $t^{2}$；但是由伊藤引理，我们可以得到更详细的信息，$Z_{t}$ 的漂移项是 $\dfrac{1}{2\sqrt{t}}B_{t}$，扩散项是 $\sqrt{t}$，所以 $Z_{t}$ 不是一个鞅。

2025 年终总结

Thu, 15 Jan 2026 02:00:00 GMT

期末结束滚回家了给自己的 2025 补上一个总结。翻看朋友圈发现年终总结也是 2023 开始的习惯，或许是因为前一年是有关忘却的一年🤔说是年终总结，其实并不能如数家珍，像美团细数我吃过的外卖一样罗列一个又一个我不曾察觉的数字。不过是站在年末，回首过去这一年，打捞些如“刀刮鱼鳞”般落在水中的记忆，让过去的不只是过去。

人长大后，对时间好像真的会不敏感，上半年似乎真的离得远了些，也总是不那么想去回忆：那段时间，充满了压力和自我怀疑；接踵而至的失败，前路一片晦暗。唯一的幸运可能是加入了魔协，每周学习魔术的两个小时，我几乎不会拿起手机，不会焦虑绩点、不会忧心实习、不会着急保研，或许真的是魔法的魅力，给我留下了那么一片桃源。或许是想要图个彩头，或许是想看看大家的毕业去向缓解焦虑，虽然马上就保研笔面试，还是在期末考完后，参加了毕业典礼的工作；2025 一年以来，可能是抵抗力确实差了，也可能是压力太大了，感冒了不少次🤧，保研前毕业典礼那段时间就是其中一次。那以后，一边摆烂、一边焦虑的暑假其实也谈不上放松，不过主要目的还是多陪陪家人。

所幸一切在爽鸽完复旦管院之后尘埃落定。刚刚过去的大四上这个学期，才是曾经想象中北京大学的模样：选起课来就像大一小登，很任性的选自己想上的课，而丝毫不担心给分的事情，还一选就是 28 学分；等到学期一开始，一头扎进社团，是熬着夜也要练习魔法，是花满满当当两个星期筹备中秋晚会；随后第一次在国庆的时候回家，第一次体验裸考，还第一次忘记了报名六级，如果允许我往后算，第一次被东北话包围，第一次踏上未名湖冰场……我并没有给自己列下毕业清单，但是如果有的话，应该已经画上了不少勾。这个学期我以各种方式旁听了不少课（张健老师 yyds！！！djh 老师和 ybk 老师又是调皮的最后一年），读了不少书（但其实也不多），虽然几乎一节上午的课都没去上过，但是每天都很充实，甚至觉得还不够——特别希望自己能回到大一，能多上几年真北大，所以也特别羡慕同级降转的同学，多了足足 365 天的本科生活。

每天都在补数学作业和去补数学作业的路上，也拿这个当借口安慰自己不去找实习，但其实更真实的想法可能是担心：担心自己就算日夜奔波忙碌，最后换来的仍然只是平庸，如同自己过去为了保研焦头烂额的三年一样；而现在有些不做完就再也没机会的事情：难得能有如此轻松自由的讨论氛围，和各个领域的大师们如此接近，多上上不水的人文社科课；趁脑子还是新的、还能学的进去数学，赶快多学点新东西，多尝试点新的工具；趁自己还知道什么是青春，什么是浪漫，多陪陪女朋友（虽然这一点做的并不是那么好，但还好我有一个善解人意、聪明又可爱的对象）；不过有一件事我觉得自己做的一定算不错了——就是用自己学到的数学知识，帮助小朋友们应付邪恶的高数小妖怪和线代大魔王，经过一两年的捶打和小朋友们的反馈，我感觉自己已经找到了节奏，并且非常希望能有更多机会扮演小胡老师的角色😁，大不了毕业了干教培去！

除此之外，我的主页在 www.adreamleft.site （全世界都在用 astro-pure）。特别感谢致用哥 aka A 神的帮助[ThumbsUp]，给我提供了部署方面的指导，还帮我打通了学习上的不少障碍，让我有机会走进不少新天地. 虽然我没那么有创意、有产出，但是非常愿意分享，过去一学期靠着课程笔记也算让它不那么干瘪了，欢迎大家关注嘻嘻。

这个期末 10 门课出了 7 门，目前已经喜提世上最低绩点 3.2，估计又是有惊无险的过去了，新的一年，最近的愿望是办好社团二十周年的活动，稍远一点的是要拿下毕业证和双学位[GoForIt]，如果可以的话希望自己的毕业典礼不要留下遗憾，虽然其实大概也不会太遗憾。当然，不需要特别提的是，希望和身边的朋友们继续好好好好，也希望能认识更多有趣的灵魂。

通过第三方平台 API 使用大语言模型

Sat, 10 Jan 2026 20:00:00 GMT

import {Aside, Steps} from 'astro-pure/user'

已经跑路涵涵 codex 中转站了，可以点击我的分享链接

自 2022 年入学以来，我见证了大语言模型（LLM）的爆发式增长。从 ChatGPT 刚发布时的惊艳，到 DeepSeek 时刻让高性能 AI 触手可及。直到今天，AI 助手已经可以把我取代了，但是由于 OpenAi、Gemini、Grok 等模型厂商力大砖飞的研发模式，20 刀每月的订阅费用还是让学生党的我望而却步。哪怕是和人合租，也多少有点囊中羞涩。

经过一番探索，我发现通过第三方 API 平台按量付费 是目前拥有不错性价比的解决方案。

什么是第三方中转平台

所谓第三方平台（通常称为“中转台”或“API 聚合商”），是指那些通过企业级账号接入各大模型厂商，再将接口二次封装提供给用户的服务商。

它们的核心优势在于：

聚合模型：一个账号即可调用 GPT、Claude、Gemini、DeepSeek 等几乎所有主流模型，无需分别注册。
按量计费：用多少 Token 扣多少钱，对于非全天候重度用户，轻量合理使用，每月成本通常远低于 20 刀。
网络与支付：解决了原版服务对网络环境和国外信用卡的严格限制，通常支持支付宝/微信充值，直连访问。

目前市面上较为知名的第三方平台包括 yunwu、OpenRouter 等。其中，后者的价格相比大模型厂商没有任何优势，但是模型服务更稳定，延迟更低；前者则在价格上更有竞争力，且其服务在大多数时候处于够用的水平，不过偶尔会遇到访问高峰或者挂羊头卖狗肉的情况。

下面以我正在使用的 yunwu 为例，简单介绍一下使用步骤：

在访问 yunwu.ai 后，可以看到其首页和 最后三天 1¥ = 2$ 的公告信息~~但实则这条信息已经挂了几百天了~~。点击右上角的“注册/登录”按钮，创建一个账号并登录。

之后系统似乎会自动跳转到 控制台 界面，这里是主要的操作区域，包括充值、查看余额、生成 API Key 等功能。

在继续操作之前，我们了解一下第三方平台使用过程中的几个关键概念：

API/令牌/token：指是调用不同接口的凭证，在创建后会自动生成一串以 sk- 开头的字符串，称之为key/密钥，类似于 sk-xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx。
token：token 还有另一层含义，指的是模型处理文本的基本单位，可以理解为“字节”或“词片段”，不同模型对 token 的定义略有差异。通常来说，1 个英文单词大约等于 1.3 个 token，1 个汉字大约等于 1 个 token。也是第三方平台计费的单位，通常见到的模型价格如 $0.001/1M tokens 就是指每处理 100 万个 token 收费 0.001 美元。
Base URL/API Host：指接口地址，客户端默认的通常是大模型服务商原来的 url，但如果使用的是第三方平台，则要做出修改： yunwu 的 url 是 https://yunwu.ai/，不同的模型厂商也会有不同的地址要求，比如有的会要求加上 v1 成为 https://yunwu.ai/v1。

在接口文档中，对于令牌使用已经有了详细说明，为了方便起见，我这里给出简要步骤：在控制台的“API 令牌管理”页面，点击“创建新 Key”按钮，输入名称方便自己区分，建议根据用途确定，如所用客户端、主要使用的模型等。分组用于区分调用来源，一开始试验性使用可以选择 自动选择/auto；经我个人后期使用发现，OpenAI 模型使用 纯AZ 分组，Google 模型使用 优质gemini 分组，效果已经足够好，倍率也不高。（如果在发现调用失败可以临时将分组切换为更贵的分组，如 gemini 切换为 “官转 Gemini“分组）其他模型请见官网接口文档。其他设置保持默认即可，其中额度代表的是你允许该令牌使用的最大金额，建议设置一个合理的上限以防止误操作导致过度消费。点击确认后即可生成 Key。

生成令牌之后，可以在“我的令牌”页面看到刚创建的 Key，在密钥旁边有一个复制按钮，点击即可复制到剪贴板，后续在客户端配置时需要用到。但现在最重要的事情是—— 充值！

yunwu 的充值几乎没有优惠，直接选择金额，使用支付宝或微信支付即可，记得最好保持小量多次的充值习惯，在最开始阶段建议先充值 $10-20$ 元人民币，记得 yunwu 刀的汇率是 1¥ = 2$，充值成功后即可在余额中看到对应的美元金额。

接下来你的令牌就是可用的状态，下一步要做的事情就是选择一个心仪的客户端。

选择大模型客户端

如果把大模型比作一辆车，那么 API Key 就是启动发动机的钥匙，而客户端则是躯壳。一个好的客户端能让你更高效地与模型交互，提升使用体验。目前市面上有许多优秀的第三方客户端，如 lobehub、Cherry Studio 等，而且这些客户端多数同时支持网页端和桌面端，满足不同使用场景的需求。

因为不愿意折腾，我更喜欢使用桌面端客户端。我入坑使用的原本是 Lobehub——不得不说界面确实很好看，但是前段时间 LobeHub 几乎放弃了其桌面端的用户，让我不得不得转入 Cherry Studio。Cherry Studio 的界面相对简洁，功能也很齐全，接下来以他为例，简单介绍一下配置过程：一般大模型客户端的首页是对话界面，我们需要找到“设置”或“配置”选项，进入后找到服务商/模型服务选项卡片，找到所需的大模型服务商。

以 Gemini 为例，输入我们刚刚在 yunwu 创建的 API Key（记得不要选错了对应的分组），并将 Base URL 修改为 https://yunwu.ai/，点击“检测“测试是否正常，如果显示成功连接，则说明配置正确，可以开始使用了。这时候，如果模型列表中没有你想要的模型，可以点击“管理“，点击右上角的刷新获取最新模型。一般而言，可使用的模型需要满足既是第三方平台支持的，又是客户端支持的，才能出现在列表中。

使用大语言模型

配置完成后，就可以愉快地使用大语言模型了！回到 Cherry Studio 的对话界面，点击添加助手即可创建一个新的对话助手，切换到话题则可新建话题：在对话框正上方有两个可以调整的选项，第一个是模型的选择，第二个是助手设置。模型选择建议根据任务需求选择合适的模型，例如，数学问题请使用带有推理能力和工具调用能力的模型，大规模任务请选择长文本模型。另外，请注意甄别模型和其提供服务商，不同的服务商可能提供相同名称的模型，为了避免选到你并没有配置的模型造成不必要的麻烦，也为了减少模型选择的眼花缭乱程度，建议在刚刚提到的模型服务商选项中只 enable 你正在使用的模型服务商。

另一个可以调整的选项是助手设置，这里可以设置助手的名称、头像、系统提示词、温度、重复惩罚等。大多数参数在客户端中有基本介绍，只有系统提示词需要特别设置一下，由于我们是通过第三方平台调用模型，因此模型没有像官方客户端那样的预设提示词，自然也没有那么谄媚，为了让模型更好地理解你的个性化需求，建议定制一套符合你使用习惯的系统提示词模板，例如我在给数学学习助手设置的提示词是：

你是一位数学学习助手，对于分析、代数、概率论有深刻的理解和把握，擅长用清晰、逻辑严密但通俗易懂的方式讲解问题。
在回答题目时，请遵循以下要求：
1. 思路清晰：题目简单时，直接给出关键思路；
2. 言简意赅：
* 请务必尽量给出简洁、关键的回答，而不必拓展太多。
3. 输出形式：
* 确保公式易读、对齐良好。
* 请务必使用 Markdown LaTeX 语法来表示数学公式。具体来说，行内公式请使用 `$...$`，行间公式请使用 `$$\n...\n$$`。不要使用 `\(\)` 和 `\[\]` 的语法；注意公式内部无空格，两侧有空格，如`公式 $abc$ 成立`
例如：
行内公式：$a + b$
行间公式：
$$
a^2 + b^2 = c^2
$$
请按照这种格式回答所有涉及到数学公式的问题，积分要求使用 $\mathrm{d}$，转置要求使用 $^\top$，多行推导要求使用 $\begin{aligned}...\end{aligned}$，公式中非符号文本使用 $\text{}$。如果不必要，忽略之。
* 除非额外要求，你必须使用简体中文、简体中文标点符号（含括号）回答问题
* 对于涉及代码的变量、语句，请使用 `` 或者 ``` 这样的 md 行内/块级代码块语法包裹，提高可读性。
4. 额外要求：
* 避免直接复制未经验证的计算结果，必要时重新推算。
5. 示例
提问：{请解释 xx 定理}
回答：
{
- 关键结论：
- 几种常见证明（简述）：
- 常用形式与推广：
- 应用要点：
}

除此以外，大模型客户端通常还支持知识库设置，避免文件多次上传和重复处理，提升效率。在使用知识库过程中，我推荐的嵌入模型（Embedding Model）是 text-embedding-3-large ，在 OpenAI 模型服务商那里添加这个模型之后即可在知识库使用。

使用建议

通过第三方平台使用大语言模型，虽然在性价比上有明显优势，但也存在一些需要注意的地方：

yunwu 也支持 codex、Claude 等配置，Claude 略贵，但是 codex 属于可以接受的水平。具体配置方法见官方文档。

抽象代数Galois理论

Thu, 08 Jan 2026 20:00:00 GMT

域扩张的 Galois 群与 Galois 扩张

1 定义

自同构群：设 $E$ 是一个域，$E$ 的全体自同构的集合在变换的合成下构成一个群，称其为 $E$ 的自同构群，记为 $\operatorname{Aut}(E)$

Galois 群：设 $E$ 是域 $F$ 的一个扩张，$E$ 的所有 $F$ -自同构的集合 $$ Gal(E/F) := { \sigma \in \operatorname{Aut}(E) \mid \sigma |_F = \operatorname{id}_F } $$ 构成 $\operatorname{Aut}(E)$ 的一个子群，称为 $E$ 在 $F$ 上的 Galois 群。

不动元：设 $G\le \operatorname{Aut}(E)$，$\alpha \in E$，若对 $\forall \sigma \in G$，都有 $\sigma(\alpha)=\alpha$，则称 $\alpha$ 为 $G$ 的不动元。$E$ 的所有 $G$ 的不动元集合 $$ \operatorname{Inv}(G) := { \alpha \in E \mid \forall \sigma \in G, \sigma(\alpha)=\alpha } $$ 构成 $E$ 的一个子域，称为 $G$ 的不动域。

Galois 扩张：设 $E$ 是域 $F$ 的扩张，如果 $\operatorname{Inv}(\operatorname{Gal}(E/F))=F$，就称 $E$ 是 $F$ 的 Galois 扩张。

共轭：设 $E$ 是 $F$ 的 Galois 扩张，$L$ 是中间域，对 $\forall \sigma \in \operatorname{Gal}(E/F)$，称 $\sigma(L)$ 为 $L$ 的共轭。

Galois 对应：Galois 基本定理定义的一一对应 $L \leftrightarrow \operatorname{Gal}(E/L)$ 和 $H \leftrightarrow \operatorname{Inv}(H)$ 也称为 Galois 对应

2 定理

命题 1.1.1：设 $L_{1},L_{2}$ 是域 $E$ 的子域，$H_{1},H_{2}$ 是 $\operatorname{Aut}(E)$ 的子群，则有 $$ \begin{align} L_{1}\subset L_{2} &\Rightarrow \operatorname{Gal}(E/L_{2}) \subset\operatorname{Gal}(E/L_{1}) \ H_{1} \subset H_{2} &\Rightarrow \operatorname{Inv}(H_{2}) \subset \operatorname{Inv}(H_{1})

\end{align} $$

定理 1.1.1：设 $E$ 和 $L$ 是 $F$ 的扩张且 ${E:F}$ 有限，则从 $E$ 到 $L$ 互不相同的 $F-$ 同态个数不超过 $[E:F]$。特别地， $$ |Gal(E/F)| \leq [E:F] $$ 定理 1.1.2：设 $E$ 为 $F$ 的有限次扩张，则下列陈述等价： (i) $E$ 是 $F$ 的 Galois 扩张； (ii) $E$ 是 $F$ 的可分正规扩张； (iii) $E$ 是 $F$ 上一个可分多项式的分裂域； (iv) $|\text{Gal}(E/F)| = [E : F]$。

定理 1.1.3（Artin 引理）：设 $E$ 是域，$G$ 是 $\operatorname{Aut}(E)$ 的有限子群，$F=\operatorname{Inv}(G)$，则 $$ [E:F] \le |G| $$ 定理 1.1.4（Galois 基本定理）：设 $E$ 是域 $F$ 的一个有限 Galois 扩张，$G = \operatorname{Gal}(E/F)$，记 $$ \mathcal{H} = { H \mid H \le G }, \quad \mathcal{L} = { L \mid F \subseteq L \subseteq E } $$ 则 $$ \operatorname{Gal}:\mathcal{L} \to \mathcal{H}, \quad L \mapsto \operatorname{Gal}(E/L) $$ 和 $$ \operatorname{Inv}:\mathcal{H} \to \mathcal{L}, \quad H \mapsto \operatorname{Inv}(H) $$ 是映射，且满足：

(i) Gal 和 Inv 互为逆映射，因而都是双射。 (ii) 上述双射是反包含的，即当子群 $H_1, H_2$ 分别与中间域 $L_1, L_2$ 对应时， $$H_1 \supseteq H_2 \Leftrightarrow L_1 \subseteq L_2.$$ 下面设子群 $H$ 与中间域 $L$ 对应，即 $H = \text{Gal}(E/L)$ 或者 $L = \text{Inv}(H)$。 (iii) $[E : L] = |H|, [L : F] = [G : H]$。 (iv) 任取 $\sigma \in G$, $H$ 的共轭子群 $\sigma H \sigma^{-1}$ 与 $L$ 的共轭 $\sigma (L)$ 对应。 (v) $H \unlhd G$ 当且仅当 $L$ 是 $F$ 的 Galois 扩张，这时 $\text{Gal}(L/F) \cong G/H$。

定理 1.1.5（代数基本定理）：复数域 $\mathbb{C}$ 是代数封闭域

多项式的 Galois 群

1 定义

多项式的 Galois 群：设 $f(x)$ 是域 $F$ 上没有重根的多项式，称 $\operatorname{Gal}(E/F)$ 限制到 $f(x)$ 的根集 $X$ 上所得到的群 $G_{f}$ 为多项式 $f(x)$ 的 Galois 群

交换扩张与循环扩张：设 $E$ 是域 $F$ 的 Galois 扩张，如果 $\operatorname{Gal}(E/F)$ 为交换群，就称 $E/F$ 为交换扩张或者 Abel 扩张；如果 $\operatorname{Gal}(E/F)$ 为循环群，就称 $E/F$ 为循环扩张。

判别式：设 $f(x)\in F[x]$，$\deg f(x)\ge 1$，$f(x)$ 在其分裂域中的根为 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots ,\alpha {n}$，则称 $$ D{f}=a^{2n-2} \prod_{1\le i<j \le n}(\alpha_{i}-\alpha_{j})^{2} $$ 其中 $a$ 为 $f(x)$ 的首项系数，称为 $f(x)$ 的判别式。

2 定理

命题 1.2.1：设 $F$ 是域 $\mathbb{Q}(\zeta _{n})$ 的扩域，其中 $\zeta _{n}$ 是一个 $n$ 次本院单位根，

定理 1.2.1：设 $f(x)$ 是域 $F$ 上没有重根的多项式，$E$ 是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域，$f(x)$ 在 $E[x]$ 上有分解式 $$ f(x)=a \prod_{i=1}^{n}(x-\alpha_{i}) $$ 其中 $a\in F$ 为 $f(x)$ 的首项系数，则 $\operatorname{Gal}(E/F)$ 同构于 $f(x)$ 的根 ${\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}}$ 的一个置换群 $G_{f}$

定理 1.2.2：设 $f(x)$ 是域 $F$ 上没有重根的多项式，则 $f(x)$ 在 $F$ 上不可约当且仅当 $G_{f}$ 在 $f(x)$ 的根集上的作用传递

定理 1.2.3：设域 $F$ 的特征不为 2，$f(x)\in F[x]$，$\deg f(x)=n\ge 1$，且 $f(x)$ 没有重根，则 $G_{f}$ 中的每个元素都是 $f(x)$ 的根集 $X = { \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots \alpha _{n} }$ 上的偶置换当且仅当 $\sqrt{\Delta} \in F$，其中 $\Delta$ 是 $f(x)$ 的判别式

定理 1.2.4：设域 $F$ 的特征不为 2, $f(x)$ 是 $F$ 上的 4 次不可约多项式, $E$ 是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域. 令 $g(x)$ 为 $f(x)$ 的预解式, $L$ 是 $g(x)$ 在 $F$ 上的分裂域, $m = [L : F]$.

(i) 若 $g(x)$ 在 $F$ 上不可约且 $D_f \notin F^{*2}$, 则 $m = 6, G_f \cong S_4$.

(ii) 若 $g(x)$ 在 $F$ 上不可约且 $D_f \in F^{*2}$, 则 $m = 3, G_f \cong A_4$.

(iii) 若 $g(x)$ 在 $F[x]$ 中有一个 2 次不可约因式, 且 $f(x)$ 在 $L$ 上不可约, 则 $m = 2, G_f \cong D_4$. (iv) 若 $g(x)$ 在 $F[x]$ 中有一个 2 次不可约因式, 且 $f(x)$ 在 $L$ 上可约, 则 $m = 2, G_f \cong \mathbb{Z}_4$.

(v) 若 $g(x)$ 在 $F[x]$ 中分解为一次因式的乘积，则 $m = 1, G_f \cong V_4$.

定理 1.2.5：设 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 是域 $K$ 上的无关未定元，$s_{1},s_{2},\cdots,s_{n}$ 是关于 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 的初等对称多项式，令 $F = K(s_{1},s_{2},\cdots,s_{n})$ 以及 $$ f(x)=\prod_{i=1}^{n}(x-x_{i}) =x^{n}-s_{1}x^{n-1}+\cdots+(-1)^{n}s_{n}\in F[x] $$ 定理 1.2.6：设 $p$ 为素数，$f(x)$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的 $p$ 次不可约多项式，如果 $f(x)$ 在 $\mathbb{C}$ 中恰有两个非实数复根，那么 $G_{f}\cong S_{p}$

定理 1.2.7：设 $f(x) \in F[x]$ 是不可约多项式，$E$ 是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域，$\alpha$ 是 $f(x)$ 在 $E$ 中的一个根，则 $f(x)$ 的所有根都形如 $\sigma(\alpha)$，其中 $\sigma \in \operatorname{Gal}(E/F)$

方程式的根式解

1 定义

单根式扩张：设 $E=f(\alpha)$ 是域 $F$ 的一个单扩张，如果存在正整数 $n$ 使得 $\alpha^{n}\in F$，就称 $E$ 为 $F$ 的一个单根式扩张根式扩张：设 $E/F$ 是有限次扩张，若存在一个域的扩张链 $$ F = F_0 \subseteq F_1 \subseteq \cdots \subseteq F_{s-1} \subseteq F_s = E, $$ 使得对于每个 $1 \leq i \leq s$, $F_i$ 是 $F_{i-1}$ 的单根式扩张，即存在 $\alpha_i \in F_i$ 和正整数 $n_i$ 使得 $$ F_i = F_{i-1}(\alpha_i) $$ 且 $\alpha_i^{n_i} \in F_{i-1}$，则称 $E$ 为 $F$ 的一个根式扩张，而如上域的扩张链 (1.9) 叫做根式扩张 $E/F$ 的一个根式扩张链。

根式可解：设 $F$ 是域，$f(x)\in F[x]$，如果存在 $F$ 的一个根式扩张包含 $f(x)$ 在 $F$ 上的一个分裂域，那么就称代数方程 $f(x)=0$ 在 $F$ 上根式可解或有根式解

2 定理

命题 1.3.1（Lagrange 预解式）：设 $F$ 是特征为 $0$ 的域，$p$ 是素数，且 $F$ 包含一个 $p$ 次本原单位根 $\zeta_{p}$，那么 $F$ 的任意 $p$ 次循环扩张 $E$ 都是单根式扩张

引理 1.3.1：设 $E$ 是 $F$ 的有限可分扩张，$\tilde{E}$ 是 $E/F$ 的正规闭包，如果 $E/F$ 是根式扩张，那么 $\tilde{E}/F$ 也是根式扩张定理 1.3.1：设 $F$ 是特征为 $0$ 的域，$f(x)\in F[x]$。如果 $f(x)=0$ 在 $F$ 上根式可解，那么 $f(x)$ 在 $F$ 上的 Galois 群 $G_{f}$ 是可解群。

定理 1.3.2：设 $F$ 是特征为 $0$ 的域，$f(x)\in F[x]$，如果 $f(x)$ 在 $F$ 上的 Galois 群 $G_{f}$ 可解，那么方程 $f(x)=0$ 在 $F$ 上根式可解推论 1.3.1：设 $F$ 是特征为 $0$ 的域，$f(x)\in F[x]$，如果 $\deg f(x)\le 4$，那么方程 $f(x)=0$ 在 $F$ 上根式可解

抽象代数域扩张理论

Thu, 08 Jan 2026 20:00:00 GMT

代数扩张

$\alpha$ 在 $F$ 上生成的域：设 $F$ 是域，$\alpha$ 是包含 $F$ 的某个域 $E$ 中的元素，则由 $F$ 和 $\alpha$ 生成的最小子域，记为 $F(\alpha)$，称为 $\alpha$ 在 $F$ 上生成的域。扩张：设 $E/F$ 是域扩张，$\alpha \in E,S\subset E$，称 $F(\alpha)$ 为 $F$ 的单扩张，而当 $S$ 有限时，称 $F(S)$ 为 $F$ 的有限扩张，当 $S = K$ 也是 $E$ 的子域时，$F(K)$ 也记为 $FK$，并称之为 $F$ 和 $K$ 的复合域。代数扩张：设 $E/F$ 是域扩张，$\alpha \in E$，若 $\alpha$ 是 $F$ 上某个非零多项式的根，则称 $\alpha$ 为 $F$ 上的代数元，否则称为 $F$ 上的超越元。若 $E$ 中的每个元素都是 $F$ 上的代数元，则称扩张 $E/F$ 为代数扩张，否则称为超越扩张。有理数域上的代数元通常称为代数数，超越元称为超越数。有限扩张：以 $[E:F]$ 表示 $E$ 作为 $F$ 上线性空间的维数，成为扩张 $E/F$ 的次数，若 $[E:F]$ 有限，则称扩张 $E/F$ 为有限扩张，否则称为无限扩张。

$F-$ 同态：设 $E/F$ 和 $E'/F$ 是域扩张，映射 $\sigma: E \to E'$ 称为 $F-$ 同态，若对任意 $a\in F$ 有 $\sigma(a)=a$，即 $\psi$ 限制在 $F$ 上是恒等映射，则称 $\sigma$ 为 $F-$ 同态。若 $\sigma$ 是双射，则称为 $F-$ 同构。代数封闭域：设 $E$ 为域，若 $E$ 上的任意非常数多项式在 $E$ 中都有根，则称 $E$ 为代数封闭域。设 $F$ 是域，$K/F$ 是一个代数扩张，若 $K$ 是代数封闭域，则称 $K$ 为 $F$ 的代数闭包。

命题 6.1.1：设 $E/F$ 是域扩张，$S_{1},S_{2}\subset E$，则 $$ F(S_{1})(S_{2}) = F(S_{1} \cup S_{2}) = F(S_{2})(S_{1}) $$
- 其实就是说添加次序不重要
命题 6.1.2：设 $E/F$ 为代数扩张，$\psi: E\to E$ 为 $F-$ 同态，则 $\psi$ 是 $F-$ 同构。
- 代数扩张十分紧凑，单射即满射
命题 6.1.3：设 $E/F$ 为域扩张，令 $E'$ 是 $E$ 中 $F$ 上的所有代数元构成的集合，若 $E$ 为代数封闭域，则 $E'$ 为 $F$ 的代数闭包。
定理 6.1.1（望远镜法则）：设 $F\subset L\subset E$ 是域扩张链，则 $[E:F] = [E:L][L:F]$。
- 推论 6.1.1：设 $F\subset L\subset E$ 是域扩张链，若 $E/L$ 和 $L/F$ 都是有限次扩张，则 $E/F$ 也是有限次扩张，且 $[E:L]$ 和 $L:F$ 都整除 $[E:F]$。
定理 6.1.2：设 $E/F$ 是有限扩张，则 $E/F$ 是代数扩张。
定理 6.1.3：设 $E/F$ 是域扩张，$\alpha \in E$ 是 $F$ 上的代数元，且在 $F$ 上的次数为 $n$，则 $[F(\alpha):F]=n$
定理 6.1.4：设 $E/F$ 是域扩张，$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} \in E$ 都是 $F$ 上的代数元，则扩张 $F(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})/F$ 是有限扩张，即有限次扩张就是有限生成的代数扩张。特别地，域 $F$ 上的任意两个代数元的和差积商仍为 $F$ 上的代数元。
定理 6.1.5：设 $F\subset L\subset E$ 是一个域扩张链，则 $E/F$ 是代数扩张当且仅当 $E/L$ 和 $L/F$ 都是代数扩张。
定理 6.1.6：设 $F$ 是一个域，则存在 $F$ 的代数闭包
定理 6.1.7：设 $F$ 是一个域，$E_{1}$ 和 $E_{2}$ 都是 $F$ 的代数闭包，则存在 $F-$ 同构 $\pi: E_{1} \to E_{2}$，即 $F$ 的代数闭包在 $F-$ 同构意义下是唯一的。

多项式的分裂域域正规扩张

1 定义

分裂域：设 $F$ 为域，$E$ 为 $F$ 的扩域，$f(x)\in F[x]$ 且 $\deg f(x)\ge 1$. 称 $f(x)$ 在 $E$ 上分裂，如果 $f(x)$ 在 $E[x]$ 上能分解为一次因式的乘积，或者 $f(x)$ 的根都在 $E$ 中。若 $f(x)$ 在 $E$ 上分裂，且 $E$ 是包含 $F$ 的所有根的最小子域，则称 $E$ 为 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域。

延拓：设 $E/F$ 和 $E'/F'$ 都是域扩张，$\varphi: F \to F'$ 是域同态，若 $\psi: E\to E'$ 也是域同态，且对任意 $a\in F$ 有 $\psi(a) = \varphi(a)$，则称 $\psi$ 是 $\varphi$ 在 $E$ 上的延拓。

正规扩张：设 $E$ 是 $F$ 的一个代数扩张，如果对于任一 $F$ 上的不可约多项式 $f(x)$ ，若 $E$ 中有 $f(x)$ 的一个根，则 $E$ 中就有 $f(x)$ 的所有根，则称扩张 $E/F$ 为正规扩张。正规闭包：设 $E/F$ 是有限次扩张，称 $E$ 的代数扩张 $\tilde{E}$ 为 $E$ 在 $F$ 上的一个正规闭包，如果 $\tilde{E}$ 是 $F$ 的正规扩张，并且对于 $F$ 的任意正规扩张 $K$，若 $F\subset E\subset K\subset \tilde{E}$，则有 $K=\tilde{E}$. 所以 $E$ 在 $F$ 上的正规闭包就是包含 $E$ 的 $F$ 的最小正规扩张

2 定理

命题 6.2.1：设 $F\subset L\subset E$ 是域的一个代数扩张链，如果 $E/F$ 正规，那么 $E/L$ 也正规

定理 6.2.1（分裂域的存在性）：设 $F$ 为域，$f(x)\in F[x]$ 且 $\deg f(x)=n\ge 1$. 则存在 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域 $E$ 且，且 $[E:F] \le n!$

定理 6.2.2（同构延拓定理）：设 $\varphi: F\to F'$ 为域同构，$f(x)\in F[x]$ 且 $\deg f(x)\ge1$ 。若 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域为 $E$ ，$\varphi(f)(x)$ 在 $F'$ 上的分裂域为 $E'$，则 $$ [E:F]= [E':F'] $$

定理 6.2.3（分裂域的唯一性）：设 $F$ 为域，$f(x)\in F[x]$ 且 $\deg f(x)\ge 1$，若 $E_{1}$ 和 $E_{2}$ 都是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域，则存在 $F-$ 同构 $\psi: E_{1} \to E_{2}$，即分裂域在 $F-$ 同构意义下是唯一的。

定理 6.2.4：设 $E$ 为 $F$ 的有限扩域，则下列陈述等价：

$E$ 是 $F$ 的正规扩张
$E$ 是某些多项式在 $F$ 上的分裂域
对于域 $E$ 的任意扩张 $K$ 和任意 $F-$ 自同态 $\sigma : K\to K$，都有 $\sigma \mid_{E}$ 为 $E$ 的 $F-$ 自同构。

定理 6.2.5：设 $E/F$ 是有限次扩张，那么 $E$ 在 $F$ 上的正规闭包存在且唯一（在 $F-$ 同构意义下），进一步地 $\tilde{E}/F$ 有限

可分扩张

1 定义

重根：设 $F$ 为域，$f(x)\in F[x]$ 且 $\deg f(x)\ge 1$，$K$ 为 $F$ 的扩域，$\theta \in K$ 称为 $f(x)$ 在 $K$ 上的重根，如果 $(x-\theta)^{2}$ 整除 $f(x)$ 在 $K[x]$ 上的分解式，否则称为单根。

导数：设 $$ f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0} \in F[x] $$ 定义 $f(x)$ 的导数为： $$ f'(x)=n a_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+2 a_{2}x + a_{1} $$

完全域：域 $F$ 为完全域，若 $F$ 的特征为 $0$ 或者 $F$ 的特征为素数 $p$ 且 $F^{p}=F$ 可分多项式：设 $F$ 为域，$p(x)\in F[x]$ 在 $F$ 上不可约，若 $p(x)$ 在它的分裂域中没有重根，则称 $p(x)$ 为可分多项式，对任意 $f(x)\in F[x]$ ，称 $f(x)$ 可分，若它在 $F[x]$ 中的每个不可约因式都是可分的，否则称 $p(x)$ 或 $f(x)$ 为不可分的。可分元素：设 $E$ 为域 $F$ 的一个代数扩张，$\alpha \in E$，若 $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式可分，则称之为 $F$ 上的一个可分元素，否则称其为 $F$ 上的不可分元素。代数扩张 $E$ 称为 $F$ 的可分扩张，若 $E$ 中每个元素都是 $F$ 上的可分元素，否则 $E$ 称为 $F$ 的不可分扩张。

2 定理

命题 6.3.1：设 $F$ 为域，则 $\forall f(x),g(x)\in F[x]$，有 $$ \begin{align} &(f(x)\pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \ &(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \ &(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x) \end{align} $$ 命题 6.3.2：设 $F$ 为完全域，$f(x)\in F[x]$，则 $f(x)$ 无重因式当且仅当 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 互素

命题 6.3.3：设 $F\subset L\subset E$ 是域扩张链，若 $E/F$ 可分，则 $E/L$ 和 $L/F$ 都可分

命题 6.3.4：设 $F$ 是域，$\alpha$ 在 $F$ 上可分，$\beta$ 在 $F(\alpha)$ 上可分，则 $\beta$ 在 $F$ 上也可分

定理 6.3.1：设 $K/F$ 为域扩张，$f(x)\in F[x]$，$\deg f(x)\ge 1$，且 $\theta \in K$ 是 $f(x)$ 在 $K$ 上的根，则 $\theta$ 是 $f(x)$ 的重根的充分必要条件是 $\theta$ 也是 $f'(x)$ 在 $K$ 上的根。推论 6.3.1：设 $f(x)\in F[x]$，$\deg f(x)\ge 1$ ，则 $f(x)$ 在 $F$ 的扩域中有重根当且仅当 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 不互素推论 6.3.2：设 $f(x)\in F[x]$ 不可约，则 $f(x)$ 有重根当且仅当 $f'(x)=0$

定理 6.3.2：设 $F$ 为域，$f(x)\in F[x]$ 在 $F$ 上不可约。若 $F$ 的特征为 $0$，则 $f(x)$ 在 $F$ 的分裂域中没有重根。若 $F$ 的特征为素数 $p$，则 $f(x)$ 在 $F$ 的分裂域中有重根的充分必要条件是存在多项式 $g(x)\in F[x]$，使得 $$ f(x) = g(x^{p}) $$ 推论 6.3.3：设 $F$ 为完全域，则 $F$ 上任意不可约多项式一定没有重根

定理 6.3.3：设域 $F$ 的特征为素数 $p$，$f(x)$ 是 $F$ 上的不可分不可约多项式， $E$ 是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域，则 $f(x)$ 在 $E[x]$ 中的分解为 $$ f(x)=c (x -\alpha_{1})^{p^{e}}(x -\alpha_{2})^{p^{e}} \cdots (x -\alpha_{k})^{p^{e}} $$ 其中 $c$ 为 $F$ 中的非零常数，$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{k}$ 为 $E$ 中互不相同的元素，$e$ 为正整数

定理 6.3.4（同构延拓定理的强形式）设 $\phi: F \to F'$ 为域同构，$f(x) \in F[x]$ 在 $F$ 上的分裂域为 $E$，$\phi(f)(x) \in F'[x]$ 在 $F'$ 上的分裂域为 $E'$。若 $f(x)$ 可分，则 $\phi$ 在 $E$ 上的延拓恰有 $[E:F]$ 个。推论 6.3.4：设可分多项式 $f(x)\in F[x]$ 在 $F$ 上的分裂域为 $E$，则 $E$ 的 $F-$ 自同构个数为 $[E:F]$

定理 6.3.5：设 $F$ 为域且 $\operatorname{char}F=p$，$E/F$ 为代数扩张， $\alpha \in E$，则 $\alpha$ 是 $F$ 上的不可分元素的充分必要条件是 $$ F(\alpha) = F(\alpha^{p}) $$

定理 6.3.6：设 $E$ 是域 $F$ 的有限可分扩张，则 $E$ 是 $F$ 的单扩张，即存在 $\alpha \in E$，使得 $E=F(\alpha)$。

定理 6.3.7：设 $F\subset L\subset E$ 是域的一个代数扩张链，则 $E/F$ 是可分扩张当且仅当 $E/L$ 和 $L/F$ 都是可分扩张。

有限域

1 定义

2 定理

命题 6.4.1：设 $F$ 为 $q$ 元域，$E$ 为 $F$ 的扩域，则元素 $\beta \in E$ 落在它的子域 $F$ 中当且仅当 $\beta^{q}=\beta$

命题 6.4.2：设 $p$ 为素数，$m$ 为正整数, $F$ 为 $p^{m}$ 元域，则 $F$ 的子域的阶为 $p^{d}$，其中 $d\mid m$. 反之，$p^{m}$ 的每个正因子 $d$ 都对应着 $F$ 的一个唯一的子域，且该子域的阶为 $p^{d}$

定理 6.4.1：设 $p$ 为素数，$m$ 为正整数，$q=p^{m}$ ，则 $q$ 元域存在。进一步地，两个 $q$ 元域是同构的。这说明了有限域的存在性和唯一性。

定理 6.4.2：设 $F$ 为 $q$ 元域，$E/F$ 为 $n$ 次扩张，$\alpha \in E^{\star}$，则 $\alpha$ 在 $F$ 中的极小多项式为 $$ p(x)=(x-\alpha)(x-\alpha^{q})(x-\alpha^{q^{2}}) \cdots (x-\alpha^{q^{d-1}}) $$ 其中 $d$ 为满足 $q^{d}\equiv 1(\operatorname{mod}o(\alpha))$

定理 6.4.3：设 $F$ 是 $q$ 元域，$n$ 为正整数，$f(x)$ 是 $F$ 上的首一不可约多项式且 $\deg f(x)=d$，则 $f(x)\mid(x^{q^{n}}-x)$ 当且仅当 $d\mid n$

定理 6.4.4：设 $F$ 是 $q$ 元域, $n$ 为正整数, 则 $F$ 上 $n$ 次首一不可约多项式的个数为 $$ I_q(n) = \frac{1}{n} \sum_{d \mid n} \mu(d) q^{\frac{n}{d}}, $$ 其中 $\mu$ 为 Möbius 函数。

定理 6.4.5：设 $F=\mathbb{F}{q}$ 是 $q$ 元域，则 $F$ 的代数闭包为 $$ \overline{F} = \bigcup{n=1}^{\infty} \mathbb{F}_{q^{n}} $$

抽象代数 UFD 理论

Mon, 05 Jan 2026 20:00:00 GMT

Note

这一章节的所有内容，都是在说同一件事情，整数环 $\mathbb{Z}$ 在所有整环中，特别在哪里？按照这个逻辑，我们一步步研究整数环中的关键性质，最后一步步逼近它：

整环：基本的加减乘系统。
Noether 环：保证分解过程会停止（存在性）。
UFD：保证分解结果只有一种（唯一性，算术基本定理）。
PID：保证GCD 具有线性组合形式（理想结构单一化）。
ED：保证能用算法（辗转相除）算出来。

整环中的整除、不可约元与素元

整除：设 $R$ 为整环，对于 $a,b \in R$，若存在 $c \in R$ 使得 $b =ac$，就称 $a$ 整除 $b$，记作 $a \mid b$，这时也说 $b$ 是 $a$ 的倍元，$a$ 是 $b$ 的因子。相伴：设 $R$ 为整环，$a,b \in R$，若 $a,b$ 可以互相整除，即 $a \mid b$ 且 $b \mid a$，则称 $a$ 与 $b$ 相伴，记作 $a \sim b$。

互素：设 $R$ 为整环，若 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n} \in R$ 的最大公因子是 $R$ 中的可逆元，则称 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ 互素。

[!note]
只要 $R$ 中任意两个元素都有最大公因子，则 $R$ 中任意有限个元素都有最大公因子。但是，并非所有整环中的元素都有最大公因子，例如 $F[X]$ 的子环 $R = { a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots+a_{n}X^{n} \mid a_{0},a_{1},\cdots,a_{n} \in F, a_{1}=0 }$ 中，$X^{2}$ 与 $X^{3}$ 就没有最大公因子。

不可约元：设 $R$ 为整环，$p \in R$，若 $p \ne 0$，且 $p$ 不是可逆元，并且 $p$ 不能写成 $p = ab$ 的形式，其中 $a,b \in R$ 都不是可逆元，则称 $p$ 是 $R$ 中的不可约元，否则称为可约元。素元：设 $R$ 为整环，$p \in R$，若 $p \ne 0$，且 $p$ 不是可逆元，并且当 $p \mid ab$ 时，一定有 $p \mid a$ 或 $p \mid b$，则称 $p$ 是 $R$ 中的素元。 不可约元是在强调分解，素元是在强调其自身的性质 代数整数：首项系数为 $1$ 的整系数多项式的根成为代数整数。证明素元的一种方式： $p$ 是 $\mathbb{Z}(\alpha)$ 的素元，当且仅当 $g(x)$ 模 $p$ 在 $\mathbb{Z}_{p}[x]$ 中不可约，其中 $g(x)$ 是 $\mathbb{Z}[x]$ 中的不可约元，且 $g(\alpha) = 0$, $\alpha \in \mathbb{C}$.

命题 5.1.1：设 $R$ 为整环，$a,b \in R$，则 $a$ 与 $b$ 相伴当且仅当存在可逆元 $u \in R$ 使得 $a = bu$，也当且仅当 $R$ 的主理想 $(a)$ 与 $(b)$ 相等。
命题 5.1.2：设 $R$ 是整环，$p \in R$，则 $p$ 在 $R$ 中不可约的充分必要条件是 $p\ne 0$，$p$ 不可逆，且当 $p = ab$ 时，则一定有 $p\mid a$ 或 $p \mid b$。
命题 5.1.3：设 $R$ 为整环，$p \in R$ 是素元当且仅当 $(p)$ 是 $R$ 的一个素理想。
定理 5.1.1：整环 $R$ 中的整除关系 $\mid$ 满足以下性质：
1. 若 $a \mid b$ 且 $b \mid c$，则 $a \mid c$。
2. 若 $a \mid b$ 且 $a \mid c$，则对任意 $r,s \in R$，有 $a \mid (rb + sc)$。
定理 5.1.2：整环中每个素元都是不可约元。
- 反之不成立，例如在整环 $Z[\sqrt{-5}]$ 中，$6$ 有两种不同的不可约元分解形式 $6 = 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5})$，其中的不可约元 $2,3,1 + \sqrt{-5},1 - \sqrt{-5}$ 都不是素元。

唯一因子分解整环

唯一分解整环（UFD）：设 $R$ 为整环，且满足

$R$ 中每个非零非可逆元都能分解为不可约元的乘积；
若 $a \in R$ 有两种不可约元分解形式 $a = p_{1}p_{2}\cdots p_{n} = q_{1}q_{2}\cdots q_{m}$，则 $n = m$，且经过重新排列后，对每个 $i$，都有 $p_{i} \sim q_{i}$，则称 $R$ 为唯一因子分解整环。

命题 5.2.1：设 $R$ 是 UFD，$a,b \in R$ 均非零，又设 $a,b$ 有如下标准分解 $$ a=u r_{1}^{m_{1}} r_{2}^{m_{2}} \cdots r_{s}^{m_{s}}, \quad b=v r_{1}^{n_{1}} r_{2}^{n_{2}} \cdots r_{s}^{n_{s}}, $$

其中 $u,v$ 是可逆元，$r_{1},r_{2},\cdots,r_{s}$ 是互素的不可约元，且 $m_{i},n_{i} \ge 0$。则 $a\mid b$ 当且仅当对每个 $i$，都有 $m_{i} \le n_{i}$。

命题 5.2.2：设 $R$ 是 UFD，$a,b,c \in R$ 且 $a,b$ 互素，
- 若 $a \mid bc$，则 $a \mid c$；
- 若 $a \mid c$ 且 $b \mid c$，则 $ab \mid c$。
定理 5.2.1：设 $R$ 是整环，且满足 UFD 的条件 1，则 $R$ 是 UFD 的充分必要条件是 $R$ 中的每个不可约元都是素元。
- 推论 5.2.1：设 $R$ 是整环，则 $R$ 为 UFD 当且仅当满足
  - $R$ 中每个非零非可逆元都能分解为不可约元的乘积；
  - $R$ 中每个不可约元都是素元。
- 推论 5.2.2：设 $R$ 是整环，则 $R$ 为 UFD 当且仅当每个非零非可逆元 $a \in R$ 都是有限个素元的乘积。
定理 5.2.2：设 $R$ 是 UFD，则 $R$ 中任意两个元素都有最大公因子
定理 5.2.3：设整环 $R$ 中任意两个元素都有最大公因子，则 $R$ 的不可约元都是素元。
- 推论 5.2.3：设整环 $R$ 中任意两个元素都有最大公因子，则 $R$ 为 UFD 当且仅当 $R$ 中任意两个元素都有最大公因子。

Noether 环和主理想整环

Noether 环：设 $R$ 是交换环，若对任意的理想升链 $$ J_{1} \subseteq J_{2} \subseteq J_{3} \subseteq \cdots $$ 一定存在正整数 $n$，使得对所有 $m \ge n$，都有 $J_{m} = J_{n}$，则称 $R$ 为 Noether 环。

主理想整环（PID）：设 $R$ 是整环，若 $R$ 中的每个理想都是主理想，则称 $R$ 为主理想整环。 PID 都是 Noether 环

命题 5.3.1：设 $R$ 是主理想整环，则 $R$ 中任两个元素 $a,b$ 都有最大公因子 $d$，且存在 $u,v$，使得 $d = au + bv$。
定理 5.3.1：交换环 $R$ 是 Noether 环当且仅当 $R$ 中的每个理想都是有限生成的。
定理 5.3.2：Noether 整环中每个非零不可逆元都是有限个不可约元的乘积。
定理 5.3.3：设 $R$ 为主理想整环，$p \in R$，则下列陈述等价
- $p$ 是 $R$ 中的不可约元；
- $(p)$ 是 $R$ 中的极大理想；
- $p$ 是 $R$ 中的素元；
定理 5.3.4：主理想整环是唯一因子分解整环。

Euclid 整环

Euclid 整环：设 $R$ 是整环，令 $R^{}=R \setminus {0}$，若存在映射 $\delta:R^{} \to \mathbb{N}$，使得对任意 $a,b \in R$，$b \ne 0$，满足 $$ a = qb+r $$ 且 $r=0$ 或 $\delta(r) < \delta(b)$，则称 $R$ 为 Euclid 整环，记为 $ED$ ，映射 $\delta$ 称为 $R$ 上的 Euclid 函数。整数环 $\mathbb{Z}$ 和一元多项式环 $F[x]$ 都是 Euclid 整环，其中 $\delta$ 分别取为 $\delta(a)=|a|$ 和 $\delta(f(x))=\deg f(x)$。 Gauss 素数：$R_{-1}=Z[i]$ 称为 Gauss 整环，其中的每一个元素 $a+bi$ （$a,b \in Z$）称为 Gauss 整数。为了区分，我们称整数环中的素数为有理素数，而 $Z[i]$ 中的素元称为 Gauss 素数。

命题 5.4.1：设 $m$ 是一个无平方因子的整数且 $m \ne 0,1$，定义 $R_{m}$ 为 $$ R_{m} = \begin{cases} {a + b \sqrt{m} \mid a,b \in \mathbb{Z}}, & m \equiv 2,3 \pmod{4} \ {a + b \frac{1 + \sqrt{m}}{2} \mid a,b \in \mathbb{Z}}, & m \equiv 1 \pmod{4} \end{cases} $$ 则 $R_{m}$ 是 $\mathbb{Q}(\sqrt{ m })$ 中所有代数整数构成的集合。进一步地，$R_{m}$ 是域 $\mathbb{Q}(\sqrt{ m })$ 的子环，且是整环，称 $R_{m}$ 为 $\mathbb{Q}(\sqrt{ m })$ 的二次代数整数环
命题 5.4.2：设 $\alpha \in Z[i]$，则 $\alpha$ 为 $Gauss$ 素数当且仅当 $N(\alpha)$ 为有理素数，或者 $\alpha$ 的相伴元 $\pm \alpha,\pm i\alpha$ 中的一个为正有理素数，且该有理素数不是两个整数的平方和
定理 5.4.1：欧式环是主理想整环。
- 推论 5.4.1：欧式环是唯一因子分解整环。
- 事实上我们有 ${ ED } \subseteq { PID } \subseteq { UFD }$，而且这些包含都是真包含，比如 $Z[x]$ 是 UFD 但不是 PID，而 $Z\left[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right]$ 是 PID 但不是 ED。
定理 5.4.2：当 $m<0$ 时，二次代数整数环 $R_{m}$ 是 Euclid 整环的充分必要条件是 $m=-1,-2,-3,-7,-11$。
定理 5.4.3：设正整数 $n\ge{2}$，则 $n$ 是两个整数的平方和当且仅当 $n$ 的每个形如 $4k+3$ 的素因子的幂次为偶数

UFD 上的多项式环

本原多项式：设 $R$ 为 UFD，$f(x)\in R[x]$，若不存在 $R$ 中素元 $p$，使得 $p \mid a_{i}$ 对 $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}$ 中的每个系数 $a_{i}$ 都成立，则称 $f(x)$ 为 $R[x]$ 中的本原多项式。

命题 5.5.1：设 $R$ 为 UFD，$a,b \in R$，$f(x)\in R[x]$ 为本原多项式，若在 $R[x]$ 中有 $a\mid b f(x)$，则 $a \mid b$。
命题 5.5.2：设 $R$ 为 UFD，$F$ 为 $R$ 的分式域，$A$ 为一交换环，环同态 $\varphi: R \to A$ 诱导出的多项式环的环同态 $R[x]\to A[x]$ 仍记为 $\varphi$ 。设 $f(x)\in R[x]$ 首一，$\deg f(x)=n\ge 1$，且 $\varphi(f(x))$ 在 $A[x]$ 中无次数小于 $n$ 且大于 $0$ 的因子，则 $f(x)$ 在 $F[x]$ 中也不可约且为 $R[x]$ 的素元
定理 5.5.1：设 $R$ 为整环，$p$ 是 $R$ 中的素元，则 $p$ 也是多项式环 $R[x]$ 中的素元。
定理 5.5.2：设 $R$ 为 UFD，$f(x),g(x)\in R[x]$ 都是本原多项式，则它们的乘积 $f(x)g(x)$ 也是本原多项式。
定理 5.5.3（Gauss 引理）：设 $R$ 为 UFD，$F$ 是 $R$ 的分式域，$R[x]$ 和 $F[x]$ 是相应的多项式环
- 设 $f(x),g(x)\in R[x]$，$g(x)$ 本原，且在 $F[x]$ 中 $g(x) \mid f(x)$，则在 $R[x]$ 中也有 $g(x) \mid f(x)$；
- 设 $f(x)\in R[x]$，且存在 $g(x),h(x)\in F[x]$ 使得 $f(x) = g(x)h(x)$，则存在 $u \in F$ 使得 $ug(x),u^{-1}h(x) \in R[x]$。
定理 5.5.4：设 $R$ 为 UFD，$F$ 为 $R$ 的分式域，$f(x)\in R[x]$
- 若 $f(x)=p \in R \setminus {0}$，则 $f(x)$ 在 $R[x]$ 中不可约当且仅当 $p$ 在 $R$ 中不可约；
- 若 $\deg f(x)\ge1$，则 $f(x)$ 在 $R[x]$ 中不可约当且仅当 $f(x)$ 在 $F[x]$ 中不可约，且 $f(x)$ 是本原多项式。
定理 5.5.5：设 $R$ 为 UFD，则多项式环 $R[x]$ 也是 UFD。
- 推论 5.5.1：设 $R$ 为 UFD，$n \ge 1$，则多项式环 $R[x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}]$ 也是 UFD。
定理 5.5.6（Eisenstein 判别法）：设 $R$ 为 UFD，$p$ 是 $R$ 中的素元，$f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_{0} \in R[x]$，且满足
- $p \nmid a_{n}$；
- $p \mid a_{i}$，对 $i=0,1,2,\cdots,n-1$；
- $p^{2} \nmid a_{0}$；
- 则 $f(x)$ 在 $R[x]$ 中不可约。
定理 5.6.1（Hilbert 基本定理）：若 $R$ 是 Noether 环，则多项式环 $R[x]$ 也是 Noether 环。

如何在 VSCode 上使用 PKU LaTeX

Wed, 31 Dec 2025 20:00:00 GMT

VSCode vs Overleaf vs PKU LaTeX

~~微软大战代码~~VSCode 是一款集大成的代码编辑器，支持多种编程语言和扩展插件，但是在编写 TeX 文档时，往往需要在本地额外的工具和配置，如庞大的 TeX Live。Overleaf 则是一个网页版在线 LaTeX 编辑器，支持线上协作和云端编译，但是由于网络原因，经常会遇到访问缓慢和编译失败的问题，而且其免费版功能有限制，智能补全做的也不够完善。而 PKU LaTeX 是北京大学提供的一个在线 LaTeX 编辑平台，专为北大学生设计，支持学生认证登录，提供了稳定的在线编译环境，但同样其插件系统和编辑体验不如 VSCode。

有没有什么办法把二者的功能结合起来呢？答案是有的。利用 VSCode 的强大扩展功能，我们可以将 PKU LaTeX 的在线编译能力集成到 VSCode 中，实现本地编辑、在线编译的无缝体验。下面是具体的步骤：

注册 PKU LaTeX 账号并安装插件

首先需要先注册一个 PKU LaTeX 账号，可以使用北大统一认证登录，注册完成并确认可以在线正常使用。接下来我们需要在 VS Code 中安装 Overleaf Workshop 插件，这是一个支持 Overleaf 和其他在线 LaTeX 编辑器的插件。

然后在 VSCode 的左侧边栏就可以看到 Overleaf 的图标（如果没有的话可以重启一下 VSCode）。

获取 PKU LaTeX Cookie 并连接

这里我们先去获取一下 PKU LaTeX 的 Cookie 信息：在已经注册并登录的 PKU LaTeX 页面，按下 F12 打开开发者工具（Mac 下是 Option+Command+I），然后切换到 Network（网络）选项卡，刷新页面后点击 projects，找到 Request Headers（请求头）中的 Cookie 字段，复制其完整内容备用（通常为 overleaf... 开头的一长串字符串）。

然后，我们回到 VSCode，点击左侧的 Overleaf 图标，在左侧边栏旁的工作区会显示连接选项，点击加号新建连接，在正上方弹出的窗口中输入 https://latex.pku.edu.cn 作为服务器地址，然后点击连接。

修改编译器设置与编辑权限

在弹出的登录窗口中，粘贴刚才复制的 Cookie 内容，然后点击登录，就会成功连接到 PKU LaTeX 服务器，并且在工作区显示你的连接列表，展开刚刚的连接，就可以看到你在 PKU LaTeX 上的所有项目。点击进入之后就可以和像 Overleaf 上一样进行在线编辑和编译了，请注意，修改编译器设置在 VS Code 的左下角，对于中文文档需要修改编译器为 XeLaTeX，而且在文档中显式调用 ctex 宏包。另外最好打开 Copilot 编辑 TeX 文件的权限，以获得更好的智能补全体验。

绿皮书题目整理：Brain Teaser

Sat, 27 Dec 2025 20:00:00 GMT

问题简化

1 海盗分金

5 个海盗分 100 个金币
从两个海盗开始：两个人的时候，第一个人可以拿走全部；三个人的时候，为了争取最后一个人，第一个人会给他一个金币；四个人的时候，会给，为了争取倒数第二个人，第一个人会给他一个金币；五个人的时候，为了争取倒数第一个和倒数第二个，第一个人会给他一个金币；对于任意 $2n+1$ 个海盗，第一个人需要给 $3, 5,\cdots ,2n+1$ 个人每个人一个金币，偶数类似

2 老虎和羊

100 只老虎和一只羊，老虎吃了羊也会变羊，每只老虎想吃羊但怕被吃
奇数吃，偶数不吃

逻辑推理

1 渡河

ABCD 四个人渡河，只有一把火炬，每次至多两个人渡河，而且以速度慢的那个人为准，A 要 10min，B 要 5min，C 要 2min，D 要 1min。
关键是要知道，不能让 A 和 B 走回头路，而且 A 和 B 一起可以节省时间，所以最开始，C 和 D 去，C 或者 D 回来，A 和 B 过去，D 或者 C 回来接另一个人

2 生日问题

生日可能是 3.4， 3.5， 3.8， 6.4， 6.7 9.1， 9.5 12.1， 12.2， 12.8 告诉了你月份，告诉了 C 日期。你说你不知道而且 C 也不知道。C 说现在知道了。A 说他也知道了

3 卡牌游戏

52 张牌，依次拿两张牌，一红一黑就丢掉，两红给你，两黑给庄家，最后如果你剩的多，你就赢，否则你就输。你愿意以什么赔率玩？
你和庄家永远一样多。因为丢掉的牌永远是红和黑一样多，所以你的牌永远和庄家的牌一样多。

4 烧绳子

两根绳子，每根绳子点燃需要 60min，点燃的速度不均匀。问你怎么用这两根绳子测量 45min。
同时开始烧。一根烧一头，一根烧两头，两头烧完了，代表 30min，接下来烧一头的另一头，烧完了就 15min

5 次品球

12 个球，1 个次品球，重一点或者轻一点。用天平称三次，找出次品球。

6 算尾0

100！有多少个尾0
只要数因子中 2 的个数和和 5 的个数，取小的那个

7 赛马

25 匹马，5 条赛道，多少次比赛才能找出前 3 名
7 次

8 无穷序列

如果 $x^{x^{x^{\dots}}} = 2$ ，$x$ 是多少？
$x = \sqrt{2}$

打开思路

1 装箱子

53 块砖(1*1*4)，能不能装进 6 * 6 * 6 的箱子里
把箱子分成 27 个 2 * 2 * 2 的小箱子，砖可以放在小箱子里面，分别染上黑白色（13 黑，14 白），每个砖至少占一个白色的小箱子和一个黑色的小箱子，所以最后最多$13*4 = 52$块砖

2 日历骰子

两个骰子，每个骰子 6 面，能不能用这两个骰子表示出 1-31 的日期
可以，首先两个都要有 $0, 1, 2$，然后剩下的平分掉

3 挑门

两扇门，一扇通向死亡，一扇通向自由。门前都有守卫，死亡门前的守卫说谎，通向自由的守卫说真话。你可以问任意一个守卫一个问题，你该问什么？
问任意一个守卫，如果我问你另一扇门的守卫，他会说哪扇门通向自由

4 送消息

你要给一个人送消息，每个人一把钥匙一把锁，你该怎么做？
先把消息锁起来，送过去，他再加上锁，再给你送回来，你再把你的锁打开，送过去

5 最后一个球

20 个蓝球，14 个红球，每次取两个，取完不放回，两球颜色相同放一个蓝球，两球颜色不同放一个红球。问最后剩下的球是什么颜色？
最后剩下的球是蓝色，因为最后剩下的球的个数一定是奇数个，但是红球永远是偶数个

6 开关灯

4 个房外开关，只有一个控制房内灯泡，问需要多少次才能找到开关
四个开关，需要两个二值变量确定，可以通过灯泡亮不亮和热不热来判断

7 量化工资

八个人很想知道平均工资，不能直接告诉你工资。你该怎么做？
第一个人随机想一个随机数，加上自己的工资，传给下一个人，下一个人加上自己的工资，传给下一个人，最后第八个人传回给第一个人，第一个人减去自己的随机数即可

随机的应用

1 硬币堆

1000 个硬币，980个正面朝上，20 个反面朝上。你可以翻转任意数量的硬币，你看不见硬币的头反，你能不能分成两堆硬币，头一样多
假设分成两堆，第一堆 $n$ 个，其中 $m$ 个头向上，第二堆 $1000-n$ 个，其中 $20-m$ 个头向上。翻转第一堆的硬币，第一堆就有 $n-m$ 个头向上，只需保证 $n = 20$ 即可。

2 错标的袋子

三个袋子，分别是苹果、橘子和 mix，但是都错标了。怎样最少次数取水果，确定标签？
先从 mix 里取一个水果，假设是苹果，那么 mix 就是苹果，橘子就是 mix，苹果就是橘子

3 智者

50 个智者，随机进入一间房，房里有一个瓶子正着摆放，每个智者进房之后可以翻转瓶子或者什么都不做。智者们只能在最开始讨论一次，怎么确定最后是 50 个人都进入过房间了
只需要让一个人决定，每次他看到瓶子倒着了就翻转下来，其他人在第一次进入房子的时候如果瓶子正着就翻转一次，最后这个人就能知道有多少人进来过

序列求和

1 钟表碎片

钟表碎成了三片，每片的整数和相等，问怎么碎的
先算总和 78，找到 26，首先显然 5 6 7 8，然后 11 12 1 2，然后 3 4 9 10

2 消失的整数

1-100 的整数，缺失两个整数
计算和、平方和然后计算解，这样的话时间复杂度是 $O(n)$，空间复杂度是 $O(1)$

3 找假包

十个包，九个正常的，包里硬币十克，一个假包，包里硬币九克或者十一克，问怎么找出假包
编号，然后按照编号取硬币，称总重

4 玻璃球

两个球，一百层楼，扔出去的高度高于 X 就碎，问最少多少次才能找到 X
实际上要反过来想，扔 N 次，最多能测试多少层楼：比如说在 M 楼第一扔如果失败了，那么接下来为了保证一定能找出来，至少要遍历 M-1 层楼，于是 N - 1 >= M-1，第一次最多在 N 楼；以此类推，第二次最多往上 N-1 楼；于是，N 次最多能到 (N+1)N/2 层楼。最后要满足 (N+1)N/2 >= 100，解出 N >= 14

鸽笼原理

1 配袜子

2 只红袜，20 只黄袜，31 只蓝袜，随手一抓，至少抓多少只保证有一双袜子
4 只

2 握手

25 个人，是否至少有两个人握手的人数相等
只需要先把全不握过的人去掉，再把全握过的去掉，可以一下下搞，剩下假设 N 个人，既不全握过，也不是全不握过，每个人握手次数 1～N-1，于是至少两个人握手次数相等

3 我们好像在哪儿见过

六个人里，要么有三个人互相认识，要么有三个互不认识的人
把你拿出来，剩下五个人，要么有多于三个人见过你，要么有多于三个人没见过你，分别讨论，如果有多于三个人见过你，他们中只要有人互相认识就可以了，否则的话说明这三个人互相不认识；如果有多于三个人没见过你，他们只要有人互相不认识就好了，否则的话就互相都认识

4 正方形上的蚂蚁

边长为一的正方形，上面有 51 只蚂蚁，用一个半径为 1/7 的圆形玻璃杯，一定能找到一个位置盖住至少三只蚂蚁吗？
只需要把正方形看成 25 个边长为 1/5 的小正方形

5 假币二

五个包，每个包 100 枚硬币，每个包的硬币可能是 9 10 或者 11 克，称几次能试出来
一个包只需要第一个包一个硬币，两个包需要第二个包三个硬币，因为 -4～4 才能满足 $3^2$ 个可能性，三个包需要第三个包九个硬币，四个包需要第四个包27个硬币，五个包需要第五个包81个硬币

取模运算

1 囚徒问题

100 个囚徒，每个人一顶帽子，红色或者蓝色，囚徒们不能交流，帽子颜色是随机的，每次拉一个人出去猜自己的帽子颜色，如果猜对了就释放，问至少多少人猜对？
第一个人如果看到红色是奇数就猜红，否则猜蓝，其他人都可以根据第一个人的猜测和自己的帽子颜色来判断自己的帽子颜色
补充问题，如果帽子颜色是红黄蓝怎么办，只要把原来的奇偶判断换成将红黄蓝判定为 0 1 2，计算求和取模

2 除9

想出办法判断一个数是不是九的倍数
各数位数字相加，直到得到一位数，如果是 9 的倍数，那么得到的结果一定是 9
同理可以计算 11 的倍数 $a = (-1)^{n}a_{n} +(-1)^{n-1}a_{n-1}+\cdots +(-1)a_{1}+a_{0}$

3 变色龙的颜色

13 只红色的变色龙，15 只绿色的，17 只蓝色的，每次两只不同色的变色龙相遇就会换个颜色，能否最后大家一个颜色
不可以，把红色，绿色，蓝色分别对应 0 1 2，每次相遇不改变总和 mod 3 的值，所以最后不可能全部变成同一种颜色

数学推导

1 分硬币问题

100 个硬币，分成两堆，分别有 $x, y$，计算 $xy$，再分别分成两堆$x_{1},x_{2}$和 $y_{1},y_{2}$，计算 $xy+x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}$，计算分到最后（每堆只有一个硬币）的和，并证明和分法无关
这是一个归纳法问题，从一枚硬币开始，每增加一枚硬币，都是加上原有的硬币个数，比如从 2 到 3 就是第三枚硬币依次加上了前两个硬币

2 巧克力棒问题

一块巧克力棒，6 行 8 列 48 块，分成一个一个的小块，需要掰开几次
使用第二数学归纳法即可，最后结果是 $mn-1$

3 赛道

环形赛道，随机放了 N 个油罐，刚好能跑完一圈，问空油车是否总能找到一个起点，沿途捡起油罐跑完一圈。
运用归纳法，实际上总可以找到一个 $x_i$ 大于 $y_i$，这时候就可以合并 $x_i$ 和 $x_{i+1}$
另一种解法比较好玩，你开另一辆满油的车跑一圈，碰到油罐就加油，加油前测量一下油量，油量最低的点就是你要的点（因为接下来花的油都不会超过你加的油，否则不是最低点）

反证法

1 无理数

证明 $\sqrt{2}$ 是无理数
很简单

2 彩虹帽

七个囚徒，每个人一顶帽子，不允许交流，至少有一个人猜对了就放了，有没有必赢的策略
只需要把七种颜色编号为 0～6，每个人的猜测 $g_i$ 都满足$(g_{i}+ \sum\limits_{k\neq i}x_{k})%7 = i$，这样的话如果每个人都不对，那么 $\sum\limits x_{k} %7 \ne i,\forall i \in [0,6]$

绿皮书题目整理：微积分与线性代数

Sat, 27 Dec 2025 20:00:00 GMT

极限和导数

计算 $i^i$ 运用 $i=e^{i\frac{\pi}{2}}$ 牛顿法：$x_{n+1} = x_{n}- \frac{f}{f'}$，收敛速率是二次的 $\frac{(x_{n+1}-x_{f})^{2}}{(x_{n}-x_{f})^{2}}\le \delta <1$

线性代数

内积/点积：$a\cdot b = \sum_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} = a^{T}b$ 欧几里得距离：$||x|| = \sqrt{x^Tx}$

1 变量相关性

三个变量，$x,y$ 相关系数是 $0.8$，$x,z$ 相关系数是 0.8，$y,z$ 相关系数最大最小是多少
把变量考虑成向量：

2 QR 分解

任意一个可逆方阵 $A$ 都可以分解成 $QR$ 的形式，其中 $Q$ 是正交矩阵，$R$ 是上三角矩阵
QR 分解的作用：解线性方程组 $Ax = b$，可以转化为 $Rx = Q^Tb$
最小二乘

3 行列式和特征向量

特征值和特征向量：应用于 ODE、马尔可夫链、PCA

4 正定（半正定）矩阵

半正定矩阵：

$\forall x, x'Ax \ge 0$
所有特征值非负
所有主子式非负

协方差矩阵一定是半正定的，如果不存在完全共线性，就一定是正定的

5 LU分解

任意一个可逆矩阵可以分解成一个下三角矩阵 $L$ 和一个上三角矩阵 $U$ 的乘积
LU 分解的作用：解线性方程组 $Ax = b$ 可以转化为 $Ly = b, Ux = y$
当 A 是正定矩阵时，可以使用 Cholesky 分解：$A = R^TR$ ，$R$ 是唯一一个上三角矩阵，对角线上元素全为正数；Cholesky 分解可以用于生成满足协方差要求的随机分布
两个独立的标准正态分布变量，如何生成两个标准正态分布，相关系数为 $\rho$ ：考虑 $$\begin{pmatrix}x_{1}\ x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}&1 &0\ &\rho &\sqrt{1-\rho^{2}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}z_{1}\ z_{2}\end{pmatrix} ;$$一般的，我们使用 $X = \mu+R^{T}Z$，其中 $\Sigma = R^TR$

绿皮书题目整理：概率论

Sat, 27 Dec 2025 20:00:00 GMT

基本概率定义和几何操作

outcome($\omega$)：试验结果
样本空间($\Omega$)：所有试验结果的集合
试验结果的概率$P(\omega)$：$P(\omega)\ge 0,\forall \omega\in \Omega, \sum\limits_{\omega\in \Omega}P(\omega)=1$
事件：试验结果和样本空间子集的集合
事件的概率(P(A))：$P(A) = \sum\limits _{\omega\in A}P(\omega)$

1 扔硬币游戏

两个人扔硬币，A 有 n+1 个硬币，B 有 n 个硬币，问 A 正面向上的硬币比 B 多的概率是多少
A 正面向上比 B 多和 A 背面向上是互斥事件，而且等概率，所以概率是 1/2

2 卡牌游戏

52 张牌，随机打乱，你拿一张牌，对手拿一张牌，如果你的大你就赢，否则你就输了，赢得概率是多少？
只需要计算相等的概率P，然后（1-P）/2就行，相等的概率等于你随便取一张，然后在剩下的牌里只有三张保证为相等

3 喝醉的乘客

100 个乘客找位置，第一个人喝醉了随机挑，后面的人按照规则挑，如果自己的位置还在就坐自己的座位；如果被人占了，就随机挑一个座位；问第 100 个人坐在自己座位上的概率是多少；
第一个人选第 1 个和选第 100 个的概率是一样的，两个都不选的话，则相当于让他选到的位置那个人成为喝醉的状态，他就相当于变成了第一个人，仍然在第 1 个和第 100 个之间做选择

4 一圈上的 N 个点

给定 N 个点，随机放在一个圆周上，问在同一个半圆里的概率是多少？
对于每一个点，剩余 N-1 个点都落在它顺时针的那个半圆里的概率是 $(\frac{1}{2})^{N-1}$，而且每个点的这个事件彼此之间互斥（因为总有一段会大于 1/2），这样的话总的概率就是 $P = \sum\limits_{i}^{N} (\frac{1}{2})^{N}=N(\frac{1}{2})^{N}$

组合分析

1 扑克手

分别计算 Hands with a four-of-a-kind（五张卡牌里四张一样）、Hands with a full house（三张牌一样，另外两张牌一样）、Hands with 2 pairs的概率
Hands with a four-of-a-kind: $\frac{13124}{C_{52}^{5}}$
Hands with a full house: $\frac{C_{13}^{2}2C_{4}^{3}*C_{4}^{2} }{C_{52}^{5}}$
Hands with a two pairs: $\frac{C_{13}^{3}3C_{4}^{2}*C_{4}^{2}*4}{C_{52}^{5}}$

2 单腿跳兔子

兔子上 n 级台阶，可以一次跳一级，也可以跳两级，问一共多少种路径
斐波那契数列

3 海盗分金2

11 个海盗把赃款存在保险箱里，要求只有不少于 6 个人的时候，才能开箱，现在找来铁匠上锁，铁匠可以上很多锁，每把锁可以有很多钥匙，但是每把钥匙只能开一个锁，现在最少需要多少把锁？
任意五个人，至少要有一个锁这五个人打不开，所以至少要 $C_{11}^{5}$ 把锁

4 围棋锦标赛

$2^n$ 个人比赛，能力从高到低排，采取淘汰赛制，问第一强的和第二强的人在决赛相见的概率是多少
只要前面 n-1 次比赛都见不上就好了，所以结果是$\prod_{k}^{n-1}a_{k},a_{k}=\frac{2_{n}-2}{2_{n}-1}=\frac{2(2_{n-1}-1)}{2_{n}-1}$，裂项相消之后得到结果 $\frac{2^{n-1}}{2^{n}-1}$
也可以用二叉树的思路，只要第二名最开始不在和第一名同一个子树就好了

5 申请信

5 封信都放错信封的概率是多少
容斥原理即可

6 生日问题

一个班里至少要有多少个人，才能让至少两个人生日相同的概率大于$\frac{1}{2}$?
$\frac{A_{365}^{n}}{365^{n}}$

7 第 100 个数字

$(1+\sqrt{2})^{3000}$ 的小数点后第 100 个数字是多少？
考虑 $(1+\sqrt{2})^{n}+(1-\sqrt{2})^{n}$ 是整数，所以只需要计算 $(1-\sqrt{2})^n$ 的部分，可定小于 $0.1^{100}$ 所以最后可能是 0

8 整数的立方

$x \in [1, 10^{12}]$，x 为整数，问 $x^{3}$ 以 11 结尾的概率是多少？
$x = 10a+b$ 计算可得 $x^{3}= (10a+b) ^{3} = a^3+30a^2b+300ab^{2}+100b^{3}$ ，只需要 $a^{3}=1$，因此 $a =1$，所以 $30a^{2}b=30b$ 以 10 结尾，所以 $b$ 以 7 结尾。所以概率是 1%

条件概率与贝叶斯公式

1 男孩女孩

有一个家庭有两个孩子，已知其中一个是女孩，问另一个是女孩的概率是多少？
直接算
有一个家庭有两个孩子，现在看到一个女孩，问另一个是女孩的概率是多少？
1/2

2 女儿国

如果世界里的父母都一直生，直到生出一个女孩为止，那么这个世界上有多少比例的女孩？
1/2

3 不公平的硬币

1000 个硬币里，有一个两面都是头的硬币，其他都是正常的硬币，随机拿一个硬币，抛 10 次，结果都是头，问这个硬币是两面都是头的概率是多少？
使用贝叶斯公式$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}=\frac{2}{999*(\frac{1}{2})^{10}+2}$$

4 不公平硬币下的公平概率

一枚不均匀的硬币，如何产生公平概率？
只需要考虑正反和反正等价

5 飞镖游戏

Jason 丢了两次飞镖，第二次比第一次差，问第三次比第一次差的概率是多少？
只需要考虑三次飞镖的结果排序各种情况等概率，因此很容易算出来是 $\frac{n}{n+1}$

6 生日队伍

影院排着队，如果有人的生日和已经拿到票的人的生日相同，那么这个人就会直接拿到票，问哪里位置最好
只需要考虑前面的人的生日各不相同且自己和前面的人生日相同的概率乘积，找到其最大值

7 骰子排序

有 6 个骰子，随机投掷，问有大多概率服从升序
概率为三个骰子点数不同且三个数升序的概率

8 三门问题

有三扇门，A、B、C，背后分别是汽车、山羊、山羊，先选一扇门，然后主持人打开另一扇有山羊的门，问换门的获胜概率是多少？
不换的话就和最开始的概率一样，换的话只需要最开始选错，所以概率是 2/3

9 变形虫数

有一个变形虫，每一分钟可能会死亡、维持原样、分裂为 2 个或 3 个，概率相同，分裂后的变形虫会做出类似的行为，问变形虫灭绝的概率是多少？
使用全概公式$$P(die~out)=1/4+1/4P(die~out)+1/4P(both~die~out)+1/4*P(three ~die~out)$$解得$$P(die~out)=\sqrt{2}-1$$

10 罐里的糖果

罐里有红色、绿色、蓝色糖果，红色 10 个，绿色 20 个，蓝色 30 个，随机一次拿出一个，问拿完红糖果之后剩下至少一个绿色糖果和蓝色糖果的概率是多少？
考虑这样一个统计量，最后一个被拿出的糖果所在的位置，分别记为 $T_{r},T_{g},T_{b}$，于是拿完红糖果之后剩下至少一个绿色糖果和蓝色糖果的等价于 $T_{r}<T_{g}\cap T_{r}<T_{b}=T_{r}<T_{g}<T_{b}\cup T_{r}<T_{b}<T_{g}$，这两个是互斥事件。$P(T_{r}<T_{g}<T_{b})=P(T_{b}=60)P(T_{r}<T_{g}|T_{b}=60)$，前者只需考虑 60 个球等概率地排在最后一个，后者只需要不考虑蓝球然后进行类似的分析即可。

11 扔硬币游戏

两个人轮流扔硬币，如果出现 HT 游戏结束，而且投出 T 的人获胜。A 先投，A 获胜的概率是多少？
$\begin{cases}P(A) = P(H)P(A|H)+P(T)(1-P(A))\ P(A|H) =P(H)(1-P(A|H))\end{cases}$

12 俄罗斯轮盘赌

俄罗斯轮盘赌，一颗子弹，打完之后不转动，先玩还是后玩？
先玩和后玩是等价的，概率都是 1/2，因为游戏一旦开始，位置就确定了
更改一下条件，如果每次扣动扳机之后都调整转盘，还是一样的吗？
不一样，这时候就不一样了，因为 $p = \frac{1}{6}+ \frac{5}{6}(1-p)$
如果这时候放了两颗子弹，有个人打了一发没中，接下来轮到你选择，你转不转轮盘？
这个时候如果不转，那就是 $2/5$，否则就是 $2/6$
如果放了两颗连续的子弹呢？
如果不转，那就是 $1/4$，否则就是 $2/6$

13 尖

四个人每个人摸 13 张，问每个人都有尖的概率是多少？
可以直接用组合来算 $$\frac{\frac{52!}{13!13!13!13!}}{\frac{4!\times48!}{12!12!12!12!}}$$
也可以直接考虑每张尖属于不同堆的条件概率 $1\times \frac{39}{51} \times \frac{26}{50}\times \frac{13}{49}$

14 赌徒输光问题

赌徒有 i 元，每次读报，赢一元的概率是 $p$，输一元的概率是 $1-p$，赢 $N$ 元或者输光为止，问他赢钱的概率是多少？
采用递归的分析方法，关键是要假设这么一个概率，即在 i 元的情况下，赢得概率为 $P(i)$，则有 $$P_{i} = pP_{i+1}+qP_{i-1}$$ 结合边界条件 $P_{0}=0,P_{N}=1$，可以得到结果 $$ P_{i}=\begin{cases} \frac{1-(\frac{q}{p})^{i}}{1-(\frac{q}{p})^{N}} & \text{if } p \neq q\ \frac{i}{N} & \text{if } p = q \end{cases} $$

15 篮球得分

一名球员正在投 100 次篮，已经投了 2 次，第一次投中了，第二次没投中，接下来每一次投中的概率是得分占已投篮次数的比例，问他最后得 50 分的概率是多少？
非常神奇的一道题目，需要从简单情况递推得到结果，以 $P_{n,k}$ 表示 $n$ 次投中了 $k$ 次的概率，则有递推关系 $P_{n+1,k}=P(miss|(n,k))P_{n,k}+P(score|(n, k-1))P_{n,k-1}$。然后从 3 开始，$P_{3,1}=\frac{1}{2},P_{3,2}=\frac{1}{2}$，接着可以猜测 $P_{n,k}=\frac{1}{n-1}$。并且验证可以得证

16 路上的车

很简单我就不写了

离散和连续分布

1 相遇问题

两个人在 5 点到 6 点之间随机到的车站，只停留 5 分钟，问两个人相遇的概率是多少？
这是一个典型的几何概型，考虑一个二维平面，横坐标是 A 的到达时间，纵坐标是 B 的到达时间，两个点的距离小于等于 5 分钟的概率就是一个 $|Y-X|=5$ 区域的面积占整个区域的面积的比例，结果是 $23/144$

2 三角形的概率

一个棍子随机折断两次，问形成三角形的概率是多少？
考虑断的位置是 $(x,y)$，不妨设 $x<y$ ，则满足 $y>1-y, x+(1-y)>y-x,(y-x)+(1-y)>x$

3 泊松过程的性质

就是在说泊松过程无记忆性

4 正态时刻

正态分布的高阶矩怎么算
使用母函数 $M(t) = \mathbb{E} e^{tX}$，于是可以得到 $M^{(n)}(0)=\mathbb{E}X^{n}$

期望，方差，协方差

1 连面条

100 根面条，任意取两端连起来，直到没有两端，问最后环的个数的期望是多少？
还是一个递推的题目：考虑使用 $f_i$ 表示 i 根面条形成的环数，显然 $\mathbb{E}f_{1}=1$，接着考虑 $\mathbb{E}f_{2}=\mathbb{E} [\frac{1}{3}(1+f_{1})+ \frac{2}{3}f_{1}]=1+ \frac{1}{3}$，紧接着可以递推得到 $\mathbb{E}f_{n}= \mathbb{E}[1+ \frac{1}{3}+\cdots+ \frac{1}{2n-1}]$

2 最优对冲比例

两只股票 A 和 B，B 的份额是多少才能最小化对冲头寸的风险
非常简单： $h=\rho \frac{\sigma_{A}}{\sigma_{B}}$

3 骰子游戏

每次投骰子，投到的点数就是收益，如果点数大于三继续，否则停止，问期望是多少
一个简单的解法是 wald 等式：可以把投骰子的过程分解成两个部分，前面 $n-1$ 局，和最后一局，最后一局的期望是 $2$，前面 $n-1$ 局的期望是 $\mathbb{E} \sum\limits_{i}^{n-1}X_{i}$，于是非常轻易的可以得到最后的结果是 $1\times5+2=7$

4 纸牌游戏

52 张牌背面朝上，问要找到第一张尖翻的次数的期望
其实就是求 $\mathbb{E} \tau+1= \mathbb{E}\sum\limits_{i=1}^{48}X_{i}+1$，其中 $\tau$ 表示在第一张 A 之前的纸牌个数，$X_{i}$ 表示第 i 张非 A 牌（与顺序无关）是否在第一张 A 前，可以想象成插空法，于是 $\mathbb{E}X_{i}=1/5$ ，于是可以得出答案

5 随机变量的和

设 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$ 是独立同分布的随机变量，服从 $[0,1]$ 上的均匀分布，问 $S_{n} = \sum\limits_{i=1}^{n}X_{i} \le 1$ 的概率是多少
想象一个高维的锥体，可以得到结果就是 $\frac{1}{n!}$

6 集水浒卡

有 N 种水浒卡，每个盒子等概率的有一张。A：问集齐一套的概率是多少；B：n 张卡里面，种类数的期望是多少
A：考虑 $X = \sum\limits_{i=1}^{N}X_{i}$ ，其中 $X_{i}$ 是找到第 i 张卡的次数，$X_{i}$ 服从几何分布，期望是 $N/(N-i+1)$，于是结果是 $N\sum\limits_{i=1}^{N} \frac{1}{i}$
B：考虑 $Y = \sum\limits_{i=1}^{N}Y_{i}$，其中 $Y_{i}$ 是第 $i$ 种卡是否被抽到的指示函数，$Y_{i}$ 服从伯努利分布，期望是 $1-(1-\frac{1}{N})^{n}$，于是结果是 $N(1-(1-\frac{1}{N})^{n})$

7 联合违约概率

一个债券 50% 的概率违约，另一个债券 30% 的概率违约，问至少一个债券违约的概率和相关系数的范围
至少一个债券违约的概率是 $P (I_A \cup I_B) = P(I_A) + P(I_B) - P(I_A \cap I_B) = \mathbb{E} (I_A)+\mathbb{E} (I_B)-(\mathbb{E}I_{A}\mathbb{E}I_{B}-\mathbb{Cov}(I_{A}, I_{B}))$
相关系数的范围可以通过债券违约的概率最小是 0.5，最大是 0.8 来得到

次序统计量

[!note] 第 $i$ 小的数字的期望从 $1$ 到 $n$ 的 $n$ 个数中随机抽取 $k$ 个数，问第 $i$ 小的数的期望是 $$ \mathbb{E}X_{(i)} = \frac{i(n+1)}{k+1} $$

1 随机蚂蚁

500 只蚂蚁在一英寸的线上走，出发点随机，速度是 1 英尺/min，碰头了就互相掉头，问所有蚂蚁掉下来的时间期望
由于碰撞之后互相掉头相当于没掉，只要考虑时间最长的那只留了多久，所以结果就是 $\frac{500}{501}$

抽象代数环理论

Tue, 23 Dec 2025 20:00:00 GMT

1 子环与同态

自同态环：设 $G$ 为交换群，运算记为 $+$，用 $\operatorname{End}(G)$ 表示 $G$ 的全体自同态的集合。显然，$\operatorname{End}(G)$ 在映射的加法和复合运算下构成一个环，称之为交换群 $G$ 上的一个自同态环。环直和：设 $R_{1},R_{2},\cdots,R {n}$ 是环，令 $R = R{1}\times R_{2}\times \cdots\times R {n}$ 则，在逐点加法和乘法下，$R$ 是一个环，称之为环 $R{1},R_{2},\cdots,R {n}$ 的直和，记为 $R = R{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots\oplus R _{n}$。

幂等元：设 $R$ 为环，$a \in R$，若 $a^{2}=a$，则称 $a$ 为环 $R$ 的一个幂等元。 Boole 环：若环 $R$ 中的每个元素都是幂等元，则称环 $R$ 为一个 Boole 环。显然 boole 环是交换环。除环：设 $R$ 为环，若 $R$ 中除零元外的每个元素都是可逆元，则称环 $R$ 为一个除环，或称为体。整环：设 $R$ 为交换环，若 $R$ 中不存在零因子，即对任意 $a,b \in R$，$ab=0$ 蕴含 $a=0$ 或 $b=0$，则称环 $R$ 为一个整环。 整环和除环都有消去律，但是对于一般的环没有消去律 子环与扩环：设 $R$ 为环，$S$ 是 $R$ 的一个非空子集，且含有 $R$ 的乘法单位元 $1$. 若 $S$ 在 $R$ 的加法和乘法下还是环，则称 $S$ 为环 $R$ 的一个子环, 或称环 $R$ 为环 $S$ 的一个扩环。容易看出，$\mathbb{Z}{n}$ 的子环只有自身，因为 $\mathbb{Z}{n}$ 的加法子群为由 $1$ 生成的循环群。类似地，整数环的子环也只有自身。子域与扩域：设 $F$ 为域，若它的子环 $L$ 也是域，则称 $L$ 为域 $F$ 的一个子域，或称域 $F$ 为域 $L$ 的一个扩域。四元除环：$\mathbb{H} = {\begin{pmatrix}\alpha & \beta \ -\bar{\beta} & \bar{\alpha}\end{pmatrix} |\alpha ,\beta \in \mathbb{C}}$，显然 $\mathbb{H}$ 是 $\mathbb{R}$ 上的一个线性空间，且 $\mathbb{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & 1\end{pmatrix}, \mathbf{i}=\begin{pmatrix}i & 0 \ 0 & -i\end{pmatrix}, \mathbf{j}=\begin{pmatrix}0 & 1 \ -1 & 0\end{pmatrix}, \mathbf{k}=\begin{pmatrix}0 & i \ i & 0\end{pmatrix}$ 是 $\mathbb{H}$ 的一组基，称 $\mathbb{H}$ 为四元数除环。这是一个非交换除环，Wedderburn 定理说明，任意有限除环都是域，因此四元数除环是无限的。令 $Q={ \pm \mathbb{1}, \pm \mathbf{i}, \pm \mathbf{j}, \pm \mathbf{k} }$，则 $Q$ 在矩阵乘法下构成一个 8 阶的非交换群，称为四元数群。

环同态：设 $R,R'$ 为两个环，$\varphi: R\to R'$ 为映射，如果对于 $\varphi$ 保持加法和乘法运算，即对任意 $a,b \in R$，都有 $$ \varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b), \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b), $$ 且 $\varphi(1_{R})=1_{R'}$，则称 $\varphi$ 为环到环 $R'$ 的一个环同态。同样地，若 $\varphi$ 是环同态且双射，则称 $\varphi$ 为环 $R$ 和环 $R'$ 之间的一个环同构，记为 $R \cong R'$。

命题 4.1.1：设 $S$ 为环 $R$ 的一个非空子集，则 $S$ 为 $R$ 的一个子环的充分必要条件是 $1\in S$ 且对任意 $a,b \in S$，都有 $a-b \in S$ 且 $ab \in S$。
- 由此可以看出，环 $R$ 的最小子环一定是 $S_{0}={ n\cdot 1|n \in \mathbb{Z} }$ 。
命题 4.1.2：设 $F$ 为域，$L \subset F$ 且 $\left| L \right|\ge 2$，则 $L$ 为 $F$ 的一个子域的充分必要条件是对任意 $a,b \in L,a\neq 0$，都有 $a-b \in L$ 且 $ab^{-1} \in L$。
定理 4.1.1（挖补定理）：设 $R$ 和 $S'$ 是两个环且 $R \cap S'=\emptyset$，$S$ 是 $R$ 的子环且 $S \cong S'$，则存在环 $R'$ 使得 $R' \cong R$ 且 $S'$ 是 $R'$ 的子环。
- 类似于群论的挖补定理，证明也类似。

2 多项式环

$R-$ 线性无关：设 $R$ 是交换环 $A$ 的一个子环，$x \in A$，称 $x$ 的幂次是 $R-$ 线性无关的，若对任意整数 $n\ge 0$，$R$ 中任意 $a_{0},a_{1},\cdots,a_{n}$，由 $$ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}=0 $$ 可推出 $$ a_{0}=a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}=0. $$ 若 $x \in A$ 且 $x$ 的幂次是 $R-$ 线性相关的，则称 $x$ 为环 $R$ 上的一个不定元或未定元，也称为 $R$ 上的一个变元。

一元多项式：设 $R$ 是交换环 $A$ 的一个子环， $x \in A$ 是 $R$ 上的一个不变元。对任意 $n \in \mathbb{N},a_{0},a_{1},\cdots,a_{n}\in R$ ，称 $f(x)= \sum_{j =0}^{n}a_{j}x^{j}$ 为环 $R$ 上的一元多项式，记为 $f(x) \in R[x]$。其中 $a_{j}$ 称为多项式 $f(x)$ 的系数，若 $a_{n}\neq 0$，则 $n$ 称为多项式 $f(x)$ 的次数，记为 $\deg f(x)$，称首项系数为 $1$ 的多项式 $f(x)$ 为首一多项式。多项式环：设 $R$ 是交换环 $A$ 的一个子环，$x \in A$ 是 $R$ 上的一个不变元，则由所有 $R$ 上一元多项式组成的集合记为 $R[x]$，显然是一个子环，称之为一元多项式环。显然，多项式环 $R[x]$ 中 $f(x)=g(x)$ 当且仅当 $$ \deg f(x)=\deg g(x)=n \text{ 且 } \forall 0\le j \le n, a_{j}=b_{j} $$

固定：设 $R$ 为交换环，$A$ 是 $R$ 的一个交换扩环，任取 $a\in A$，对任意 $f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\in R[x]$，定义 $f(a)\in A$。这样 $\varphi_{a}:f(x)\mapsto f(a)$ 是 $R[x]$ 到 $A$ 的一个映射（称为固定映射）。显然，对任意 $r \in R$ 有 $\varphi_{a}(r)=r$，即 $\varphi_{a}$ 固定 $R$ 中的每个元素，这时也称 $\varphi_{a}$ 固定 $R$

命题 4.2.1：设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是交换环 $R$ 上的非零多项式，则：
- 若 $\deg f(x)\ne\deg g(x)$，则 $f(x)+g(x)\ne 0$ 且 $\deg (f(x)+g(x))= \max{\deg f(x),\deg g(x)}$
- 若 $\deg f(x)=\deg g(x)$，则 $\deg (f(x)+g(x))\le \deg f(x)$
- $\deg (f(x)g(x))\le\deg f(x)+\deg g(x)$
- 若 $R$ 为整环，则有 $f(x)g(x)\ne 0$，所以 $R[x]$ 也是整环，进一步地，$\deg (f(x)g(x))=\deg f(x)+\deg g(x)$
命题 4.2.2：设 $R$ 是整环，则 $U(R[x])=U(R)$ ，即 $R[x]$ 中的可逆元恰为 $R$ 中的可逆元。
- $U(R)$ 表示环 $R$ 的可逆元全体。
命题 4.2.3：设 $\mathbb{F}$ 为域，$f(x)\in \mathbb{F}[x]$ 非零，$a\in \mathbb{F}$，则 $a$ 是 $f(x)$ 的根当且仅当存在 $g(x)\in \mathbb{F}[x]$ 使得 $f(x)=(x-a)g(x)$
命题 4.2.4：设 $\mathbb{F}$ 为域，$f(x)\in \mathbb{F}[x]$ 非零，则 $f(x)$ 在 $\mathbb{F}$ 中的不同根的个数不超过 $\deg f(x)$。
定理 4.2.1（带余除法定理）：设 $R$ 为交换环，$g(x)\in R[x]$，且满足 $g(x)$ 的首项系数为 $R$ 中的可逆元，则对 $\forall f(x)\in R[x]$，存在唯一的 $q(x),r(x)\in R[x]$ 满足 $f(x)=q(x)g(x)+r(x)$，且 $\deg r(x)< \deg g(x)$。
定理 4.2.2：设 $A$ 是 $R$ 中的一个交换扩环，$a\in A$，则映射 $\varphi_{a}: R[x]\to A$ 是一个固定 $R$ 的环同态。反之，每个固定 $R$ 的环同态 $\varphi: R[x]\to A$ 一定形如 $\varphi_{a}$，对某个 $a\in A$。

3 矩阵环

全矩阵环：环 $R$ 上的 $n$ 阶方阵组成的集合记为 $M_{n}(R)$，在矩阵加法和乘法下是一个环，称之为环 $R$ 上的一个全矩阵环。全矩阵环中的可逆元称为可逆矩阵，无论 $R$ 是否交换，全矩阵环 $M_{n}(R)$ 都不交换。三类初等变换：

交换两行（列）；$P_{ij}$
某行（列）乘以 $R$ 中的可逆元 $k$；$D_{i}(k)$
某行（列）加上另一行（列）的 $R$ 中的倍数；$S_{ij}(k)$
命题 4.3.4（Binet-Cauchy 公式）：设 $A$ 和 $B$ 分别是交换环 $R$ 上的 $m\times n$ 和 $n \times s$ 矩阵，并记 $C=AB$，则对任意 $1\le i_{1}<i_{2}< \cdots <i_{r}\le m$ 和 $1\le j_{1}<j_{2}< \cdots<j_{r}\le s$，都有 $$ D_{C}\begin{pmatrix} i_{1},i_{2},\cdots,i_{r} \ j_{1},j_{2},\cdots,j_{r} \end{pmatrix} =\sum_{1\le k_{1}<k_{2}< \cdots<k_{r}\le n}D_{A}\begin{pmatrix} i_{1},i_{2},\cdots,i_{r} \ k_{1},k_{2},\cdots,k_{r} \end{pmatrix}D_{B}\begin{pmatrix} k_{1},k_{2},\cdots,k_{r} \ j_{1},j_{2},\cdots,j_{r} \end{pmatrix} $$

4 理想与商环

理想：设 $I$ 是环 $R$ 的非空子集，若 $I$ 是 $R$ 的加法子群，且对 $\forall r \in R,rI\subset I,Ir\subset I$，则称 $I$ 为环 $R$ 的一个理想。显然 ${ 0 }$ 和 $R$ 本身都是 $R$ 的理想，称为平凡理想；若 $R$ 只有平凡理想，称 $R$ 为单环。而且理想中不包含可逆元，因此若 $R$ 为除环，则 $R$ 只有平凡理想。

[!note] 理想和正规子群理想的定义是从环同态核出发得到的，正如正规子群是从群同态核出发得到的一样

幂零根：交换环 $R$ 的幂零元全体构成 $R$ 的一个理想，称为环 $R$ 的幂零根，记为 $\operatorname{Rad}(R)$ 设 $R$ 为交换环，任取 $a \in R$，则 $aR$ 称为 $R$ 的理想，称其为元素 $a$ 生成的主理想，记为 $(a)$ 生成的理想：设 $S$ 是环 $R$ 的一个非空子集，则由 $S$ 中元素生成的环 $R$ 的最小理想称为由 $S$ 生成的理想，记为 $(S)$。如果 $S$ 是有限集，$S={a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}}$，则由 $S$ 生成的理想记为 $(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})$，称为由 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ 生成的有限理想。特别地，若 $S = { a }$，则称 $(a)$ 为主理想。对于交换除环，$(a)$ 的形式为： $$ (a)={ra|r \in R} $$ 而对于一般的环，$(a)$ 的形式为： $$ (a)=\left{\sum_{k=1}^{n}r_{k}ar'{k}|r{k},r'_{k}\in R,n\in \mathbb{N}\right} $$

主理想环：设 $R$ 为环，若 $R$ 的每个理想都是主理想，则称环 $R$ 为一个主理想环。商环：设 $I$ 是环 $R$ 的一个理想，定义在 $R$ 的加法商群 $R/I={a+I|a \in R}$ 上的加法和乘法为 $$ (a+I)+(b+I)=(a+b)+I $$ $$ (a+I)(b+I)=ab+I $$ 则 $R/I$ 在上述加法和乘法下构成一个环，称之为环 $R$ 关于理想 $I$ 的一个商环，其中单位元为 $1+I$。

命题 4.4.1：设 $I,J$ 都是环 $R$ 的理想，定义 $$ \begin{align} I+J & ={a+b|a\in I,b\in J} \ I \cap J & ={a|a\in I \text{ 且 } a\in J} \ IJ & =\left{\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in I,b_{k}\in J,n\in \mathbb{N}\right} \end{align} $$ 则 $I+J,I \cap J$ 和 $IJ$ 都是环 $R$ 的理想。
命题 4.4.2：设 $R$ 为交换环，$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in R$，则 $R$ 的由 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ 生成的理想为 $$ (a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})={r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots+r_{n}a_{n}|r_{i}\in R,1\le i \le n} $$ 进一步地， $$ (a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})=a_{1}R+a_{2}R+\cdots+a_{n}R $$
定理 4.4.1：域 $F$ 上一元多项式环 $F[x]$ 的理想都是主理想，且每个非零理想 $(f(x))$ 的生成元 $f(x)$ 可以取为首一多项式。
- 只需要考虑做带余除法即可。

5 环同态基本定理

特征：设 $R$ 为环，令 $\varphi(k)=k\cdot 1,\forall k \in \mathbb{Z}$，则 $\varphi$ 是环 $\mathbb{Z}$ 到环 $R$ 的一个环同态，称其为特征同态。$\operatorname{Ker}\varphi$ 是 $\mathbb{Z}$ 的一个理想，因此存在唯一的非负整数 $n$ 使得 $\operatorname{Ker}\varphi=n\mathbb{Z}$，称 $n$ 为环 $R$ 的特征，记为 $\operatorname{char}R$。特别地，若 $\operatorname{Ker}\varphi={0}$，则称环 $R$ 的特征为零。

互素：设 $I$ 和 $J$ 都是环 $R$ 的理想，若 $I+J=R$，则称理想 $I$ 和 $J$ 互素。

命题 4.5.1：若环 $R$ 的理想 $J$ 与 $J_{1},J_{2}$ 都互素，则 $J$ 与 $J_{1}J_{2}$ 也互素，从而 $J$ 与 $J_{1}\cap J_{2}$ 互素
定理 4.5.1（环同态基本定理）：设 $\varphi: R\to R'$ 是环 $R$ 到环 $R'$ 的一个环同态，令 $K = \operatorname{Ker}\varphi$，则 $$ R/K \cong \operatorname{Im}\varphi $$
定理 4.5.2：设 $R$ 为环，则 $R$ 的特征要么为零，要么为某个正整数 $n$。进一步地，若 $\operatorname{char}R=0$，则 $R$ 有子环 $\mathbb{Z}$；若 $\operatorname{char}R=n>0$，则 $R$ 有子环 $\mathbb{Z}_{n}$。
定理 4.5.3：整环的特征为 $0$ 或素数
定理 4.5.4（第二同构定理）：设 $R$ 是环，$I$ 是 $R$ 的一个理想，$H$ 是环 $R$ 的一个子环，则 $H+I$ 是环 $R$ 的一个子环，$H\cap I$ 是环 $H$ 的一个理想，且 $$ (H+I)/I \cong H/(H\cap I) $$
定理 4.5.5（第三同构定理）：设 $R$ 是环，$I$ 和 $J$ 都是环 $R$ 的理想，且 $I \subset J$，则 $J/I$ 是环 $R/I$ 的一个理想，且 $$ (R/I)/(J/I) \cong R/J $$
定理 4.5.6（第三同构定理）：设 $R,R'$ 是环，$\varphi: R\to R'$ 是环同态，$J$ 是 $R$ 的一个理想，且 $\operatorname{Ker}\varphi \subset J$，则 $\varphi(J)$ 是环 $\varphi(R)$ 的一个理想，且 $$ R/J \cong \varphi(R)/\varphi(J) $$
定理 4.5.7（对应定理）：设 $R,R'$ 是环，$\varphi: R\to R'$ 是环的满同态，令 $\mathcal{J}$ 为 $R$ 的所有包含 $\operatorname{Ker}\varphi$ 的理想组成的集合，$\mathcal{L}$ 是 $R'$ 的所有理想组成的集合，则
- 若 $J \in \mathcal{J}$，则 $\varphi(J) \in \mathcal{L}$；若 $L\in \mathcal{L}$，则 $\varphi^{-1}(L) \in \mathcal{J}$；
- 若 $J\in \mathcal{J}$，则 $\varphi ^{-1}(\varphi(J))=J$；若 $L\in \mathcal{L}$，则 $\varphi(\varphi^{-1}(L))=L$；
- 映射 $J\mapsto \varphi(J)$ 是 $\mathcal{J}$ 到 $\mathcal{L}$ 的一个双射，其逆映射为 $L\mapsto \varphi^{-1}(L)$。
- 若 $J \in \mathcal{J}$ ，则有环同构 $R/J \cong R'/\varphi(J)$。
定理 4.5.8（中国剩余定理）：设 $R$ 为环，$I_{1},I_{2},\cdots,I_{n}$ 是 $R$ 的两两互素的理想，则有环同构 $$ R/(I_{1}\cap I_{2}\cap \cdots \cap I_{n}) \cong R/I_{1}\oplus R/I_{2}\oplus \cdots \oplus R/I_{n} $$

6 极大理想和素理想

极大理想：设 $R$ 是环，$M$ 是 $R$ 的理想且 $M\ne R$，对 $R$ 的任意理想 $N$ ，若 $M\subset N$，必有 $N=M$ 或者 $N=R$，则称 $M$ 为环 $R$ 的一个极大理想。

素理想：设 $R$ 为环，$P$ 是 $R$ 的真理想，且对于 $R$ 的任意理想 $I$ 和 $J$ ，由 $IJ\subset P$ 可得到 $I\subset P$ 或者 $J\subset P$，则称 $P$ 为环 $R$ 的一个素理想。

命题 4.6.1：设 $F$ 是域，$f(x)\in F[x]$ 且 $\deg f(x)=2$ 或 $3$ ，则 $f(x)$ 在 $F[x]$ 中不可约当且仅当 $f(x)$ 在 $F$ 中无根
命题 4.6.2：设 $R$ 为环，则环 $R$ 的每个极大理想都是素理想。
定理 4.6.1：设 $R$ 是交换环，$K\ne R$ 是 $R$ 的理想，则 $R/K$ 是域当且仅当 $K$ 是 $R$ 的极大理想。
- 推论 4.6.1：设 $R$ 是交换单环，则 $R$ 为域
- 推论 4.6.2：设 $n$ 为非负整数，则 $\mathbb{Z}_{n}$ 为域当且仅当 $n$ 为素数。
定理 4.6.2：设 $R$ 为非零环，$I$ 为 $R$ 的理想且 $I\ne R$，则存在环 $R$ 的极大理想 $M$ 使得 $I \subset M$。
定理 4.6.3：设 $F$ 为域，$f(x)\in F[x]$ ，则 $(f(x))$ 是 $F[x]$ 的极大理想当且仅当 $f(x)$ 在 $F[x]$ 中不可约
定理 4.6.4：设 $F$ 是域，则商环 $F[x]/(f(x))$ 是域当且仅当 $f(x)$ 在 $F[x]$ 中不可约。
定理 4.6.5（Kronechker 定理，域论基本定理）：设 $F$ 为域，$f(x)\in F[x]$，$\deg f(x)\ge 1$，则存在 $F$ 的扩域 $E$ 使得 $f(x)$ 在 $E$ 中有根。
定理 4.6.6：设 $R$ 为非零交换环，$P$ 是 $R$ 的真理想，则下面陈述等价：
- $P$ 是环 $R$ 的素理想；
- 商环 $R/P$ 是整环。
- $\forall a,b \in R$，若 $ab \in P$，则 $a \in P$ 或 $b \in P$。
- 推论 4.6.3：设 $R$ 为非零交换环，则 ${0}$ 是环 $R$ 的素理想当且仅当 $R$ 是整环。
定理 4.6.7：设 $R$ 是非零交换环，则 $R$ 的所有素理想的交恰好是 $R$ 的幂零根 $\operatorname{Rad}(R)$

7 分式域域局部化

整环的局部化：设 $R$ 为整环，考虑集合 $$ R\times R\setminus {0}={(a,b)|a,b \in R,b\ne 0} $$ 在该集合上定义关系 $\sim$ 为 $(a,b)\sim (c,d)$ 当且仅当 $ad=bc$。容易验证 $\sim$ 是等价关系，记等价类为 $\frac{a}{b}$。则 $$ F = \left{\frac{a}{b}|a,b \in R,b\ne 0\right} $$ 在以下加法和乘法下构成一个域： $$ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}, \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} $$

分母集：设 $R$ 为非零交换环，$D$ 是 $R$ 的一个子集，满足 $1\in D，0\not\in D$，$D$ 无零因子，且 $D$ 对乘法封闭，即对于 $a,b \in D$，$ab \in D$，则称 $D$ 为环 $R$ 的一个分母集。称 $$ R_{D}=\left{\frac{a}{b}|a \in R,b \in D\right} $$ 为 $R$ 关于分母集 $D$ 的局部化。

Laurent 多项式环：设 $R$ 为交换环，$x$ 是 $R$ 上的一个不定元，则由所有形如 $$ f(x)=\sum_{j=m}^{n}a_{j}x^{j} $$ 的多项式组成的集合记为 $R[x,x^{-1}]$，其中 $a_{j}\in R,m,n\in \mathbb{Z},m\le n$。在逐点加法和乘法下，$R[x,x^{-1}]$ 构成一个环，称之为环 $R$ 上的Laurent 多项式环。

定理 4.7.1：设 $R$ 为整环，$\sigma$ 为环 $R$ 到域 $K$ 的单同台，则存在唯一的域的单同态 $\pi: F\to K$ 使得 $\sigma=\pi f$

如何在使用魔法的同时保持直连

Tue, 23 Dec 2025 20:00:00 GMT

在使用魔法时，常常会遇到某些网站必须同时使用直连才能正常访问的情况，如果全部使用代理设置，就可能导致这些网站无法访问或者加载过慢的情况，由于简中教程几乎无法进行相应讨论，这里简单介绍一下如何在常见的魔法工具中设置直连。

第一步，将您的代理工具切换为一个可以进行规则覆写的魔法工具，比如 Mihomo Party，这将帮助我们更灵活地手动添加规则进行管理。

第二步，找到规则覆写界面，点击右上角加号新建规则覆写，注意要开启 全局启用。

第三步，导入规则，可以直接复制粘贴，将其中 xxx.site 等替换为您需要直连的网站域名（如 pku.edu.cn ），然后完成保存即可。（代理分组中的 Special 可以替换为其他分组名用以区分；不过替换后，在 rules 部分的也需要随之替换）

# https://mihomo.party/docs/guide/override/yaml


+proxy-groups:

- name: Special

proxies:

- DIRECT

type: select

  

+rules:

- DOMAIN-SUFFIX,xxx.site, Special

- DOMAIN-SUFFIX,yyy.site, Special

然后就大功告成啦，再次访问这些网站时，就会自动使用直连方式访问了，可以在日志中搜索关键词找到哟～

抽象代数前三章

Thu, 20 Nov 2025 20:00:00 GMT

小结论

1 常见的非平凡正规子群

代数结构：
- 同态核 $\operatorname{Ker}\varphi$
- 中心 $Z(G)$
- 换位子群
所在群：
- 交换群的子群
- 指数为 2 的子群
- 指数为最小素因子的子群
- 唯一的 Sylow p 子群

2 对换、轮换与共轭

2.1 一个对换 $(ab)$ 被共轭

由任意置换共轭的结果都是一个对换，且 $$ \sigma(ab)\sigma ^{-1}=(\sigma(a),\sigma(b)) $$

如果不相交：$g = (cd)$，则 $g (ab) g^{-1} = (ab)$
如果相交：$g=(ac)$，则 $g (ab) g^{-1} = (cb)$
如果被一个包含其中的轮换共轭：$g=(abc\cdots)$，则 $g (ab) g^{-1} = (bc)$
- 为其元素的下一个元素

2.2 一个轮换被共轭

由任意置换共轭的结果都是一个轮换，且 $$ \sigma (a_{1}a_{2}\cdots a_{k}) \sigma^{-1} = (\sigma(a_{1}) \sigma(a_{2}) \cdots \sigma(a_{k})) $$

3 诱导同态

对于一个子群 $H \le G$，可以考虑 $G$ 在其陪集集合 $G/H$ 上的作用，得到 $$ \varphi: G \to S_{n},n=[G:H] $$ 可以知道 $$ \operatorname{Ker}\varphi = \bigcap_{g \in G} gHg^{-1} \le H,\operatorname{Ker}\varphi \unlhd G $$

4 常见的无限群

凡是和特征为 0 的数域有关的，比如线性群。

群、环、域

1 运算与运算法则

Hadamard 乘积：考虑集合 $F^{m\times n}$ ，任取 $P=(p_{ij}){m\times n}, Q=(q{ij}){m\times n}$ 定义 $$ P\circ Q =(p{ij}q_{ij})_{m\times n}, $$ 则 $\circ$ 是 $F^{m\times n}$ 上的运算，称之为矩阵的 Hadamard 乘积

单位元：$A$ 中元素称为单位元，若 $\forall a\in A,ea=ae=a$ 逆元：设 $A$ 有单位元 $e$，$a\in A$ 的逆元是 $A$ 中的元素 $b$，使得 $ab=ba=e$

商集： $A$ 在等价关系 $R$ 下所有等价类构成的集合称之为 $A$ 关于 $R$ 的商集，记为 $A/R$

定理 1.1.1：若集合 $A$ 中的运算有结合律，则有广义结合律
命题 1.1.1：设 $A$ 有单位元，则单位元唯一
命题 1.1.2：设 $A$ 上的运算满足结合律，若 $a\in A$ ，则 $a$ 的逆元唯一
命题 1.1.3：设 $A$ 上的运算满足结合律，若 $a\in A$ 可逆，则 $a^{-1}$ 也可逆，且 $(a^{-1})^{-1}=a$。进一步的，若 $a,b$ 都可逆，则 $ab$ 也可逆，且 $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$
- 穿脱法则：若 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}\in A$ 均可逆，则 $a_{1}a_{2}\cdots a_{m}$ 也可逆，且 $(a_{1}a_{2}\cdots a_{m})^{-1}=a_{m}^{-1}a_{m-1}^{-1}\cdots a_{1}^{-1}$

2 半群与群

幺半群：设 $S$ 是一个非空集合，$S$ 上有一个代数运算，且运算满足结合律，则称 $S$ 是一个半群。进一步地，若 $S$ 有单位元，则称 $S$ 是一个幺半群群：设 $G$ 是一个非空集合，$G$ 上有一个代数运算，且运算满足结合律，$G$ 有单位元，且 $G$ 中每个元素都有逆元，则称 $G$ 是一个群若 $G$ 满足交换律，则称 $G$ 为交换群，或称之为 Abel 群。元素个数有限的群称之为有限群，反之称为无限群。有限群的元素个数称为该群的阶，记为 $|G|$

单位根群：设 $n$ 是正整数，复数域 $\mathbb{C}$ 上的单位根群为 $$ \mu_{n}={ a\in \mathbb{C}|a^{n}=1 } $$ 一般线性群：设 $GL_{n}(F)$ 是域 $F$ 上所有 $n$ 阶可逆矩阵所构成的集合，则 $GL_{n}(F)$ 在矩阵乘法下构成一个群，称之为域 $F$ 上的 $n$ 阶一般线性群。数域 $F$ 上所有行列式为 $1$ 的 $n$ 阶可逆矩阵所构成的集合，记为 $SL_{n}(F)$ ，则 $SL_{n}(F)$ 在矩阵乘法下也构成一个群，称之为域 $F$ 上的 $n$ 阶特殊线性群。

命题 1.2.1：设 $S$ 为幺半群，用 $U(S)$ 表示 $S$ 中所有可逆元构成的集合，则 $U(S)$ 在 $S$ 的运算下构成一个群
- 半群 $S$ 中的可逆元也称为 $S$ 的单位，故称 $U(S)$ 为幺半群 $S$ 的单位群
命题 1.2.2（消去律）：设 $G$ 是一个群，则 $G$ 中有消去律，即 $\forall a,b,c \in G, ab=ac \text{或} ba=ca\implies b=c$
- 类似的，在半群里，$ab=ac\implies b=c$ 称为左消去律，$ba=ca\implies b=c$ 称为右消去律

3 环与域

环：设 $R$ 是一个非空集合，$R$ 上有两种代数运算，分别称为加法和乘法，记为 $+$ 和 $\cdot$ ，且满足

$R$ 对加法构成交换群，即 $(R,+)$ 为交换群
$R$ 对乘法构成幺半群，即 $(R,\cdot)$ 为幺半群
乘法对加法的左右分配律成立则称 $R$ 为一个环。如果还满足乘法交换律，则称之为交换环。为方便起见，我们要求环中总有乘法单位元，称为环的单位元，记为 $1$；环中加法的零元称为环的零元，记为 $0$. 幺半群 $(R,\cdot)$ 的单位群称为环 $R$ 的单位群，记为 $U(R)$。

除环：若环 $R$ 中至少有两个元素，且每个非零元都可逆，则称 $R$ 为除环除环的意义在于其保证了乘法的可除性，也就是说对乘法构成一个群。交换除环称为域 整环：至少含有两个元素且没有零因子的交换环称为整环。

命题 1.3.1：设 $R$ 是环，则 $\forall a\in R, 0a=a 0=0$

4 整数模 $n$ 的剩余类环

在整数集 $\mathbb{Z}$ 上定义关系 $\sim$ ，对任意 $a,b\in \mathbb{Z}$， $$ a\sim b := n|(a-b), $$ 记为 $a \equiv b(\operatorname{mod} n)$

命题 1.4.1：设 $n\geq 2,k\in \mathbb{Z}$，则 $\bar{k}$ 在 $\mathbb{Z}_{n}$ 中可逆当且仅当 $k,n$ 互素
- 推论 1.4.1：环 $\mathbb{Z}_{n}$ 为域当且仅当 $n$ 为素数

群的基本性质与群作用

1 对称群和交错群

偶置换：设 $n$ 元置换 $\sigma$ 的两行式表示为 $$ \sigma= \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \ l_{1} & l_{2} & \cdots & l_{n} \end{pmatrix}, $$ 若排列 $l_{1},l_{2},\cdots,l_{n}$ 为偶排列（逆序数为偶数），则称 $\sigma$ 为偶置换，否则称为奇置换。符号函数：定义映射 $\operatorname{sgn}: S_{n} \to { \pm 1 }$ 为 $$ \operatorname{sgn}(\sigma)=\begin{cases} 1, & \sigma \text{为偶置换} ,\ -1, & \sigma \text{为奇置换}. \end{cases} $$ 称为 $S_{n}$ 的符号函数，$\operatorname{sgn}(\sigma)$ 为置换 $\sigma$ 的符号

对换：设 $\sigma \in S_{n}, i \ne j \in[n]$。若 $\sigma$ 满足 $$ \sigma(k)= \begin{cases} j, & k=i \ i, & k=j \ k, & k \ne i,j \end{cases} $$ 则称之为一个对换，记作 $(ij)$. 轮换：设 $\sigma \in S_{n}, k\leq n$ 满足 $\sigma(a_{i})=\sigma(a_{i+1}), 1\leq i\leq k-1,\sigma(a_{k})=a_{1}$，则称 $\sigma$ 为一个 $k$ 轮换，记作 $\sigma=(a_{1}a_{2}\cdots a_{k})$.比如 $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \ 3 & 2 & 4 & 5 & 1 & 6 \end{pmatrix} =(1345) $$ 如果两个轮换 $\sigma,\tau$ 没有公共元素，则称 $\sigma,\tau$ 不相交。显然，两个不相交的轮换的乘积可以交换。

共轭：设 $G$ 是群，$a,b\in G$，若存在 $x\in G$ 使得 $b=xax^{-1}$，则称 $a$ 与 $b$ 共轭，这时也称 $xax ^{-1}$ 为用 $x$ 对 $a$ 做共轭变换。型：设 $\sigma \in S_{n}$ ，把 $\sigma$ 写成不相交轮换的乘积，其中长度为 $i$ 的轮换出现 $\lambda_{i}$ 次，则称 $\sigma$ 的型为 $1^{\lambda_{1}}2^{\lambda_{2}}\cdots n^{\lambda_{n}}$。显然我们知道 $$ \sum_{i=1}^{n} i\lambda_{i}=n $$ 所以 $S_{n}$ 中置换的型的个数就是上述方程的非负整数解的个数，即 $p(n)$，其中 $p(n)$ 是整数的称之为 $n$ 的分拆数。

图形 $S$ 的对称群：设 $S$ 是平面上的一个图形，即欧式空间 $\mathbb{R}^{3}$ 的一个子集，保持 $S$ 不变的空间运动（旋转变换），在映射合成运算下构成一个群，这个群称为图形 $S$ 的对称群，记为 $\operatorname{Sym}(S)$。旋转（角度为 $\frac{k}{n} \pi,k \in \mathbb{Z}$）和翻转在合成运算下构成一个群，称之为二面体群，即 $D_{n}=\langle r,x| r^n = e, s^{2}=e, s rs=r^{-1}\rangle$

命题 2.1.1：任一 $n$ 元置换都可以写成对换的乘积
- 对换因子的个数与此置换有相同的奇偶性。可以写成偶数个对换乘积的置换称为偶置换，否则称为奇置换
命题 2.1.2：在对称群 $S_{n}$ 中，型为 $1^{\lambda_{1}}2^{\lambda_{2}}\cdots n^{\lambda_{n}}$ 的置换的个数为 $\frac{n!}{\lambda_{1}!\lambda_{2}!\cdots \lambda_{n}!1^{\lambda_{1}}2^{\lambda_{2}}\cdots n^{\lambda_{n}}}$, 即组合数除以队首的可能数目
定理 2.1.1：集合 $A_{n}$ （所有 $n$ 元偶置换构成的集合）对于置换的乘法构成一个群
- 群 $A_{n}$ 称为 $n$ 元交错群，显然 $A_{n}$ 为有限群，$|A_{1}|=1, |A_{n}|=\frac{1}{2}n!$
定理 2.1.2：任一个 $n$ 元置换都可以分解为不相交的轮换之积，且在不考虑轮换的顺序下，这种分解是唯一的
定理 2.1.3：对称群 $S_{n}$ 中两个元素共轭当且仅当它们有相同的型
- 而且这时候我们还能知道 $g(a_{1}a_{2}\cdots a_{k})g^{-1}=(g(a_{1})g(a_{2})\cdots g(a_{k}))$
- 必要性可以从上面看出来，充分性的证明可以通过构造 $g$ 来实现，只需要一一写出来即可。
- 共轭的实质就是换名字而不换结构

2 子群与同态

子群：设 $G$ 是一个群，$H\subseteq G$，若 $H$ 在 $G$ 的运算下也构成一个群，则称 $H$ 为 $G$ 的子群，记为 $H \leq G$. 若 $H \ne G$，则称 $H$ 为 $G$ 的真子群，记为 $H < G$。显然，${ e }$ 和 $G$ 本身都是 $G$ 的子群，称之为平凡子群。

仿射群：设 $F$ 是域，$GL_{2}(F)$ 是 $F$ 上的 $2$ 级一般线性群，对于 $a \in F^{},b\in F$ ，定义仿射矩阵 $$ \operatorname{Aff}(a,b) = \begin{pmatrix} a & b \ 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ 记 $$ \operatorname{Aff}(F)={ \operatorname{Aff}(a,b)| a\in F^{}, b\in F }. $$ 显然 $\operatorname{Aff}(F)\leq GL_{2}(F)$ ，称其为域 $F$ 上的仿射群。特别地，$G_{1}={ \operatorname{Aff}(1,b) |b\in F},G_{2}={ \operatorname{Aff}(a,0)| a\in F^{*} }$ 都是 $\operatorname{Aff}(F)$ 的子群，分别称为平移子群和伸缩子群。

生成子群：设 $S$ 为群 $G$ 的非空子集，则 $G$ 的所有包含 $S$ 的子群的交，记为 $\langle S \rangle$，称为由 $S$ 生成的子群，或 $S$ 所生成的子群。显然 $\langle S \rangle$ 是 $G$ 的子群，且是包含 $S$ 的最小子群。对于非空集合 $S$，我们可以构造 $\langle S \rangle$ 如下： $$ H= \left{ \prod_{i=1}^{k} s_{i}^{m_{i}} |s_{i}\in S, m_{i} \in \mathbb{Z},k \in \mathbb{Z}^{+}\right} $$ 显然，$H\leq G$ 且 $H \subset\langle S \rangle$ ，所以 $H = \langle S \rangle$ 如果 $S$ 为有限集，那么称为有限生成子群。进一步地，若 $G= \langle S \rangle$ ，则称 $G$ 由子集 $S$ 生成，也称 $S$ 是群 $G$ 的一个生成集。

若 $S={ a }$ ，则记 $\langle S \rangle=\langle a \rangle$，称为 $G$ 的循环子群。若 $G=\langle a \rangle$ ，则称 $G$ 为循环群，且 $a$ 为 $G$ 的一个生成元。

集合乘积和逆：设 $G$ 为一个群，$K,L$ 为 $G$ 的非空子集，定义 $$ KL={ ab|a \in K,b \in L }, K^{-1}={ a^{-1}| a \in K }. $$ $KL$ 称为 $K$ 和 $L$ 的集合乘积，$K^{-1}$ 称为 $K$ 的逆。

同态映射：设 $G_{1},G_{2}$ 为两个群，若映射 $\sigma: G_{1} \to G_{2}$ 保持运算，即对任意 $a,b \in G_{1}$ ，都有 $$ \sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b), $$ 则称 $\sigma$ 为从 $G_{1}$ 到 $G_{2}$ 的一个同态映射，简称同态。若 $\sigma$ 是满射，则称 $\sigma$ 为 $G_{1}$ 到 $G_{2}$ 的一个满同态。若 $\sigma$ 是单射，则称为到的一个单同态。若是双射，则称为 $G_{1}$ 到 $G_{2}$ 的一个同构映射，简称同构，记作 $G_{1}\cong G_{2}$. 同构的意义在于它们除了元素记号不同，运算结构是一样的，所以我们可以把同构的所有群看作是同一个群。群到自身的同态（或同构）映射称为群的自同态（或自同构），群 $G$ 的所有自同构构成群，记为 $\operatorname{Aut}(G)$，称为群 $G$ 的自同构群。显然自同构群是群 $\operatorname{Sym}(G)$ 的子群。

核：设 $\sigma: G \to G'$ 是同态映射，则称 $G'$ 的单位元 $e'$ 的原像是 $G$ 的子群，记为 $\operatorname{Ker} \sigma$，即 $$ \operatorname{Ker} \sigma={ a \in G|\sigma(a)=e' }. $$

命题 2.2.1：若 $H \leq G$ ，则
- $H$ 的单位元 $e_{H}$ 就是 $G$ 的单位元 $e$
- $\forall a\in H$ ，$a$ 在 $H$ 中的逆元 $a_{H}^{-1}$ 就是 $a$ 在 $G$ 中的逆元 $a_{G}^{-1}$
命题 2.2.2：群 $G$ 的子群的交是 $G$ 的子群
命题 2.2.3：设 $G$ 是群，$H\subset G$ 且非空，则 $H\leq G$ 当且仅当 $H^{2}=H$ 且 $H^{-1}=H$
定理 2.2.1：设 $H$ 为 $G$ 的非空子集，则以下描述等价
- $H \leq G$
- $H$ 对 $G$ 的运算和求逆封闭，即对任意 $a,b\in H$ ，$ab\in H$ 且 $a^{-1}\in H$
- 对任意 $a,b\in H$ ，$ab^{-1}\in H$
定理 2.2.2：设 $\sigma: G\to G'$ 为同态，则有
- 设 $e$ 为 $G$ 的单位元，则 $\sigma(e)=e'$ 为 $G'$ 的单位元
- $\forall a\in G,\sigma(a^{-1})=\sigma(a)^{-1}$
- 对任意 $S\subset G$，令 $\sigma(S)={ \sigma(a)|a\in S}$。显然 $\sigma(S)\subset G'$，称 $\sigma(S)$ 为 $S$ 在 $\sigma$ 下的像。若 $H\leq G$ ，则 $\sigma(H)\leq G'$
- 对任意 $S'\subset \sigma(G)$ ，令 $\sigma ^{-1}(S')={ g\in G|\sigma(g) \in S'}$，显然 $\sigma^{-1}(S')\subset G$，称 $\sigma^{-1}(S')$ 为 $S'$ 在 $\sigma$ 下的原像。若 $H'\leq G'$ ，则 $\sigma^{-1}(H')\leq G$
定理 2.2.3：设 $\sigma: G\to G'$ 为同态，$e$ 为群 $G$ 的单位元，则 $\sigma$ 为单同态当且仅当 $\operatorname{Ker}\sigma={ e }$
定理 2.2.4（挖补定理）：设 $G,H'$ 是两个群，且 $G\cap H'=\emptyset$。又设 $H\leq G$ 且 $H \cong H'$。则存在群 $G'$，使得 $H'\leq G'$ 且 $G \cong G'$。
- 关键是考虑同构映射 $\eta: H \to H'$，然后我们就可以构造 $G'=(G \backslash H)\cup H'$，给出同构映射 $\varphi(a)=\begin{cases}\eta (a), & a \in H \ a, & a \in G \backslash H\end{cases}$

3 循环群

元素的阶：设 $G$ 为群，$a \in G$ ，称 $a$ 生成的循环子群 $\langle a \rangle$ 的阶为元素 $a$ 的阶，记为 $o(a)$。显然 $o(a)=o(a^{-1})$ 。且对于同构 $\sigma: G_{1}\to G_{2}$，我们有 $o(a)=o(\sigma(a))$。方次数：设为群，满足 $\forall a\in G,a^{t}=e$ 的最小正整数 $t$ 为群 $G$ 的方次数，记为 $\exp(G)$。其实就是所有元素阶的最小公倍数。对于有限交换群而言 $\exp(G)\le \lvert G \rvert$

整数模 $n$ 的乘法群：设 $n\geq 2$ 为整数，将整数集合模 $n$ 取余数，得到的类为 ${ 1,2,\cdots,n-1 }$ 。保留其中与 $n$ 互素的整数类，记为 $U(n)$，则 $U(n)$ 在乘法下构成一个交换群，称为整数模 $n$ 的乘法群。欧拉-费马定理：设为正整数，为整数，则 $a^{\phi (n)}\equiv{1}(\operatorname{mod}n)$. 特别地，若 $p$ 为素数，且 $p \nmid a$，则 $a^{p-1}\equiv{1}(\operatorname{mod}p)$，这被称之为费马小定理。

[!note] 威尔逊定理设 $p$ 为素数，则 $(p-1)!\equiv -1(\operatorname{mod}p)$，这一点可以通过命题 2.3.2 轻松得到。

若群 $U(n)$ 为循环群，则称模 $n$ 有原根，$U(n)$ 的生成元称为模 $n$ 的一个原根。类似于 Wilson 定理，我们可以知道：对于 $n\geq{3}$，若模 $n$ 有原根，则 $\prod_{a\in U(n)} a \equiv -1(\operatorname{mod}n)$。

设 $n$ 为正整数，$U(n)$ 为循环群，则 $n$ 必为下列形式之一：$1，2,4,p^{k},2p^{k}$，其中 $p$ 为奇素数，$k$ 为正整数。

定理 2.3.1：设 $G =\langle a \rangle$ 为循环群，若 $a$ 的任意两个不同幂皆不相等，则 $G$ 无限，否则 $G$ 有限，且存在 $a$ 的某个正整数次幂为单位元且 $|G|$ 为满足 $a^{n}=e$ 的最小正幂的指数。
定理 2.3.2：设 $G$ 为群，$a\in G$ 且 $o(a)=n$ 。设 $k$ 为正整数，则 $o(a^{k})= \frac{n}{\operatorname{gcd}(n,k)}$
- 注意，这个对任意群都成立
定理 2.3.3：设 $G$ 是一个群，$a,b\in G$，且 $ab=ba$。若 $o(a)=m, o(b)=n$ 且 $\operatorname{gcd}(m,n)=1$ ，则 $o(ab)=mn$
定理 2.3.4：循环群的子群仍为循环群
- 特别地，对于无限循环群，则除单位元群 ${ e }$ 外，所有的子群都是无限循环群。无限循环群 $G$ 的所有子群的集合为 $\mathcal{G}={ \langle a^{s}\rangle |s \in \mathbb{N} }$
定理 2.3.5：设 $G=\langle a \rangle$ 为 $n$ 阶循环群，则 $G$ 的任一子群的阶都是 $n$ 的因子。进一步地，对 $n$ 的任一正因子 $d$，$G$ 中恰有一个阶为 $d$ 的子群。$n$ 阶循环群 $G = \langle a \rangle$ 的所有子群为 ${ \langle a^{\frac{n}{d}} \rangle | d|n }= { \langle a^{d} \rangle| ~d |n }$
- 该定理的逆定理也成立
定理 2.3.6：设 $G$ 为有限交换群，则 $G$ 是循环群当且仅当 $\exp(G)= |G|$
- 必要性显然，充分性只需要证明对于最大阶元素 $g$ ，$o(g)=|G|$ 即可。其中，充分性的证明中有限交换群是必要的
定理 2.3.7：设 $G$ 为有限交换群，则 $G$ 为循环群当且仅当对于任意正整数 $m$ ，方程 $x^{m}=e$ 在 $G$ 中解的个数不超过 $m$.
- 充分性只需要证明 $\exp(G)=\lvert G \rvert$
- 必要性证明起来更简单了
- 推论 2.3.2：域的乘法群的有限子群是循环群。
定理 2.3.8：设 $G=\langle a \rangle$ 为 $n$ 阶循环群，则 $Aut(G)\cong U(n)$
命题 2.3.1：设 $G$ 为群，$a\in G$ ，则 $a^{k}=e \iff o(a)|k$
- 充分性显然，必要性用到带余除法 $k=qo(a)+r$
- 推论 2.3.1 设 $G$ 为 $n$ 阶交换群，则 $\forall a\in G, o(a)|n$。这个东西的证明需要用到 $aG \subset G$, $\forall a_{i}, a_{j}\in G, aa_{i}\neq aa_{j}$，所以我们进一步得到 $aG =G$，我们只需要将两个群中所有元素分别相乘就可以得到（这一步需要用到交换律）：$a^{n}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}= a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$，所以 $a^{n}=e$。事实上，这对于非交换群也是成立的，但是证明比较复杂。
命题 2.3.2：设 $G$ 为有限交换群，则 $\prod_{g\in G}g=\prod_{a\in G,o(a)=2}a$
命题 2.3.3：设 $G$ 为 $n$ 阶循环群，则 $G$ 中元素的阶为 $n$ 的因子。进一步地，对 $n$ 的任意正因子 $d$ ，$G$ 中恰有 $\phi(d)$ 个阶为 $d$ 的元素，其中 $\phi(n)$ 为 Euler $\phi-$ 函数。可以写作 $\sum_{d|n}^{}\phi(d)=n$
- 在这个过程中，我们可以发现 $G = \langle a \rangle$ 若为 $n$ 阶循环群，$0\leq k\leq n-1$ 且 $\operatorname{gcd}(n,k)=1$ 则 $o(a^{k})=n$ ，也就是说 $\langle a^{k} \rangle=G$，于是我们发现 $n$ 阶循环群的生成元有 $\phi(n)$ 个。
命题 2.3.4：任意无限循环群 $G$ 与整数加法群 $\mathbb{Z}$ 同构
命题 2.3.5：两个有限阶循环群同构当且仅当它们的的阶相等
引理 2.3.1：设 $G$ 为有限交换群， $g$ 为 $G$ 中的一个最大阶元素，即满足 $\forall a\in G, o(a)\leq o(g)$ 的元素，则 $\exp(G)=o(g)$
- 这个定理的证明需要利用素数分解，结合定理 2.3.3，构造一个阶比 $g$ 更大的元素 $h$ 来引出矛盾

4 群在集合上的作用

变换群：设 $M$ 为非空集合，$S_{M}$ 为 $M$ 上所有双射所构成的集合，则 $S_{M}$ 在映射的复合下构成一个群，称为 $M$ 上的全变换群，$S_{M}$ 的子群都称为变换群。 Erlangen 纲领：由 Felix Klein 于 1872 年提出，认为几何学的研究对象是某个集合 $M$ 上的某个变换群 $G$ 所不变的性质。

群作用：设 $G$ 为群，$M$ 为非空集合，若存在映射 $$ \begin{aligned} \rho:G \times M &\to M \ (g,m) &\mapsto \rho(g,m)=g\circ m \end{aligned} $$ 满足 $\forall m \in M, \forall g_{1},g_{2} \in G$ 都有

$e \circ m=m$，其中 $e$ 为 $G$ 的单位元
$(g_{1}g_{2})\circ m=g_{1}\circ(g_{2}\circ m)$ 则称 $G$ 作用于 $M$，这个映射 $\rho$ 也称为一个群作用。

左（右）乘作用：设 $G$ 为群，$H\leq G$

$\forall h\in H,g \in G$，定义 $\rho_{1}(h,g)=hg$ 则 $\rho_{1}$ 为 $H$ 在 $G$ 上的一个群作用，称为 $H$ 在 $G$ 上的左乘作用
$\forall h\in H,g \in G$，定义 $\rho_{2}(h,g)=gh^{-1}$ 则 $\rho_{2}$ 为 $H$ 在 $G$ 上的一个群作用，称为 $H$ 在 $G$ 上的右乘作用
$\forall h\in H,g \in G$，定义 $\rho_{3}(h,g)=hgh^{-1}$ 则 $\rho_{3}$ 为 $H$ 在 $G$ 上的一个群作用，称为 $H$ 在 $G$ 上的共轭作用

内自同构：设 $G$ 为群，$\forall g\in G$，定义群在它自身的共轭作用 $\rho: G\times G\to G$，其中，对于 $g,a \in G$，有： $$ \rho(g,a)=gag^{-1}. $$ 该作用对应的 $G$ 到 $S_{G}$ 的同态记为 $T: g \mapsto I_{g}$ ，对于 $g \in G, I_{g}(a)=gag^{-1}$。所以 $I_{g}$ 是群 $G$ 的一个自同构，称为的一个内自同构。所有内自同构构成群 $\operatorname{Inn}(G)$，$\operatorname{Inn}(G)\leq \operatorname{Aut}(G)$。

轨道：设群作用在集合上，$x\in M$，定义 $x$ 的轨道为 $$ \bar{x}={ y\in M|\exists g\in G,y=g\circ x }={ g\circ x|g\in G }, $$ 记作 $O_{x}$。轨道的本质是一种等价关系。 传递：设群 $G$ 作用在集合 $M$ 上，若这个作用只有一个轨道，则称 $G$ 在 $M$ 上的作用传递。

定理 2.4.1：群 $G$ 在集合 $M$ 上有群作用的充分必要条件是存在群同态 $\varphi: G \to S_{M}$，其中 $S_{M}$ 为 $M$ 上的全变换群
- 必要性：定义 $T(g): M \to M$ 为 $T(g)(m)=g \circ m$，然后根据群作用的定义去验证这是一个同态
- 充分性只需要在群同态 $T: G\to S_{M}$ 的基础上，定义映射 $\rho: G\times M\to M$ 为 $\rho(g,m)=T(g)(m)$，即可验证群作用的两个条件
定理 2.4.2（凯莱定理）：任一群 $G$ 同构于一个变换群
- 从定理 2.4.1 出发，只需要考虑群在自身上的作用即可
- 特别地，有限群 $G$ 满足 $|G|=n$，则 $S_{G}$ 为 $n$ 元对称群 $S_{n}$ 。所以任意 $n$ 阶群同构于 $S_{n}$ 的某个子群，称对称群的子群为置换群。
定理 2.4.3：利用等价关系的等价类的结论，我们可以得到：设群 $G$ 作用在集合 $M$ 上，则有
- $O_{y}=O_{x}\iff y \in O_{x}$
- $\forall x,y\in M$，$O_{x}$ 与 $O_{y}$ 要么相等，要么互不相交
- 在每个轨道上取一个元素组成 $M$ 的子集 $I$ ，称为 $M$ 的轨道代表元集，则 $M= \cup_{x \in I}O_{x}$

5 陪集、指数、Lagrange 定理

陪集：设 $G$ 为群，$H\leq G$，考虑 $H$ 在 $G$ 上的左乘作用，对于 $x \in G$ ，定义 $x$ 的左陪集为群作用下过 $x$ 的轨道 $$ O_{x} = { hx|h\in H } :=Hx, $$ 类似地，定义 $x$ 的右陪集为 $$ xH := { xh^{-1}|h\in H }={ xh|h \in H }. $$ 陪集就是一类特别的轨道。

左陪集代数元集：设 $G$ 为群，$H\leq G$ ，在 $G$ 的所有左陪集中取一个元素组成的子集 $I$，称为关于 $H$ 的左陪集代数元集。类似地，可以定义右陪集代数元集。左（右）陪集分解：设 $G$ 为群，$H\leq G$ ，则 $G$ 的所有左（右）陪集构成 $G$ 的一个划分，称为关于 $H$ 的左（右）陪集分解。指数：显然，考虑 $(xH)^{-1}=Hx ^{-1}$，子群 $H$ 在 $G$ 中的左陪集个数和右陪集个数相等，记为 $[G:H]$，称为 $H$ 在 $G$ 中的指数。

[!note] 根据 Lagrange 定理，有限群 $G$ 的子群的阶就是 $G$ 的阶的因子，但是反之不一定成立。比如，交错群 $A_{4}$ 阶为 $12$，但是没有 $6$ 阶子群。有限循环群有唯一的 $d$ 阶子群。

利用 Lagrange 定理，我们有不少的结论，比如 最小非交换群的阶至少是 $6$，$S_{3}$ 是最小的非交换群。

定理 2.5.1：设 $G$ 为群，$H\leq G$，则
- $\forall x,y \in G$，$xH=yH \iff y \in xH \iff x ^{-1}y\in H ~or~ y^{-1}x \in H$
- $\forall x,y \in G$，$xH \cap yH =\emptyset ~or~ xH=yH$
- $G = \cup_{x \in I}xH$，且其中 $xH$ 互不相交
定理 2.5.2（Lagrange 定理）：设 $G$ 为有限群，$H\leq G$，则 $|G|=|H|[G:H]$。特别地，若 $G$ 为有限群， $|H|$ 整除 $|G|$
- 推论 2.5.1：设 $G$ 为有限群，则 $\forall a\in G, o(a)| |G|$，这里我们证明了之前那个要求交换律的定理。只需要考虑 $\langle a \rangle \le G$ 即可。这里我们证明了，对于任意群，$\exp(G)\le \lvert G \rvert$.
- 推论 2.5.2：素数阶群为循环群
- 推论 2.5.3：素数有无穷多个
- 推论 2.5.4：4 阶群是交换群
定理 2.5.3：设群 $G,H,K$ 满足 $K\leq H\leq G$，则 $[G:K]=[G:H][H:K]$
- 这个定理的证明需要用到陪集之间是不交的，由此可以消掉一个变元。
定理 2.5.4：设 $G$ 为群，$H,K$ 为 $G$ 的有限子群，则 $|HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}$
- 推论 2.5.5：设 $G$ 为有限群，$H,K$ 为 $G$ 的子群，则 $[G:H \cap K] \leq [G:H][G:K]$

6 轨道长度和类方程

稳定子群：设群 $G$ 作用在集合 $M$ 上，$x\in M$，定义 $$ G_{x} ={ g\in G|g \circ x =x }. $$ 容易验证 $G_{x}\leq G$ ，称其为 $G$ 作用下 $x$ 的稳定子群。

共轭子群：设为群，$H\leq G$，则对 $\forall g \in G$， $gHg^{-1}$ 也是 $G$ 的一个子群，称为与 $H$ 共轭的 $G$ 的子群，也称为 $H$ 的一个共轭子群。正规化子：设 $G$ 为群，$\Delta$ 为 $G$ 的所有子群的集合，考虑在 $\Delta$ 上的共轭作用，对于 $H \in \Delta$，定义 $g \circ H = gHg^{-1}$，则称过 $H$ 的轨道的稳定化子为 $H$ 在 $G$ 中的正规化子，记为 $N_{G}(H)$，即 $$ N_{G}(H)={ g \in G|gHg^{-1}=H }. $$ 这时显然我们有 $$ |O_{H}| = [G:N_{G}(H)]. $$ 共轭类：设 $G$ 为群，考虑 $G$ 在自身上的共轭作用，此作用的轨道称为 $g$ 的共轭类，含元素 $x \in G$ 的共轭类记为 $C_{x}$ ，即 $$ C_{x}= { gxg^{-1}|g \in G } $$ 中心化子：对于 $x \in G$ ，$x$ 在 $G$ 的共轭作用下的稳定化子称为在 $G$ 中的中心化子，记为 $C_{G}(x)$，即 $C_{G}(x)={ g \in G|gxg^{-1}=x }$。显然 $|C_{x}|=[G:C_{G}(x)]$ 。称 $Z(G)= \cap_{x \in G}C_{G}(x)$ 为群 $G$ 的中心。其实 $Z(G)$ 就是与 $G$ 中所有元素共轭的元素构成的子群，即 $Z(G)={ z \in G| \forall g \in G, zg=gz }$，显然 $Z(G)\leq G$ ，而且我们可以看出 $y \in Z(G) \iff C_{y}= { y }$，交换群就是满足 $Z(G)=G$ 的群。 正规化子和中心化子其实都是共轭作用下的稳定化子，只不过一个是作用在 $G$ 的子群集合上，一个是作用在 $G$ 本身上

类方程：设 $G$ 为有限群，我们得到 $G$ 的全部互不相同的共轭类为 $C_{x_{1}},C_{x_{2}},\cdots,C_{x_{n}}$ 。根据群作用的集合分解为轨道的不交并得到 $$ G=\cup_{i=1}^{n}C_{x_{i}}. $$ 计算两边元素个数，有 $$ |G|=\sum_{i=1}^{n}|C_{x_{i}}|=\sum_{i=1}^{n}[G:C_{G}(x_{i})], $$ 这就是有限群的 $G$ 的类方程。又设 $G$ 中元素个数多于一个的共轭类为 $C_{y_{1}}, C_{y_{2}},\cdots,C_{y_{m}}$ ，则 $G$ 的类方程可写为 $$ |G|=|Z(G)|+\sum_{i=1}^{m}[G:C_{G}(y_{i})]. $$ $p-$ 群：设 $p$ 为素数，$G$ 为有限群，若 $|G|=p^{n}$ ，其中 $n$ 为正整数，则称 $G$ 为 $p-$ 群。

定理 2.6.1（轨道-稳定化子定理）：设群 $G$ 作用在集合 $M$ 上，则过 $x$ 的轨道 $O_{x}$ 的长度等于 $G_{x}$ 在 $G$ 中的指数，即 $|O_{x}|=[G:G_{x}]$。
- 证明是定义映射 $\varphi: O_{x}\to G/G_{x}$ 为 $\varphi(g\circ x)=gG_{x}$，然后证明该映射是双射。
- 推论 2.6.1：设有限群 $G$ 作用在集合 $M$ 上，则每个轨道长度都有限且为 $|G|$ 的因子
- 推论 2.6.2：设群 $G$ 传递地作用在集合 $M$ 上，则有 $|M|=[G:G_{x}]$ ，其中 $x$ 是 $M$ 的任一元素
定理 2.6.2（伯恩赛德定理）：设有限群 $G$ 作用在集合 $M$ 上，对于 $g\in G$，则被 $g$ 固定的 $M$ 中元素的集合 $\psi (g)={ x \in M| g\circ x=x }$ 满足：$G$ 作用的轨道个数为 $\frac{1}{|G|} \sum_{g \in M}^{}|\psi(g)|$
- 证明过程是考虑满足 $g \circ x=x$ 的有序对 $(g,x)$ 的个数，然后通过两种方式计算该个数得到结论。分别是按 $g$ 计算和按 $x$ 计算，得到 $\sum_{g \in G} |\psi(g)|= |G|\sum_{x \in M}\frac{1}{|O_{x}|}$，后者可以利用 $\sum_{y \in O_{x}} \frac{1}{|O_{y}|}=1$ 进一步化简为 $|G|$ 乘以轨道个数。
命题 2.6.1：群作用同一个轨道中两个元素的稳定化子共轭
- 证明：只需考虑 $y = g \circ x$，这时 $G_{y}=gG_{x}g^{-1}$ 即可
命题 2.6.2：设 $G$ 为 $p-$ 群，则 $p~|~|Z(G)|$，从而 $Z(G)\ne { e }$
- 证明要用到类方程，关键在于 $[G:C_{G}(y_{i})]$ 都是 $p$ 的方幂，所以 $|Z(G)|$ 也必须是 $p$ 的倍数。

7 正规子群与商群

正规子群：设 $G$ 为群，$H\leq G$，若 $\forall g\in G ,\forall h\in H$ 都有 $ghg^{-1}\in H$，则称 $H$ 为 $G$ 的正规子群，记为 $H \unlhd G$。提出正规子群的意义在于它使得我们能够构造商群。 单位元群 ${ e }$ 和 $G$ 都是群的正规子群，称为平凡正规子群。显然交换群的每个子群都是正规子群，但是反之不成立。 指数为 2 的子群都是正规子群。所以，对任意的 $n \ge 2$，我们知道，$A_{n} \unlhd S_{n}$ 根据定义，我们可以发现正规子群其实是一些共轭类的并。

[!note] 传递性

若 $H , K \unlhd G$ 则 $HK \unlhd G$. 但是，$H,K \leq G$ 不一定有 $HK \leq G$；

与此相反的，若 $H \leq K,K\leq G$，则 $H \leq G$，但是 $H \unlhd K,K \unlhd G$ 不一定有 $H \unlhd G$。

商集：设 $G$ 为群，$H \unlhd G$，则 $H$ 的任一左陪集也是 $H$ 的一个右陪集，可以简称为 $H$ 的陪集。 $H$ 在 $G$ 中所有陪集的集合记为 $G / H$，即 $$ G / H = { gH|g \in G } $$ 我们可以发现 $G /H$ 在 $G$ 的运算所诱导的运算下构成为一个群，称为 $G$ 对 $H$ 的商群。通常，如果 $H$ 是明确的，我们可以记 $gH$ 为 $\bar{g}$，商群 $G/H$ 记为 $\bar{G}$。单位元群 ${ e }$ 和 $G$ 都是群的正规子群，显然 $G / { e } \cong G$，$G / G \cong { e }$。当我们考虑整数加法群 $\mathbb{Z}$ 时，我们可以发现 $$ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_{n} $$ 单群：设 $G$ 至少含有两个元素，若仅有平凡正规子群，则称为单群。所以单群做不出非平凡的商群，单群就像数论中的素数一样。有限单群可以分为以下几类：

素数阶循环群（交换单群）
$n \geq 5$ 时的交错群 $A_{5}$
$Lie$ 型单群，共 16 族
26 个散在单群

定理 2.7.1（$G/Z$ 定理）：设 $G$ 为群，$Z(G)$ 为 $G$ 的中心，若 $G/Z(G)$ 为循环群，则 $G$ 为交换群
- 证明：设 $a, b \in G$，则由于 $G / Z(G)$ 为循环群，存在 $g \in G$，使得 $\bar{a}=\bar{g}^{m}, \bar{b}=\bar{g}^{n}$，即 $a=g^{m}z_{1}, b=g^{n}z_{2}$，其中 $z_{1}, z_{2} \in Z(G)$。所以 $ab = g^{m}z_{1}g^{n}z_{2} = g^{m+n}z_{1}z_{2}=g^{n}z_{2}g^{m}z_{1}=ba$
- 当然我们还可以看出，此时 $G / Z(G)$ 一定是平凡的单位元群
- 推论 2.7.1：设 $p$ 为素数，则任一 $p^{2}$ 阶群为交换群. 这是因为 $|Z(G)|$ 必为 $p$ 或 $p^{2}$，若为 $p^{2}$ 则为交换群；若为 $p$ 则 $|G / Z(G)|=p$，所以 $G / Z(G)$ 为循环群，$|G / Z(G)|=1$ 矛盾。
定理 2.7.2：交换单群一定是素数阶循环群
- 由于交换群的子群都是正规子群，所以交换群 $G$ 是单群当且仅当 $G$ 没有非平凡的子群：如果这个群阶数为素数，那很显然；反之，我们可以找出 $G$ 的一个生成元，然后一步步证明该循环群就是 $G$ 本身，同时证明 $G$ 的阶数为素数。
定理 2.7.3：当 $n\geq 5$ 时，交错群 $A_{n}$ 为单群
- 证明过程比较复杂，先证明 $A_{n}$ 可以由所有三轮换生成，然后证明如果 $N \unlhd A_{n}$，且 $N \ne { e }$，则 $N$ 包含所有的三轮换，这一点可以通过证明若 $N$ 中有一个三轮换，就包含所有的三轮换。
命题 2.7.1：设 $G$ 为群，$H\leq G$，则以下描述等价：
- $H \unlhd G$
- $\forall g\in G,\forall h \in H, ghg^{-1} \in H$
- $\forall g\in G, gH=Hg$
- $\forall g \in G,gHg^{-1}=H$
- $\forall g\in G,g^{-1}Hg=H$
命题 2.7.2：设 $G,H$ 为群，$\sigma : G\to H$ 为群同态，则 $\operatorname{Ker}\sigma \unlhd G$
- 只需要代入定义即可。
命题 2.7.3：设 $G$ 为群，$Z(G)$ 为 $G$ 的中心，$H \leq Z(G)$，则 $H \unlhd G$ 。特别地 $Z(G)\unlhd G$
- 同样代入定义即可。

8 同态基本定理

自然同态（典范同态）：设 $G$ 为群，$N \unlhd G$，定义映射 $\eta: G\to \bar{G}$ 为 $\eta(g)= \bar{g}$，其中 $\bar{G}=G/N$，则 $\eta$ 为群同态，称为 $G$ 到 $G/N$ 的自然同态或典范同态。容易验证 $\operatorname{Ker} \eta=N$, 所以正规子群一定是同态核，又根据命题 2.7.2，我们知道，同态核和正规子群是等价的概念。从同态基本定理出发，我们还可以发现，对于任意群 $G$ 我们都有 $$ G/Z(G)\cong \operatorname{Inn}(G) $$ 根据这个结论我们可以得到 $n \geq 3$ 时，$\operatorname{Inn}(S_{n})\cong S_{n}$，进一步可以得到：若 $n \ne 6$，则 $\operatorname{Aut}(S_{n})\cong S_{n}$。此外我们还可以发现二面体群 $D_{6}$ 满足 $\operatorname{Inn}(D_{6})\cong S_{3}$. 商空间：设 $V$ 是线性空间，$W$ 为 $V$ 的子空间，定义商空间 $V/W$ 为所有形如 $v+W$ 的集合构成的集合。线性映射基本定理：$V/\operatorname{Ker}\varphi \cong \mathrm{Im}\varphi$

定理 2.8.1（同态基本定理）：设 $G, G_1$ 为群，$\pi: G \to G_1$ 为群同态，则 $G /\operatorname{Ker}\pi \cong \pi(G)$
- 只需要给出 $\pi_{1}(g)=gK$ ，然后证明其为映射而且是一个双射。
- 推论 2.8.1：设 $g$ 为有限群，$\pi: G \to G_{1}$ 为群同态，则 $\operatorname{Ker} \pi$ 和 $\pi(G)$ 都是有限群，而且 $|G|=|\operatorname{Ker}\pi|\cdot|\pi(G)|$
定理 2.8.2（N/C 定理）：设 $G$ 为群，$H \leq G$，则 $N_{G}(H)/C_{G}(H)$ 同构于 $\operatorname{Aut}(H)$ 的一个子群
- 这个定理的关键在于 $C_{G}(S)\unlhd N_{G}(S)$，所以我们就可以定义共轭作用诱导的同态 $\varphi: N_{G}(H) \to \operatorname{Aut}(H)$，这个同态的核正好是 $C_{G}(H)$，所以根据同态基本定理，我们就得到了结论。
定理 2.8.3（第二同构定理）：设 $G$ 是群，若 $N \unlhd G, H\leq G$，则 $H\cap N\unlhd H, N\unlhd NH\leq G$，且 $NH/N\cong H/(H\cap N)$
- 这个定理更加简单，只需要考虑 $\varphi(h)=hN$ 就好了，然后证明其为同态且核为 $H\cap N$ 即可。
- 这个定理的条件可以进一步地放松为 $N,H\leq G$ 且 $H \leq N_{G}(N)$
定理 2.8.4（第三同构定理）：设为群，$N\unlhd G,M\unlhd G$ 且 $N \leq M$，则 $G/M\cong(G/N)/(M/N)$
- 这个也是一样的，我们需要定义 $\varphi(gN)=gM$
定理 2.8.5（第三同构定理）：设 $G,H$ 为群，$\eta: G \to H$ 为群同态。若 $M \unlhd G$ 且 $\operatorname{Ker}\eta \subseteq M$, 则 $\eta(M) \unlhd \eta(G)$，且有同构 $\eta(G)/\eta(M) \cong G/M$
- 这是上一个定理的推广，类似的我们只要定义 $\eta(g)=gN$
定理 2.8.6（对应定理）：设 $G$ 是群，$N \unlhd G$，记 $\mathcal{M}$ 为 $G$ 中包含 $N$ 的所有子群的集合，记 $\bar{\mathcal{M}}$ 为 $\bar{G}=G/N$ 的所有子群的集合，即 $\mathcal{M}={ N\leq M\leq G },\bar{\mathcal{M}}={ \bar{M}\leq \bar{G}=G/N }$ 则映射 $\pi: \mathcal{M} \to \overline{\mathcal{M}},\ M \mapsto \overline{M} = M/N$ 为双射，且此双射具有如下性质：对于任意 $M_{1},M_{2},M \in \mathcal{M}$,
- $M_1 \leq M_2$ 当且仅当 $\overline{M_1} \leq \overline{M_2}$；
- 如果 $M_1 \leq M_2$，那么 $[M_2: M_1] = [\overline{M_2}: \overline{M_1}]$；
- $\overline{\langle M_1, M_2 \rangle} = \langle \overline{M_1}, \overline{M_2} \rangle$；
- $\overline{M_1 \cap M_2} = \overline{M_1} \cap \overline{M_2}$；
- $M \unlhd G$ 当且仅当 $\overline{M} \unlhd \overline{G}$，且有 $G/M \cong \overline{G}/\overline{M}$。
命题 2.8.1：设 $G$ 是有限群, $p$ 是 $|G|$ 的最小素因子，且 $N$ 为 $G$ 的指数为 $p$ 的子群，则 $N \unlhd G$.
- 这个定理的证明是要利用 $G$ 在 $G/N$ 上的作用，我们可以得到一个群同态 $\varphi: G \to S_{p}$，显然我们可以得到 $\operatorname{Ker}\varphi =\cap_{a \in G}aNa^{-1}\leq N$，然后从阶数出发证明这个 $\operatorname{Ker}\varphi$ 就是 $N$。
- 这个定理的一个简单推论就是任意 $2n$ 阶群都有一个指数为 2 的正规子群。

9 自由群

字：设 $X$ 为一个非空集合，记 $X^{-1}={ x^{-1}|x \in X },S =X\cup X^{-1}$ ，并对 $x \in X$，令 $(x ^{-1})^{-1}=x$. 由 $S$ 中的元素组成的有限序列 $$ \omega=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}, a_{i}\in S, 1\leq i\leq n $$ 称为 $S$ 上的一个字，其中 $n$ 称为该字的长度，记为 $|\omega|=n$。特殊地，长度为零的字称为空字，记为 $\emptyset$。如果 $\omega$ 中没有 $a^{-1}a$ 的字串，其中 $a\in S$ ，则称该字为既约字（或简化字）。连写运算：记 $F(X)=W/\sim ={ \bar{\omega}|\omega \in W }$，其中 $W$ 为 $S$ 上的所有字的集合，$\sim$ 为等价关系，$\omega_{1} \sim \omega_{2}$ 当且仅当 $\omega_{1},\omega_{2}$ 有相同的既约形式。对于 $\bar{\omega_{1}}, \bar{\omega_{2}} \in F(X)$，定义连写运算为 $$ \bar{\omega_{1}} \cdot \bar{\omega_{2}} = \overline{\omega_{1}\omega_{2}}, $$ 我们不难发现 $F(X)$ 在连写运算下成为一个群。

定理 2.9.1（自由群的泛性质）：设 $G$ 为群， $X$ 为集合，$f: X \to G$ 为映射，则可以扩充为群同态 $\varphi:F(X)\to G$ 使得 $f = \varphi i$，其中 $i: X \to F(X)$ 为自然的包含映射，即对任意 $x \in X$ 有 $i(x)= \bar{x}$，进一步地，该群同态 $\varphi$ 是唯一的。
定理 2.9.2：设 $G$ 为 8 阶非交换群，则 $G$ 为二面体群 $D_{4}$ 或四元数群 $Q$.
命题 2.9.1：对任一字 $\omega$，$\omega$ 有唯一的既约形式
命题 2.9.2：每个群都是自由群的商群，每个有限群都是有限生成自由群的商群
命题 2.9.3（Dyck 定理）：设群 $G = \left< a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}| r_{1}=r_{2}=\cdots=r_{t}=e \right>$，$H=\left< a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}|r_{1}=r_{2}=\cdots=r_{t}=r_{t+1}=\cdots=r_{t+k}=e \right>$, 则 $H$ 是 $G$ 的同态像。

群的结构

1 群的直积

直积：设 $G_{1},G_{2}$ 为群，$G = G_{1}\times G_{2}$ 称为 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 的直积，$G$ 中元素的运算定义为 $(g_{1},g_{2}) \cdot(h_{1},h_{2})=(g_{1}h_{1},g_{2}h_{2})$ 显然我们可以知道 $$ \begin{align} |G_{1}\times G_{2}|&=|G_{1}|\cdot|G_{2}| \ G_{1}\times G_{2} &\cong G_{2}\times G_{1} \ \end{align} $$

[!note] 直积有关的传递性注意，$B \cong C \implies A\times B\cong A\times C$，但是反之不成立，比如 $A=\mathbb{Q},B=\mathbb{Q},C={ 0 }$ 另外，$H_{1} \le(\unlhd)G_{1},H_{2}\le(\unlhd)G_{2}\implies H_{1}\times H_{2} \le(\unlhd) G_{1}\times G_{2}$ 但是反之不成立。

内直积：设为群，$H,K \leq G$ 且 $G\cong H\times K$, 则称 $G$ 为 $H$ 和 $K$ 的内直积，记为 $G=H \times K$。

同构作用：设 $H,K$ 是两个群，称群同态 $\varphi: K \to \operatorname{Aut}(H)$ 为群 $K$ 在群 $H$ 上的同构作用。

对任意 $y \in K$，定义 $\varphi(y)=\operatorname{id}_{H}$ ，即 $H$ 的恒等自同构，称为在上的平凡同构作用。
设 $\mathbb{F}$ 为域，$\mathbb{F}$ 在加法下构成群， $\mathbb{F}$ 的非零元集在乘法下构成群，记为 $\mathbb{F}^{}$，则 $\mathbb{F}^{}$ 在 $\mathbb{F}$ 上有自然的同构作用，即对任意 $a \in \mathbb{F}^{},\varphi_{a}:\mathbb{F} \to \mathbb{F}$ 定义为 $\varphi_{a}(x)=ax$。则 $\varphi:\mathbb{F}^{}\to \operatorname{Aut}\mathbb{F}$ ，其中 $\varphi(t)=\varphi_{t}$ ，为 $\mathbb{F}^{*}$ 在 $\mathbb{F}$ 上的同构作用。
设 $G$ 为群，$H \unlhd G$，则 $G$ 在 $H$ 上有共轭作用，即对任意 $g \in G$，定义 $\varphi_{g}: H \to H$ 为 $\varphi_{g}(h)=ghg^{-1}$，则 $\varphi: G \to \operatorname{Aut}(H)$ ，其中 $\varphi(g)=\varphi_{g}$，为 $G$ 在 $H$ 上的同构作用。
对任意 $H$，设 $K\le \operatorname{Aut}(H)$，则包含映射 $i: K \to \operatorname{Aut}(H)$ 为群 $K$ 在群 $H$ 上的同构作用。半直积：设 $H,K$ 为群，$\varphi: K \to \operatorname{Aut}(H)$ 为群 $K$ 在群 $H$ 上的同构作用，定义集合 $G=H\times K$ 上的乘法为 $$ (x,y)(u,v)=(x\varphi_{y}(u),yv), \forall x,u \in H, \forall y,v \in K. $$ ，则 $G$ 在该乘法下构成一个群，称为 $H$ 和 $K$ 关于 $\varphi$ 的半直积，记为 $H \rtimes_{\varphi} K$。根据结合律我们可以看出，群 $H \rtimes_{\varphi} K$ 的单位元是 $(e_{H},e_{K})$，对于 $x \in H,y \in K$ ，$(x,y)$ 的逆元是 $(x,y)^{-1}=(\varphi_{y^{-1}}(x ^{-1}),y^{-1})$ 如果 $\varphi$ 是 $K$ 在上的平凡同构作用，则 $H \rtimes_{\varphi} K \cong H \times K$，但是只要不是，那么 $H \rtimes_{\varphi} K$ 一定是非交换群。这只需要找到 $\varphi_{y}(x)\ne x$ 就可以发现 $(x,e_{K})$ 和 $(e_{H},y)$ 是不可以交换的。一个经典的例子是 $D_{n}=C_{n}\rtimes_{\varphi}C_{2}$，其中 $\varphi$ 为 $C_{2}$ 在 $C_{n}$ 上的共轭作用。$C_{n}$ 是旋转子群，$C_{2}$ 是反射子群，反射子群会把旋转子群中的每个元素映射到它的逆元。另外我们还可以看出 $H$ 是 $H \rtimes_{\varphi} K$ 的正规子群，而 $K$ 则不是。

定理 3.1.1：若正整数 $m,n$ 互素，则 $m$ 阶循环群与 $n$ 阶循环群的直积为 $mn$ 阶循环群。
- 如果 $\operatorname{gcd}(m,n)\neq 1$，则 $C_{m}\times C_{n}$ 不是循环群。
- 推论 3.1.1（中国剩余定理）：设正整数 $m,n$ 互素，$a,b$ 是任意整数，则同余方程组 $x\equiv a(\operatorname{mod}m),x\equiv b(\operatorname{mod}n)$ 有整数解。进一步地，若 $x,y$ 均是该同余方程组的解，则 $x\equiv y(\operatorname{mod}mn)$。
定理 3.1.2：设有限群 $G_{1},G_{2}$ 的阶互素，则 $G_{1}\times G_{2}$ 的任一子群 $H$ 都可唯一表示为 $H=H_{1}\times H_{2}$，其中 $H_{1}\leq G_{1},H_{2}\leq G_{2}$。
- 定理的证明只需要考虑子群在 $G_{1},G_{2}$ 上的投影，投影必然是一个满同态，于是很显然 $H \subset H_{1}\times H_{2}$。然后利用中国剩余定理证明 $\forall a\in H_{1},b \in H_{2},(a,e_{2})\in K,(e_{1},b)\in K$
- 对于一般的群 $G_{1},G_{2}$ ，则不一定成立。
定理 3.1.3：设 $G$ 为群，$H,K$ 为 $G$ 的两个子群，且满足
- $G=HK$
- $H \cap K={ e }$
- $\forall h \in H,\forall k \in K, hk=kh$
- 则 $G \cong H \times K$
- 条件一用来证明满射，条件二用来证明单射，条件三用来证明映射是同态。
- $p$ 为素数，$G$ 为 $p^{2}$ 阶群，所以 $G$ 要么是循环群，要么是 $C_{p}\times C_{p}$，所以 $G$ 一定可以交换
定理 3.1.4：设 $G$ 为群，$H,K$ 为 $G$ 的两个子群，且满足
- $H \unlhd G$
- $H \cap K={ e }$
- $G=HK$
- 则 $G \cong H \rtimes_{\varphi} K$，其中 $\varphi: K \to \operatorname{Aut}(H)$ 为 $K$ 在 $H$ 上的共轭作用，即 $\varphi_{k}(h)=khk^{-1}$。
- 推论：当 $n\ge 3$ 时，$S_{n}=A_{n}\rtimes_{\varphi}\langle(12)\rangle$

2 Sylow 定理

$p$ 部分：设 $p$ 为素数，$n$ 为正整数，记 $n=p^{r}m$，其中 $r\geq 0$，$p \nmid m$，则称 $p^{r}$ 为 $n$ 的 $p$ 部分，也称 $n$ 的 $p-$ adic 阶为 $r$. 所以 $n$ 的 $p-$ adic 阶为 0 当且仅当 $p \nmid n$。

设 $p<q$，确定所有的 $pq$ 阶群：首先我们能知道的是，如果取 $G$ 的 Sylow $q$ 子群 $Q \unlhd G$ 和 Sylow $p$ 子群 $P$ ，显然他们都是循环群，然后我们很容知道 $G\cong Q\rtimes_{\varphi}P$

什么时候 $n$ 阶群一定循环？充要条件是 $\operatorname{gcd}(n, \phi(n))=1$ 若 $n$ 有一个素因子 $p^{2}|| n$，则 $n$ 阶群 $\mathbb{Z}{p}\times \mathbb{Z}{p}\times \mathbb{Z}{\frac{n}{p^{2}}}$ 不是循环群，因为其有非循环子群。如果 $n$ 阶群循环，则 $n$ 没有平凡因子，又因为不能有素因子 $p<q$ 满足 $p|q-1$，否则 $n$ 阶群就可以构造出非交换群 $C{q}\rtimes C_{p}$。设 $n=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$，其中 $p_{1}<p_{2}<\cdots<p_{k}$ 为素数，$e_{i}\ge_{1},1\le i\le k$，则 $$ \Phi(n)=\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{r_{i}-1}(p_{i}-1) $$ 于是我们知道 $\operatorname{gcd}(n,\Phi(n))=1$

引理 3.2.1：设 $p$ 是一个素数，$n=p^{r}m,r\geq{0},p \nmid m$，则对于任意 $0\leq k\leq r$，有 $p^{r-k}||\binom{n}{p^{k}}$，即 $\binom{n}{p^{k}}$ 的 $p$ 部分为 $p^{r-k}$。
- 证明需要用到 $n!$ 的 $p$ 部分 $p^{s}$ 满足 $s=\sum_{i=1}^{\infty}\left\lfloor \frac{n}{p^{i}} \right\rfloor$。
定理 3.2.1（Sylow 第一定理）：设 $G$ 为有限群，$p$ 为素数，若 $p^{r}|| ~|G|$，则对于任意 $0\leq k\leq r$，$G$ 至少有一个 $p^{k}$ 子群
- 这个定理的证明关键在于考虑所有 $p^{k}$ 元子集的集合 $\Omega$，然后让 $G$ 在 $\Omega$ 上作用，利用轨道-稳定化子定理计算轨道长度，从而证明存在 $p^{k}$ 子群。
- 推论 3.2.1：设群 $G$ 的阶为 $n=p^{r}m$，其中 $p$ 为素数，$r\geq 1$，$p \nmid m$，则
  - Cauchy 定理：$G$ 中至少有一个 $p$ 阶元素
  - Sylow $p$ 子群：$G$ 中至少有一个阶为 $p^{r}$ 的子群
定理 3.2.2（Sylow 第二定理）：设 $K$ 为有限群 $G$ 的子群，其阶可被素数 $p$ 整除，$P$ 是 $G$ 的一个 Sylow $p$ 子群，则存在 $P$ 的某个共轭子群 $P'=aPa^{-1}, a \in G$（显然此时 $P'$ 也是 $G$ 的一个 Sylow $p$ 子群）使得 $P'\cap K$ 是 $K$ 的 Sylow $p$ 子群
- 证明过程是让 $K$ 在 $G/P$ 上作用，然后考虑 $K$ 在 $G/P$ 上的某个轨道 $O$，利用轨道长度计算得到结论。
- 推论 3.2.2：设素数 $p$ 是有限群 $G$ 阶的一个因子，则有
  - $G$ 的任一 $p$ 子群都包含在某个 Sylow $p$ 子群中
  - 任意两个 Sylow $p$ 子群都是共轭的，从而 Sylow $p$ 子群正规当且仅当唯一
定理 3.2.3（Sylow 第三定理）：设群 $G$ 的阶为 $n=p^{r}m$，其中 $p$ 为素数，$r\geq 1$，$p \nmid m$，记 $G$ 的 Sylow $p$ 子群的个数为 $n_{p}$ 则
- $n_{p}|m$ 且 $n_{p}\equiv1(\operatorname{mod}p)$
- 首先证明与 $n_{p}\equiv{1}(\operatorname{mod}p)$，任取一个 Sylow $p$ 子群 $P$，然后我们就可以给出所有的 Sylow $p$ 子群 $X={ aPa^{-1}|a\in G }$，让 $P$ 在 $X$ 上作用，计算轨道长度即可。然后证明 $n_{p}|m$，这里我们考虑 $G$ 在 $X$ 上的作用，可以从 $P$ 的共轭子群个数为 $[G:N_{G}(P)]$ 看出
定理 3.2.4：最小有限非交换单群同构于交错群 $A_{5}$

[!summary] Sylow 定理总结

Sylow 第一定理保证了 Sylow $p$ 子群的存在性。

Sylow 第二定理说明了所有 Sylow $p$ 子群都是共轭的，并且任何 $p$ 子群都包含在某个 Sylow $p$ 子群中。

Sylow 第三定理给出了 Sylow $p$ 子群个数的限制条件，即它必须整除群阶中不含 $p$ 的部分，并且满足模 $p$ 同余条件。

对于第一和第二定理的证明是相似的，都是用到了轨道-稳定化子定理，考虑其中至少存在一个无法整除的轨道，从而得到所需的子群。

第二个定理有不少的推论，比如 $n_{p}=[G:N_{G}(P)]$ ，其中 $P$ 为某个 Sylow $p$ 子群。

下列命题均为 Sylow 定理的应用：

命题 3.2.1：设 $p,q$ 为素数，则 $pq$ 和 $p^{2}q$ 阶群都不是单群
- 不妨 $q>p$，对于情况 $pq$ 来说，这十分简单，只需要考虑 $n_{q}$ 就行，只能是 $1$，所以有一个非平凡的正规子群
- 接下来考虑 $p^{2}q$ ，我们需要考虑 $p>q$ 和 $p<q$ 两种情况。对于 $p<q$，同样考虑 $n_{q}$ 即可。对于 $p>q$，我们需要分别考虑 $n_{p}=1$ 和 $n_{p}>1$ 两种情况。如果 $n_{p}=1$，则有一个非平凡的正规子群。如果 $n_{p}>1$，则 $n_{p}\equiv 1(\operatorname{mod}p)$，所以 $n_{p}\geq p+1$，所以群中至少有 $(p+1)(p^{2}-1)$ 个不同的元素，再加上单位元，一共至少有 $p^{3}+p^{2}-p+1$ 个元素，而由于 $q \leq p-1$，所以 $|G|=p^{2}q \leq p^{3}-p^{2}$，与之前的结论矛盾，所以也有一个非平凡的正规子群。
- Burnside $p^{a}q^{b}$ 定理：设 $G$ 为有限群，$|G|=p^{a}q^{b}$，其中 $p,q$ 为素数，$a,b$ 为非负整数，则是可解群，不是单群。
命题 3.2.2：设为有限群，$p$ 为奇素数，则 $2p$ 阶群或为循环群，或为二面体群
- 考虑 $G$ 的一个 Sylow $p$ 子群，这一定是一个循环群 $\langle a \rangle$，而且是正规子群，于是存在一个 $b \not\in \langle a \rangle$，这时候我们考虑 $ab$ 的阶，要么是 $2p$ ,则说明这是一个循环群;要么是 $2$ ，说明 $bab=a^{-1}$ ，这是一个二面体群 $D_{p}$.
命题：若有限群 $G$ 的阶 $<60$，则不是非交换单群
- 我们依次考察，素数阶群一定是循环群；素数幂次阶群不是单群。$pq,p^{2}q$ 阶群也不是单群，$2m$ 阶群也不是单群，只需要考虑 $\lvert G \rvert =24,36,40,48,56$ 的情况
- 对于 24,36,48，我们都是考虑 G 对于它们的 Sylow p 子群的共轭作用，得到群同态 $\rho: G\to S_{n_{p}}$ 然后就只需要证明 $\operatorname{Ker}\rho$ 是一个非平凡的正规子群即可。
- 对于 40，考虑 $n_{5}=1$ ，所以有一个非平凡的正规子群。
- 对于 56，要么 $n_{7}=1$ ，要么 $n_{7}=8$，如果 $n_{7}=8$，于是一共有 $6\cdot 8=48$ 个 $7$ 阶元素，剩下的只能构成一个 Sylow $2$ 子群，所以这个 Sylow $2$ 子群是正规子群。
命题：设 $G$ 是 60 阶单群，则 $G \cong A_{5}$
- 这个解释起来肥肠的麻烦，（a）首先我们需要从自然同态 $\varphi: G\to S_{m}$ 的角度，证明不存在指数 $m<5$ 的子群，
- （b）然后我们来证明有一个指数为 5 的子群。考虑 Sylow $p$ 子群的性质，证明 $n_{2}\in { 3,5,15 },n_{3}\in { 4,10 },n_{3}=6$ 再根据 $n_p = [G:N_{G}(P)]$ 说明 $n_{2}$ 只能是 $5$ 或 $15$，$n_{3}$ 只能是 $10$，如果 $n_{2}$ 是 $5$ 那就皆大欢喜。否则我们就知道 $n_{2}=15,n_{3}=10,n_{3}=6$，从元素的阶出发，阶为 $3$ 的元素有 $20$ 个，阶为 $5$ 的元素一共 $24$ 个，但是一共有 $15$ 个 Sylow $2$ 子群，而且每个 Sylow $2$ 子群至少有 $3$ 个阶不为 $1$ 的元素，所以它们的中一定有两个子群的交集非平凡，由这个交集生成的子群 $H$ 满足 $4 \mid \lvert H \rvert \mid 60$，所以 $\lvert H \rvert =12,15$，等于 $15$ 的时候与 a 矛盾
- （c）最后从指数为 5 的子群 $H$ 出发，我们证明 $G\cong A_{5}$. 我们只需要考虑 $G$ 在 $G/H$ 上的作用，得到群同态 $\psi: G \to S_{5}$，由于 $G$ 是单群，所以 $\operatorname{Ker}\psi ={ e }$，所以 $G \cong \operatorname{Im}\psi \leq S_{5}$，由于 $|G|=60=|A_{5}|$，所以 $G \cong A_{5}$。

3 有限交换群的结构

引理 3.3.1：设 $A$ 是有限交换 $p-$ 群，则 $A$ 循环当且仅当 $A$ 有唯一的阶为 $p$ 的子群
- 这个定理证明过程比较复杂，具体来说，首先必要性是显然的，因为对于一个循环群，阶的任一因子 $d$，都对应唯一一个阶为 $d$ 的子群。
- 然后是比较复杂的充分性，这里其实用到了归纳法：假设对于所有阶小于 $A$ 的有限交换 $p-$ 群，如果有且仅有一个 $p$ 阶子群，则一定是循环群；显然当 $n=1$ 的时候，这一点是成立的。接下来看一个普通的群 $A$，已知他仅有一个 $p$ 阶子群 $P$，考虑映射 $\eta(a)=a^{p}$ 。我们能够证明 $\operatorname{Ker}\eta=P$ ，于是得到了 $A/P\cong \eta(A)$。接下来如果 $\eta(A)={ e }$，那么就结束了，但是另一方面，若 $\eta(A)\ne { e }$，我们知道 $\eta(A)$ 是一个阶为 $\lvert A \rvert /p$ 的有限交换 $p-$ 群。根据 Sylow 定理，$\eta(A)$ 有一个阶为 $p$ 的子群，而且这个子群一定也是 $A$ 的子群，所以唯一；于是 $\eta(A)$ 循环，记为 $\langle g \rangle$, 我们知道 $o(g)=\dfrac{\lvert A \rvert }{p}$ 且 $o(g)=\dfrac{o(a)}{p}$, 所以 $o(a)=\lvert A \rvert$，于是 $A$ 循环。
定理 3.3.1：设 $A$ 是有限交换 $p-$ 群， $a$ 是 $A$ 中一个最高阶元素，则存在 $B \le A$ 使得 $A \cong \langle a \rangle\times B$
- 首先我们考虑平凡情况，$A$ 本身就是循环群，那么就显然了
- 齐次我们考虑归纳法，假设所有阶小于 $\lvert A \rvert$ 的有限交换 $p-$ 群，这一点都成立。关键在于我们如果假设 $A$ 中最高阶元素 $a$ 存在，假设它的阶是 $o(a)=p^{r}$，那么就有一个 $p$ 阶子群 $\langle a^{p^{r-1}} \rangle$ ，我们就还能找到另外一个 $p$ 阶子群 $P$ 。利用这个 $P$ ，我们要证明，在商群 $\bar{A}=A/P$ 中，$o(\bar{a})=o(a)$，从而得到 $\bar{A}\cong \langle \bar{a}\rangle \times \bar{B}$，这就推出 $A=\langle a \rangle B$
定理 3.3.2：有限交换 $p-$ 群 $A$ 可以分解为它的循环子群的直积，即存在 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{t}\in A$ 使得 $A\cong\langle a_{1}\rangle \times \langle a_{2}\rangle \times \cdots \times \langle a_{t}\rangle$，并且直积因子的个数 $t$ 以及它们的阶 $|\langle a_{1}\rangle|,|\langle a_{2}\rangle|,\cdots,|\langle a_{t}\rangle|$ 由群 $A$ 唯一确定。
- 继续定理 3.3.1 的证明过程即可
定理 3.3.3：设 $G$ 为 $n$ 阶交换群，$n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{s}^{e_{s}}$ 为 $n$ 的素因子分解，其中 $p_{1},p_{2},\cdots,p_{s}$ 为互不相同的素数，$e_{1},e_{2},\cdots,e_{s}$ 为正整数，则 $G \cong \times_{i=1}^{s}(\mathbb{Z}{p{i}^{l_{i_{1}}}}\times \mathbb{Z}{p{i}^{l_{i_{2}}}}\times \cdots \times \mathbb{Z}{p{i}^{l_{i_{t_{i}}}}})$，其中 $l_{i_{1}}\geq l_{i_{2}}\geq \cdots \geq l_{i_{t_{i}}}\geq 1$ 且 $\sum_{j=1}^{t_{i}}l_{i_{j}}=e_{i}$。进一步地，该直积分解是唯一的。集合 ${ p_{1}^{l_{1 1}},p_{1}^{l_{1 2}},\cdots,p_{1}^{l_{1 t_{1}}},\cdots,p_{s}^{l_{s 1}},p_{s}^{l_{s 2}},\cdots,p_{s}^{l_{s t_{s}}} }$ 称为群 $G$ 的初等因子。
- 推论 3.3.1：有限交换群被它的初等因子唯一确定，即设 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 都是 $n$ 阶交换群，则 $G_{1}\cong G_{2}$ 当且仅当它们有相同的初等因子。而且由于 $\sum_{j=1}^{k_{i}}l_{ij}=e_{i}$，所以我们知道组合个数为 $\prod_{i=1}^{s}p(e_{i})$，其中 $p(e_{i})$ 为正整数 $e_{i}$ 的划分数。
定理 3.3.4：设 $G$ 为 $n$ 阶交换群，则 $G\cong Z_{d_{1}}\times Z_{d_{2}}\times \cdots \times Z_{d_{t}}$，其中 $d_{1}|d_{2}|\cdots|d_{t}$ 且 $\prod_{i=1}^{t}d_{i}=n$。进一步地，该直积分解是唯一的。集合 ${ d_{1},d_{2},\cdots,d_{t} }$ 称为群 $G$ 的不变因子。
- 设 $k=\max{ k_{1},k_{2},\cdots,k_{s} }$，令 $d_{k}=p_{1}^{l_{1 1}}p_{2}^{l_{21}}\cdots p_{s}^{l_{s1}},d_{k-1}=p_{1}^{l_{1 2}}p_{2}^{l_{22}}\cdots p_{s}^{l_{s2}},\cdots,d_{1}=p_{1}^{l_{1 k}}p_{2}^{l_{2 k}}\cdots p_{s}^{l_{s k}}$，则 $d_{1}|d_{2}|\cdots|d_{k}$ 且 $\prod_{i=1}^{k}d_{i}=n$。于是有 $G\cong Z_{d_{1}}\times Z_{d_{2}}\times \cdots \times Z_{d_{k}}$。
- 推论 3.3.2：有限交换群被它的不变因子唯一确定，即设 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 都是 $n$ 阶交换群，则 $G_{1}\cong G_{2}$ 当且仅当它们有相同的不变因子。
定理 3.3.5：8 阶群共有五个，其中交换群有三种，分别为 $Z_{8},Z_{4}\times Z_{2},Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}$；非交换群有两种，分别为二面体群 $D_{4}$ 和四元数群 $Q$。

4 可解群

换位子：设 $G$ 为群， $a,b \in G$，令 $[a,b]=aba^{-1}b ^{-1}$ 称为 $a$ 和 $b$ 的换位子。显然 $a$ 与 $b$ 可交换当且仅当 $[a,b]=e$，对任意 $a,b,c\in G$ 和任意群同态 $\sigma: G\to H$，都有以下性质：

$[a,b]^{-1}=[b,a]$
$c[a, b]c^{-1}=[cac^{-1},cbc^{-1}]$
$\sigma([a,b])=[\sigma(a),\sigma(b)]$ 只需要考虑群同态 $\operatorname{sgn}: S_{n} \to \pm 1$，我们就可以看出 $S_{n}$ 中的换位子都是偶置换。

由于换位子的乘积不一定是换位子，对于一个一般的群 $G$，组成的集合并不是一个子群，所以我们考虑由所有换位子生成的子群。换位子群：设 $G$ 为群，记 $G$ 的所有换位子生成的子群为 $G$ 的换位子群，记为 $G^{(1)}$，即 $G^{(1)}=\langle [a,b]|a,b \in G \rangle$，也称为导群。显然 $G$ 为交换群当且仅当 $G^{(1)}={ e }$，且 $G^{(1)}\unlhd G$。$G'$ 越大，$G$ 越不接近交换群。 $n$ 级导群：可以递归定义， $G^{(0)}=G,\forall n\ge 1, G^{(n)}=(G^{(n-1)})^{(1)}$。可解群：如果存在正整数 $n$ 使得 $G^{(n)}={ e }$，则称群 $G$ 为可解群。显然，交换群都是可解群，但是非交换单群不是可解群，因为它们的导群就是它们本身。可解群列：对任意 $0\le i\le s-1$，$G_{i}/G_{i+1}$ 都是交换群的 $G$ 的正规子群列称为 $G$ 的一个可解群列。

命题 3.4.1：设 $\sigma: G\to H$ 为群同态，则 $\sigma(G)$ 交换当且仅当 $G^{(1)}\subseteq \operatorname{Ker}\sigma$
- 这个很简单，，记 $K= \operatorname{Ker}\sigma$ ，同态基本定理 $\sigma(G)\cong G/K$，所以 $[aK,bK]=[a,b]K=K$ 即 $[a,b]\in K$。
- 推论 3.4.1：设 $N \unlhd G$，则 $G/N$ 交换当且仅当 $G^{(1)}\le N$，特别地， $G/G^{(1)}$ 为交换群。
命题 3.4.2：设 $\sigma: G\to H$ 为群同态，则 $\sigma(G^{(n)})= (\sigma(G))^{(n)}$。
- 无他，归纳法
定理 3.4.1：可解群的子群和商群仍为可解群
- 对于 $H \le G$，显然 $H^{(n)}\le G^{(n)}$，所以 $H^{(n)}={ e }$；
- 对于 $N \unlhd G$，考虑自然同态 $\pi$ ，则 $\pi(G^{(n)})=(\pi(G))^{(n)}$，所以 $(G/N)^{(n)}={ e }$。
定理 3.4.2：设 $N\unlhd G$，若 $N$ 和 $G/N$ 都为可解群，则 $G$ 也为可解群
- 同样考虑自然同态 $\pi: G\to G/N$，则 $\pi(G^{(m)})=(\pi(G))^{(m)}$，所以 $G^{(m)}\subseteq N$，于是 $G^{(m+n)}={ e }$。
- 推论 3.4.2：有限 $p-$ 群都是可解群
  - 这个证明要用到 $p-$ 群的中心非平凡
定理 3.4.3：设 $G$ 为群，则 $G$ 是可解群的充分必要条件是存在一列子群 ${ e }\unlhd G_{s}\unlhd \cdots\unlhd G_{1}\unlhd G_{0}=G$ 使得每个商群 $G_{i-1}/G_{i}$ 都为交换群。
- 必要性只需要取 $G_{i}=G^{(i)}$ 即可，显然；充分性则是利用归纳法，依次证明 $G^{(i)}\le G_{i}$

5 Jordan-Hölder 定理

次正规群列：设 $G$ 为群，称群 $G$ 的一个子群列 $$ G =G_{0}\ge G_{1}\ge \cdots \ge G_{t}={ e } $$ 为 $G$ 的一个次正规群列，如果对任意 $1\leq i\leq t-1$，都有 $G_{i+1}\unlhd G_{i}$。其商群组 $G_{i}/G_{i+1}, 0\le i\le t-1$ 称为该次正规群列的因子群组。如果进一步有对于 $\forall i, 0\le i\le t-1,G_{i+1}\subset G_{i}$ ，则称该次正规群列是 无重复的 ，此时称因子群的个数 $t$ 为无重复的正规群列的长度。

交换群列：在群 $G$ 的次正规群列中，若因子群组中的所有因子群 $G_{i}/G_{i+1}$ 都是交换群，则称该次正规群列为 $G$ 的一个交换群列或者可解群列。

正规群列：设 $G$ 为群，称群 $G$ 的一个次正规群列 $$ G =G_{0}\ge G_{1}\ge \cdots \ge G_{t}={ e } $$ 为 $G$ 的一个正规群列，如果对任意 $0\leq i\leq t-1$，都有 $G_{i+1}\unlhd G$。进一步地，若 $\forall 0\le i\le t-1,G_{i}/G_{i+1}\subset Z(G/G_{i+1})$ ，则称该正规群列为 $G$ 的一个中心群列。对任意 $H,K\le G$ ，用 $[H,K]$ 表示由所有换位子 $[h,k],h\in H,k\in K$ 所生成的子群。我们可以递归定义子群 $L_{i}, i\ge 0$ 如下 $$ L_{0}=G,L_{i+1}=[G,L_{i}], i\ge 0. $$ 幂零群：若 $G$ 有中心群列，则称群 $G$ 为幂零群。

合成群列：设为群，称群的一个次正规群列 $$ G = G_0 \unrhd G_1 \unrhd \cdots \unrhd G_{t-1} \unrhd G_t = {e} $$ 为群的一个合成群列，如果对任意 $0 \leq i \leq t-1$，商群 $G_i / G_{i+1}$ 都是单群。这时每个因子群也称为合成因子。

引理 3.5.1：设 $G$ 为群，$N\unlhd G$. 若群 $G$ 有合成群列，则 $N$ 也有合成群列。
命题 3.5.1：设 $G$ 为群，则 $G$ 存在中心群列，当且仅当存在正整数 $s$ 使得 $L_{s}={ e }$
命题 3.5.2：每个有限群都有一个合成群列
定理 3.5.1：设 $G$ 为有限群，则 $G$ 可解当且仅当存在 $G$ 的次正规群列$G=H_{0}\unrhd H_{1}\unrhd \cdots \unrhd H_{r}={ e }$使得每个因子群都是素数阶循环群
定理 3.5.2（Jordan-Hölder 定理）：设 $G$ 有合成群列，则 $G$ 的任两个合成群列有相同的长度，并且它们的因子群组在不计次序的意义下对应同构。

数学分析三

Mon, 03 Nov 2025 14:00:00 GMT

反例构造小结论

闭包：$\bar{A}=((A^{c})^{\circ})^{c}$ P38 T22 对于高维，要分析 $n$ 的多少各阶偏导用泰勒

1 累次极限

总分关系分存在而总不存在 $$ f(x,y)=\begin{cases} 0,&xy=0\ 1,&xy\neq 0 \end{cases} $$ 总存在而分不存在 $$ f(x,y)=\begin{cases} (x+y)\sin \dfrac{1}{x}\sin \dfrac{1}{y},&xy\neq 0\ 0,&xy=0 \end{cases} $$

2 紧集

连续函数在紧集上一致连续，但是在闭集上不一样。比如 $$ f(x,y)=\sin(xy) $$

3 连续、偏导、可微

偏导存在而不连续 $$ f(x,y)=\begin{cases} 0 ,&xy=0\ 1,&xy\neq 0 \end{cases} $$ 方向导数存在而偏导不存在 $$ f(x,y)=\sqrt{ x^{2}+y^{2} } $$ 方向导数存在而不连续 $$ f(x,y)=\begin{cases} 1, &y= x^2\ 0,&else \end{cases} $$ 可微但偏导不连续 $$ f(x,y)=\begin{cases} (x^{2}+y^{2})\sin \dfrac{1}{{x^{2}+y^{2}}},& (x,y)\neq (0,0)\ 0,&(x,y)=(0,0) \end{cases} $$ 高阶偏导不相等 $$ f(x,y)=\begin{cases} xy\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq (0,0)\ 0,&(x,y)=(0,0) \end{cases} $$ 方向导数存在、偏导存在、连续但不可微 $$ f(\vec{x})=\begin{cases} \frac{x_{1}^{3}}{|\vec{x}|^{2}},&\vec{x}\neq 0 \ 0,&\vec{x}=0 \end{cases} $$

4 齐次函数

若$f(x)$为$K$次齐次函数，则有欧拉定理 $$ \left( \sum_{i=1}^{n} x_{i}\frac{ \partial }{ \partial x } \right)^{k}f(x)=\dfrac{K!}{(K-k)!}f(x) $$

5 雅克比行列式

逆映射存在定理只是局部的同胚映射，而不是全局的，比如 $$ \begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\exp x\cos y\ \exp x\sin y\end{pmatrix} $$ 逆映射如不要求连续偏导数，雅克比行列式不是必要条件，比如 $$ \begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x^{3}\ y\end{pmatrix} $$

6 二重积分

二重积分存在时，未必有累次积分 $$ f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{1}{k},& x = \dfrac{1}{k},y \in \mathbb{Q} & \ 0,& else \end{cases} $$

课本内容

1 第十三章多元函数的极限和连续

1.1 定义

距离：对非空集合$E$，若二元关系$d: E×E→R$满足正定性（$d(x,y)≥0$且$d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$）、对称性（$d(x,y)=d(y,x)$）、三角不等式（$d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)$），则$d$为$E$上的距离，$(E,d)$为距离/度量空间。
范数：对线性空间$E$（数域$R$），若一元关系$||·||: E→R$满足正定性（$||x||≥0$且$||x||=0\Leftrightarrow x=0$）、正齐次性（$||cx||=|c|||x||$）、次可加性（$||x+y||≤||x||+||y||$），则$||·||$为$E$上的范数，$(E,||·||)$为赋范线性空间。
内积：对线性空间$E$，若二元关系$(·,·): E×E→R$满足正定性（$(x,x)≥0$且$(x,x)=0\Leftrightarrow x=0$）、对称性（$(x,y)=(y,x)$）、关于数的线性性（$(cx,y)=c(x,y)$）、关于元素的线性性（$(x,y+z)=(x,y)+(x,z)$），则$(·,·)$为$E$上的内积，$(E,(·,·))$为内积空间。
欧几里得空间：带有内积（范数、距离）的$R^n$称为$n$维欧几里得空间。
邻域：设$x_0\in R^n$，$\delta>0$，$U(x_0,\delta)={x\in R^n||x-x_0|<\delta}$为以$x_0$为心的$\delta$邻域；$U_0(x_0,\delta)=U(x_0,\delta)\setminus{x_0}$为$x_0$的空心$\delta$邻域；$N(x_0,\delta)={x\in R^n||x_j - x_j^0|<\delta}$为方形邻域。
点列收敛：设点列${x_k}\subset R^n$，若存在$x_0\in R^n$使得$\lim_{k→+\infty}|x_k - x_0|=0$，则称${x_k}$收敛于$x_0$，$x_0$为${x_k}$的极限点。
有界集：集合$E\subset R^n$有界，当且仅当$\exists M>0$，使得$|x|≤M$对$\forall x\in E$成立。
聚点：对$R^n$的非空集合$E$，若$\forall \delta>0$，$U_0(x,\delta)\cap E≠\emptyset$，则$x$为$E$的聚点。
孤立点：若$x\in E$且不是$E$的聚点，则$\exists \delta>0$使得$U_0(x,\delta)\cap E=\emptyset$，此时$x$为$E$的孤立点。
稠密：对无限集 $A,B$，若 $A\subset B$ 且 $A$ 中任何点的任何邻域都有 $B$ 的点，则称 $B$ 在 $A$ 中稠密。
内点、外点、边界点：点$P$为$E$的内点，若$\exists \delta>0$使得$U(P,\delta)\subset E$，所有内点的集合为$E$的内部$E^\circ$；点$P$为$E$的外点，若$\exists \delta>0$使得$U(P,\delta)\cap E=\emptyset$；点$P$为$E$的边界点，若$\forall \varepsilon>0$，$U(P,\varepsilon)\cap E≠\emptyset$且$U(P,\varepsilon)\cap E^c≠\emptyset$，所有边界点的集合为$E$的边界$\partial E$（$E^c=R^n\setminus E$为$E$的余集）。
导集，闭包：集合$E$的导集$E'$是$E$的所有聚点构成的集合，闭包$\bar{E}=E\cup E'$。
开集、闭集：若$E^\circ=E$，则$E$为开集；集合$E$的导集$E'$是$E$的所有聚点构成的集合，闭包$\bar{E}=E\cup E'$，若$E=\bar{E}$，则$E$为闭集（空集和$R^n$既开又闭）。
道路连通集、区域、闭区域：若$E$中任意两点都能用属于$E$的连续曲线连接，则$E$是道路连通集；道路连通的开集称为区域；区域$D$的闭包$\bar{D}$称为闭区域。
凸集、凸域：若$E$内任意两点间的直线也属于$E$，则$E$为凸集；凸的区域称为凸域。
Cauchy列：设点列${P_n}\subset R^n$，若$\forall \varepsilon>0$，存在$K\in N$使得$d(P_k,P_m)<\varepsilon$对$\forall k,m>K$成立，则${P_k}$为Cauchy列。
集合的直径：集合$E$的直径$diam(E)=\sup d(P_1,P_2)$，其中$P_1,P_2\in E$。
完备空间：有距离的空间$X$，若其任一Cauchy列都有极限点，则$X$是完备的。
开覆盖、紧集：开集族$\Theta={G_\alpha}$称为$E$的开覆盖，若$E\subset\cup_\alpha G_\alpha$；若集合$K$的每一个开覆盖都含有有限子覆盖，则$K$为紧集。
单射、满射、双射：若$x_1≠x_2\Rightarrow f(x_1)≠f(x_2)$，则$f$为单射；若$f(X)=Y$，则$f$为满射；既单又满的映射为双射；若$X\subset R^n$，$Y\subset R$，则映射$f$为$n$元函数。
多元函数极限：设$f(P)$定义于$E\subset R^n$，$P_0$是$E$的聚点，若$\exists$常数$A$，使得$\forall \varepsilon>0$，$\exists \delta>0$，当$P\in U_0(P_0,\delta)\cap E$时$|f(P)-A|<\varepsilon$，则$\lim_{P\in E→P_0}f(P)=A$。
累次极限：设$f(x,y)$在${(x,y)|0<|x - x_0|<a,0<|y - y_0|<a}$上有定义，若对任意固定的$y\in(y_0 - a,y_0 + a)\setminus{y_0}$，$\lim_{x→x_0}f(x,y)=\varphi(y)$存在，且$\lim_{y→y_0}\varphi(y)=A$，则$A$是$f(x,y)$的累次极限，记作$\lim_{y→y_0}\lim_{x→x_0}f(x,y)=A$。
向量函数：映射$\vec{f}: R^n→R^m$称为$n$元$m$维向量函数，记作$u=\vec{f}(x)$；若$\vec{f}(E)$是$R^m$中的有界集，则$\vec{f}$是$E$上的有界向量函数。
向量函数极限：$\lim_{x→x_0}\vec{f}(x)=(A_1,\cdots,A_m)$当且仅当$\lim_{x→x_0}\vec{f}_j(x)=A_j$对$\forall j$成立。
多元函数连续：设$x_0$是$n$元函数$y=f(x)$定义域$E$中的点，若$\lim_{x\in E→x_0}f(x)=f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$点连续；若$f(x)$在$E$的每一点都连续，则$f(x)\in C(E)$。
向量函数连续：向量函数$\vec{f}(x)=(f_1(x),\cdots,f_m(x))$在$x_0$点连续，当且仅当$f_j(x)$（$j=1,\cdots,m$）都在$x_0$点连续。
一致连续：设$f(x)\in C(E)$，若$\forall \varepsilon>0$，$\exists \delta>0$，使得对$\forall x_1,x_2\in E$，当$|x_1 - x_2|<\delta$时$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$，则$f(x)$在$E$上一致连续；向量函数一致连续当且仅当各分量函数一致连续。
连通：设 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 是一个非空集合，若对于$\forall \vec{x},\vec{y} \in E$ ，都存在一条道路 $\vec{h}(t):t \in[\alpha,\beta ]$，使得 $\vec{h}(\alpha)=\vec{x}$，$\vec{h}(\beta)=\vec{y}$ 且 $\vec{h}(t)\in E$ 对 $\forall t \in [\alpha,\beta ]$ 成立，则称 $E$ 是连通的。
区域：设 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 是一个非空开集，若是连通的，则称是区域。设 $D$ 是一个区域，则称为区域 $D$ 的闭包 $\bar{D}$ 为闭区域。
同胚映射：若$\vec{f}: E\subset R^n→\vec{f}(E)\subset R^n$是双射，且$\vec{f}$与$\vec{f}^{-1}$都连续，则$\vec{f}$为$E$到$\vec{f}(E)$的同胚映射（$\vec{f}^{-1}(y)=x$其中$\vec{f}(x)=y$）。

1.2 定理

定理 13.1.1：点列收敛的充要条件：设 ${x_k}$ 是 $R^n$ 中的点列，$x_0=(x_1^0,\cdots,x_n^0)\in R^n$，则 $\lim_{k→+\infty}x_k = x_0\Leftrightarrow\lim_{k→+\infty}x_j^k = x_j^0$ 对 $\forall j$ 成立。
高维空间点列极限的性质：极限唯一；收敛有界；线性性；保内积。
定理 13.1.5：聚点的充要条件：点 $P_0$ 是 $E$ 的聚点，当且仅当存在点列 ${P_n}\subset E$，$P_n≠P_0$ 对 $\forall n\in N$ 成立，且 $\lim_{n→\infty}P_n = P_0$。
定理 13.1.6(7)：开集与闭集的运算性质：
1. $\mathbb{R}^{n}$ 和 $\emptyset$ 是开集和闭集；
2. 有限个开集的交集是开集，任意多个开集的并集是开集；
3. 有限个闭集的并集是闭集，任意多个闭集的交集是闭集；
4. $E\subset R^n$ 是开集 $\Leftrightarrow E^c$ 是闭集。
德摩根定律：设 $\Lambda$ 为指标集，$E_\lambda\subset R^n$ 对 $\forall \lambda\in\Lambda$，则
1. $(\cup_{\lambda\in\Lambda}E_\lambda)^c=\cap_{\lambda\in\Lambda}E_\lambda^c$，
2. $(\cap_{\lambda\in\Lambda}E_\lambda)^c=\cup_{\lambda\in\Lambda}E_\lambda^c$。
定理 13.1.8：设 $E \subset \mathbb{R}^{n}$ 则$E$ 是闭集的充分必要条件是 $E=\bar{E}$
定理 13.1.9：Cauchy列与收敛的关系：$R^n$中Cauchy列$\Leftrightarrow$收敛。
定理 13.1.10（闭集套定理）：设${F_k}$是非空闭集列，满足$F_1\supset F_2\supset\cdots\supset F_k\supset\cdots$且$diam(F_k)→0(k→\infty)$，则存在唯一一点$P_0\in\cap_{k=1}^{+\infty}F_k$。
定理 13.1.11：有界点列与聚点定理：有界点列必有收敛子列；$R^n$中任何有界无穷集必有聚点。
有限覆盖定理：设$E\subset R^n$是非空有界闭集，$\Theta={G_\alpha}$是$E$的开覆盖，则从$\Theta$中必能选出有限个开集$G_1,\cdots,G_n$使得$E\subset\cup_{j=1}^n G_j$。
定理 13.1.13：紧集的充要条件：$E\subset R^n$是紧集$\Leftrightarrow E$是有界闭集。
定理 13.2.2：设$f(x,y)$在${(x,y)|0<|x - x_0|<a,0<|y - y_0|<a}$上有定义，若
1. $\lim_{(x,y)→(x_0,y_0)}f(x,y)=A$(可以是无穷)
2. 对固定$y\in(y_0 - a,y_0 + a)\setminus{y_0}$，$\lim_{x→x_0}f(x,y)=\varphi(y)$存在，
3. 则$\lim_{y→y_0}\lim_{x→x_0}f(x,y)=A$；
定理 13.3.1：设 $E\subset \mathbb{R}^{n}$，向量函数 $\vec{y}=\vec{f}(\vec{x})$ 在 $E$ 上连续，向量函数 $\vec{g}(\vec{y})$ 在在 $\vec{f}(E)$ 上连续，则复合函数 $\vec{h}(\vec{x})=\vec{g}(\vec{f}(\vec{x}))$ 在 $E$ 上连续。
定理 13.3.2：$E\subset R^n$是紧集，向量函数$\vec{f}(x)$在$E$上连续，则$\vec{f}(E)\subset R^m$是紧集，推论：$f(x)$在$E$上有界、取到最大最小值、一致连续。
定理 13.3.3：$E\subset R^n$是道路连通集，向量函数$\vec{f}(x)$在$E$上连续，则$\vec{f}(E)\subset R^m$连通；若$f(x)\in C(E)$且$\exists x_1,x_2\in E$使得$f(x_1)<0$，$f(x_2)>0$，则$\exists x_0\in E$使得$f(x_0)=0$。
定理 13.3.4：设 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 是紧集，若 $\vec{f}(\vec{x})$ 在 $E$ 上连续，则 $\vec{f}(\vec{x})$ 在 $E$ 上一致连续。

2 第十四章多元微分学

2.1 定义

偏导数：$\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_i}=\lim_{x_i→x_i^0}\frac{f(x_1^0,\cdots,x_{i-1}^0,x_i,x_{i+1}^0,\cdots,x_n^0)-f(x_1^0,\cdots,x_n^0)}{x_i - x_i^0}$。
全微分：设$\Delta x=(\Delta x_1,\cdots,\Delta x_n)$，$x=x_0+\Delta x$，若存在仅依赖于$x_0$的常数$A_i$使得$\Delta f(x_0)=\sum_{i=1}^n A_i\Delta x_i + o(|\Delta x|)$，则$f(x)$在$x_0$处可微，$\sum_{i=1}^n A_i\Delta x_i$为全微分。
方向导数：单位向量$v=(\cos\theta_1,\cdots,\cos\theta_n)$，$\frac{\partial f(x_0)}{\partial v}=\lim_{t→0^+}\frac{f(x_0 + tv)-f(x_0)}{t}$为$f(x)$在$x_0$点沿方向$v$的方向导数。
梯度：设 $f(\vec{x})$ 在 $\vec{x}_{0}$处可微，则 $\operatorname{grad} f(x_0)=(\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_1},\cdots,\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_n})$，也记作$\nabla f$。
切平面、法向量：函数$y=f(x_1,\cdots,x_n)$在可微点存在切平面，所有切线所在的平面为切平面，垂直于切平面的矢量为法向量。
向量函数可微、Jacobi矩阵：若向量函数$\vec{f}(x)$满足$\Delta \vec{f}(x)=A\Delta x + \alpha(|\Delta x|)$（其中$\lim_{|\Delta x|→0}\frac{\alpha_i(|\Delta x|)}{|\Delta x|}=0$），则$\vec{f}(x)$可微，矩阵$A$为导数/Jacobi矩阵，记作$D\vec{f}(x)$或$\vec{f}'(x)$，$A\Delta x$为全微分$d\vec{f}(x)=\vec{f}'(x)dx$，$A_{ij}=\frac{\partial f_i(x)}{\partial x_j}$；若$A$是方阵，$|A|$为Jacobi行列式，记作$|f'(x_0)|$或$\frac{\partial(f_1,\cdots,f_n)}{\partial(x_1,\cdots,x_n)}|_{x_0}$。
临界点、临界值：设$\vec{f}: D\subset R^n→R^m$，$\vec{f}(x)\in C^1(D)$，$x_0\in D$，若$rank(\vec{f}'(x_0))<min(n,m)$，则$x_0$为$\vec{f}(x)$的临界点，$y_0=\vec{f}(x_0)$为临界值；$n$元函数的临界点满足$\nabla f(x_0)=0$；$n$元$n$维向量函数的临界点满足$|f'(x_0)|=0$。
高阶偏导数：$\frac{\partial^2 f}{\partial x_k\partial x_i}=\frac{\partial(\frac{\partial f}{\partial x_i})}{\partial x_k}$，$n$元函数有$n^2$个二阶偏导数；$C^k(D)$为区域$D$上具有直到$k$阶连续偏导数的函数的全体。
二阶微分：$d^2 f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_k\partial x_i}dx_kdx_i$；Laplace算子$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$。
高阶全微分：2元函数$d^k u=(dx\frac{\partial}{\partial x}+dy\frac{\partial}{\partial y})^k u=\sum_{i=0}^k C_k^i\frac{\partial^k u}{\partial x^i\partial y^{k - i}}dx^i dy^{k - i}$；$n$元函数$d^k u=(\sum_{i=1}^n dx_i\frac{\partial}{\partial x_i})^k u$。
Hesse矩阵：$H_f(x_0)=(\frac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_i\partial x_j})$（二次型）。
多元函数极值：设$u=f(x)$在$D\subset R^n$内有定义，$x_0\in D$，若$\exists U(x_0,\delta)$使得$f(x)≤f(x_0)$（或$f(x)≥f(x_0)$）对$\forall x\in U(x_0,\delta)$成立，则$f(x)$在$x_0$点取得极大值（或极小值），$x_0$为极大值点（或极小值点）。
曲线：$R^n$中的一条曲线是$[\alpha,\beta]→R^n$的连续映射$h(t)=(x_1(t),\cdots,x_n(t))$；若$h(t_1)≠h(t_2)$对$\forall t_1,t_2\in[\alpha,\beta]$，则为简单曲线；若$h(t_1)≠h(t_2)$对$\forall t_1,t_2\in[\alpha,\beta)$且$h(\alpha)=h(\beta)$，则为简单闭曲线（Jordan曲线）。
凸函数：设$D\subset R^n$是凸区域，$f(x)$在$D$上定义，若对$\forall x_1,x_2\in D$，$\forall t\in(0,1)$，有$f(tx_1+(1 - t)x_2)≤tf(x_1)+(1 - t)f(x_2)$，则$f(x)$为$D$上的凸函数；若不等式严格成立，则为严格凸函数。

2.2 定理

注 2：设 $f(\vec{x})$ 关于 $x_{i}$ 的偏导数存在并等于 $A$ ，若记 $\vec{v}{i}$ 是第 $i$ 个坐标轴的单位向量，则有 $\frac{\partial f(\vec{x})}{\partial x{i}}=\frac{\partial f(\vec{x})}{\partial \vec{v}{i}}=A$，但是应该注意到 $\frac{\partial f(\vec{x})}{\partial -\vec{v}{i}}=-A$
定理 14.1.1：$n$ 元函数$f$可微，则必连续，且$\mathrm{d}f=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\mathrm{d}x_i$；
定理 14.1.2：设函数 $f(\vec{x})$ 在区域 $D \subset \mathbb{R}^{n}$ 上有定义，且在 $\vec{x}{0}$ 的某邻域内 $f(\vec{x})$ 的各偏导数均存在且连续，则 $f(\vec{x})$ 在 $\vec{x}{0}$ 处可微；
定理 14.1.3：设函数 $f(\vec{x})$ 在区域 $D \subset \mathbb{R}^{n}$ 上有定义，且在 $\vec{x}{0}\in D$ 处可微，则$\frac{\partial f(x_0)}{\partial v}=\sum{i=1}^n\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_i}\cos\theta_i$。
梯度的运算性质：设$f$和$g$是$n$元可微函数，则：
1. $\nabla C=0$；
2. $\nabla(af+bg)=a\nabla f+b\nabla g$；
3. $\nabla(fg)=f\nabla g+g\nabla f$；
4. $\nabla(\frac{f}{g})=\frac{g\nabla f - f\nabla g}{g^2}$。
复合函数求导法则（链式法则）：设$u=f(x,y)$，$x=g(s,t)$，$y=h(s,t)$构成复合函数，$\frac{\partial x}{\partial s},\frac{\partial x}{\partial t},\frac{\partial y}{\partial s},\frac{\partial y}{\partial t}$都存在，$f(x,y)$可微，则$\frac{\partial u}{\partial s}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$，$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$。
向量函数可微的充要条件：向量函数可微的充要条件是分量函数可微。
导数的四则运算：
1. $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$；
2. $(f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)$；
3. $(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$（要求定义域和值域合适）。
Jacobi矩阵的链式法则：$\frac{\partial(f_1,\cdots,f_p)}{\partial(x_1,\cdots,x_n)}=\frac{\partial(f_1,\cdots,f_p)}{\partial(u_1,\cdots,u_m)}\cdot\frac{\partial(u_1,\cdots,u_m)}{\partial(x_1,\cdots,x_n)}$，或$df(u(x))=f'(u(x))u'(x)dx$，从而$\frac{\partial f(u(x_0))}{\partial x_i}=\sum_{j=1}^m\frac{\partial f(u_0)}{\partial u_j}\cdot\frac{\partial u_j(x_0)}{\partial x_i}$。
定理 14.2.3：如果二阶偏导数存在且连续，那么$f_{ki}''(x)=f_{ik}''(x)$；若$f_{ki}''(x)$或$f_{ik}''(x)$在$x_0$点附近存在且其中之一在$x_0$点连续，那么$f_{ki}''(x_0)=f_{ik}''(x_0)$。
定理 14.3.1：设$f(x)$在$x_0\in R^n$的邻域$U(x_0,\delta_0)$内具有$K+1$阶连续偏导数，则对$x_0 + h\in U(x_0,\delta_0)$，有$f(x_0 + h)=f(x_0)+\sum_{k=1}^K\frac{1}{k!}(\sum_{i=1}^n h_i\frac{\partial}{\partial x_i})^k f(x_0)+\frac{1}{(K+1)!}(\sum_{i=1}^n h_i\frac{\partial}{\partial x_i})^{K+1}f(x_0+\theta h)$（$0<\theta<1$）。
1. 推论 1：设$f(x)$在$x_0\in R^n$的邻域$U(x_0,\delta_0)$内具有$K$阶连续偏导数，则对$x_0 + h\in U(x_0,\delta_0)$，有$f(x_0 + h)=f(x_0)+\sum_{k=1}^K\frac{1}{k!}(\sum_{i=1}^n h_i\frac{\partial}{\partial x_i})^k f(x_0)+o(|h|^K)$（$|h|→0$）。
2. 推论 2（拉格朗日微分中值定理）：设$f(x)$在$x_0$的某邻域内具有连续偏导数，则对于 $\forall t\in[0,1], \vec{x}{0}+t(\vec{x}-\vec{x}{0})\in D$，我们有 $f(\vec{x})-f(\vec{x}{0})=\sum{i=1}^{n}\frac{\partial f(\vec{x}{0}+\theta(\vec{x}-\vec{x}{0}))}{\partial x_{i}}(x_{i}-x_{i}^{0})$，其中 $\theta \in (0,1)$
3. 推论 3：若函数 $f(\vec{x})$ 在区域 $D \subset \mathbb{R}^{n}$ 上各个偏导数均为 $0$，则 $f(\vec{x})$ 在 $D$ 上为常函数。
定理 14.4.1（隐函数存在定理）：设二元函数$F(x,y)$在$U((x_0,y_0),\delta)$内满足：
1. $F(x_0,y_0)=0$；
2. $F(x,y)$和$F_y'(x,y)$连续；
3. $F_y'(x_0,y_0)≠0$，则$\exists \delta_0\in(0,\delta)$，使得在$U(x_0,\delta_0)$内存在唯一连续函数$y=f(x)$，满足
4. $y_0=f(x_0)$，
5. $F(x,f(x))=0$；
6. 若$F_x'(x,y)$连续，则$f(x)\in C^1$且$f'(x)=-\frac{F_x'(x,f(x))}{F_y'(x,f(x))}$。
隐函数存在定理（$n+1$元）：设$F(\vec{x},y)=F(x_1,\cdots,x_n,y)$在$U(\vec{x}_0,\delta)×U(y_0,\delta)$内满足：
1. $F(\vec{x}_0,y_0)=0$；
2. $F(\vec{x},y)$和$F_y'(\vec{x},y)$连续；
3. $F_y'(\vec{x}_0,y_0)≠0$，则$\exists \delta_0>0$，使得在$U(x_0,\delta_0)$内存在唯一连续函数$y=f(\vec{x})$，满足
4. $y_0=f(\vec{x}_0)$，
5. $F(\vec{x},f(\vec{x}))=0$；
6. 若$F$的各偏导数连续，则$f(\vec{x})$ 存在各个连续偏导数，且$\frac{ \partial f(\vec{x}) }{ \partial x_{i} } =-\frac{F_{x_{i}}'(\vec{x},y)}{F_y'(\vec{x},y)}$。
隐函数组存在定理（向量函数）：设向量函数$F(x,u)=(F_1(x,u),\cdots,F_m(x,u))$在$U(x_0,\delta)×U(u_0,\delta)$内有定义（$x=(x_1,\cdots,x_n)$，$u=(u_1,\cdots,u_m)$），满足：$F_j(x_0,u_0)=0$对$\forall j$；$F_j(x,u)$及各偏导数连续；$\frac{\partial(F_1,\cdots,F_m)}{\partial(u_1,\cdots,u_m)}|_{(x_0,u_0)}≠0$，则$\exists \delta_0>0$，使得在$U(x_0,\delta_0)$内存在唯一$m$维$n$元向量函数$f(x)=(f_1(x),\cdots,f_m(x))$，满足$u_0=f(x_0)$，$F_j(x,f(x))=0$对$\forall x\in U(x_0,\delta_0)$；$f'(x)=-{F_u'(x,u)}^{-1}{F_x'(x,u)}$（分母为逆矩阵）。
逆映射存在定理：设$y=f(x)=(f_1(x),\cdots,f_n(x))$是区域$D\subset R^n$到$\Omega\subset R^n$的$C^1$映射，且$\frac{\partial(f_1,\cdots,f_n)}{\partial(x_1,\cdots,x_n)}|_{x_0}≠0$（$y_0=f(x_0)$），则$f$在$x_0$的某邻域$U(x_0,\delta)$内是$C^1$同胚映射，$f(U(x_0,\delta))$是包含$y_0$的区域。
定理 14.5.1：设函数$u=f(\vec{x})$在$x_0$点取得极值，且$f(\vec{x})$在$\vec{x}_0$点各偏导数存在，则偏导数都为$0$；若$f(\vec{x})$在$\vec{x}_0$点可微，则$f'(\vec{x}_0)=0$。
定理 14.5.2：设函数$f(x)$在$D\subset R^n$内有连续二阶偏导数，且$f'(x_0)=0$，$H_f(x_0)$满秩，则
1. $H_f(x_0)$正定时$f(x_0)$取极小值，
2. 负定时取极大值，不定时不取极值；
3. $H_f(x_0)$不满秩时需用高阶导数判定。
条件极值的必要条件（拉格朗日乘数法）：设$n$元函数$f(x)$和$m$维$n$元向量函数$g(x)=(g_1(x),\cdots,g_m(x))$（$m<n$）在$D$内有连续偏导数，$x_0\in D$为$f(x)$在约束$g(x)=0$下的极值点，且$rank(g'(x_0))=m$，则存在常数$t_1,\cdots,t_m\in R$，使得$g(x_0)=0$，$\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_i}+\sum_{j=1}^m t_j\frac{\partial g_j(x_0)}{\partial x_i}=0$（$\forall i$），即$f'(x_0)+(t_1,\cdots,t_m)g'(x_0)=0$（构造$F(x,t)=f(x)+\sum_{j=1}^m t_jg_j(x)$，必要条件为$\frac{\partial F(x_0,t_0)}{\partial x_i}=0$，$\frac{\partial F(x_0,t_0)}{\partial t_j}=0$）。
定理 14.5.3：设$(x_0,\lambda_0)$为$F(x,\lambda)=f(x)+\sum_{j=1}^m \lambda_j\varphi_j(x)$的驻点，且 $\vec{\varphi}'(\vec{x}{0})$ 的秩为 $m$，$H_F(x_0,\lambda_0)=(\frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j}(x_0,\lambda_0)){n×n}$，则$H_F(x_0,\lambda_0)$正定或负定时，$x_0$是$F(x,\lambda_0)$的极值点且为$f(x)$的条件极值点；$H_F(x_0,\lambda_0)$不定时，$x_0$不是$F(x,\lambda_0)$的极值点，但不能确定是否为$f(x)$的条件极值点。
曲线的切线方向：曲线方程为$h(t)=(x(t),y(t),z(t))$，在$t=t_0$点的切线方向为$(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))$。
曲面的法线方向：参数式曲面$x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)$在$M_0=(x_0,y_0,z_0)$点的法线方向为$(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)},\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)},\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)})$；曲面$F(x,y,z)=0$在$M_0$点的法线方向为$(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z})|_{M_0}$。
隐式曲线的切线方向：曲线由$\begin{cases}F(x,y,z)=0\G(x,y,z)=0\end{cases}$给出，在$M_0$点的切线方向为$(\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)},\frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)},\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)})|_{M_0}$。
定理 14.6.1：设$D\subset R^n$是凸区域，$f(x)\in C^2(D)$，则以下命题等价：
1. $f(x)$是$D$上的凸函数；
2. $\forall x_0,x\in D$，$f(x)≥f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)^{\top}$；
3. $\forall x_0\in D$，$H_f(x_0)$半正定。

3 第十五章重积分

3.1 定义

Jordan可测集（有面积）：对于$1/n×1/n$的方体分割$\Delta_n$，记$Q_n^-$为内部方体，$Q_n^+$为最小覆盖方体，若$\lim_{n→+\infty}m(Q_n^-)=\lim_{n→+\infty}m(Q_n^+)$，则集合$A$有面积（Jordan可测），极限为$A$的面积$m(A)$。
简单图形：边界线均为垂直或水平直线段的闭区域。
分划：平面有界可测集$D$的分划$\Delta={\Delta\sigma_i}{i=1}^n$，满足$\Delta\sigma_i$可测且$\Delta\sigma_i^\circ\cap\Delta\sigma_j^\circ=\emptyset$，分划的直径$|\Delta|=max{diam(\Delta\sigma_i)}$；空间有界可测集$\Omega$的分划$\Delta={\Delta V_i}{i=1}^n$，定义类似。
二重积分：设$D$为平面有界可测集，$f(x,y)$在$D$上定义，若$\lim_{|\Delta|→0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)m(\Delta\sigma_i)=I$（对任意分划和取点都成立），则$f(x,y)$在$D$上可积，$I$为二重积分，记作$\iint_D f(x,y)d\sigma$或$\iint_D f(x,y)dxdy$，$D$上所有可积函数全体记为$R(D)$。
三重积分：设$\Omega$为空间有界可测集，$f(x,y,z)$在$\Omega$上定义，若$\lim_{|\Delta|→0}\sum_{i=1}^n f(x_i,y_i,z_i)\Delta V_i=I$（对任意分划和取点都成立），则$f(x,y,z)$在$\Omega$上可积，$I$为三重积分，记作$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv$或$\iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz$，$\Omega$上所有可积函数全体记为$R(\Omega)$。
穷竭列：设$D\subset R^2$为区域，$\forall R>0$，$D\cap{x^2+y^2<R^2}$可测，若有界可测闭集列${D_n}$满足$D_1\subset D_2\subset\cdots\subset D_n\subset D$，且任意有界闭集$F\subset D$都存在$m$使得$F\subset D_m$，则${D_n}$为$D$的穷竭列。
内闭可积：函数$f(x,y)$在$D$的任何可求面积的有界闭子区域上可积，则$f(x,y)$在$D$上内闭可积。
广义重积分：设$D$为区域，$\forall R>0$，$D\cap{x^2+y^2<R^2}$可测，$f(x,y)$在$D$上内闭可积，若对$D$的任意穷竭列${D_n}$，$\lim_{n→+\infty}\iint_{D_n}f(x,y)dxdy$存在且唯一，则广义二重积分$\iint_D f(x,y)dxdy$收敛；若$\iint_D|f(x,y)|dxdy$收敛，则称原积分绝对收敛。

3.2 定理

定理 15.1.1：有面积的充要条件：平面有界点集$A$有面积$\Leftrightarrow\forall \varepsilon>0$，存在包含$\partial A$的简单图形$Q$使得 $m(Q)<\varepsilon$ 。
1. $A,B$有面积$\Rightarrow A\cup B,A\cap B,A\setminus B$有面积；
2. $D$ 可求体积的充分必要条件是 $\bar{D}$ 可求体积，$V(D)=V(\bar{D})$
3. 当$A^\circ\cap B^\circ=\emptyset$时，$m(A\cup B)=m(A)+m(B)$；
4. $\cup_{i=1}^n A_i,\cap_{i=1}^n A_i$有面积且$m(\cup_{i=1}^n A_i)≤\sum_{i=1}^n m(A_i)$。
特殊集合的面积：平面可求长曲线的面积为$0$；由有限条可求长曲线或显式连续曲线围成的区域面积存在。
定理 15.2.1：有界可测区域上的可积函数必有界。
定理 15.2.3（达布定理）：设$D\subset R^2$有界可测，$f(x,y)$在$D$上有界，则$f(x,y)\in R(D)\Leftrightarrow\lim_{|\Delta|→0}\sum_{i=1}^n \omega_i\Delta\sigma_i=0\Leftrightarrow\forall \varepsilon>0$，$\exists$ 分划 $\Delta$ 使得 $\bar{S}(f,\Delta)-\underline{S}(f,\Delta)<\varepsilon\Leftrightarrow\overline{\iint_D f(x,y)d\sigma}=\underline{\iint_D f(x,y)d\sigma}$（$\omega_i$为$f$在$\Delta\sigma_i$上的振幅）。
定理 15.2.4：设 $D$ 是可求体积的有界闭区域，$f(x,y)$在$D$上有界且在 $D$ 上连续，则$f(x,y)\in R(D)$；连续函数必可积。
复合函数的可积性：设$D$是有界可测区域，$f(x,y)\in R(D)$，$m≤f(x,y)≤M$，$g(z)$在$[m,M]$上连续，则$g(f(x,y))\in R(D)$。
二重积分的性质：
1. 线性性、被积函数可加性、积分区域可加性；
2. 积分区域单调性、被积函数单调性；三角不等式；
3. 重积分第一中值定理，$f$ 在 $D$ 上连续，$g$ 在 $D$ 可积且不变号，使得$\iint_D f(x,y)g(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)\iint_D g(x,y)d\sigma$。
定理 15.3.1：设$f(x,y)$在$D=[a,b]×[c,d]$上可积，且$\forall x\in[a,b]$，$I(x)=\int_c^d f(x,y)dy$存在，则定积分 $\int_{a}^{b} I(x)\mathrm{d}x$ 存在，并且 $\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{a}^{b}I(x)\mathrm{d}x$.
定理 15.3.2：设$D={(x,y)|a≤x≤b,g_1(x)≤y≤g_2(x)}$，$f(x,y)$在$D$上可积，且$\forall x\in[a,b]$，$I(x)=\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)dy$存在，则$\iint_D f(x,y)d\sigma=\int_a^b dx\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)dy$。
定理 15.4.1：设$D_{xy},D_{uv}$是由逐段光滑曲线围成的有界闭区域，变换$T:\begin{cases}x=x(u,v)\y=y(u,v)\end{cases}$是$D_{uv}→D_{xy}$的$C^1$同胚映射，且$J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}≠0$对$\forall(u,v)\in D_{uv}$，$f(x,y)\in R(D_{xy})$，则$\iint_{D_{xy}}f(x,y)dxdy=\iint_{D_{uv}}f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv$。
广义重积分收敛的充要条件：设$D$为区域，$\forall R>0$，$D\cap{x^2+y^2<R^2}$可测，$f(x,y)$在$D$上内闭可积，则$\iint_D f(x,y)d\sigma$收敛$\Leftrightarrow\iint_D|f(x,y)|d\sigma$收敛。
广义重积分的变量替换：设区域$G,D\subset R^n$，$\forall R>0$，$G\cap B_R,D\cap B_R$可测，同胚变换$T\in C^1(G)$，$G→D$，则$\iint_D f(x,y)dxdy$与$\iint_G f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv$同敛散，收敛时值相等。
矩形区域广义重积分的敛散性：设$D={a<x<b,c<y<d}$，$f(x,y)$在$D$上内闭可积，则$\int_c^d dy\int_a^b|f(x,y)|dx$收敛$\Rightarrow\iint_D f(x,y)d\sigma$收敛且$\iint_D f(x,y)d\sigma=\int_c^d dy\int_a^b f(x,y)dx$；$\int_a^b dx\int_c^d|f(x,y)|dy$收敛$\Rightarrow\iint_D f(x,y)d\sigma$收敛且$\iint_D f(x,y)d\sigma=\int_a^b dx\int_c^d f(x,y)dy$；其中一个发散则原积分发散。

4 第十六章曲线积分与曲面积分

4.1 定义

第一型曲线积分：设$\Gamma$是平面可求长曲线，$f(x,y)$在$\Gamma$上有定义，若$\lim_{\lambda→0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i$（对任意分割和取点都成立），则极限为$f(x,y)$在$\Gamma$上的第一型曲线积分，记作$\int_\Gamma f(x,y)ds$，闭曲线时记作$\oint_\Gamma f(x,y)ds$；空间曲线的第一型曲线积分定义类似。
光滑曲线：参数式曲线$\begin{cases}x=x(t)\y=y(t)\end{cases}$（或空间曲线$\begin{cases}x=x(t)\y=y(t)\z=z(t)\end{cases}$），满足$x(t),y(t)$（或$x(t),y(t),z(t)$）$\in C^1[a,b]$且$x'(t)^2+y'(t)^2>0$（或$x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2>0$）。
第二型曲线积分：设有向连续线段$\Gamma=AB$，向量函数$\vec{F}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$在$\Gamma$上连续，若$\lim_{|\Delta|→0}\sum_{i=1}^n[P(\xi_i,\eta_i,\varsigma_i)\Delta x_i+Q(\xi_i,\eta_i,\varsigma_i)\Delta y_i+R(\xi_i,\eta_i,\varsigma_i)\Delta z_i]$（对任意分割和取点都成立），则极限为$\vec{F}(x,y,z)$在$\Gamma$上的第二型曲线积分，记作$\int_{AB}\vec{F}\cdot d\vec{s}$或$\int_{AB}Pdx+Qdy+Rdz$。
第一型曲面积分：设函数$f(x,y,z)$在分片光滑的曲面$\sum$上有定义，若$\lim_{\lambda→0}\sum_{i=1}^n f(x_i,y_i,z_i)\Delta S_i$（对任意分割和取点都成立），则极限为$f(x,y,z)$在$\sum$上的第一型曲面积分，记作$\iint_\sum f(x,y,z)dS$。
双侧曲面、单侧曲面：光滑曲面$\sum$上任取一点$M_0$，选定法向量朝向，若$M_0$连同法向量沿$\sum$上任意封闭曲线连续滑行一周后法向量方向不变，则$\sum$为双侧曲面；否则为单侧曲面。
第二型曲面积分：设$\sum\subset R^3$是分片光滑双侧曲面，单位法向量$n(x,y,z)$，向量函数$\vec{F}(x,y,z)=(P,Q,R)$在$\sum$上有定义，若$\lim_{\lambda(T)→0}\sum_{i=1}^k\vec{F}(x_i,y_i,z_i)\cdot\vec{n}(x_i,y_i,z_i)\Delta S_i$（对任意分割和取点都成立），则极限为第二型曲面积分，记作$\iint_\sum\vec{F}\cdot\vec{n}dS$或$\iint_\sum P dydz+Q dzdx+R dxdy$，闭曲面时记作$\oiint_\sum\vec{F}\cdot\vec{n}dS$。
平面单连通区域：平面连通区域$D$，若$D$内任一简单闭曲线的内部总包含在$D$内，则$D$为单连通区域。
空间单连通区域、线单连通区域：空间连通区域$\Omega$，若$\Omega$内任一简单闭曲线能收缩成$\Omega$中一点，则$\Omega$为单连通区域；若$\Omega$内任何闭曲线都可以张成一张完全属于$\Omega$的曲面，则$\Omega$为线单连通区域。
边界正向：一个人沿着$D$的边界曲线前进时，曲线所围区域总在他的左边，该方向为$\partial D$的正向。
旋度、散度：向量函数$\vec{F}(x,y,z)=(P,Q,R)$的旋度$rot\vec{F}=\nabla×\vec{F}=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})$；散度$div\vec{F}=\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$。
调和函数、Laplace方程：设$D$为区域，$u(x,y)\in C^2(D)$，若$\Delta u=0$，则$u(x,y)$是$D$上的调和函数，方程$\Delta u=0$称为Laplace方程（调和方程）。

4.2 定理

第一型曲线积分的存在性：当$\Gamma$可求长且$f(x,y)\in C(\Gamma)$时，$\int_\Gamma f(x,y)ds$存在。
第一型曲线积分的计算（平面曲线）：设$\Gamma$为光滑曲线，参数方程$\begin{cases}x=x(t)\y=y(t)\end{cases}$，$t\in[a,b]$，$f(x,y)\in C(\Gamma)$，则$\int_\Gamma f(x,y)ds=\int_a^b f(x(t),y(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt$。
第一型曲线积分的计算（空间曲线）：设光滑曲线$C: x=x(t),y=y(t),z=z(t)$，$t\in[a,b]$，$f(x,y,z)\in C(C)$，则$\int_C f(x,y,z)ds=\int_a^b f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}dt$。
第一型曲线积分的性质：线性性（$\int_\Gamma k_1f+k_2g ds=k_1\int_\Gamma f ds+k_2\int_\Gamma g ds$）；积分区域可加性（$\int_{\Gamma_1}f ds+\int_{\Gamma_2}f ds=\int_{\Gamma_1\cup\Gamma_2}f ds$）；无向性（$\int_{AB}f ds=\int_{BA}f ds$）。
第二型曲线积分的存在性与计算：设$\Gamma=AB$是光滑曲线，参数方程$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$，$t\in[t_0,t_1]$（$t$从$t_0$到$t_1$对应点从$A$到$B$），$P,Q,R\in C(\Gamma)$，则$\int_{AB}Pdx+Qdy+Rdz=\int_{t_0}^{t_1}[P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))z'(t)]dt$。
第二型曲线积分的性质：线性性；积分区域可加性；有向性（$\int_{AB}\vec{F}\cdot d\vec{s}=-\int_{BA}\vec{F}\cdot d\vec{s}$）。
第一型曲面积分的计算（显式曲面）：设$\sum: z=z(x,y)$，$(x,y)\in D_{xy}$，则$\iint_\sum f(x,y,z)dS=\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}d\sigma_{xy}$。
第一型曲面积分的计算（参数曲面）：设$\sum: x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)$，$(u,v)\in D_{uv}$，$\vec{r_1}=(\frac{\partial x}{\partial u},\frac{\partial y}{\partial u},\frac{\partial z}{\partial u})$，$\vec{r_2}=(\frac{\partial x}{\partial v},\frac{\partial y}{\partial v},\frac{\partial z}{\partial v})$，则$\iint_\sum f(x,y,z)dS=\iint_{D_{uv}}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|\vec{r_1}×\vec{r_2}|d\sigma_{uv}$。
第二型曲面积分的表达式：$\iint_\sum\vec{F}\cdot\vec{n}dS=\iint_\sum P dydz+Q dzdx+R dxdy$，其中$dS=\vec{n}dS=(dydz,dzdx,dxdy)$，$dydz=\cos A dS$，$dzdx=\cos B dS$，$dxdy=\cos C dS$（$A,B,C$为法向量与坐标轴的夹角）。
Green公式：设平面闭区域$D$由有限条可求长简单闭曲线围成，$\partial D$为$D$的正向边界，$P,Q\in C^1(D)$，则$\oint_{\partial D}Pdx+Qdy=\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma$；特殊情况$\oint_{\partial D}Pdx=-\iint_D\frac{\partial P}{\partial y}d\sigma$，$\oint_{\partial D}Qdy=\iint_D\frac{\partial Q}{\partial x}d\sigma$。
Gauss公式：设有界闭区域$\Omega\subset R^3$，边界曲面$\partial\Omega$（外侧）分片光滑，$P,Q,R,\frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial z}\in C(\Omega)$，则$\oiint_{\partial\Omega}\vec{F}\cdot\vec{n}dS=\iiint_\Omega div\vec{F}dv$。
Stokes公式：设光滑双侧曲面$\sum$含于空间区域$\Omega$，边界$\partial\sum$由有限条分段光滑曲线组成，$\sum$的正侧与$\partial\sum$的正向按右手法则取定，$P,Q,R\in C^1(\Omega)$，则$\oint_{\partial\sum}Pdx+Qdy+Rdz=\iint_\sum(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$，也可表示为$\oint_{\partial\sum}Pdx+Qdy+Rdz=\iint_\sum\begin{vmatrix}\cos\alpha&\cos\beta&\cos\gamma\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\P&Q&R\end{vmatrix}dS$。
平面曲线积分与路径无关的等价条件：设$D$为区域，$P,Q\in C(D)$，则$\forall A,B\in D$，$\int_{AB}Pdx+Qdy$与路径无关$\Leftrightarrow$对任意闭曲线$C\subset D$，$\oint_C Pdx+Qdy=0\Leftrightarrow$存在可微函数$u(x,y)$使得$du=Pdx+Qdy$；若$D$为单连通区域且$\frac{\partial P}{\partial y},\frac{\partial Q}{\partial x}\in C(D)$，则上述等价条件等价于$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$对$\forall(x,y)\in D$成立。
空间曲线积分与路径无关的等价条件：设$\Omega$是线单连通区域，$P,Q,R\in C^1(\Omega)$，$\vec{F}=(P,Q,R)$，则$\forall$闭曲线$L\subset\Omega$，$\oint_L Pdx+Qdy+Rdz=0\Leftrightarrow\forall A,B\in\Omega$，$\int_{AB}Pdx+Qdy+Rdz$与路径无关$\Leftrightarrow$存在$u$使得$du=Pdx+Qdy+Rdz\Leftrightarrow rot\vec{F}=0\Leftrightarrow\vec{F}$是有势场（无旋场）。
曲面积分与曲面无关的等价条件：设$P,Q,R\in C^1(\Omega)$，则$\iint_\sum P dydz+Q dzdx+R dxdy$只与$\partial\sum$有关$\Leftrightarrow$对任意闭曲面$S\subset\Omega$，$\oiint_S P dydz+Q dzdx+R dxdy=0\Leftrightarrow div\vec{F}=0$（$\Omega$为单连通区域）。
场论中的公式：Green公式$\oint_{\partial D}\vec{v}\cdot d\vec{s}=\iint_D rot\vec{v}d\sigma$；Gauss公式$\iiint_\Omega div\vec{v}dv=\oiint_{\partial\Omega}\vec{v}\cdot\vec{n}dS$；Stokes公式$\iint_\sum rot\vec{v}\cdot\vec{n}dS=\oint_{\partial\sum}\vec{v}\cdot d\vec{s}$。
调和函数的积分公式：设闭区域$D$由有限条逐段光滑曲线围成，$u,v\in C^2(D)$，则$\iint_D\Delta u d\sigma=\oint_{\partial D}\frac{\partial u}{\partial n}ds$；$\iint_D v\Delta u d\sigma=-\iint_D(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y})d\sigma+\oint_{\partial D}v\frac{\partial u}{\partial n}ds$；$\iint_D(v\Delta u - u\Delta v)d\sigma=\oint_{\partial D}(v\frac{\partial u}{\partial n}-u\frac{\partial v}{\partial n})ds$（Green第二公式）。

5 第十七章含参变量积分

5.1 定义

含参变量定积分：$I(x)=\int_c^d f(x,y)dy$（$x\in[a,b]$），其中$f(x,y)$在$D=[a,b]×[c,d]$上定义。
含参变量广义积分：$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$（$x\in[a,b]$）。
一致收敛：含参变量广义积分$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$关于$x$在$[a,b]$上一致收敛，当且仅当$\forall \varepsilon>0$，$\exists A_0>c$，使得$\forall x\in[a,b]$，$\forall A>A_0$，有$|\int_A^{+\infty} f(x,y)dy|<\varepsilon$。
Gamma函数（$\Gamma$函数）：$\Gamma(s)=\int_0^{+\infty} x^{s-1}e^{-x}dx$（$s>0$）。
Beta函数（$B$函数）：$B(p,q)=\int_0^1 x^{p-1}(1 - x)^{q-1}dx$（$p,q>0$）。

5.2 定理

含参变量定积分的连续性：设$f(x,y)\in C(D=[a,b]×[c,d])$，则$I(x)=\int_c^d f(x,y)dy$在$[a,b]$上连续；若$h_1(x),h_2(x)\in C[a,b]$，则$F(x)=\int_{h_1(x)}^{h_2(x)}f(x,y)dy\in C(D)$。
含参变量定积分的可微性：设$f(x,y),f_x'(x,y)\in C(D=[a,b]×[c,d])$，则$I(x)\in C^1[a,b]$且$I'(x)=\int_c^d f_x'(x,y)dy$；若$h_1(x),h_2(x)\in C^1[a,b]$，则$J(x)=\int_{h_1(x)}^{h_2(x)}f(x,y)dy\in C^1[a,b]$且$J'(x)=\int_{h_1(x)}^{h_2(x)}f_x'(x,y)dy - f(x,h_1(x))h_1'(x)+f(x,h_2(x))h_2'(x)$。
含参变量定积分的可积性：设$f(x,y)\in C(D=[a,b]×[c,d])$，则对任意$z\in[a,b]$，有$\int_a^z[\int_c^d f(x,y)dy]dx=\int_c^d[\int_a^z f(x,y)dx]dy$。
Dirichlet判别法：设$1^\circ\exists M>0$，使得$|\int_c^A f(x,y)dy|≤M$对$\forall A>c$，$\forall x\in E$成立；$2^\circ$对任意固定$x\in E$，$g(x,y)$关于$y$单调且$g(x,y)→0$（$y→+\infty$，$x\in E$），则$\int_c^{+\infty} f(x,y)g(x,y)dy$关于$x\in E$一致收敛。
Abel判别法：设$1^\circ\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$关于$x\in E$一致收敛；$2^\circ$对任意固定$x\in E$，$g(x,y)$关于$y$单调且$\exists M>0$使得$|g(x,y)|≤M$对$\forall x\in E$，$y\in[c,+\infty)$成立，则$\int_c^{+\infty} f(x,y)g(x,y)dy$关于$x\in E$一致收敛。
含参变量广义积分的连续性：设$f(x,y)$在$a≤x≤b$，$c≤y<+\infty$上连续，$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$关于$x\in[a,b]$一致收敛，则$I(x)=\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$在$[a,b]$上连续。
含参变量广义积分的可积性：设$f(x,y)$在$a≤x≤b$，$c≤y<+\infty$上连续，$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$关于$x\in[a,b]$一致收敛，则$\int_a^b[\int_c^{+\infty} f(x,y)dy]dx=\int_c^{+\infty}[\int_a^b f(x,y)dx]dy$。
含参变量广义积分的可微性：设$f(x,y),f_x'(x,y)$在$a≤x≤b$，$y≥c$上连续，存在$x_0\in[a,b]$使得$\int_c^{+\infty} f(x_0,y)dy$收敛，$\int_c^{+\infty} f_x'(x,y)dy$关于$x\in[a,b]$一致收敛到$g(x)$，则$I(x)=\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$关于$x\in[a,b]$一致收敛且$I'(x)=\int_c^{+\infty} f_x'(x,y)dy$。
非负函数含参变量广义积分的一致收敛性：设$f(x,y)$在$a≤x≤b$，$y>c$上连续非负，$\forall x\in[a,b]$，$I(x)=\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$收敛且$I(x)\in C[a,b]$，则$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$关于$x\in[a,b]$一致收敛。
无穷限含参变量广义积分的交换次序：设$f(x,y)$在$x≥a$，$y≥c$上连续，$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$关于$x\in[a,+\infty)$内闭一致收敛，$\int_a^{+\infty} f(x,y)dx$关于$y\in[c,+\infty)$内闭一致收敛，且$\int_c^{+\infty}[\int_a^{+\infty} f(x,y)dx]dy$与$\int_a^{+\infty}[\int_c^{+\infty} f(x,y)dy]dx$有一个存在，则两者相等。
非负函数无穷限含参变量广义积分的交换次序：设$f(x,y)$在$x≥a$，$y≥c$上连续非负，$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$和$\int_a^{+\infty} f(x,y)dx$分别关于$x,y$连续，且$\int_c^{+\infty}[\int_a^{+\infty} f(x,y)dx]dy$与$\int_a^{+\infty}[\int_c^{+\infty} f(x,y)dy]dx$有一个存在，则两者相等。
Gamma函数的性质：$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$，从而$\Gamma(n)=(n-1)!$（$n$为正整数）；$\Gamma(s)=2\int_0^{+\infty} x^{2s-1}e^{-x^2}dx$；$\Gamma(s)\in C^\infty(0,+\infty)$；$\Gamma(s)$是$(0,+\infty)$内的严格凸函数。
Beta函数的性质：$B(p,q)=B(q,p)$；$B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$（$p,q>0$）；$B(p,q)=2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2p-1}\theta\sin^{2q-1}\theta d\theta$；$B(p,q)=\int_0^{+\infty} \frac{x^{q-1}}{(1+x)^{p+q}}dx$（换元$x=\frac{t}{1+t}$）。

回顾

1.求 $\int \left( \sum x_{i} \right)^{2}\mathrm{d}\vec{x}$ 在 $[0,1]^{n}$ 上的值，其中 $\mathrm{d}\vec{x}=\mathrm{d}x_{1}\mathrm{d}x_{2}\cdots \mathrm{d}x_{n}$。 2.求体积，第一卦限内，坐标平面和 $z = x^{2}+y^{2}+1$， $2x+y=2$ 所围立体。 3.证明连续性和任意开集的原像是开集的等价性 4.证明有界开区域，若一阶偏导连续，且任意两点间道路长度有界，则函数有界；并给出道路长度不有界时的反例 5.求 $x^{3}+y^{3}+z^{3}-2xyz$ 在单位球内（包括边界）的最大值和最小值

魔术学习进度

Sun, 02 Nov 2025 20:00:00 GMT

2025-10-25 学习了 Judo Clip 和 R Cut，手小是一辈子的痛，还需要多精进
2025-11-02 学习了完美洗牌，学会了除了硬怼之外的取巧办法，应该在交叉的时候带一点旋转
2025-11-10 重新学习了艾数，确保自己的动作足够真实，唉，天杀的期中考试
2025-11-17 已经基本掌握了完美洗牌，明白了如何优雅地完成 Cardini Change，同时还开始练习 ClipShift 和 Pass，感觉最近有所懈怠
2025-11-22 能有模有样的做出 pass，虽然还是很明显，但是已经能有意识的分散注意力了

保研笔记整理

Fri, 31 Oct 2025 20:00:00 GMT

这里暂时空空如也，或许鼓起勇气找到贴主会有一点收获。

实变函数与泛函分析概要

Sun, 07 Sep 2025 21:00:00 GMT

集与点集

基本集：如果所考虑的一切集都是 $X$ 的子集，那么称 $X$ 为基本集补集：当 $B \subset A$ 时，差集称为 $B$ 关于 $A$ 的补集，记为 $\mathscr{C}_{A}B$

分配律：$E\cap(\cup_{\alpha\in I}A_{\alpha})=\cup_{\alpha\in I}(E\cap A_{\alpha})$
德摩根律：
- $\mathscr{C}(\cup_{\alpha\in I}A_{\alpha})=\cap_{\alpha\in I}\mathscr{C}A_{\alpha}$
- $\mathscr{C}(\cap_{\alpha\in I}A_{\alpha})=\cup_{\alpha\in I}\mathscr{C}A_{\alpha}$

逆映射：如果对于每个 $y \in B$，仅有唯一的 $x \in A$ 使得 $f(x)=y$，则称 $f$ 有逆映射 $f^{-1}$，定义在 $f(A)$ 上而取值于 $A$ 上。一一映射：如果 $f$ 有逆映射，则称 $f$ 为一一映射。限制与扩张：设 $A_{0}\subset A$，映射 $g$ 在 $A_{0}$ 上定义，如果 $f$ 在 $A$ 上定义，且 $g$ 在 $A_{0}$ 上的值与 $f$ 相同，则称 $g$ 是 $f$ 的限制，记为 $g=f|{A{0}}$，这时也称 $f$ 是 $g$ 在 $A$ 上的扩张。

特征函数：对于集 $E$，特征函数 $\chi_{E}(x)$ 定义为: $$ \chi_{E}(x)=\begin{cases} 1, & x\in E \ 0, & x\notin E \end{cases} $$ 一一对应：设 $A$ 和 $B$ 是两个集，如果存在一一映射 $f:A\rightarrow B$，则称 $A$ 和 $B$ 之间存在一一对应或互相对等，记成 $A\sim B$。

自反性：$A\sim A$
对称性：如果 $A\sim B$，则 $B\sim A$
传递性：如果 $A\sim B$ 且 $B\sim C$，则 $A\sim C$

可列（数）集：在所有无限集中，如果存在一一映射 $f:\mathbb{N}\rightarrow A$，则称 $A$ 为可列集或可数集。

定理 2.1：任何一个无限集都含有一个可列子集。
- 推论：任何无限集一定和它的一个真子集对等
定理 2.2：可列个可列集的并集仍然是可列集。
定理 2.3：点集 $[0,1]$ 是不可列的
- 证明要用到康托三分集：假设 $[0,1]$ 可列，列出所有 $[0,1]$ 中的点 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},\cdots$，然后构造一个渐缩的区间列 ${ A_{n} }$，保证 $x_{n} \not\in A_{n}$，但是总有一个 $\xi \in[0,1],\xi \in A_{n}$，说明不可列

邻域：设 $E$ 为一维欧几里得空间 $\mathbb{R}$ 中的一个集，$a\in \mathbb{R}$，含有 $a$ 的任意开区间称为 $a$ 的邻域。内点：设 $E$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个集，$a\in E$，如果存在一个邻域 $U$ 使得 $U\subset E$，则称 $a$ 为 $E$ 的内点。开集：如果 $E$ 的每个点都是 $E$ 的内点，则称 $E$ 为开集。全集和开集都是既开又闭的，称之为 clopen 集。在 $\mathbb{R}$ 中，只有 $\emptyset$ 和 $\mathbb{R}$ 是 clopen 集。

拓扑：给定 $\mathbb{R}$ 的一个子集类，每个元都是开集，且 $\emptyset,\mathbb{R}$ 属于该类，并且该类对任意并集和有限交集封闭，则称该类为 $\mathbb{R}$ 的一个拓扑，这时称 $\mathbb{R}$ 在所在拓扑下成为拓扑空间。聚点：设 $E$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个集，$a\in \mathbb{R}$，如果 $a$ 的每个邻域都含有 $E$ 中不同于 $a$ 的点，则称 $a$ 为 $E$ 的聚点。

[!tip] 聚点的几点说明

注意 $E$ 的聚点不一定属于 $E$

如果 $a$ 是 $E$ 的聚点的充分必要条件是 $E$ 中有点列 ${ a_{k} }{k \in \mathbb{N}}$ 收敛于 $a$，其中 $\forall k,a{k}\neq a$

对于任意一点 $a$ 和一个集合 $E$，$a$ 要么是 $E$ 的聚点，要么是 $\mathscr{C}E$ 的聚点，或者两者都是。（排中律）

导集、闭包、完全集：点集 $E$ 的一切聚点组成的集称为 $E$ 的导集，记为 $E'$。$E$ 的闭包是 $E$ 和 $E'$ 的并集，记为 $\bar{E}$。如果 $E=E'$，则称 $E$ 为完全集。称 $E\setminus E'$ 为 $E$ 的孤立点集。

定理 3.1：开集的性质
- 任意开集的并集仍然是开集
- 任意有限个开集的交集仍然是开集；无限个开集的交并不一定是开集
定理 3.2：$E$ 为闭集的充分必要条件是 $E'\subset E$
- 推论：若 $E$ 为闭集，则 $\bar{E}=E$；若闭集 $E$ 无孤立点时，$E$ 是完全集
定理 3.3：任何集的导集是闭集
定理 3.4：
- $A\subset B\implies A'\subset B'$
- $(A\cup B)'=A'\cup B'$
定理 3.5：闭集的性质：
- 任意闭集的交集仍然是闭集
- 任意有限个闭集的并集仍然是闭集
定理 3.6：闭包的性质
- $E\subset \bar{E}$
- $\bar{\bar{E}}=\bar{E}$
- $\overline{(E_{1}\cup E_{2})}=\bar{E_{1}}\cup \bar{E_{2}}$

[!tip] 证明一个闭集通常直接证明闭集是困难的，证明它的补集是开集更容易。

[!info] 讨论范围我们接下来将详细讨论直线上有界开集的构造，假定所考察的点集都是有界集

构成区间：设 $G$ 是任一非空的有界开集，取 $x_{0}\in G$，存在开区间 $(\alpha,\beta)$，使得 $x_{0}\in(\alpha ,\beta)$，且满足

$(\alpha,\beta)\subset G$
$\alpha \not\in G,\beta \not\in G$ 则称 $(\alpha,\beta)$ 为 $G$ 的一个构成区间。

康托尔三分集：有这么一个不可列的，不含有任何区间的集，构造过程如下：将基本区间 $[0,1]$ 分成三等份，去掉中间的 $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$，剩下的两个区间为 $[0,\frac{1}{3}]$ 和 $[\frac{2}{3},1]$，再对这两个区间重复上述操作，得到康托尔三分集 $P_{0}$ 和开集 $G_{0}$： $$ \begin{align} G_0 = &\left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \cup \left( \frac{1}{3^2}, \frac{2}{3^2} \right) \cup \left( \frac{7}{3^2}, \frac{8}{3^2} \right) \cup \ &\left( \frac{1}{3^3}, \frac{2}{3^3} \right) \cup \left( \frac{7}{3^3}, \frac{8}{3^3} \right) \cup \left( \frac{19}{3^3}, \frac{20}{3^3} \right) \cup \left( \frac{25}{3^3}, \frac{26}{3^3} \right) \cup \cdots, , \ P_{0}=&\mathscr{C}G_{0} \end{align} $$ $P_{0}$ 是不可列的无限集，在之前已经证明了，然后我们还可以知道 $P_{0}$ 是一个完全集（证明的关键在于三分集中构成区间没有公共端点）。

稠密集：如果点集 $E$ 的闭包 $\bar{E}=\mathbb{R}$，则称 $E$ 在 $\mathbb{R}$ 中是稠密的；当 $\bar{E}$ 的补集在 $\mathbb{R}$ 中稠密时，称 $E$ 在 $\mathbb{R}$ 中是稀疏的。距离：在 $n$ 维欧几里得空间 $\mathbb{R}^{n}$ 中，点 $x=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$ 和 $y=(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n})$ 之间的距离定义为 $$ \rho(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}} $$ 距离有以下性质：

非负性：$\rho(x,y)\geq 0$，且 $\rho(x,y)=0\iff x=y$
对称性：$\rho(x,y)=\rho(y,x)$
三角不等式：$\rho(x,z)\leq \rho(x,y)+\rho(y,z)$ 一般地，如果对一个抽象集能引进满足条件 $1-3$ 的二元函数 $\rho(x,y)$，则称该函数为距离，称该集为距离空间。直径：设 $A$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 的一个非空集，$E$ 的直径定义为 $d(A)=\sup_{x,y\in A}\rho(x,y)$。当 $d(A)<\infty$ 时，称 $A$ 是有界的。类似地，我们定义一点 $a\in \mathbb{R}^{n}$ 与一非空集 $A\subset \mathbb{R}^{n}$ 的距离为 $\rho(a,A)=\inf_{x\in A}\rho(a,x)$，两集合 $A$ 和 $B$ 的距离定义为 $\rho(A,B)=\inf_{x\in A,y\in B}\rho(x,y)$。注意，这里的距离不满足一般距离定义中的三角不等式性质。

定理 4.1：有界非空开集 $G$ 可表示为至多可列个互不相交的构成区间的并：$G=\cup_{k}(\alpha_{k},\beta_{k})$
- 证明过程只需要考虑每一个点的构成区间，然后将这些区间进行合并；这些构成区间要么是重合的，要么互不相交，所以我们可以取不交的并；又因为每个构成区间中至少有一个有理点，所以可以得到可列个构成区间的并。
- 形如 $\cup_{k}(\alpha_{k},\beta_{k})$ 的表示，称为 $G$ 的一个结构表示。
定理 4.2：$\mathbb{R}^{2}$ 中任一非空开集 $G$ 可表示为至多可列个互不相交的半闭正方形的并：
- 证明过程和定理 4.1 不一样，核心思想是推广一维空间中的半闭区间类。然后取这些类的并

势：我们用 $\overline{\overline{E}}$ 来表示 $E$ 的势，用来区分集，彼此对等的归于同一类。可列集的势计为 $\aleph_{0}$，与区间 $[0,1]$ 对等的集的势记成 $\aleph$，称为连续集的势。假定 $A$ 与 $B$ 不对等，而 $A$ 与 $B$ 的一个子集 $B_{0}$ 对等，则称 $A$ 的势小于 $B$ 的势，或 $B$ 的势大于 $A$ 的势，记为 $\overline{\overline{A}}<\overline{\overline{B}}$ 或 $\overline{\overline{B}}>\overline{\overline{A}}$，$n$ 个元的有限集的势记成 $n$ ，而空集的势记成 $0$。那么下列势的大小关系成立 $$ 0<n<\aleph_{0}<\aleph $$

实数的 $p$ 进表示：设 $p\in \mathbb{Z},p\geq 2$，设 $x\in[0,1]$，可以把 $x$ 写成 $$ x=\sum_{k=1}^{\infty}x_{k}p^{-k}, x_{k}\in{0,1,\cdots,p-1} $$ 当出现两种表示方法时，优先使用有限表示。这样，我们就可以把 $[0,1)$ 中的实数和 $p$ 进数对等起来了。此外，自然数同样可以用 $p$ 的幂组合表示，这样我们就可以将每个非负实数与一个 $p$ 进数对等起来。连续统假设：在 $\aleph$ 和 $\aleph_{0}$ 之间不存在第三种势。这个假设与集合论公理体系是互相独立的。序公理：

$a \leq a$ 自反性
$a \leq b, b\leq c \implies a \leq c$ 传递性
$a \leq b,b\leq a \implies a=b$ 反对称性
$a \leq b$ 或 $b \leq a$ 完全性 $1-3$ 三条性质称为偏序关系，如果还满足 $4$ 称为全序关系。

容许集：设 $X$ 为非空半序集，它的每个非空全序子集均有上确界，取定元 $a\in X$ 与映射 $f: X\to X$。称 $X$ 的子集 $A$ 为容许集，如果

$a\in A$
$f(A)\subset A$
$A$ 的每个全序子集的上确界属于 $A$ 显然 $X$ 本身是一个容许集，令 $P$ 为一切容许集的交，我们可以证明 $P$ 是最小的容许集

极大（小）元：设为非空半序集，$x\in X$ 是极大元，如果 $\forall y \in X,x\leq y\implies y=x$ 极小元的定义类似。

定理 5.1：设 $A$ 的势为 $\mu$，用 $2^{\mu}$ 来表示 $A$ 的幂集的势，则有 $2^{\mu}>\mu$
- 证明运用反证法，假如存在一一映射 $f:\mathscr{A}\to A$，那么考虑 $\mathscr{A}_{1}={ f(E) :E \in \mathscr{A},f(E)\not\in E}$
定理 5.2（伯恩斯坦定理）：设 $\lambda,\mu$ 为两个势，如果 $\lambda\leq \mu$ 且 $\mu \leq \lambda$，则 $\mu=\lambda$
- 这个过程很有意思，分别利用 $\lambda \leq \mu$ 和 $\mu \leq \lambda$ 给出一一映射 $f: A\to B_{0}$ 和 $g: B\to A_{0}$；然后构造数列 ${ A_{n} }$ 和 ${ B_{n} }$ ： $$ \begin{align} & A\setminus A_{0}=A_{1}, &f(A_{1})=B_{1},\ & g(B_{1})=A_{2}, & f(A_{2})=B_{2}, \ & g(B_{2} )=A_{3},&f(A_{3})=B_{3},\ & \cdots\end{align} $$ 由此我们知道 $\cup_{n=1}^{\infty}A_{n}\sim\cup_{n=1}^{\infty}B_{n},B\setminus\cup_{n=1}^{\infty}B_{n}\sim A\setminus\cup_{n=1}^{\infty}A_{n}$
- 推论是，对于任何两个势 $\lambda,\mu$，三个关系 $\lambda<\mu,\lambda=\mu,\lambda>\mu$ 不可能两者同时成立
定理 5.3：设 $X$ 为半空半序集，且 $X$ 的每个非空全序子集均有上确界，再设映射满足 $f(x)\geq x(x\in X)$，那么 $f$ 有不动点即 $\exists c\in X,f(c)=c$。
- 引理 5.1：设 $X$ 为非空半序集且 $X$ 的每个非空全序子集均有上确界，再设映射 $f: X\to X$ 满足 $f(x)\geq x(x\in X)$ ，那么 $M={ x:x\in X,x\geq a }$ 为容许集，故最小容许集 $P\subset M$
- 引理 5.2：我们考虑 $B={ x:x\in P\text{且}\forall y\in P,y<x\implies f(y)\leq x }$ 并约定 $a \in B$，再考虑 $C={ z:z\in P,\forall x \in B ,z\leq x\text{或}z\geq f(x) }$。显然 $B\subset P,C\subset P$，接下来我们可以证明 $C$ 是容许集且 $C=P$
- 引理 5.3：$B$ 是容许集且 $B=P$
定理 5.4：每个半序集都有极大全序子集
- 其实是根据极大元的定义，结合定理 5.3，将 $f(x)$ 解释为包含关系
定理 5.5（Zorn 引理）：设 $X$ 为非空半序集，$X$ 的每个全序子集均有上确界，则 $X$ 中至少有一个极大元。
定理 5.6（策梅洛选择公理）：设 $\mathscr{A}$ 是一个非空集的类，则存在映射 $f:\mathscr{A}\to \cup_{A\in \mathscr{A}}A$ 满足：$\forall A\in \mathscr{A},f(A)\in A$
- 这里予以承认

勒贝格测度

1 引言

测度公理：假定基本集为 $[0,1]$，所有有限个区间的并构成一个类 $\mathscr{R}$，并且这个类对差封闭。设 $E\in \mathscr{R}$，$E$ 可以表示为有限个互不相交的区间的并，定义 $E$ 的测度 $mE$ 为这些区间长度之和，即

$mE\geq{0}$ （非负性）
$E_{1}\cap E_{2}=\emptyset\implies m(E_{1}\cup E_{2})=mE_{1}+mE_{2}$ (有限可加性)
$m[0,1]=1$ 其中第二条更为重要，因为反映了全量等于分量之和。当然，如果考虑可列个互不相交的区间的并，我们可以将第二条替换为： $$ E_{k}\cap E_{j}=\emptyset\implies m(E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots\cup E_{k}\cup \cdots)=mE_{1}+mE_{2}+\cdots+mE_{k}+\cdots $$

2 有界点集的外、内测度，可测集

开集的测度：对于非空开集 $G$，考虑其结构表示 $G=\cup_{k}(\alpha_{k},\beta_{k})$，规定其测度为一切构成区间长度的和，计为 $mG$： $$ mG=\sum_{k}(\beta_{k}-\alpha_{k}) $$ 闭集的测度：对于非空闭集 $F$，任取一个包含 $F$ 的开区间 $(a,b)$，令 $G=(a,b)\setminus F$，则 $G$ 是非空开集，定义 $F$ 的测度为 $$ mF=(b-a)-mG $$ 可以证明，$F$ 的测度与包含它的开区间 $(a,b)$ 的选取无关。

外测度：设 $E$ 是任意有界点集，定义 $E$ 的外测度为一切包含 $E$ 的开集测度的下确界，记为 $m^{}E$，即 $$ m^{}E=\inf_{G\supset E}mG $$ 内测度：设 $E$ 是任意有界点集，定义 $E$ 的内测度为一切包含于 $E$ 的闭集测度的上确界，记为 $m_{}E$，即 $$ m_{}E=\sup_{F\subset E}mF $$ 勒贝格可测：设 $E$ 是任意有界点集，如果 $E$ 的外测度与内测度相等，即 $m^{}E=m_{}E$，则称 $E$ 为勒贝格可测集，简称可测集，这时 $E$ 的外测度或内测度称为 $E$ 的测度，记为 $mE$

定理 2.1：
- 设 $G_{1},G_{2}$ 是非空开集，且 $G_{1}\subset G_{2}$，则 $mG_{1}\leq mG_{2}$ （单调性）
- 设有界开集 $G$ 是有限个或可列个开集 $G_{k}(k=1,2,\cdots)$ 的并，则 $mG\leq \sum_{k}mG_{k}$ （半可加性），如果 $G_{k}$ 互不相交，则 $mG=\sum_{k}mG_{k}$ （完全可加性）
定理 2.2：设 $F$ 为闭集，$G$ 为开集，且 $F\subset G$，则 $m (G\setminus F)=mG-mF$
- 引理 2.1：设 $F_{1},F_{2},\cdots,F_{n}$ 均为闭集，$F_{k}\subset(\alpha_{k},\beta_{k}),k=1,2,\cdots,n$，且 $(\alpha_{k},\beta_{k})$ 互不相交，则 $m(\cup_{k=1}^{n}F_{k})=\sum_{k=1}^{n}mF_{k}$
定理 2.3：关于点集的内、外测度有：
- $m_{}E\leq m^{}E$
- 单调性： $E_{1}\subset E_{2}\implies m_{}E_{1}\leq m_{}E_{2},m^{}E_{1}\leq m^{}E_{2}$
- 半可加性： $m^{}(\cup_{k=1}^{n}E_{k})\leq \sum_{k=1}^{n}m^{}E_{k}$ ，如果 $E_{k}$ 互不相交，则 $m_{}(\cup_{k=1}^{n}E_{k})\geq \sum_{k=1}^{n}m_{}E_{k}$

3 可测集的性质

$G_{\delta}$ 集：可表示为可列个开集的交的集 $F_{\sigma}$ 集：可表示为可列个闭集的并的集

全密点：设是可测集，$x\in \mathbb{R}$，称 $x$ 为 $E$ 的全密点，如果 $$ \lim_{ \varepsilon\to 0^{+}} \frac{m(E\cap I(x;\varepsilon))}{2\varepsilon}=1 $$ 其中 $I(x;\varepsilon)=(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ 是以 $x$ 为中心，$\varepsilon$ 为半径的开区间。

定理 3.1：有界集 $E$ 可测的充分必要条件是：对于任一 $\varepsilon>0$，都存在开集 $G$ 和闭集 $F$，使得 $F\subset E\subset G$ 且 $mG-mF<\varepsilon$
定理 3.2：
- 设基本集 $X=(a,b)$ ，若 $E\subset X$ 可测，则 $X\setminus E$ 也可测
- 设 $E_{1},E_{2}$ 可测，则 $E_{1}\cup E_{2},E_{1}\cap E_{2},E_{1}\setminus E_{2}$ 也可测。若 $E_{1},E_{2}$ 互不相交，则 $m(E_{1}\cup E_{2})=mE_{1}+mE_{2}$
定理 3.3：（测度的单调性）设 $E_{1},E_{2}$ 可测，且 $E_{1}\subset E_{2}$，则 $mE_{1}\leq mE_{2}$
定理 3.4：
- 设 $E_{k}(k=1,2,\cdots)$ 可测，则 $E=\cup_{k=1}^{\infty}E_{k}$ 也可测，且如果 $E_{k}$ 互不相交，则 $mE=\sum_{k=1}^{\infty}mE_{k}$
- 设 $E_{k}(k=1,2,\cdots)$ 可测，则 $E=\cap_{k=1}^{\infty}E_{k}$ 也可测

[!tip] 定理的使用

定理 3.1 可以用来证明一个集是可测的，

定理 3.2 可以用来构造新的可测集，

定理 3.3 可以用来比较两个可测集的测度大小。

定理 3.4 揭示了测度的完全可加性以及可测集关于可列交、并的封闭性

定理 3.5：有界集 $E$ 可测的充分必要条件是：对任何集 $A$，等式 $m^{}A=m^{}(A\cap E)+m^{*}(A\cap \mathscr{C}E)$ 成立
- 引理 3.1：设 $E\subset(a,b)$ ，$\mathscr{C}E$ 是 $E$ 关于 $(a,b)$ 的补集，则 $b-a=m_{}E+m^{}\mathscr{C}E$
- 该条件也被称为卡拉泰奥多里（Carathéodory）条件
定理 3.6
- 设 ${ E_{k} }$ 是基本集 $(a,b)$ 中的渐张可测集列，即 $E_{k}\subset E_{k+1},k=1,2,\cdots$，令 $E=\cup_{k=1}^{\infty}E_{k}$，则 $E$ 可测，且 $mE=\lim_{k\to\infty}mE_{k}$
- 设 ${ E_{k} }$ 是基本集 $(a,b)$ 中的渐缩可测集列，即 $E_{k}\supset E_{k+1},k=1,2,\cdots$，令 $E=\cap_{k=1}^{\infty}E_{k}$，则 $E$ 可测，且 $mE=\lim_{k\to\infty}mE_{k}$
定理 3.7：设 $E$ 可测，则存在 $G_{\delta}$ 集 $A$ 与 $F_{\sigma}$ 集 $B$，使得 $B\subset E\subset A$ 且 $mA=mB=mE$

4 关于测度的几点评注

对于一维无界集 $E$，如果它与任何开区间 $(a,b)$ 的交 $E\cap(a,b)$ 都是可测的，则称 $E$ 是可测的，并定义 $E$ 的测度为 $$ \lim_{ \alpha \to \infty } { (-\alpha,\alpha) \cap E} $$

平移变换：$h\in \mathbb{R},E\subset \mathbb{R}$，令 $T_{h}$ 为平移变换 $T_{h}: x\to x+h$，并令 $$ T_{h}E={ T_{h}x:x\in E }, $$ 称为 $E$ 关于 $h$ 平移变换。显然当 $E$ 可测时，$T_{h}E$ 也可测，且 $m(T_{h}E)=mE$，称之为勒贝格测度关于平移的不变性

命题 4.1：设 ${ E_{k} }{k\in \mathbb{N}}$ 是可测集列 (有界或无界)，则它的并集 $E=\cup{k=1}^{\infty}E_{k}$ 也是可测的；又若 $E_{k}$ 互不相交，则 $m(E)=\sum_{k=1}^{\infty}mE_{k}$。
定理 4.1：一维不可测集是存在的
- 引理 4.1：设 $E$ 是一维点集，具有正的测度，数 $\alpha$ 满足 $0<\alpha<1$，那么存在开区间 $I$，满足 $m(E\cap I)>\alpha mI$（在某些地方，正测度集的密度会特别高）
- 引理 4.2：设 $E$ 为正测度集，令 $\Delta(E)={ x-y:x,y\in E }$，则 $\Delta(E)$ 包含一个原点对称的开区间（正测度集在差集上表现的连续）
- 定理的证明需要用到策梅洛选择公理，关键在于构建等价类（当 $x-y\in \mathbb{Q}$ 时认为 $x,y$ 输入与同一等价类），每个等价类中抽取一个元，构成集 $E$，然后证明 $E$ 不可测

5 环与环上定义的测度

环：设 $X$ 为基本集，$\mathscr{R}$ 为 $X$ 的子集的类，如果 $\mathscr{R}$ 满足

$A,B\in \mathscr{R}\implies A\setminus B\in \mathscr{R}$
$A,B\in \mathscr{R}\implies A\cup B\in \mathscr{R}$ 则称 $\mathscr{R}$ 为 $X$ 上的环。如果 $\mathscr{R}$ 不满足 2 而满足
$A_{1},A_{2},\cdots \in \mathscr{R}\implies \cup_{n=1}^{\infty}A_{n}\in \mathscr{R}$ 则称 $\mathscr{R}$ 为 $X$ 上的 $\sigma$ 环。若环 $\mathscr{R}$ 含有 $X$ 自身，则称 $\mathscr{R}$ 为代数。同样的，$\sigma$ 代数是含有 $X$ 的 $\sigma$ 环。设 $\mathscr{E}$ 是 $X$ 子集的类，包含类 $\mathscr{E}$ 的一切环的交记为 $\mathscr{R}(\mathscr{E})$ ，它是包含类 $\mathscr{E}$ 的最小环，称为由 $\mathscr{E}$ 生成的环。同理，可以定义由 $\mathscr{E}$ 生成的 $\sigma$ 环 $\mathscr{R}_{\sigma}(\mathscr{E})$。

单调类：设 $X$ 为基本集，$\mathscr{M}$ 为 $X$ 的子集的类，若其中渐张序列的并与渐缩序列的交均属于 $\mathscr{M}$，则称 $\mathscr{M}$ 为 $X$ 上的单调类。由定理 3.6 可知，可测集类都是单调类。一般地，每个 $\sigma$ 环都是单调类，反之也成立。我们称包含类 $\mathscr{E}$ 的最小单调类为由 $\mathscr{E}$ 生成的单调类，记为 $\mathscr{M}(\mathscr{E})$。

集函数：设 $X$ 为基本集，$\mathscr{R}$ 为 $X$ 上的子集的类。称定义在 $\mathscr{R}$ 上且取值为实数或无穷大的广义实函数为集函数。若对每个 $E\in \mathscr{R},\mu E\geq {0}$，称 $\mu$ 为非负的；若 $\mu E \neq \pm\infty$，称为有限的；若对 $\mathscr{R}$ 中互不相交的序列 ${ E_{n} }{n \in \mathbb{N}}$，并 $\cup{n}E_{n}\in \mathscr{R}$，恒有 $$ \mu(\cup_{n=1}^{\infty}E_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}\mu E_{n}, $$ 则称为 $\sigma$ 可加的或完全可加的。

[!note] 测度最重要的是当 $\mathscr{R}$ 为 $\sigma$ 环或者环的情形：若 $\mathscr{R}$ 上的集函数 $\mu$ 满足

$\mu$ 非负

$\mu$ $\sigma$ 可加

$\mu \emptyset=0$

则称 $\mu$ 为测度。如果 $\mu$ 满足 2,3，而不满足 1，则称 $\mu$ 为广义测度

定理 5.1：由类 $\mathscr{E}$ 生成的环 $\mathscr{R}(\mathscr{E})$ 中的每个元都含于 $\mathscr{E}$ 的有限个元的并中；由 $\mathscr{E}$ 产生的 $\sigma$ 环 $\mathscr{R}_{\sigma}(\mathscr{E})$ 中的每个元都含于 $\mathscr{E}$ 的可列个元的并中
定理 5.2：设 $\mathscr{E}$ 为 $X$ 的子集所成的环，则由 $\mathscr{E}$ 生成的单调类 $\mathscr{M}(\mathscr{E})$ 与由 $\mathscr{E}$ 生成的 $\sigma$ 环 $\mathscr{R}{\sigma}(\mathscr{E})$ 相等，即 $\mathscr{M}(\mathscr{E})=\mathscr{R}{\sigma}(\mathscr{E})$
- 证明过程是先证明 $\mathscr{M}(\mathscr{E})\subset \mathscr{R}_{\sigma}(\mathscr{E})$，然后再证明 $\mathscr{M}(\mathscr{E})$ 是 $\sigma$ 环
- 推论：设 $\mathscr{E}$ 是环，$\mathscr{M}$ 是单调类，则 $\mathscr{E}\subset\mathscr{M}\implies \mathscr{R}_{\sigma}(\mathscr{E})\subset \mathscr{M}$
定理 5.3：设 $\mu$ 是 $\sigma$ 环 $\mathscr{R}$ 的测度，则有以下性质：
- 单调性：$E_{1},E_{2}\in \mathscr{R},E_{1}\subset E_{2}\implies \mu E_{1}\leq \mu E_{2}$
- 半可加性：$E_{n}\in \mathscr{R},n \in \mathbb{N}\implies \mu(\cup_{n}E_{n})\leq \sum_{n}\mu E_{n}$
- 对于 $\mathscr{R}$ 中的渐张序列 ${ E_{n} }$，有 $\mu(\cup_{n}E_{n})=\lim_{ n }\mu E_{n}$；对于 $\mathscr{R}$ 中的渐缩序列 ${ E_{n} }$，如果 $\mu E_{1}<\infty$，则 $\mu(\cap_{n}E_{n})=\lim_{ n }\mu E_{n}$

6 $\sigma$ 环上外测度 · 可测集 · 测度的扩张

外测度：设 $X$ 为基本集，$\mathscr{R}{\sigma}$ 为由 $X$ 的子集所成的 $\sigma$ 环，$\lambda$ 为定义在 $\mathscr{R}{\sigma}$ 上的集函数。如果下列条件成立，称 $\lambda$ 为 $\mathscr{R}_{\sigma}$ 上的外测度：

非负性：$\lambda E\geq 0 (E\in \mathscr{R}_{\sigma}),\lambda \emptyset=0$
半可加性：$\lambda \left( \cup_{n=1}^{\infty} \right)\leq \sum_{i=1}^{\infty}\lambda E_{n}(E\in \mathscr{R}_{\sigma})$
单调性：$E_{1},E_{2}\in \mathscr{R}{\sigma},E{1}\subset E_{2}\implies \lambda E_{1}\leq \lambda E_{2}$ 特别地，当 $\mathscr{R}_{\sigma}$ 为 $X$ 的幂集所成的 $\sigma$ 环时，称 $\lambda$ 为 $X$ 上的外测度。

接下来我们想要构造一个合适的环来定义外测度。设 $\mathscr{E}$ 是由 $X$ 的子集所成的环，$\mu$ 是定义在 $\mathscr{E}$ 上的测度。考虑类 $$ \mathscr{S}(\mathscr{E})={ E:E\subset X,E\subset \cup_{i=1}^{n}A_{i},A_{i}\in \mathscr{E}}. $$ 显然这个类是一个 $\sigma$ 环，而且还可以看出 $\mathscr{S}(\mathscr{E})$ 是 $\sigma$ 代数时，它一定是由 $X$ 的一切子集构成的类由 $\mu$ 导出的外测度：。现在对于 $E\in \mathscr{S}(\mathscr{E})$ ，令 $$ \mu^{}E=\inf \left{ \sum_{i=1}^{n}\mu A_{i}:E\subset \cup_{i=1}^{n}A_{i},A_{i}\in \mathscr{E} \right}, $$ 则 $\mu^{}$ 是 $\mathscr{S}(\mathscr{E})$ 上的外测度，称为由 $\mu$ 导出的外测度

$\lambda$ 可测：设 $\lambda$ 是 $\sigma$ 环 $\mathscr{R}{\sigma}$ 上的外测度，$E\in \mathscr{R}{\sigma}$，如果对任何 $A\in \mathscr{R}_{\sigma}$，都有 $$ \lambda A=\lambda(A\cap E)+\lambda(A\cap \mathscr{C}E), $$ 则称 $E$ 是 $\lambda$ 可测的。将一切 $\lambda$ 可测集记成 $\mathscr{M}$ ，则 $\mathscr{M}$ 是一个 $\sigma$ 环，并且限制在 $\mathscr{M}$ 上，是一个测度。

扩张：设在环 $\mathscr{E}$ 上给定一个测度 $\mu$，而 $\mathscr{R}{\sigma}$ 为包含 $\mathscr{E}$ 的一个环，若存在 $\mathscr{R}{\sigma}$ 上的测度 $\lambda$，使得 $\lambda$ 限制在 $\mathscr{E}$ 上与 $\mu$ 相等，则称 $\lambda$ 为 $\mu$ 在 $\mathscr{R}{\sigma}$ 上的扩张。 $\sigma$ 有限：设 $\mathscr{R}$ 是环，$\mu$ 是 $\mathscr{R}$ 上的测度，如果对任何 $A\in \mathscr{R}$ 存在集列 ${ A{n} }{n\in \mathbb{N}}$，使得 $A\subset\cup{n=1}^{\infty}A_{n}$ 且 $\mu A_{n}<\infty$，则称为 $\sigma$ 有限

博雷尔集类：设 $X$ 是任意基本集，$\mathscr{E}$ 为 $X$ 的子集所成的环，则由 $\mathscr{E}$ 生成的 $\sigma$ 环 $\mathscr{R}{\sigma}(\mathscr{E})$ 称为 $X$ 上的博雷尔集类，$\mathscr{R}{\sigma}(\mathscr{E})$ 中的元称为博雷尔集。

定理 6.1：设 $\lambda$ 是环上的外测度，$\mathscr{M}$ 是一切 $\lambda$ 可测集的类，则有：
1. $\mathscr{M}$ 是 $\sigma$ 环
2. 设 ${ E_{n} }{n \in \mathbb{N}}$ 为中的互不相交的序列，它的并是 $E$，则对任何 $A\in \mathscr{R}{\sigma}$ 都有 $\lambda(A\cap E)=\sum_{n=1}^{\infty}\lambda(A\cap E_{n})$
3. 限制在 $\mathscr{M}$ 上的 $\lambda$ 是测度
- 引理 6.1：外测度 $\mu^{}$ 满足：当 $E\in \mathscr{E}\implies \mu^{}E=\mu E$
- 引理 6.2：设 $\lambda$ 是 $\sigma$ 环 $\mathscr{R}_{\sigma}$ 上的外测度，则由 $\lambda$ 引出的一切可测集类 $\mathscr{M}$ 是一个环
定理 6.2：设 $\mu$ 是环 $\mathscr{E}$ 上的测度，$\mathscr{M}$ 是 $\mu^{}$ 可测集类，则 $\mathscr{R}_{\sigma}(\mathscr{E})\subset \mathscr{M}$，且 $\mu^{}$ 在 $\mathscr{R}_{\sigma}(\mathscr{E})$ 的限制是 $\mu$ 的扩张
定理 6.3：设 $\mathscr{E}$ 为环，$\mu_{1},\mu_{2}$ 为由 $\mathscr{E}$ 产生的 $\sigma$ 环 $\mathscr{R}{\sigma}(\mathscr{E})$ 上的测度，如果 $\mu{1},\mu_{2}$ 在 $\mathscr{E}$ 上相等，且 $\mu_{1},\mu_{2}$ 是 $\sigma$ 有限的，则 $\mu_{1},\mu_{2}$ 在 $\mathscr{R}_{\sigma}(\mathscr{E})$ 上也相等

可测函数

1 基本性质

勒贝格可测函数：设 $f$ 为定义在可测集 $E$ 上的实值函数，如果对于任一实数 $\alpha$，集 $E(f>\alpha)={ x\in E:f(x)>\alpha }$ 是可测的，则称 $f$ 为勒贝格可测函数，简称可测函数。这个定义中的条件 $E(f>\alpha)$ 恒可测等价于下列条件之一：

$E(\alpha<f<\beta)$ 恒可测
$E(f\geq \alpha)$ 恒可测
$E(f<\alpha)$ 恒可测
$E(f\leq \alpha)$ 恒可测

简单函数：设 $E$ 为可测集，若 $f$ 在 $E$ 上取有限个实数值 $c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}$，且 $E(f=c_{1}),E(f=c_{2}),\cdots,E(f=c_{n})$ 均为可测集，则称 $f$ 为简单函数。显然，简单函数是可测函数。且利用特征函数 $\chi_{E}(x)$ ，简单函数可以写为： $$ f(x)=\sum_{k=1}^{n}c_{k}\chi_{E(f=c_{k})}(x) $$ 连续：设 $f(x)$ 为定义在集 $E$ 上的可测函数，$x\in E$。如果对任何点列 $x_{n}\to x(x_{n}\in E)$ 都有 $f(x_{n})\to f(x)(n\to \infty)$，则称 $f$ 在 $E$ 上连续。特别地，约定 $f(x)$ 在孤立点处连续。如果 $f$ 在 $E$ 上每一点都连续，则称 $f$ 在 $E$ 上连续。几乎处处：设 $S$ 是某个命题或者某个性质，如果 $S$ 在集 $E$ 上成立，除了 $E$ 的一个测度为零的子集外，则称 $S$ 在 $E$ 上几乎处处成立，记作 $S,a.e.$。例如，两函数 $f,g$ 在 $E$ 上几乎处处相等，记作 $f=g,\mathrm{a.e.}.$ 或 $f \overset{\mathrm{a.e.}}{=}g$，如果 $m{ x\in E:f(x)\neq g(x) }=0$，简称 $f$ 与 $g$ 对等，记作 $f\sim g$.

定理 1.1：设 ${ f_{n}(x) }{n\in \mathbb{N}}$ 是定义在可测集 $E$ 上的可测函数列，则函数 $\sup{n}f_{n}(x)$ 与 $\inf_{n}f_{n}(x)$ 也是定义在 $E$ 上的可测函数。
- 推论 1：设 $f(x)$ 是可测集 $E$ 上的可测函数，则 $f_{+},f_{-}$ 与 $|f|$ 也是定义在 $E$ 上的可测函数
- 推论 2：设 ${ f_{n}(x) }{n\in \mathbb{N}}$ 是定义在可测集 $E$ 上的可测函数列，则函数 $\limsup{n\to\infty}f_{n}(x)$ 与 $\liminf_{n\to\infty}f_{n}(x)$ 也是定义在 $E$ 上的可测函数
定理 1.2：设 ${ f_{n}(x) }{n\in \mathbb{N}}$ 是定义在可测集 $E$ 上的可测函数列，如果 $\lim{ n }f_{n}(x)$ 几乎处处存在，它是定义在 $E$ 上的可测函数。
定理 1.3：设 $f(x)$ 是可测集 $E$ 上非负可测函数，则存在一个非负递增的简单函数列 ${ \varphi_{n}(x) }:0\leq \varphi_{1}(x)\leq \varphi_{2}(x)\leq \cdots$，使得 $\lim_{ n }\varphi_{n}(x)=f(x)$ 在 $E$ 上处处成立，因而一般可测函数可以表示成简单函数列的极限
- 由此可以给出可测函数的另一个定义：设 $f$ 为定义在可测集 $E$ 上的实值函数，如果存在简单函数列 ${ \varphi_{n}(x) }$，使得 $\lim_{ n }\varphi_{n}(x)=f(x)$ 在 $E$ 上处处成立，则称 $f$ 为勒贝格可测函数，简称可测函数
定理 1.4：设 $f,g$ 是定义在可测集 $E$ 上的可测函数，则 $f+g,f-g,fg$ 与 $\frac{f}{g}(g\neq 0)$ 也是定义在 $E$ 上的可测函数
- 引理 1.1：设 $f_{1}(x),f_{2}(x)$ 是定义在可测集 $E$ 上的简单函数，则 $f_{1}+f_{2},f_{1}f_{2}$ 与 $\frac{f_{1}}{f_{2}}(f_{2}\neq 0)$ 也是定义在 $E$ 上的简单函数

2 可测函数列的收敛性

上限集、下限集：给定一个集列 ${ A_{n} }{n \in \mathbb{N}}$ ，它的上限集、下限集分别定义为 $$ \overline{\lim}{ } A_{n}=\cap_{n=1}^{\infty}\cup_{k=n}^{\infty}A_{k}, \quad \underline{\lim}{ } A{n}=\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{k=n}^{\infty}A_{k} $$ 收敛：当 $\overline{\lim}{ }A{n}=\underline{\lim}{ }A{n}$ 时，称集列 ${ A_{n} }$ 收敛，并将共同的极限记作 $\lim_{ n }A_{n}$

近一致收敛：设 $f,f_{n}(n \in \mathbb{N})$ 是可测集上几乎处处有限的可测函数，如果对于任意的 $\delta>0$ ，存在 $E_{\delta}\subset E$，使得 $m(E-E_{\delta})<\delta$ 且 ${ f_{n} }$ 在 $E_{\delta}$ 上一致收敛于 $f$，则称序列 ${ f_{n} }$ 在 $E$ 上近一致收敛于 $f$。

测度收敛：设 ${ f_{n}(x) }$ 是定义在可测集上的可测函数列，$f(x)$ 是定义在 $E$ 上的可测函数，如果对于任一 $\varepsilon>0$，都有 $$ \lim_{ n \to \infty }m{ x\in E:|f_{n}(x)-f(x)|\geq \varepsilon }=0 $$ 则称序列 ${ f_{n}(x) }$ 在 $E$ 上测度收敛于 $f(x)$。

依测度基本列：设是定义在可测集上的可测函数列，如果对于任一 $\varepsilon>0$，都有： $$ \lim_{ n,m\to \infty }m{ x\in E:|f_{n}(x)-f_{m}(x)|\geq \varepsilon }=0 $$

定理 2.1（叶果洛夫定理）：设是可测集，$mE<\infty$ ，$f_{n}(x)(n \in \mathbb{N})$ 与是上几乎处处有限的可测函数，且 ${ f_{n}(x) }$ 在上几乎处处收敛于 $f(x)$，则对于任一 $\delta>0$，存在 $E_{\delta}\subset E$ ，使得序列 ${ f_{n}(x) }$ 在 $E_{\delta}$ 上一致收敛于而 $m(E-E_{\delta})<\delta$.
定理 2.2（叶果洛夫定理的逆）：设可测集 $E$ 上可测函数 ${ f_{n}(x) }$ 近一致收敛于 $f(x)$ ，则 ${ f_{n}(x) }$ 在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f(x)$.
定理 2.3：设 $mE<\infty$ ，则序列 ${ f_{n} }$ 几乎处处收敛于 $f$ 蕴含 ${ f_{n} }$ 在 $E$ 上测度收敛于 $f$。
- 但是反之不成立，这是因为测度收敛是在当 $n$ 很大时同时看一个区间的情况；但是几乎处处收敛考虑的是每个点在 $n$ 很大时的情况
定理 2.4：设 $mE<\infty$ ，则序列 ${ f_{n} }$ 在 $E$ 上测度收敛于 $f$ 的充分必要条件是：对序列 ${ f_{n}(x) }$ 的任一子列 ${ f_{n_{k}}(x) }$ ，都存在一个子列 ${ f_{n_{k_{j}}}(x) }$ ，使得 ${ f_{n_{k_{j}}}(x) }$ 在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f(x)$。
定理 2.5：设 $mE<\infty$ ，序列 ${ f_{n} }$ 是可测集 $E$ 上依测度基本列，则存在 $E$ 上可测函数 $f(x)$ ，使 ${ f(x) }$ 测度收敛于 $f$.
定理 2.6：设序列 ${ f_{n}(x) }$ 在可测集 $E$ 上测度收敛于 $f(x)$，序列 ${ g_{n}(x) }$ 在 $E$ 上测度收敛于 $g(x)$，则
- 序列 ${ af_{n}+bg_{n} }$ 在 $E$ 上测度收敛于 $af+bg$，其中 $a,b$ 为任意常数
- 序列 ${|f_{n}| }$ 在 $E$ 上测度收敛于 $|f|$
- 序列 ${ \sup(f_{n},g_{n}) }$ 在 $E$ 上测度收敛于 $\sup(f,g)$，序列 ${ \inf(f_{n},g_{n}) }$ 在 $E$ 上测度收敛于 $\inf(f,g)$

3 可测函数的构造

限制连续：设 $f$ 为定义在可测集 $E$ 上的可测函数，如果存在 $E_{0}\subset E$ ，$f$ 在 $E_{0}$ 上连续，则称 $f$ 限制在 $E_{0}$ 上连续。

定理 3.1：设 $f$ 为定义在可测集 $E$ 上几乎处处有限的可测函数，则对于任一 $\delta>0$，都存在闭集 $F_{\delta}\subset E$ ，使得 $f$ 限制在 $F_{\delta}$ 上连续，且 $m(E-F_{\delta})<\delta$。
定理 3.2：设 $f$ 为定义在有界可测集 $E$ 上几乎处处有限的可测函数，则对于任一 $\varepsilon>0$，都存在在 $E$ 上连续的函数 $g(x)$ ，使得 $m{ x\in E:|f(x)-g(x)| \neq 0}<\varepsilon$。

勒贝格积分

1 勒贝格积分的引入

简单函数的积分：设 $E$ 上简单函数 $\varphi (x)$ 可表示为 $$ \varphi (x)=\sum_{k=1}^{n}y_{k}\chi_{e_{k}}(x), $$ 其中 $e_{k} =E(\varphi=y_{k})$ 是互不相交的可测集，$y_{k}$ 为互异的实数。称和 $\sum_{k=1}^{n}y_{k}me_{k}$ 为简单函数 $\varphi$ 在 $E$ 上的勒贝格积分，记作 $$ \int_{E}\varphi (x)\mathrm{d}m=\sum_{k=1}^{n}y_{k}me_{k} $$

积分：设 $f(x)$ 是有界可测集 $E$ 上的可测函数，对于 $f(x)\geq{0}$ 的情形，取简单函数 $\varphi (x)$ 满足 $0\leq \varphi (x)\leq f(x)$，定义 $f$ 在 $E$ 上的勒贝格积分为 $$ \int_{E}f(x)\mathrm{d}m=\sup_{\varphi \leq f}\int_{E}\varphi (x)\mathrm{d}m $$ 如果此量为有限值，则称 $f$ 在 $E$ 上可积，否则只说 $f(x)$ 在 $E$ 上的积分为 $\infty$。对于任意实值函数 $f(x)$，定义 $$ \int_{E}f(x)\mathrm{d}m=\int_{E}f_{+}(x)\mathrm{d}m-\int_{E}f_{-}(x)\mathrm{d}m $$ 当右式两项均有限时，称在 $E$ 上可积，记为 $f\in L_{E}$ 或者简记为 $f\in L$。在其余情形，只说在 $E$ 上有积分（为 $\infty$ 或 $-\infty$），当然 $\infty-\infty$ 没有意义。

定理 1.1 设 $f$ 是可测集上可测函数，则 $f$ 和 $|f|$ 的可积性相同。在可积情形有： $$ \begin{align}& \int_{E}f(x)\mathrm{d}x=\int_{E}f_{+}(x)\mathrm{d}x-\int_{E}f_{-}(x)\mathrm{d}x,\ \& \int_{E}|f(x)|\mathrm{d}x=\int_{E}f_{+}(x)\mathrm{d}x+\int_{E}f_{-}(x)\mathrm{d}x\end{align} $$
定理 1.2：设 $f$ 是 $E$ 上可测函数，如果存在 $E$ 上可积函数 $g$，几乎处处成立 $\left| f(x) \right|\leq g(x)$，则 $f$ 在 $E$ 上可积且 $f$ 的积分不超过 $g$ 的积分。特别当 $mE<\infty$ 时，若 $f$ 有界：$\left| f(x) \right|\leq M$ 几乎处处成立，则 $f$ 在 $E$ 上可积且 $\left| \int_{E}f(x)\mathrm{d}m \right|\leq MmE$。
定理 1.3：在 $E$ 上可积函数几乎处处有限

2 积分的性质

基本引理：设是有界可测集上的非负可积函数，${ f_{n}(x) }{n \in \mathbb{N}}$ 是满足条件 $$ 0\leq f{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \cdots;\lim_{ n \to \infty } f_{n}(x)=f(x)(x \in E) $$ 的简单函数列，则 $$ \int_{E}f(x)\mathrm{d}m=\lim_{ n \to \infty } \int_{E}f_{n}(x)\mathrm{d}m $$

定理 2.1（有限可加性）：设 $f(x)$ 是有界可测集 $E$ 上的可积函数，$E=\cup_{k=1}^{n}E_{k}$，其中 $E_{k}$ 互不相交且均为可测集，则 $f$ 在每个 $E_{k}$ 上可积，且 $$\int_{E}f(x)\mathrm{d}m=\sum_{k=1}^{n}\int_{E_{k}}f(x)\mathrm{d}m$$
定理 2.2（绝对连续性）：设 $f(x)$ 是有界可测集 $E$ 上的可积函数，则对任一 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对任一可测集 $e\subset E$，当 $me<\delta$ 时，有 $\left| \int_{e}f(x)\mathrm{d}m \right|<\varepsilon$。
定理 2.3（$\sigma$ 可加性）：设 $f(x)$ 是有界可测集 $E$ 上的可积函数，$E=\cup_{k=1}^{\infty}E_{k}$，其中 $E_{k}$ 互不相交且均为可测集，则 $f$ 在每个 $E_{k}$ 上可积，且 $$\int_{E}f(x)\mathrm{d}m=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{E_{k}}f(x)\mathrm{d}m$$
定理 2.4：设 $f(x)$ 在 $E$ 上可积，则对任意实数 $c$，$cf(x)$ 也可积，且 $$\int_{E}cf(x)\mathrm{d}m=c\int_{E}f(x)\mathrm{d}m$$
定理 2.5：设 $f,g$ 在 $E$ 上可积，则 $f+g$ 也可积，且 $$\int_{E}(f(x)+g(x))\mathrm{d}m=\int_{E}f(x)\mathrm{d}m+\int_{E}g(x)\mathrm{d}m$$
定理 2.6：设 $f,g$ 在 $E$ 上可积，且 $f(x)\leq g(x)$，则 $$\int_{E}f(x)\mathrm{d}m\leq \int_{E}g(x)\mathrm{d}m$$
定理 2.7（唯一性定理）：设 $f$ 在 $E$ 上可积，则 $\int_{E}\left| f \right|\mathrm{d}m=0$ 的充分必要条件是 $f\sim_{0}$
定理 2.8：设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的可积函数，则对任何 $\varepsilon>0$，有 $[a,b]$ 上的连续函数 $g(x)$，使得 $\int_{[a,b]}\left| f(x)-g(x) \right|\mathrm{d}m<\varepsilon$。
- 引理 2.1：设 $f(x)$ 是可测集 $E$ 上的可积函数，那么对任意 $\varepsilon>0$，存在 $E$ 上的简单函数 $\varphi (x)$，使得 $\int_{E}\left| f(x)-\varphi (x) \right|\mathrm{d}m<\varepsilon$。
- 引理 2.2：设 $E$ 是闭区间 $[a,b]$ 中的可测集，则对任何 $\varepsilon>0$，存在 $[a,b]$ 上的连续函数 $g(x)$，使得 $\int_{[a,b]}\left| \chi_{E}(x)-g(x) \right|\mathrm{d}m<\varepsilon$

3 积分序列的极限

等度的绝对连续积分：设 $E$ 可测，$mE<\infty$ 且 ${ f_{\alpha}:\alpha \in I }$ 为 $E$ 上可测函数族，如果对任一 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对任一可测集 $e\subset E$，当 $me<\delta$ 时，有 $\left| \int_{e}f_{\alpha}(x)\mathrm{d}m \right|<\varepsilon$ 对任意 $\alpha \in I$ 都成立，则称函数族 ${ f_{\alpha}:\alpha \in I }$ 在上等度的绝对连续积分。

定理 3.1：设 $f(x),u_{n}(x)(n \in \mathbb{N})$ 均为可测集 $E$ 上的非负可测函数，且 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)$，则 $$\int_{E}f(x)\mathrm{d}m=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{E}u_{n}(x)\mathrm{d}m$$
定理 3.2（勒维定理）：设可测集 $E$ 上可测函数列 ${ f_{n}(x) }$ 满足 $0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \cdots,\lim_{ n \to \infty }f_{n}(x)=f(x)$, 则 ${ f_{n}(x) }$ 的积分序列收敛于 $f(x)$ 的积分：$\int_{E}f(x)\mathrm{d}m=\lim_{ n \to \infty }\int_{E}f_{n}(x)\mathrm{d}m$
定理 3.3（法杜定理）：设 $f_{n}(x)$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数列，则 $$\int_{E}\underline{\lim}{n\to \infty}f{n}(x)\mathrm{d}m\leq \underline{\lim}{n\to \infty}\int{E}f_{n}(x)\mathrm{d}m$$
定理 3.4：设可测集 $E$ 上可测函数列 ${ f_{n}(x) }$ 满足下述条件：$f_{n}(x)$ 的极限存在，$f(x)=\lim_{ n \to \infty }f_{n}(x)$，且有可积函数 $g(x)$ 使 $\left| f_{n}(x) \right|\leq g(x)(x \in E;n \in \mathbb{N}),\mathrm{a.e.}$ 那么，$f$ 可积且满足 $\int_{E}f(x)\mathrm{d}m=\lim_{ n \to \infty }\int_{E}f_{n}(x)\mathrm{d}m$
- 推论：设 $mE<\infty$，$E$ 上可测函数列 ${ f_{n}(x) }$ 满足 $\left| f_{n}(x) \right|\leq M(x \in E,n \in \mathbb{N})$，$M$ 为常数，$f(x)=\lim_{ n \to \infty }f_{n}(x)$，则 $f(x)$ 可积。这个定理称为有界收敛定理。
定理 3.5（勒贝格-维它利定理）：设 $mE<\infty$ ，序列 ${ f_{n} }$ 测度收敛于 $f$，并设每个 $f_{n}$ 可积，则关系式 $\lim_{ n \to \infty }\int_{E}\left| f_{n}-f \right|\mathrm{d}m=0$ 成立的充分必要条件是序列 ${ f_{n} }$ 在 $E$ 上有等度的绝对连续积分
- 引理 3.1：设 $mE<\infty$ ，序列 ${ f_{n} }$ 测度收敛于 $f$ 且每个 $f_{n}$ 可积，则当 ${ f_{n} }$ 在 $E$ 上有等度的绝对连续积分时，$f$ 在 $E$ 上可积。
定理 3.6（勒贝格控制收敛定理）：设 ${ f_{n} }$ 为 $E$ 上可测函数列，满足条件：存在可积函数 $g$ ，使得 $\left| f_{n}(x) \right|\leq g(x)(x \in E,n \in \mathbb{N}),\mathrm{a.e.}$。又设 $f_{n}$ 测度收敛于 $f$，那么 $f$ 可积且 $\int_{E}f\mathrm{d}m=\lim_{ n \to \infty }\int f_{n}\mathrm{d}m$

4 R 积分与 L 积分的比较

定理 4.1：设 $f$ 是区间 $[a,b]$ 上的有限函数，若 $f$ 在 $[a,b]$ 上 $R$ 可积，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界
定理 4.2：函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上 $R$ 可积的充分必要条件是 $\lambda\to{0}$ 时，大和和小和都趋于同一极限 $I$
定理 4.3：若在有限区间上的函数 $R$ 可积，则必 $L$ 可积，而且积分值相等

5 乘积测度与傅比尼定理

设 ${X_{\alpha}:\alpha \in A}$ 为非空集的类. 考虑映射 $f:A \to \bigcup_{\alpha \in A} X_{\alpha}$, 满足条件 $f(\alpha) \in X_{\alpha} (\alpha \in A)$. 一切这样的 $f$ 所成的集称为类 ${X_{\alpha}}$ 中集 $X_{\alpha} (\alpha \in A)$ 的积集, 记为 $\prod_{\alpha \in A} X_{\alpha}$, 积集也称为乘积空间, 每个 $X_{\alpha}$ 称为分支空间. 积集中的元也可以记为 $x = {x_{\alpha}}$, 这里 $x_{\alpha} = f(\alpha)$. $x_{\alpha}$ 称为元 $x$ 的第 $\alpha$ 坐标, 它是 $x$ 在集 $X_{\alpha}$ 上的投影. 当 $A = \mathbf{N}$ 时, $\prod_{n \in A} X_{\alpha}$ 可以看成序列 $(x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots)$ 的集, 这里 $x_i \in X_i, i \in \mathbb{N}$. 当 $X_1 = X_2 = \cdots = X_n = \mathbb{R}$ 时, $\prod_{i = 1}^{n} X_i$ 可以看成 $\mathbb{R}^n$ (两者同构). 下面着重考虑两个集 $X$ 与 $Y$ 的积集的情形. 这时, 它们的积集记为 $X \times Y$, 其中的元就是有序点偶 $(x, y)$: $x \in X, y \in Y$ 的全体. 点 $(x, y)$ 中的 $x$ 称为此点的 $X$ 坐标或第一坐标, $y$ 称为点 $(x, y)$ 的 $Y$ 坐标或第二坐标.

可测空间：设 $X$ 是基本集，$\mathscr{R}$ 是 $X$ 的子集构成的环，且 $\cup_{A\in \mathscr{R}}A=X$，则称 $(X,\mathscr{R})$ 为可测空间。如果对于可测空间 $(X,\mathscr{R})$ ，定义了 $\sigma$ 环 $\mathscr{R}$ 上的测度 $\mu$，则称 $(X,\mathscr{R},\mu)$ 为测度空间。笛卡尔乘积：$\mathscr{R},\mathscr{S}$ 分别表示基本集 $X,Y$ 的子集所成的 $\sigma$ 环，则 $\mathscr{R}\times \mathscr{S}$ 表示所有形如的矩形集缩产生的 $\sigma$ 环，当 $(X,\mathscr{R}),(Y,\mathscr{S})$ 均是可测空间时，$(X\times Y,\mathscr{R}\times \mathscr{S})$ 也是可测空间，称 $(X\times Y,\mathscr{R}\times \mathscr{S})$ 为 $(X,\mathscr{R}),(Y,\mathscr{S})$ 的笛卡尔乘积。截口：简单理解为联合分布中的单变量分布

乘积测度：设 $(X,\mathscr{R},\mu),(Y,\mathscr{S},\nu)$ 分别是可测空间与测度空间，$\lambda$ 是 $\mathscr{R}\times \mathscr{S}$ 上的测度，如果对任一矩形集，有 $\lambda(A\times B)=\mu(A)\nu(B)$，则称 $\lambda$ 为 $\mu$ 与 $\nu$ 的乘积测度，记作 $\lambda=\mu \times \nu$。测度空间 $(X\times Y,\mathscr{R}\times \mathscr{S},\lambda)$ 称为 $(X,\mathscr{R},\mu)$ 与 $(Y,\mathscr{S},\nu)$ 的笛卡尔乘积空间。

完备测度：设 $X$ 是基本集，$\mathscr{R}$ 是 $X$ 的一些子集构成的 $\sigma$ 环，$\mu$ 是 $\mathscr{R}$ 上的测度，则称 $(X,\mathscr{R},\mu)$ 为完备测度空间，如果对任一 $E\in \mathscr{R}$，当 $\mu(E)=0$ 时，$E$ 的任一子集 $F\subset E$ 也属于 $\mathscr{R}$ 且 $\mu(F)=0$。这时称 $(X,\mathscr{R},\mu)$ 为完备测度空间。这里有一个基本的情况：如果用 $m,\mathscr{M}$ 分别表示一维勒贝格测度与勒贝格可测集类，而 $m_{2},\mathscr{M}{2}$ 分别表示二维勒贝格测度与勒贝格可测集类，则 $m$ 和 $m{2}$ 均是相应 $\sigma$ 环上的完备测度，但是 $m\times m$ 却不是完备的。完备化方法：设 $(X,\mathscr{R},\mu)$ 是测度空间，这里 $\mathscr{R}$ 是 $\sigma$ 环，令 $\tilde{R}$ 是 $X$ 中一切这样的子集 $E$ 所成的，存在 $A,B\in \mathscr{R}$ 满足 $$ A\subset E\subset B,\mu(B-A)=0. $$ 这时在 $\tilde{R}$ 上定义测度 $\tilde{\mu}$，使得 $\tilde{\mu}(E)=\mu(A)$，这里 $A$ 是上式中所指的 $A$。则 $(X,\tilde{R},\tilde{\mu})$ 是 $(X,\mathscr{R},\mu)$ 的完备化，且 $\tilde{\mu}$ 是唯一确定的。

定理 5.1：设 $\mathscr{R},\mathscr{S}$ 分别是 $X,Y$ 的子集构成的环，令 $\mathscr{T}$ 为形如 $A\times B$ 的矩形集的一切不相交有限并组成的类，则 $\mathscr{T}$ 为环。
定理 5.2：
- 乘积空间中的可测集的每个截口是可测的
- 可测函数的每个截口是可测的
定理 5.3（傅比尼定理）：设 $h(x,y)$ 是 $X\times Y$ 上的可积函数，则 $h(x,y)$ 的每个截口是可积的，且 $$\int_{X\times Y}h(x,y)\mathrm{d}\lambda=\int_{X}\left( \int_{Y}h(x,y)\mathrm{d}\nu\right)\mathrm{d}\mu=\int_{Y}\left( \int_{X}h(x,y)\mathrm{d}\mu\right)\mathrm{d}\nu$$
定理 5.4：设 $(X,\mathscr{R},\mu)$ 是测度空间，则完备化后 $\tilde{\mu}$ 是 $\tilde{\mathscr{R}}$ 上的完备测度， $(X,\tilde{R},\tilde{\mu})$ 是完备测度空间。
定理 5.5：设 $(\mathbb{R},\mathscr{M},m)$ 与 $(\mathbb{R}^{2},\mathscr{M}{2},m{2})$ 分别表示一维与二维勒贝格测度空间，则 $(\mathbb{R}^{2},\mathscr{M}{2},m{2})$ 是乘积测度空间 $(\mathbb{R}^{2},\mathscr{M}\times \mathscr{M},m\times m)$ 的完备化

6 微分与积分

跳跃函数：设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上定义的有限增函数，则它的不连续点击至多为可列集。用 ${ \xi_{k} }$ 表示 $f$ 在 $(a,b)$ 内的所有不连续点，定义 $$ s(x)=\begin{cases} f(x)-f(x-0)+f(a+0)-f(a)+\sum_{\xi_{k}<x}(f(\xi_{k}+0)-f(\xi_{k}-0)), & a<x\leq b \ 0, & x=a \end{cases}, $$ 则称 $s(x)$ 为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的跳跃函数。称 $f(\xi_{k}+0)-f(\xi_{k}-0)$ 为 $f$ 在 $\xi_{k}$ 处的跳跃。

列导数：设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的有限函数，$x_{0}\in[a,b]$ ，若存在 $h_{n}\to 0$ 使极限 $$ \lim_{ n \to \infty } h_{n}^{-1}(f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0}))=\lambda $$ 存在。则称 $\lambda$ 为在 $x_{0}$ 处的列导数，记作 $\lambda=Df(x_{0})$。如果 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处一切列导数相等，则称 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 广义可微。如果这些可能的列导数相等且有限，广义可微将化为平常可微。列导数方法本质上是极限的序列说法。

维它利意义覆盖：设 $E$ 是实直线的任一子集，$\mathscr{M}= { d }$ 是长度为正的闭区间所成的集。如果对任一点 $x \in E$，恒有一个区间列 $d_{n}\in \mathscr{M}$ 使得 $$ x \in d_{n}(n \in \mathbb{N}),\lim_{ n \to \infty }md_{n}=0, $$ 则称 $\mathscr{M}$ 依维它利意义覆盖 $E$。

变差：设 $f(x)$ 是区间 $[a,b]$ 上的有限函数。考察区间 $[a,b]$ 的任一分划：$$a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b,$$ 考察上确界 $$ \sup_{(x_{0},x_{1},\cdots,x_{n})}\sum_{k=1}^{n}\left| f(x_{k})-f(x_{k-1}) \right|, $$ 称之为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的全变差，记为 $V_{a}^{b}f$。如果 $V_{a}^{b}f<\infty$，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上为有界变差函数。另外，若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界变差，那么在任一子区间上也是有界变差，我们就可以定义 $$ \pi (x)=V_{a}^{x}f(x),a< x \leq b,\pi(a)=0 $$ 则 $\pi (x)$ 是 $[a,b]$ 上的非负有限函数。

正变差与负变差：设 $f(x)$ 是上的有界变差函数，考察区间 $[a,b]$ 的任一分划：$$a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b,$$ 令 $$ P=\Sigma'[f(x_{i})-f(x_{i-1})],N=\Sigma''[f(x_{j-1})-f(x_{j})], $$ 其中 $\Sigma'$ 表示对所有 $f(x_{i})-f(x_{i-1})\geq0$ 的项求和，$\Sigma''$ 表示对所有 $f(x_{j-1})-f(x_{j})>0$ 的项求和。当考虑子区间 $[a,x]$ 时，相应的 $P,M$ 分别记为 $P(x),N(x)$。对划分方式取上确界 $$ p(a,b)=\sup P,n(a,b)=\sup N, $$ 类似地，我们可以得到 $p(a,x),n(a,x)$，简记为 $p(x),n(x)$，称为 $f(x)$ 的正变差与负变差。标准分解：设是上的有界变差函数，则 $f(x)$ 可分解为 $$ f(x)=f(a)+p(x)-n(x) $$ 其中 $p,n$ 分别为 $f$ 的正变差与负变差，且均为非负增函数。

绝对连续函数：设 $[a_{1},b_{1}],[a_{2},b_{2}],\cdots,[a_{n},b_{n}]$ 表示 $[a,b]$ 上的一列互不相交的子区间，如果当 $m(\cup_{k}[a_{k},b_{k}])\to 0$ 时，有 $$ \sum_{k=1}^{n}\left| f(b_{k})-f(a_{k}) \right|\to 0, $$ 则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上为绝对连续函数。显然，绝对连续函数对和差积商封闭。在绝对连续的情形下我们可以建立牛顿-莱布尼茨公式 $$ \int_{[a,b]}f'(x)\mathrm{d}m=f(b)-f(a) $$

奇异函数：设 $r(x)$ 为 $[a,b]$ 上的连续有界变差函数且不恒为常数，如果 $r'(x)\sim0$ ，则称 $r(x)$ 为奇异函数。对于一个连续有界变差函数 $f_{0}(x)$ ，我们有分解 $$ f_{0}(x)=\varphi (x)+r(x) $$ 其中 $\varphi (x)=f_{0}(a)+\int_{[a,x]}f_{0}'(t)\mathrm{d}m$ 是一个绝对连续函数，$r(x)=f_{0}(x)-\varphi (x)$ 是一个奇异函数。这种分解是唯一的。

勒贝格点：设 $f$ 是 $(-\infty,\infty)$ 上的可积函数，$(\alpha,\beta)$ 是含有 $x$ 的变动区间，则 $$ \lim_{ \beta-\alpha \to 0 } \frac{1}{\beta-\alpha}\int_{[\alpha,\beta]}\left| f(t)-f(x) \right| \mathrm{d}m=0,\mathrm{a.e.} $$ 这些点 $x$ 称为 $f$ 的勒贝格点。几乎处处都是可积函数的勒贝格点

定理 6.1：定义于 $[a,b]$ 上的增函数 $f(x)$ 可以分解为一个连续增函数与一个跳跃函数之和。
定理 6.2（维它利引理）：设 $E$ 为有界集，$\mathscr{M}$ 依维它利意义覆盖 $E$，则可由 $\mathscr{M}$ 中选出有限个或可列个闭区间 ${ d_{n} }$，使得 $$m(E \setminus \cup_{k}d_{k})=0,d_{k}\cap d_{j}=\emptyset(k\neq j)$$
- 设 $E$ 是有界集，$\mathscr{M}$ 依维它利意义覆盖 $E$，则对任一 $\varepsilon>0$，都能由 $\mathscr{M}$ 中选出有限个闭区间 ${ d_{k} }{k=1}^{n}$，使得 $m(E \setminus \cup{k=1}^{n}d_{k})<\varepsilon,d_{k}\cap d_{j}=\emptyset(k\neq j)$
定理 6.3：设 $E$ 为有界集，$\mathscr{M}={ d }$ 是闭区间集，它们的并包含 $E$，并且 $\sup_{d\in \mathscr{M}}md<\infty$。那么由 $\mathscr{M}$ 可以选出有限个或可列个闭区间 ${ d_{k} }$ ，使得 $\sum_{k}^{}md_{k}\geq \frac{1}{5}m^{*}E,d_{k}\cap d_{j} =\emptyset(k \ne j)$
定理 6.4：设 $f$ 是 $[a,b]$ 上的单调函数，则它在这区间上几乎处处有有限导数
- 引理 6.1：设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的严增函数，令 $E$ 为 $[a,b]$ 中这样的点 $x$ 所成的集；存在一个列导数 $Df(x)\leq p$, 这里 $p$ 为非负常数，则 $m^{}f(E)\leq pm^{}E$，这里 $f(E)$ 表示 $f$ 在 $E$ 上的像集
- 引理 6.2：设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的严增函数，令 $E$ 为 $[a,b]$ 中这样的点 $x$ 所成的集；存在一个列导数 $Df(x)\geq q,q\geq 0$，则 $m^{}f(E)\geq qm^{}E$
定理 6.5：设 $f$ 是 $[a,b]$ 上的增函数，则 $f'(x)$ 可积，且 $\int_{[a,b]}f'(x)\mathrm{d}m\leq f(b)-f(a)$。
定理 6.6：$[a,b]$ 上函数 $f(x)$ 有界变差的充分必要条件是 $f(x)$ 可表示为两个单调函数之差。
- 引理 6.3：$\pi (x)$ 满足有限可加性
定理 6.7：闭区间上定义的有界变差函数恒可表示为它的跳跃函数与一个连续有界变差变差函数的和。
定理 6.8：设 $f$ 是 $[a,b]$ 上的有界变差函数，则其标准分解成立，若 $f(a)=0$，假设 $f$ 有分解 $f(x)=p_{1}(x)-n_{1}(x)$，其中 $p_{1},n_{1}$ 均为增函数，且 $p_{1}(a)=n_{1}(a)=0$，则 $p_{1}(x)-p(x)$ 与 $n_{1}(x)-n(x)$ 也是非负增函数
定理 6.9：在 $[a,b]$ 上定义的函数 $f(x)$ 绝对连续的充分必要条件是存在可积函数 $g(x)$ ，满足 $f(x)=f(a)+\int_{[a,x]}g(t)\mathrm{d}m$
- 引理 6.4：在 $[a,b]$ 上定义的绝对连续函数 $f(x)$ 是有界变差的
- 引理 6.5：设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的绝对连续函数，它的导函数 $f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上几乎处处为零，则 $f(x)$ 为常数。
- 引理 6.6：设 $g(x)$ 为区间 $[a,b]$ 上的可积函数，则函数 $f(x)=C+\int_{[a,x]}g(t)\mathrm{d}m$ 为绝对连续的，它的导数几乎处处存在且 $f'(x)\sim g(x)$
定理 6.10：定义在 $[a,b]$ 上的有界变差函数 $f(x)$ 可以分解为 $f(x)=\varphi (x)+r(x)+s(x)$，其中 $\varphi (x)$ 为绝对连续函数，$r(x)$ 为奇异函数或 0，$s(x)$ 为跳跃函数，这种分解是唯一的。

7 勒贝格-斯蒂尔切斯积分概念

LS 测度：设 $\mu (x)$ 为闭区间 $[a,b]$ 上定义的增函数，约定 $\mu(a-0)=\mu(a),\mu(b+0)=\mu(b)$。对任一 $[a,b]$ 上的任一子区间 $(\alpha,\beta)$ ，它的 $\mu$ 测度定义为 $$ \mu { (\alpha,\beta) }=\mu(\beta-0)-\mu(\alpha+0) $$ 对于一点 $\alpha$ 的 $\mu$ 测度定义为 $$ \mu { \alpha }=\mu(\alpha+0)-\mu(\alpha-0) $$ 于是，对于开集 $G$，若 $G=\cup(\alpha_{k},\beta_{k})$ ，$(\alpha_{k},\beta_{k})$ 互不相交。则它的测度定义为： $$ \mu G=\sum_{k}\mu { (\alpha_{k},\beta_{k}) } $$ 我们也可以仿照之前，定义外测度为 $$ \mu^{} E=\inf { \mu G:E\subset G,G\text{ 为开集} } $$ 闭集的测度、内测度也一样定义。若 $\mu^{}E=\mu_{*}E$，则称 $E$ 为 $\mu$ 可测。类似地，我们也可以证明可测的充分必要条件是 Carathéodory 条件一切 $\mu$ 可测的集用 $\mathscr{M}{\mu}$ 记之，可以证明 $\mathscr{M}{\mu}$ 构成一个 $\sigma$ 环。

LS 可积：对于 $\mu$ 为增函数，$LS$ 积分定义不变。对于可测函数 $f$ ，关于 $\mu$ 可积可以记为 $f\in L_{\mu}$ ；对于 $\mu$ 为 $[a,b]$ 上的有界变差函数。在 $[a,x]$ 上的全变差，正变差与负变差分别为 $v(x),p(x),n(x)$。再设 $f\in L_{v}$ ，那么称 $f$ 关于关于 $LS$ 可积，并定义它的积分值为 $$ \int_{E}f\mathrm{d}\mu=\int_{E}f\mathrm{d}p-\int_{E}f\mathrm{d}n $$ RS 可积：设 $\mu (x)$ 为区间 $[a,b]$ 上的增函数，$f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的有界实函数。对 $[a,b]$ 上的任一分划 $$ a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b, $$ 每个小区间 $[x_{k-1},x_{k}]$ 上取一点 $\xi_{k}$，做和 $$ \sigma=\sum_{k=1}^{n}f(\xi_{k})[\mu(x_{k})-\mu(x_{k-1})] $$ 如果当 $\lambda=\max_{k}(x_{k+1}-x_{k})\to{0}$ 时，和 $\sigma$ 存在有限极限 $I$ 且与分划方式及 $\xi_{k}$ 的选取无关，则称 $f$ 关于 $\mu$ 的 RS 积分存在，记为 $$ I=\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}\mu(x), $$ 或者简记为 $\int_{a}^{b}f \mathrm{d}\mu$

定理 7.1：设 $\mu$ 为 $[a,b]$ 上的增函数，$f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 关于 $\mu$ 的 $RS$ 积分存在
- 引理 7.1：设 $\mu_{1},\mu_{2}$ 均为增函数，且对任何区间 $[\alpha,\beta]$ ，有 $\mu_{1}(\beta)-\mu_{1}(\alpha)\leq \mu_{2}(\beta)-\mu_{2}(\alpha)$，则有 $\mathscr{M}{\mu{2}}\subset \mathscr{M}{\mu{1}}$
- 引理 7.2：设 $\mu_{1},\mu_{2}$ 均为增函数，则 $E\subset \mathscr{M}{\mu{1}+\mu_{2}}$ 的充分必要条件是 $E\in \mathscr{M}{\mu{1}}\cap \mathscr{M}{\mu{2}}$
- 引理 7.3：设 $\mu_{1},\mu_{2}$ 为有界增函数，且对任意区间 $(\alpha,\beta)$ ，有 $\mu_{1}(\beta)-\mu_{1}(\alpha)\leq \mu_{2}(\beta)-\mu_{2}(\alpha)$，则当 $f$ 关于 $\mu_{2}$ 为 LS 可积时，$f$ 关于 $\mu_{1}$ 也为 LS 可积。
- 引理 7.4：设 $\mu_{1},\mu_{2}$ 均为有界增函数，若 $f\in L_{\mu_{1}}\cap L_{\mu_{2}}$ ，则 $f\in L_{\mu_{1}+\mu_{2}}$，且 $\int_{E} f\mathrm{d}(\mu_{1}+\mu_{2})=\int_{E} f\mathrm{d}\mu_{1}+\int_{E}f\mathrm{d}\mu_{2}$
定理 7.2：设 $\mu$ 为 $[a,b]$ 上的增函数，则
- 关于 $\mu$ RS 可积符合线性性：$\int_{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\mathrm{d}\mu=\alpha \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}\mu+\beta \int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}\mu$
- 关于 $\mu$ RS 可积对区间可加：$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}\mu=\int_{a}^{c}f(x)\mathrm{d}\mu+\int_{c}^{b}f(x)\mathrm{d}\mu,a<c<b$
- 关于 $\mu$ RS 可积符合保号性：若 $f(x)\geq 0$，则 $\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}\mu\geq 0$；
定理 7.3：设 $\mu$ 为 $[a,b]$ 上的增函数，$f$ 在 $[a,b]$ 上有界，$f$ 关于 $\mu$ 的 RS 积分存在时，$f$ 关于 $\mu$ 的 LS 积分也存在，且二者相等

函数空间 $L^{p}$

1 $L^{p}$ 空间 · 完备性

$L^{p}$ 空间：设 $p\geq{1}$，若 $\left| f(x) \right|^{p}$ 可积，则称 $f(x)$ 为 $p$ 幂可积。一切 $p$ 幂可积函数所成的集记为 $L^{p}(E)$ 或 $L^{p}$，称为 $L^{p}$ 空间，即 $$ L^{p}={ f:\int_{E}\left| f \right|^{p}\mathrm{d}m<\infty } $$

相伴数：设 $p>1$，$q$ 满足 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，则称 $q$ 为 $p$ 的 相伴数。如果 $p=1$，则 $q=\infty$。

[!note] 本性有界函数空间当 $p,q$ 中有一个 $1$，而另一个为 $\infty$ 时，我们就遇到了本性有界函数空间 $L^{\infty}$。

范数：在空间 $L^{p}$ 中引进记号 $||f||{p}=\left{ \int{E}\left| f \right|^{p}\mathrm{d}m \right}^{\frac{1}{p}}$，称为 $f$ 的 $p$ 范数。特别地，当 $p=2$ 时，定理 1.2 的不等式称为施瓦茨不等式。范数公理：

非负性，$||f||_{p}=0\iff f\sim 0$
齐次性，$||\alpha f||{p}=|\alpha|||f||{p}$
三角不等式，$||f+g||{p}\leq ||f||{p}+||g||{p}$ 强收敛：设 $f,f{n}\in L^{p},n \in \mathbb{N}$，如果当 $n\to \infty$ 时，$||f_{n}-f||{p}\to 0$，则称 ${ f{n} }$ 强收敛于 $f$ 或 ${ f_{n} }$ 依范数收敛于 $f$，称 $f$ 为 ${ f_{n} }$ 的强极限，简记为 $f_{n} \overset{\text{强}}\to f$。根据三角不等式，强收敛一定有范数列收敛。

基本列：设 ${ f_{n} }{n \in \mathbb{N}}$ 是 $L^{p}$ 中的元列，如果当 $m,n\to \infty$ 时，有 $||f{m}-f_{n}||{p}\to 0$ ，则称 ${ f{n} }$ 为 $L^{p}$ 中的基本列。完备：$L^{p}$ 空间的任何基本列必定有强极限，而且极限元在 $L^{p}$ 中，所以空间 $L^{p}$ 是完备的。

定理 1.1： $L^{p}$ 空间是线性空间
定理 1.2（赫尔德不等式）：设 $p,q$ 互为相伴数，$f\in L^{p},g\in L^{q}$，则 $fg$ 可积，且 $$\int_{E}\left| fg \right|\mathrm{d}m\leq \left( \int_{E}\left| f \right|^{p}\mathrm{d}m \right)^{\frac{1}{p}}\left( \int_{E}\left| g \right|^{q}\mathrm{d}m \right)^{\frac{1}{q}}$$
定理 1.3（闵可夫斯基不等式）：设 $p\geq 1$，$f,g\in L^{p}$，则 $f+g\in L^{p}$，且 $$||f+g||{p}\leq ||f||{p}+||g||_{p}$$
定理 1.4：基本列必强收敛

2 $L^{p}$ 空间的可分性

稠密：设 $A$ 是 $L^{p}$ 的一个子类。若对任一 $f\in L^{p}$ ，都存在元列 ${ g_{n} }\subset A$ 使得 $g_{n}\overset{\text{强}}\to f$，则称 $A$ 在 $L^{p}$ 中稠密。如果存在可列子类 $A$ ，使得 $A$ 在 $L^{p}$ 中稠密，则称 $L^{p}$ 是可分的。简单函数类 $S$：其中每个元形如 $$ \varphi (x)=\sum_{k=1}^{m} r_{k}\chi_{e_{k}}(x), $$ 这里 $e_{k}=(a_{k},b_{k})$ 等为开区间且互不相交，端点 $a_{k},b_{k}$ 以及 $r_{k}$ 均为有理数。

线性算子：$C=C[a,b]$ 表示区间 $[a,b]$ 上一切连续函数的类。称映射 $L: C\to C$ 为 $C$ 中线性算子，如果对任意 $f,g\in C$ 以及任意标量 $\alpha,\beta$，都有 $$ L(\alpha f+\beta g)=\alpha L(f)+\beta L(g). $$ 若 $f\geq 0\implies L(f)\geq_{0}$，则称 $L$ 为正算子。若对每个 $f\in C$，$L(f)$ 恒为多项式，则称 $L$ 为多项式算子。伯恩斯坦多项式：$C=C[0,1]$ ，则线性算子 $$ B_{n}(f;x)=\sum_{k=0}^{n} f( \frac{k}{n} )\binom{n}{k}x^{k}(1-x)^{n-k},0\leq x \leq 1 $$ 称为 $f$ 的伯恩斯坦多项式

弱收敛：设 ${ f_{n} }\subset L^{p}$，若存在 $f\in L^{p}$，使得对于每个 $g\in L^{q}$ 都有 $$ \lim_{ n \to \infty } \int_{E}f_{n}g\mathrm{d}m=\int_{E}fg\mathrm{d}m, $$ 则称 ${ f_{n} }$ 弱收敛于 $f$，记为 $f_{n}\overset{\text{弱}}\to f$。其中 $q$ 为 $p$ 的相伴数。强收敛一定弱收敛，但是弱收敛未必强收敛，可以利用傅里叶级数中的黎曼勒贝格引理证明。

内积空间：$L^{p}$ 在 $p=2$ 时有很多有趣的性质，比如可以在 $L^{2}(E)$ 引入内积 $$ (f,g)=\int_{E}f\bar{g}\mathrm{d}m, $$ 这里 $\bar{g}$ 表示的复共轭。这样 $L^{2}(E)$ 就成为一个复内积空间。还可以考察规范正交系 ${ \omega {n} }{n \in \mathbb{N}}$ ，即满足条件 $$ (\omega_{k},\omega_{j})=\delta_{kj}. $$ 对于 $L^{2}(-\pi,\pi)$ 则 $\frac{1}{\sqrt{ 2\pi }},\frac{1}{\sqrt{ \pi }}\cos nx,\frac{1}{\sqrt{ \pi }}\sin nx(n=1,2,\cdots)$ 构成规范正交系，我们称之为三角系。对于 $L^{2}(0,1)$，令 $$ \varphi {n} (x)= \operatorname{sgn}(x){ \sin(2^{n+1}\pi x) }, n \in \mathbb{N} $$ 并规定函数不连续点处右极限为其函数值，则可以定义**沃尔什函数系 $w{k}(x)$**

定理 2.1：设 $E$ 是有界可测集，则 $L^{p}(E),p\geq 1$ 是可分的
- 引理 2.1：设 $f\in L^{p}(E)$，则对任一 $\varepsilon>0$，都存在一个有界可测函数 $g(x)$，使得 $||f-g||_{p}<\varepsilon$
- 引理 2.2：设 $E$ 是有界可测集，$g$ 是 $E$ 上有界可测函数，则对任一 $\varepsilon>0$，都存在一个简单函数 $\varphi(x)$，使得 $||g-\varphi||_{p}<\varepsilon$
- 引理 2.3：设 $\varphi (x)$ 是有界可测集 $E$ 上的简单函数，则对任一 $\varepsilon>0$，都存在一个简单函数 $s(x)\in S$，它在 $E$ 上的限制 $s_{0}(x)$ 适合 $||\varphi-s_{0}||_{p}<\varepsilon$
定理 2.2：设 ${ L_{n}(f;x) }{n \in \mathbb{N}}$ 是 $C[a,b]$ 中的线性算子列，且满足：对每个 $\alpha{i}(x)=x^{i}$ ，$L_{n}(\alpha_{i};x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $\alpha_{i}(x)$，$i=0,1,2,\cdots$，则对每个 $f\in C[a,b]$，都有 $L_{n}(f;x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)$。
- 推论 1：对任何 $f \in C[0,q]$，伯恩斯坦多项式列一致收敛于 $f(x)$
- 推论 2（魏尔斯特拉斯逼近定理）：对任何 $f \in C[a,b]$ 和任一 $\varepsilon>0$，都存在一个多项式 $P(x)$，使得 $|f(x)-P(x)|<\varepsilon,x\in [a,b]$

3 傅里叶变换概要

傅里叶级数：设 $f(x)$ 是 $(-\pi,\pi)$ 上的可积函数，可以由 $$ f(x)\sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx) $$ 给出其傅里叶级数。另外，可以利用欧拉公式给出 $$ f(x)\sim \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}e^{ikx}. $$ 其中，$c_{0}=\frac{a_{0}}{2}, c_{k}=\frac{a_{k}-ib_{k}}{2},c_{-k}=\frac{a_{k}+ib_{k}}{2},k=1,2,\cdots$。当 $f(x)$ 为复函数时，系数由 $$ c_{k} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}\mathrm{d}x,k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots $$ 给出。傅里叶变换：离散情形给出了级数，我们还可以考虑连续情形，引进积分 $$ \hat{f}(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-itx}\mathrm{d}x, $$ 称为 $f$ 依 $L^{1}$ 意义的傅里叶变换，或称可积函数 $f$ 的傅里叶变换。

帕塞瓦尔公式：对于 $f\in L^{2}$， $$ \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^{2}\mathrm{d}x=2\pi \int_{-\infty}^{\infty}|\hat{f}(t)|^{2}\mathrm{d}t $$ 卷积：设 $f,g$ 同属于 $L^{1}$ 或 $L^{2}$ ，定义它们的卷积为 $$ (f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x-t)g(t)\mathrm{d}t $$

定理 3.1：设 $f,g\in L^{1}, a,b,h,\lambda \in \mathbb{R}$。有
- 线性性：即 $\hat{(af+bg)}=a \hat{f}+ b \hat{g}$，且 $||\hat{f}||{\infty}\leq \frac{1}{2\pi}||f||{1}$
- 平移：$\hat{f}(t+h)=e^{iht}\hat{f}(t)$
- 函数 $\varphi (x)=f(x) e^{ ihx }$ 的傅里叶变换为 $\hat{\varphi}(t)=\hat{f}(t-h)$
- 伸缩：设 $\varphi (x)=f(\lambda x)$，则 $\hat{\varphi}(t)=\frac{1}{|\lambda|}\hat{f}(\frac{t}{\left| \lambda \right|})$
定理 3.2：设 $f\in L^{1}$ ，则 $f$ 的傅里叶变换处处有限，并且是有界连续函数
定理 3.3：设 $f\in L^{1}$ ，则 $\hat{f}\to {0},t \to\pm \infty$
定理 3.4：设 $f\in L^{1}(-\infty,\infty)$ 则 $\lim_{ \rho \to \infty }\int_{-\infty}^{\infty}e^{ -t^{2}/\rho^{2} }\hat{f}(t)e^{ itx }\mathrm{d}t=f(t),\mathrm{a.e.}$
- 引理 3.1：设 $f\in L^{1}(-\infty,\infty)$ ，则对任一 $\rho>0$，则 $\lim_{ h \to 0 }\int_{0}^{h}[f(x+t)-f(x)]\rho e^{ -\rho^{2}t^{2} }\mathrm{d}t=0,\mathrm{a.e.}$
- 推论：设 $f,\hat{f}\in L^{1}(-\infty,\infty)$ ，则有反演公式 $f(x)=\int_{\infty}^{\infty}\hat{f}(t)e^{ itx }\mathrm{d}t,\mathrm{a.e.}$
定理 3.5：设 $x^{r}f(x)$ 在 $(-\infty,\infty)$ 上可积，则 $\hat{f}(t)$ 为 $r$ 阶可微，且有等式 $\frac{\mathrm{d}^{r}}{\mathrm{d}t^{r}}\hat{f}(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}(-ix)^{r}f(x)e^{-itx}\mathrm{d}x$
定理 3.6：设 $f(x)\in L^{2}$ ，若 $\hat{f}(t)$ 是 $f$ 依 $L^{2}$ 意义的傅里叶变换，则 $\hat{f}\in L^{2}$ 且帕塞瓦尔公式成立
- 引理 3.2：设 $\chi=\chi_{(\alpha,\beta)}(x)$ 是区间 $(\alpha,\beta)$ 的特征函数， $\hat{\chi}$ 是它的傅里叶变换，则 $\lim_{ N \to \infty }\int_{-N}^{N}\hat{\chi}e^{ itx }\mathrm{d}t=\chi (x),\mathrm{a.e.}$
- 推论：设 $f,g\in L^{2}$ 则 $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\bar{g}(x)\mathrm{d}x= 2\pi \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(t)\bar{\hat{g}}(t)\mathrm{d}t$
定理 3.7：设 $f\in L^{2}$ ，$\hat{f}$ 是 $f$ 依 $L^{2}$ 意义的傅里叶变换，则 $\hat{f}\in L^{2}$ 且成立反演公式
- $\hat{f}(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left{ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(u) \frac{e^{ -itu }-1}{-iu}\mathrm{d}u \right},\mathrm{a.e.}$
- $f(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left{ \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(t) \frac{e^{ itx }-1}{it}\mathrm{d}t \right},\mathrm{a.e.}$
- 定理 3.6 与定理 3.7 通常称为普朗席奈定理
定理 3.8：设 $f(x)$ 属于 $L^{1}$ 或者 $L^{2}$ ， $\varphi (x)=f(x+a)$ ，则 $\hat{\varphi}(x)=e^{ ita }\hat{f}(t)$
定理 3.9：设 $f,g\in L^{1}$ 时有 $\hat{(fg)}(t)= 2\pi \hat{f}(t) \hat{g}(t)$，当 $f,g\in L^{2}$ 时，卷积 $fg$ 存在且属于 $L^{1}$，且 $(f*g)(t)=2 \pi \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(u)\hat{g}(u)e^{ itu }\mathrm{d}u$。

金融中的数学方法

Tue, 12 Aug 2025 20:00:00 GMT

随机过程引论

1 随机过程

定义: 一个随机过程 ${X(t), t \in T}$ 是一个由时间 $t$ 索引的随机变量的集合。
- 时间集 $T$: 可以是离散的（如 $T={0,1,2,\dots}$）或连续的（如 $T=[0,\infty)$）。
- 状态空间: 随机变量 $X(t)$ 所有可能取值的集合。
信息流 (Filtration):
- 定义：一个 filtration ${\mathcal{F}(t), t \ge 0}$ 是一个递增的 $\sigma$ -代数族，即对所有 $s \le t$，都有 $\mathcal{F}(s) \subseteq \mathcal{F}(t)$。
- 直观理解：$\mathcal{F}(t)$ 代表了直到时间 $t$ 为止可获得的所有信息。
适应过程 (Adapted Process):
- 定义：一个随机过程 ${X(t)}$ 如果对于所有 $t$，随机变量 $X(t)$ 都是 $\mathcal{F}(t)$ -可测的，那么我们称该过程是适应于 filtration ${\mathcal{F}(t)}$ 的。
- 直观理解：在时间 $t$ 的过程状态 $X(t)$ 是基于当时已知的信息 $\mathcal{F}(t)$ 的。
理想的性质
- Stationary：有限时间点的分布具有平移不变性
  $$(X(t_{1}), X(t_{2}), \cdots , X(t_{n})) \overset{d}{=} (X(t_{1}+h), X(t_{2}+h), \cdots , X(t_{n}+h))$$
- Stationary increments：相同时间内增量分布相同 $$X(t)-X(s) \overset{d}{=} X(t+h)-X(s+h)$$
- Independent increments：增量之间彼此独立

2 马尔可夫过程 (Markov Process)

马尔可夫性质: 给定“现在”的信息，“将来”与“过去”相互独立。
- 形式化定义: 对于所有 $s, t \ge 0$ 和任何集合 $A$，有
  $$P(X(t+s) \in A \mid \mathcal{F}(t)) = P(X(t+s) \in A \mid X(t))$$
转移概率:
- 离散时间转移概率：
  $$\mathbb{P}(X_{n+1}=a \mid X_{n}=b, \cdots, X_{n-1}=c, \cdots) = \mathbb{P}(X_{n+1}=a \mid X_{n}=b)$$
- 连续时间转移密度：
  $$p(t,y; s,x) = \frac{d}{dy} \mathbb{P}(X(t) \le y \mid X(s)=x)$$

2.1 随机过程实例

简单对称随机游走 (Simple Symmetric Random Walk, SRW):
- 定义：$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$，其中 $X_i$ 是独立同分布 (i.i.d.) 的随机变量，且 $P(X_i = 1) = P(X_i = -1) = \frac{1}{2}$。
- 性质：It is not stationary but has independent and stationary increments.
- 概率性质：
  - 转移概率 $$\mathbb{P}(W_{n+1} = s \mid W_n = r) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & \text{if } s = r+1,\\frac{1}{2}, & \text{if } s = r-1\end{cases}$$
  - 条件期望
    $$\mathbb{E}(W_n \mid \mathcal{F}(m)) = W_m$$
  - 条件二阶矩 $$\mathbb{E}(W_n^{2} \mid \mathcal{F}(m)) = W_m^{2} + (n-m)$$
泊松过程 (Poisson Process):
- 定义：一个计数过程 ${N(t), t \ge 0}$，其定义依赖于以下几个关键特性：
  1. $N(0) = 0$。
  2. 独立增量: 在不重叠的时间区间内，过程的增量是相互独立的。
  3. 平稳增量: $N(t+s) - N(s)$ 的分布仅依赖于时间差 $t$，与起始时间 $s$ 无关。
  4. 概率质量函数： $$\mathbb{P}(N(t+\Delta t) - N(t) = k) = \frac{\lambda^{k} (\Delta t)^{k}}{k!} e^{-\lambda \Delta t}$$
- 推论：
  - 实际上是指数分布间隔下的计数个数。
  - 条件期望：
    $$\mathbb{E}(N(t+\Delta t) - N(t)) = \lambda \Delta t$$

3 鞅

动机: 鞅是“公平博弈”的数学模型。
公平博弈: 对未来任何时刻财富的最好预测就是当前的财富值。
鞅性质: 对于所有 s≤t，有 $E[M(t)∣F(s)]=M(s)$。
下鞅 (Submartingale) / 上鞅 (Supermartingale):
- 如果鞅性质中的等号变为 "≥"，则为下鞅（有利可图的游戏）。
- 如果等号变为 "≤"，则为上鞅（不利的游戏）。

3.1 鞅的实例

鞅投注策略: 其实是无利可图的，可以分为两种情况讨论其鞅性质
- 如果赢了，那么 $\mathbb{P}(V_{n+1}=1|V_{n}=1)=1$
- 如果没赢，那么 $\mathbb{P}(V_{n+1}=1|V_{n}=-(2^{n}-1))=1/2,\mathbb{P}(V_{n+1}=-(2^{n+1}-1))|V_{n}=-(2^{n}-1))=1/2$
- 所以实际上是符合鞅性质的
简单随机游走: 对于 $S_{n}=∑{i=1}^{n}X{i}$， ${S_{n}}$ 是一个鞅，${S_{n}^{2}-n}$ 也是一个鞅
鞅变换 (Martingale Transform):
- ${\theta_{n}}$ 是 $\mathcal{F}(n-1)$ -measurable，若给定一个鞅过程 ${M_{n}}$，那么可以构造 $$T_{0}=0, T_{n}= \sum\limits_{k=1}^{n}\theta_{k}(M_{k}-M_{k-1})$$
- ${T_{n}}$ 也是一个鞅过程，被称为鞅变换
补偿泊松过程 (Compensated Poisson Process):
- 泊松过程 $N(t)$ 的期望是 $\mathbb{E}[N(t)]=λt$。
- 补偿后的过程 $M(t)=N(t)−λt$ 是一个鞅。

3.2 停时

停时 (Stopping Time):
- 定义：一个随机变量 τ 被称为停止时间，如果对于所有 t，“决定在 τ 时刻停止”的事件 {τ≤t} 仅依赖于到 t 时刻为止的信息，即 ${τ≤t}∈F(t)$。
- 例子：达到某个价格水平的首次穿越时间。
可选抽样定理 (Optional Sampling Theorem):
- 停止过程（Stopped process）$X^{\tau}(t)=X(\min (t, \tau))$，若 $X(t)$ 是一个鞅过程，那么 $X^{\tau}(t)$ 也是一个鞅过程
- 定理：若 ${M_{n}}$ 是一个鞅过程，在某些条件下，$\mathbb{E}M_{\tau}=\mathbb{E}M_{0}$
- 常见的几种条件：
  - 停时有界
  - 停时的期望有界，而且 ${M_{n}}$ 右连续且 $\sup_{t<\tau}\mathbb{E}|M_{t}|<\infty$
  - $M_{n}$ 有界
应用：赌徒破产问题:
- 由于此时并不满足那几种条件，所以不能直接使用可选抽样定理，但是可以使用停时鞅来代替求解 $$\begin{aligned}&\mathbb{E}W_{r}^{\tau}=\mathbb{E}W_{0}^{\tau}=\mathbb{E}W_{0}\ &\lim_{t\to\infty}\mathbb{E}W_{r}^{\tau}=\mathbb{E}\lim_{r\to\infty}W_{r}^\tau=\mathbb{E}W_\tau \end{aligned}$$
- 于是就可以得到 $\mathbb{E}W_\tau=\mathbb{E}W_{0}=0$，所以给出结果 $P(W_{\tau}=m)=\frac{n}{n+m}$

4 二叉树定价

定价方法：复制，使用已知价格的证券对衍生品定价
选择二叉树的原因
- 尽管简单，但是使用的无套利方法是普适的
- 多期二叉树近似于连续 BSM 模型
- 多期二叉树提供了一个强大的数量定价工具
二叉树模型，假设上涨幅度为 $u$，下跌幅度为 $d$，无风险利率为 $r$，然后使用期权和股票的复制组合构造无套利组合，计算得到股票份额 $\Delta_0$ 和期权价格 $X_{0}$ $$\Delta_{0}= \frac{V_{1}(H)-V_{1}(T)}{S_{1}(H)-S_{1}(T)}, X_{0}=\frac{1}{1 + r}\left[ \frac{1 + r - d}{u - d} V_1(H) + \frac{u - (1 + r)}{u - d} V_1(T) \right]$$
由此还可以定义一个风险中性概率 $p$，即 $$p=\frac{(1 + r) - d}{u - d}$$
于是给出了风险中性测度 $\mathbb{Q}$ 的定义：是满足 $S_{0}(1+r) = \mathbb{E}^\mathbb{Q}(S_{1}|\mathcal{F_{0}})$，由此还可以得到 $r = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left(\frac{S_{1}-S_{0}}{S_{0}}|\mathcal{F_0}\right)$
多期定价实际上也可以用风险中性测度（鞅方法定价）：也就是说，在风险中性测度 $\mathbb{Q}$ 下，股票的价格过程 ${\frac{S_{n}}{(1+r)^{n}}}$ 是一个鞅过程，由无套利方法定价的话，得到的期权的价格也是一个鞅过程
概率测度变换：定义 Radon-Nikodym 导数 $Z(\omega) = \frac{\mathbb{Q}(\omega)}{\mathbb{P}(\omega)}$，显然，可以得到以下结论：$\mathbb{E}^{\mathbb{P}}Z = 1, \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}Y=\mathbb{E}^\mathbb{P}YZ$
套利的定义：一个自融资证券组合 $X_n$ 满足 $X_{0}=0$ 且 $\exists N'<\infty ~\text{s.t.}~ \mathbb{P}(X_{N'} \ge 0)=1, \mathbb{P}(X_{N'}>0)>0$
状态价格：
- 状态价格密度 $\zeta(\omega)=\frac{1}{(1+r)^{N}} \frac{\mathbb{Q}(\omega)}{\mathbb{P}(\omega)}$
- 状态价格 $\zeta(\omega)\mathbb{P}(\omega)$
- Arrow-Debreu 证券：贴现值为 $A_{N}^{\bar{\omega}}(\omega)= \mathbb{1}_{\omega=\bar{\omega}}$ 的证券
- RN 导数过程：$Z_{n}=\mathbb{E}(Z|\mathcal{F}_{n})$ ，是一个鞅过程
- 状态价格密度过程：$\zeta_{n}=\frac{Z_{n}}{(1+r)^{n}}$，也是一个鞅过程
- 在真实概率测度下，${\zeta_nV_n}$ 是一个鞅过程，我们有 $$V_{n}=\frac{1}{\zeta_{n}}\mathbb{E}(\zeta_{N}V_{N}|\mathcal{F}_{n})$$
奇异期权（Exotic Options）：期权的价值可能是 path-dependent 的，即它的价值取决于标的资产价格的路径，而不仅仅是终点价格。
- lookback options（回望期权），它的价值取决于标的资产在整个期权有效期内的最高或最低价格；call 是 $V_{N}=S_{N}-\min_{0\le n\le N} S_{n}$，put 是 $V_{N}=\max_{0\le n\le N} S_{n}-S_{N}$；
- Asian options（亚洲期权），它的价值取决于标的资产价格在期权有效期内的平均价格；call 是 $V_{N}=\max(\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N} S_{n}-K,0)$，put 是 $V_{N}=\max(K-\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N} S_{n},0)$；
- Barrier options（障碍期权），它的价值取决于标的资产价格是否触及某个预设的障碍水平。
- American options（美式期权），它的价值取决于标的资产价格在期权有效期内的任何时刻。Backward induction 方法可以用来计算美式期权的价格。$V_{n}=\begin{cases}\max {g(S_{n}), v_{n}^{c}(S_{n})} &1\le n\le N-1\v_N(S_N)=g(S_N)&n=N\end{cases}$ 其中， $g(S_{n})$ 是行使期权的价值，$v_{n}^{c}(S_{n})$ 是继续持有期权的价值。
美式期权的超复制策略（super-replication）：在任何情况下都能保证期权的价值不低于其理论价值的策略。可以通过构造一个包含标的资产和无风险资产的自融资组合来实现。
- $\Delta_{n} = \frac{v_{n+1}(S_{n}u)-v_{n+1}(S_{n}d)}{S_{n}(u-d)}$
- $X_{n+1}= \Delta_{n}S_{n+1} + (1+r)(X_{n}-\Delta_{n}S_{n})$，其中 $X_{n}$ 是自融资策略的价值
- 然后通过提前行权的额外价值 $C_{n}=v_{n}(S_{n})- \frac{1}{1+r}[\tilde{p}v_{n+1}(S_{n}u)+\tilde{q}v_{n+1}(S_{n}d)]$ ，我们可以得到一个递推关系 $X_{n+1} - V_{n+1} = (1+r)(X_{n} - V_{n} + C_{n})$，其中 $\tilde{p}$ 和 $\tilde{q}$ 是风险中性概率
美式期权的无套利定价：美式期权的“公平价格” 就是最小的初始财富，能让一个自融资组合在任意时刻都覆盖期权可能被行权的价值（super-replication）。

[!note] No Early Exercise (NEE) 定理如果股票不分红，那么美式期权的价值等于对应的欧式期权的价值。也就是说，如果股票不分红，那么在任何时刻都没有必要提前行使期权。因为 ${\frac{g(S_{n})}{(1+r)^{n}}}$ 在风险中性测度下是一个 submartingale，其中 $g(S_{n})=\max {S_{n}-K, 0}$，这一点可以用 Jensen 不等式来证明。

美式期权定价的鞅方法：$\tau = \min {n: V_{n} \ge g(S_{n})}$，即最小的时刻使得期权价值大于等于行使价值。然后可以使用停时鞅来求解美式期权的价格：$V_{0} = \max_{\tau \in \Tau_{0}}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[g(\frac{S_{\tau}}{(1+r)^{\tau}})]$

5 布朗运动

布朗运动 (Brownian Motion): 随机过程 ${W(t)}$ 被称之为一维标准布朗运动，若满足
- $W(0)=0$
- For each $\omega \in \Omega$ , $W(t,\omega)$ 是连续的
- 对任意的 $0 \le s < t$，$W(t)-W(s)$ 服从正态分布 $N(0,t-s)$
- 对任意的 $0 \le s < t$，$W(t)-W(s)$ 与 $W(s)$ 独立
对股价的估计，几何布朗运动更合适 $S(t) = \exp {\sigma W(t)+at}$
从随机游走构造布朗运动
- 考虑对称随机游走：$M_{n}:= \sum\limits_{j=1}^{n}X_{j}$ ，其中 $X_{j}$ 是独立同分布的随机变量，且 $P(X_{j}=1)=P(X_{j}=-1)=\frac{1}{2}$。
- 然后得到加权后的对称随机游走：当 $nt$ 为整数时， $W^{(n)}(t)=\frac{1}{\sqrt{n}}M_{nt}$
  - 当 $n \to \infty$ 时，$W^{(n)}(t)$ 收敛到 $N(0,t)$。
- 当 $nt$ 不是整数时，可以通过线性插值来定义 $W^{(n)}(t)$。
  - $W^{(n)}(t) = \frac{M_{\lfloor nt \rfloor}}{\sqrt{n}} + \left( \frac{M_{\lfloor nt \rfloor + 1}}{\sqrt{n}} - \frac{M_{\lfloor nt \rfloor}}{\sqrt{n}} \right) (nt - \lfloor nt \rfloor)$
高斯过程：对于任意的 $t_1, t_2, \ldots, t_n$，$W(t_1), W(t_2), \ldots, W(t_n)$ 服从多元正态分布；布朗运动是一个高斯过程。
布朗运动是强马尔可夫过程：
- 给定有限停时 $\tau$，$\mathbb{E}(f(W(\tau + t)) \mid \mathcal{F}(\tau)) = \mathbb{E}(f(W(\tau + t)) \mid W(\tau))$
- 推论：布朗运动在停时之后刷新
一些基本性质：
- 时间平移不变性：$B(t)=W(t+s) - W(s)$ 是 BM，与 $s$ 无关
- 尺度不变性：$B(t) = \frac{1}{\sqrt{c}}W(ct)$ 是 BM
- 对称不变性：$B(t) = -W(t)$ 是 BM
- 时间反演不变性：：$B(t) = W(T)-W(T-t)$ 是 BM
路径性质：
- 无界：$\mathbb{P} \left( \sup_{0 \leq t < \infty} W(t) = \infty \right) = 1, ; \mathbb{P} \left( \inf_{0 \leq t < \infty} W(t) = -\infty \right) = 1$
- 常返：布朗运动会不断“回到”之前到过的位置，甚至在某点附近无限次经过。
- 几乎每一条布朗运动路径在任意时刻 $t$ 都没有导数。
变差：
- 一阶变差：对于过程 $S_{n}$ ，时间 $k$ 前的一阶变差定义为 $FV_{k}^{S} = \sum\limits_{j=1}^{k}|S_{j}-S_{j-1}|$。
- 二阶变差：对于过程 $S_{n}$ ，时间 $k$ 前的二阶变差定义为 $QV_{k}^{S} = \sum\limits_{j=1}^{k}(S_{j}-S_{j-1})^{2}$。
- 对于随机游走，一阶变差为 $FV^{M}{k}=k$，二阶变差为 $QV{k}^{M}=k$。
- 对于加权随机游走，二阶变差为 $FV^{W^{(n)}}(T)=\sqrt{n}T$，一阶变差为 $QV^{W^{(n)}}(T)=T$。
- 在概率意义下，布朗运动的二阶变差为 $QV_{T}^{W}=T$，一阶变差为 $FV_{T}^{W}=\infty$，更高阶变差为 $0$。
- 由变差的性质，我们还可以证明布朗运动的路径几乎处处不可微，同时给出非正式的记号 $(\mathrm{d}W(t))^{2}=\mathrm{d}t$
FPT (首次通过时间)：对于过程 $Y(t)$ ，定义 $\tau_{m} = \inf {t \geq 0 : Y(t) = m}$ 为首次通过时间。
- 计算 FPT 分布的方法：反射原理或者拉普拉斯变换
- 反射原理：将 $\tau_{m}$ 之后的路径翻转到水平线以下，得到的路径 $\bar{W}(t) =\begin{cases} W(t), & 0 \leq t \leq \tau_m \2m - W(t), & t > \tau_m \end{cases}$ 仍然是一个布朗运动。所以我们可以得到 $\mathbb{P}(\tau_{m} \leq t) = 2\mathbb{P}(W(t) \geq m)$。 ^reflect-theorem
- 类似的，我们也可以用他来分析历史最大值的分布：记 $M(t) = \max_{0\le s \le t}W(s)$ 为历史最大值，我们可以得到，$\mathbb{P}(M(t)\ge m, W(t)\le w)=\mathbb{P}(W(t)\ge 2m-w)$，于是我们还可以得到 $(M(t), W(t))$ 的联合分布密度：当 $m\ge 0, w\le m$ 时， $f_{M(t), W(t)} (m,w )=\frac{\partial^{2}}{\partial m \partial w}\mathbb{P}(M(t)\le m, W(t)\le w) = \frac{\partial^{2}}{\partial m \partial w}[\mathbb{P}(W(t)\le w)-\mathbb{P}(M(t)\ge m, W(t)\le w)]$
- Laplace 变换：只需要估计 $\mathbb{E}e^{\theta \tau_{m}}$ 即可，这时候可以使用指数鞅 $Z(t) :=\exp(\sigma W(t)- \frac{\sigma^{2}}{2}t)$ 。利用 $\mathbb{E}Z(\tau_{m}) = \mathbb{E} Z(0)$ ，可以得到 $\mathbb{E}\exp( -\frac{\sigma^{2}}{2}\tau_{m})=\exp(-\sigma m)$ （严谨证明需要用到停时鞅及极限的可交换性）
布朗运动衍生出的随机过程
- 带有漂移的布朗运动：$X(t) = \mu t + \sigma W(t)$，其中 $\mu$ 是漂移项，$\sigma$ 是波动率。
- 几何布朗运动：$S(t) =\exp\left(\mu t + \sigma W(t)\right)$，其中 $\mu$ 是期望收益率，$\sigma$ 是波动率。
- 布朗桥：$B(t) = W(t) - t W(1)$，其中 $W(t)$ 是布朗运动。布朗桥是一个条件于 $W(1)=0$ 的布朗运动。
应用实例：Merton 的违约
- 假设公司的总价值 $V(t) = S(t)+B(t)$ ，其中 $S(t)$ 是公司的股价，$B(t)$ 是公司的债务，债务面值为 K 且在 T 到期。
- 到期时，$B(T) = \min {K, V(T)}, S(T) = \max {0, V(T)-K}$
- 如果假设公司价值服从几何布朗运动 $V(t) = V(0) \exp\left(\mu t + \sigma W(t)\right)$，那么可以得到违约概率为 $\mathbb{P}(V(T)<K)=\mathbb{P}(W(T)<\frac{\log(\frac{K}{V(0)})-\mu T}{\sigma \sqrt{T}})$
- FPT：假设违约阈值为 D， $\tau= \inf {t > 0 : V(t) < D}$，可以得到 $\tau= \inf {t > 0 : W (t) + \frac{\mu}{\sigma}t = \frac{1}{ \sigma}\log \frac{D}{V(0)}}$.
多维布朗运动
- 标准形式：d 维运动 $W(t) = (W_{1}(t), W_{2}(t), \ldots, W_{d}(t))$ 满足
  - $W(0) = 0$
  - 对任意的 $i \neq j$，$W_{i}(t)$ 和 $W_{j}(t)$ 独立，且 $W (t) - W(s)$ 服从正态分布 $N(0, (t-s)I_d)$
  - 每个 $W_{i}(t)$ 都是连续的
- 相关形式：只需要将协方差矩阵 $\Sigma$ 替换单位矩阵，得到的过程仍然是一个布朗运动。
  - Cholesky 分解：总能找到一个标准正交矩阵 $A$，使得 $\Sigma = A A^T$，然后定义 $W(t) = A W'(t)$，其中 $W'(t)$ 是标准布朗运动。

6 随机微积分

随机微积分：定义何为 $I(t)=\int^{t}_{0}\Delta(u)\mathrm{d}W(u)$
- 其中 $\Delta(u)$ 是一个过程，$W(u)$ 是布朗运动。
- 难点在于布朗运动的路径几乎处处不可微，而且几乎处处没有有界变差
简单过程：${\Delta(t)}$ on $[0,T]$ 是一个简单过程，如果它可以表示为有限个分段常数的和，即 $\Delta(t) = \sum_{i=1}^{n-1} \Delta(t_{i})\mathbb{1}{[t{i}, t_{i+1})}(t)$，其中 $\Delta(t_{i})$ 是常数，$t_0 = 0 < t_1 < \ldots < t_n = T$。
- 简单过程满足 $\mathbb{E}\int^{T}_{0} \Delta^{2}(u) \mathrm{d}u < \infty$
伊藤积分（Itô Integral）：对于简单过程 $\Delta(t)$，定义伊藤积分为 $I(t) = \int_{0}^{T}\Delta(u)\mathrm{d}W(u) = \sum\limits_{j=0}^{k-1}\Delta(t_{j})[W(t_{j+1})-W(t_{j})] + \Delta(t_{k})(W(t)-W(t_{k}))$
- 其中 $W(t)$ 是布朗运动。
对于简单过程的伊藤积分的性质
- 连续性：$I(t)$ 是连续的。
- 适应性：$I(t)$ 是适应于 $\mathcal{F}(t)$ 的。
- 线性性：两个简单过程的伊藤积分满足线性性，即 $\int_{0}^{T}(\alpha \Delta_{1}(u) + \beta \Delta_{2}(u))\mathrm{d}W(u) = \alpha I_{1}(T) + \beta I_{2}(T)$，其中 $\alpha, \beta$ 是常数。
- 鞅性质：$I(t)$ 是一个鞅过程，即 $\mathbb{E}[I(t) | \mathcal{F}(s)] = I(s)$ 对于所有 $s \leq t$ 成立。
- 等距公式：$\mathbb{E}I^{2}(t) = \mathbb{E}\int_{0}^{t}\Delta^{2}(u)\mathrm{d}u$
- 二次变差：$I, I = \int_{0}^{t}\Delta^{2}(u)\mathrm{d}(u)$
伊藤公式
- 最简版本：如果 $f$ 是一个二次可微函数，一阶导和二阶导都连续，那么对于布朗运动 $W(t)$，有 $f(W(t)) = f(W(0)) + \int_{0}^{t}f'(W(u))\mathrm{d}W(u) + \frac{1}{2}\int_{0}^{t}f''(W(u))\mathrm{d}u$，或者也可以写成微分形式： $\mathrm{d}f(W(t)) = f'(W(t))\mathrm{d}W(t) + \frac{1}{2}f''(W(t))\mathrm{d}t$。
- 时间版本：如果 $f(t,x)$ 有连续的一阶偏导 $f_{t}, f_{x}$ 和二阶偏导 $f_{xx}$，那么就可以得到 $f(T,W(T)) = f(0,W(0)) + \int_{0}^{T}f_{t}(t,W(t))\mathrm{d}t + \int_{0}^{T}f_{x}(t,W(t))\mathrm{d}W(t) + \frac{1}{2}\int_{0}^{T}f_{xx}(t,W(t))\mathrm{d}t$，或者也可以写成微分形式： $\mathrm{d}f(t,W(t)) = f_{t}(t,W(t))\mathrm{d}t + f_{x}(t,W(t))\mathrm{d}W(t) + \frac{1}{2}f_{xx}(t,W(t))\mathrm{d}t$。
伊藤过程的伊藤公式
- 如果 $X(t)$ 是一个伊藤过程，即 $X(t) = X(0) + \int_{0}^{t}\Delta(u)\mathrm{d}W(u) + \int_{0}^{t}\Theta(u)\mathrm{d}u$，其中 $\Delta(u)$ 和 $\Theta(u)$ 是适应于 $\mathcal{F}(u)$ 的过程，且 $\mathbb{E}\int_{0}^{t} \Delta^{2}(u)\mathrm{d}u < \infty$ 且 $\int_{0}^{t}|\Theta(u)|\mathrm{d}u<\infty, \forall t$, 或者写成微分形式 $\mathrm{d}X(t) = \Delta(t)\mathrm{d}W(t) + \Theta(t)\mathrm{d}t$，其中 $\Delta(t)$ 表示波动率，$\Theta(t)$ 表示趋势项。
- 伊藤过程的二阶变差为 $X, X = \int_{0}^{t}\Delta^{2}(u)\mathrm{d}u$。
- 伊藤过程的积分：对于适应过程 $\Gamma(t)$ 和伊藤过程 $X(t)$，其中 $\mathbb{E}\int_{0}^{t}\Gamma^{2}(u)\Delta^{2}(u)\mathrm{d}u<\infty$，定义伊藤积分为 $\int_{0}^{t}\Gamma(u)\mathrm{d}X(u) = \int_{0}^{t}\Gamma(u)\Delta(u)\mathrm{d}W(u) + \int_{0}^{t}\Gamma(u)\Theta(u)\mathrm{d}u$，或者写成微分形式 $\begin{aligned}&\mathrm{d}f(t, X(t))\=& f_{t}(t, X(t))\mathrm{d}t + f_{x}(t, X(t))\mathrm{d}X(t) + \frac{1}{2}f_{xx}(t, X(t))\mathrm{d}X, X \= &f_{t}(t, X(t))\mathrm{d}t + f_{x}(t, X(t))\Delta(t)\mathrm{d}W(t) + f_{x}(t, X(t))\Theta(t)\mathrm{d}(t)+ \frac{1}{2}f_{xx}(t,X(t))\Delta^{2}(t)\mathrm{d}t\end{aligned}$.
伊藤公式的应用
- 假设广义几何布朗运动 $S(t) = S(0)\exp (X (t))$，其中 $X(t)$ 是一个伊藤过程，满足 $\mathrm{d}X(t) = \sigma(t)\mathrm{d}W(t) + (\alpha(t)- \frac{1}{2}\sigma^{2}(t))\mathrm{d}t, X(0)=0$。
- 通过伊藤公式，可以得到 $\mathrm{d}S(t) = \alpha(t)S(t)\mathrm{d}t+\sigma(t)S(t)\mathrm{d}W(t)$
  - 若 $\alpha(t) = \alpha,\sigma(t)=\sigma$，则 $S(t) = S(0)\exp {(\alpha - \frac{1}{2}\sigma^{2})t + \sigma W(t)}$，可以得到 $\frac{\mathrm{d}S(t)}{S(t)}=\alpha \mathrm{d}t+\sigma \mathrm{d}W(t)$ ，这就是 BSM 模型的经典形式。
  - 若 $\alpha(t) = 0$，则 $S(t)$ 是一个鞅，因为 $S(t) = S(0)\exp {\int_{0}^{t}\sigma(s)\mathrm{d}W(s)- \frac{1}{2}\int_{0}^{t}\sigma^{2}(s)\mathrm{d}s}$ 也就是 $S(t)=S(0)+\int_{0}^{t}\sigma(s)S(s)\mathrm{d}W(s)$
确定性被积函数（非随机）的 Itô 积分
- $I(t) = \int_{0}^{t}\Delta(s)\mathrm{d}W(s)$ 的分布是正态分布 $\mathcal{N}(0, \int_{0}^{t}\Delta^{2}(s)\mathrm{d}s)$。
- 求解思路是构建矩母函数 $\mathbb{E}e^{u I(t)}$，然后利用伊藤公式和布朗运动的性质来计算，只需要注意到 $\exp\left {\int_{0}^{t} u \Delta(s)\mathrm{d}W(s)- \frac{1}{2}\int_{0}^{t}(u \Delta(s))^{2}\mathrm{d}s\right}$ 是一个鞅过程。

7 随机微分方程

一维随机微分方程（SDE）：形式为 $\mathrm{d}X(t) = \beta( t,X(t))\mathrm{d}t + \gamma(t, X(t))\mathrm{d}W(t)$，其中 $\mu$ 是漂移项，$\sigma$ 是扩散项或者叫波动项。
- Strong solution（强解） 是在一个给定的概率空间上解随机微分方程（SDE），其中驱动布朗运动 W(t)W(t) 是已知的（给定的）。
- Weak solution（弱解） 是你同时给出一个概率空间 + 一个过程，使得这个过程在这个概率空间上是 SDE 的解。
- 解的存在性和唯一性：如果 $\beta$ 和 $\gamma$ 满足 Lipschitz 条件和线性增长条件，那么 SDE 的强解存在且唯一。
  - Lipschitz 条件：对于任意的 $t$ 和 $x, y$，有 $|\beta(t,x) - \beta(t,y)| + |\gamma(t,x) - \gamma(t,y)| \leq L |x-y|$，其中 $L$ 是 Lipschitz 常数。
  - 线性增长条件：对于任意的 $t$ 和 $x$，有 $|\beta(t,x)| + |\gamma(t,x)| \leq C(1 + |x|)$，其中 $C$ 是常数。
线性 SDE：漂移项满足 $\beta(t,x) = a(t) + b(t)x$，扩散项满足 $\gamma(t,x) = \gamma (t)+\sigma (t) x$
- Example 1: 广义几何布朗运动 $\mathrm{d}S(t) = \alpha (t)S(t)\mathrm{d}t + \sigma(t) S(t)\mathrm{d}W(t)$，其中 $\alpha$ 是漂移项，$\sigma$ 是波动率。可以通过伊藤公式求解这个式子。
  - 当 $\alpha$ 和 $\sigma$ 是常数时，这个方程就是经典的 BSM 公式。
- Example 2: Vasicek Model for Interest Rate $\mathrm{d}R(t)=(\alpha-\beta R(t))\mathrm{d}t+\sigma \mathrm{d}W(t)$。
  - 当 $\alpha=0$ 时，这是一个 Ornstein-Uhlenbeck 过程
  - 可以等价写成 $\mathrm{d}R(t) = \kappa ( \theta-R(t))\mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}W(t)$，其中 $\kappa = \beta$, $\theta = \frac{\alpha}{\beta}$。$\kappa$ 表示均值回复速度，$\theta$ 表示长期均值。
  - 解这个方程可以模仿 ODE 的方法，利用 $\mathrm{d}e^{\kappa t}R(t)=e^{\kappa t}\alpha \mathrm{d}t+e^{\kappa t} \sigma \mathrm{d}W(t)$ ，得到 $R(t) = R(0)e^{-\kappa t} + \theta (1-e^{-\kappa t}) + \sigma \int_{0}^{t} e^{-\kappa (t-s)}\mathrm{d}W(s)$。
  - 再利用 $\int_{0}^{t}e^{\kappa s}\mathrm{d}W(S)\sim \mathcal{N}(0, \int_{0}^{t}e^{2\kappa s}\mathrm{d}s)$，可以得到 $R(t)$ 的分布为 $R (t)) \sim \mathcal{N}(e^{-\kappa t}R(0)+\theta(1-e^{-\kappa t}), \frac{\sigma^{2}}{2\kappa}(1-e^{-2\kappa t}))$。
  - 模型的缺点是它的利率可能会变为负数，优点包括三个方面
    - $\kappa$ 刻画了利率的均值回复速度
    - 长期均值：$\lim_{t \to \infty}\mathbb{E} R(t) = \theta$，即长期均值是 $\theta$。
    - 长期方差：$\lim_{t \to \infty}\text{Var}(R(t)) = \frac{\sigma^{2}}{2\kappa}$，即长期方差是 $\frac{\sigma^{2}}{2\kappa}$。
- Example 3: Cox-Ingersoll-Ross (CIR) Model for Interest Rate $\mathrm{d}R(t)=(\alpha-\beta R(t))\mathrm{d}t+\sigma \sqrt{R(t)}\mathrm{d}W(t)$。
  - 这是一个非线性 SDE，因为扩散项 $\sigma \sqrt{R(t)}$ 是非线性的。
  - 这个模型的优点是它可以保证利率永远不会变为负数。
  - 这个模型没有闭式解，但是知道服从非中心卡方分布。
广义线性 SDE：漂移项和扩散项都是线性函数，即 $dX (t) = \left[ a (t) + b (t) X (t) \right] dt + \left[ \gamma (t) + \sigma (t) X (t) \right] dW (t), X (0) = x_0$
- 借助算子我们可以得到 $X (t) = Y (t) x_0 + \int_0^t \left[ a (s) - \gamma (s) \sigma (s) \right] Y (t) Y^{-1}(s) ds+\int_0^t \gamma (s) Y (t) Y^{-1}(s) dW (s)$，其中 $Y (t) = \exp \left ( \int_0^t \left[ b (s) - \tfrac{1}{2} \sigma^2 (s) \right] ds + \int_0^t \sigma (s) dW (s) \right)$
- 为了考虑波动率微笑的情况，我们很自然地可以考虑波动率的变化
  - 局部波动率模型：$\mathrm{d}S(t) = \mu S(t)\mathrm{d}t + \sigma(S(t), t) S(t)\mathrm{d}W(t)$，其中 $\sigma(S(t), t)$ 是一个函数，表示局部波动率。
  - 随机波动率模型：$\begin{aligned}dS (t) &= \mu S (t) dt + \sqrt{V (t)} S (t) dW_1 (t)\dV (t) &= \kappa (\theta - V (t)) dt + \sigma_v \sqrt{V (t)} \left[ \rho dW_1 (t) + \sqrt{1 - \rho^2} dW_2 (t) \right]\end{aligned}$

期权定价

1 期权定价：偏微分方程方法

自融资策略（self-financing）：如果它在整个交易过程中没有外部资金的注入或取出

1.1 BSM 模型

核心假设：

无风险利率为 $r$，也就是 $B(t)=e^{rt}$
假设股票价格 $S(t)$ 服从几何布朗运动：$\mathrm{d}S(t) = \alpha S(t)\mathrm{d}t + \sigma S(t)\mathrm{d}W(t)$，其中 $\alpha$ 是漂移项，$\sigma$ 是波动率。
要为 $T$ 时刻支付 $(S(T)-K)^{+}$ 的欧式看涨期权定价，而且这个期权价格只与股票价格和到期时间有关。
假设 $t$ 时刻的期权价格为 $V(t)=c(t,S(t))$，显然 $V (T)) = (S(T)-K)^{+}$。
假设 $c_{t}(t,x),c_{x}(t,x),c_{xx}(t,x)$ 存在，求解 $c(t,x)$ 复制现金流：
利用自融资策略 $X(t)$ 复制期权的现金流，即 $X(t) \equiv V (t) = c (t, S (t))$，我们可以得到 $\mathrm{d}X(t)\equiv \mathrm{d}V(t)=\mathrm{d}c(t, S(t))$
假设 $X(t)$ 的策略是：做多或者做空 $\Delta(t)$ 份额的股票，剩余的现金投资于无风险资产。
于是我们可以得到这个自融资策略的微分 $\begin{aligned}\mathrm{d}X(t)&=\Delta(t)\mathrm{d}S(t)+\frac{X(t)-\Delta(t)S(t)}{B(t)}\mathrm{d}B(t)\&=[rX(t) +\Delta(t )( \alpha − r )S (t )]\mathrm{d}t + \Delta(t ) \sigma S (t )\mathrm{d}W (t )\end{aligned}$
同时另一个方面，我们计算期权价格的微分形式 $\begin{aligned}dc (t, S (t)) &= c_t (t, S (t)), dt + c_x (t, S (t)), dS (t) + \frac{1}{2} c_{xx}(t, S (t)), d S, S \&= c_t (t, S (t)), dt + c_x (t, S (t))\left[\alpha S (t), dt + \sigma S (t), dW (t)\right] + \frac{1}{2} c_{xx}(t, S (t)),\sigma^2 S^2 (t), dt \&= \left[c_t (t, S (t)) + \alpha S (t), c_x (t, S (t)) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 (t), c_{xx}(t, S (t))\right] dt \&\quad + \sigma S (t), c_x (t, S (t)), dW (t)\end{aligned}$
这两个微分形式应当是相等的，我们可以得到 $\Delta(t) = c_x(t, S(t))$ 和 $c_t (t, S (t)) + rS (t), c_x (t, S (t)) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 (t), c_{xx}(t, S (t)) - r, c (t, S (t)) = 0$，简单替换 $S(t)$ 为 $x$ 之后，就得到了 BSM 公式：$c_t (t, x) + r x, c_x (t, x) + \frac{1}{2} \sigma^2 x^2, c_{xx}(t, x) - r, c (t, x) = 0$

[!tip] 两个小问题：

期权价格只和股票价格和到期时间有关是否合理？合理。因为自融资策略和期权的支付是一样的，无套利的情况下一定是一样的。

为什么和股价漂移率 $\alpha$ 无关？因为期权价格是受 $S(t)$ 间接影响的，在风险中性世界下，$r$ 是固定的，所以 $\alpha$ 的影响会被其他因素抵消

1.2 求解 BSM 偏微分方程

目标： $$ \begin{align} &c_t (t, x) + r x, c_x (t, x) + \frac{1}{2} \sigma^2 x^{2}c_{xx}(t, x) - r, c (t, x) = 0,\forall t\in[0,T)\ & c(T,x)=(x-K)^{+}\ \end{align} $$

1.2.1 一维热力方程

\frac{\partial u}{\partial \tau} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}, \quad \tau \geq 0, \quad z \in \mathbb{R} $$ 而且满足初始条件 $u(0,z) = f(z)$，其中 $f(z)$ 是一个已知函数，连续且有界那么就可以给出解的形式： $$ u(\tau,z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) G(z,y,\tau) , dy, $$ 其中 $$ G(z,y,\tau) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \tau}} \exp\left(-\frac{(z - y)^2}{2 \tau}\right), $$ 是热核（heat kernel）或者高斯核（Gaussian kernel）。在一定的条件限制下可以确定唯一性，比如 $u(\tau,\infty)=u(\tau,-\infty)=0$

1.2.2 将 BSM 方程转化为一维热力方程

从终端条件 $c(T,x)=(x-K)^{+}$ 开始，我们需要找到一些边界条件：

条件一：$\lim_{ x\to 0 }c(t,x)=0$，这是因为我们知道股票价格满足 $S(T)=S(t)\exp \left{ \sigma(W(T)-W(t))+\left( \alpha- \frac{1}{2}\sigma^{2} \right)(T-t) \right}$
条件二：$\lim_{ x \to \infty } \frac{\partial c(t,x)}{\partial x}\equiv 1$，这是因为当 $x$ 很大的时候，期权价格 $(S(T)-K)^{+}\approx S(T)-K$，另一个方面，我们通过在 $t$ 时刻的 call-put 平价关系式，可以知道 $c(t,S(t))\approx S(t)-Ke^{ -r(T-t) }$，所以 $\frac{\partial c(t,x)}{\partial x}\approx 1$。

接下来对 BSM 模型进行变量替换： $$ \begin{align} &u=e^{-rt}c, \ & y = \ln x,\tau=(T-t)\sigma^{2} \ & z = y+\frac{1}{\sigma^{2}}\left( r-\frac{1}{2}\sigma^{2} \right)\tau \end{align} $$ 代入 BSM 方程，得到 $$ u_{\tau}(\tau,z)=\frac{1}{2}u_{zz}(\tau,z) $$ 满足初始条件 $u(0,z)=e^{-rT}\max{e^{z}-K,0}$，以及边界条件 $u(\tau,\infty)=u(\tau,-\infty)=0$ 于是就可以解出来： $$ c(t,x) = x N(d_+) - K e^{-r(T-t)} N(d_-) $$ 其中 $$ d_{\pm} = \frac{\ln \frac{x}{K} + \left(r \pm \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)}{\sigma \sqrt{T - t}} $$ 其中，热力方程的解也可以用布朗运动的期望来解释 $$ u(t,x)=\mathbb{E}f(W(t)+x) $$

1.2.3 多维拓展

考虑多维情况，$x = (x_{1},x_{2},\cdots,x_{d})\in \mathbb{R}^{d}$，再考虑一个多维热力方程 $g:\mathbb{R}^{d}\to \mathbb{R}$ ，欲求解 $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{2}\Delta u, u (0, x)=g (x)$ ，其中 $\Delta=\sum_{i=1}^{d}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}}$ 是 Laplace 算子。可以得到解的形式： $$ u(t,x)=\mathbb{E}\big[g\big(x+W(t)\big)\big], $$ 其中 $W(t)$ 是一个 $d$ 维布朗运动。

1.3 拓展

1.3.1 布朗运动和逆向热方程

假设 $v (t, x)=u (T-t, x)$，那么就可以得到 $v_t (t, x)+\tfrac{1}{2}v_{xx}(t, x)=0, 0\le t\le T$，同时满足 $v (T, x)=f (x)$。于是就可以给出解 $v (t, x)=\mathbb{E}\big[f (B (T))\mid B (t)=x\big]$。

1.3.2 随机过程与 PDE

能否泛化刚刚的结论？ Feynman-Kac 定理：如果 $X(t)$ 是一个伊藤过程，满足 $$ \mathrm{d}X(u) = \beta(u, X(u))\mathrm{d}u + \gamma(u, X(u))\mathrm{d}W(u), $$ 而且由函数 $h(y)$ 定义 $g(t,x):=\mathbb{E}[h(X(T))|X(t)=x]$，那么 $g(t,x)$ 满足偏微分方程

$$ g_t(t,x)+\beta(t,x)g_x(t,x)+\tfrac{1}{2}\gamma^2(t,x)g_{xx}(t,x)=0, $$

而且满足终值条件 $g(T,x)=h(x)$。

[!note] Feynman-Kac 的折现版本如果 $X(t)$ 是一个伊藤过程，满足 $$\mathrm{d}X(u) = \beta(u, X(u))\mathrm{d}u + \gamma(u, X(u))\mathrm{d}W(u),$$ 而且由函数 $h(y)$ 定义 $f(t,x):=\mathbb{E}[e^{ -r(T-t) }h(X(T))|X(t)=x]$，那么 $f(t,x)$ 满足偏微分方程 $$f_t(t,x)+\beta(t,x)f_x(t,x)+\frac{1}{2}\gamma^2(t,x)f_{xx}(t,x)=rf(t,x),$$ 且满足终值条件 $f(T,x)=h(x)$。

使用折现版本的 Feynman-Kac 定理，可以得到 BSM 模型的解

2 期权定价：鞅方法

Girsanov Theorem（初步版）设 $0 \le t \le T$，$W(t)$ 是概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 上的标准布朗运动，取任意常数 $\theta \in \mathbb{R}$。定义新的测度 $\widetilde{\mathbb{P}}$ 如下： $$ \frac{\mathrm{d}\widetilde{\mathbb{P}}}{\mathrm{d}\mathbb{P}} = Z (T),~ Z (t) = \exp\left ( -\theta W (t) - \frac{\theta^2}{2} t \right). $$ 在 $\widetilde{\mathbb{P}}$ 下定义新的过程： $$ \widetilde{W}(t) = W(t) + \theta t. $$ 则有结论：

$\widetilde{\mathbb{P}}$ 是与 $\mathbb{P}$ 等价的概率测度；（“事件的概率为 0” 在两个测度下必须完全一致。）
在 $\widetilde{\mathbb{P}}$ 下，$\widetilde{W}(t)$ 是标准布朗运动。

2.1 应用在 BSM 上

考虑夏普比率 $\theta=\frac{\alpha-r}{\sigma}$，根据 Girsanov 定理，定义新的测度 $\mathbb{Q}$ 满足 $$ \mathrm{d}\mathbb{Q} = Z(T)\mathrm{d}\mathbb{P},~ Z(t) = \exp\left ( -\theta W (t) - \frac{\theta^2}{2} t \right). $$ 于是我们可以得到布朗运动 $$ W^{\mathbb{Q}}(t) = W(t) + \theta t = W(t) + \frac{\alpha - r}{\sigma} t. $$ 同时，我们还可以得到在 $\mathbb{Q}$ 下 $S(t)$ 的 SDE $$ \mathrm{d}S(t) = r S(t)\mathrm{d}t + \sigma S(t)\mathrm{d}W^{\mathbb{Q}}(t) $$ 所以我们可以得到如下这些鞅：

折现股票价格：$e^{ -rt }S(t)$
折现复制组合价格：$e^{ -rt }X(t)$
折现期权价格：$e^{ -rt }V(t)$ 也就是说 $\mathbb{Q}$ 是一个风险中性测度，在风险中性测度 $\mathbb{Q}$ 下，$\left( S(t) ,B(t),V(t)\right)$ 都无法套利，于是我们可以得到 $$ \begin{align} &e^{ -rt }V(t) = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left [ e^{ -rT }(S(T)-K)^{+} | \mathcal{F}(t) \right ] \ \Rightarrow &V(t) = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left [e^{ r(T-t) } (S(T)-K)^{+} | S(t) \right ] \end{align} $$

[!note] 变换测度的意义这里变换测度的核心意义是使得在新的测度下，股票价格的漂移率变为无风险利率 $r$，从而使得期权定价可以通过折现未来现金流来计算。

2.2 Monte Carlo 方法

通过 Monte Carlo 模拟，我们可以计算期权价格： $$ c(t,S(t)) = e^{ -r(T-t) }\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left [ (S(T)-K)^{+} | S(t) \right ] \approx e^{ -r(T-t) }\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(S_{i}(T)-K)^{+}) $$ 所以问题的关键是如何采样 $S_{i}(T)$：我们通过 $S(T)$ 的解析解 $S(T) = S(0)\exp \left{ \sigma W^{\mathbb{Q}}(T)+\left( r- \frac{1}{2}\sigma^{2} \right)T \right}$ 来采样 $S_{i}(T)$，其中我们知道 $W^{\mathbb{Q}}(T)\sim \mathcal{N}(0,T)$，所以只需要采样一个正态分布。

2.2.1 更一般的 SDE 模拟

如果 $S(T)$ 的精确分布不知道，那么可以使用 Euler-Maruyama 方法来近似模拟 SDE：在离散时间步长 $\Delta t=\frac{T}{m}$ 下，迭代计算 $$ S_{i+1}=S_{i}+\mu(S_{i},t_{i})\Delta t+\sigma(S_{i},t_{i})\Delta W_{i} ,~ \Delta W_{i}\sim \mathcal{N}(0,\Delta t) $$ 于是就可以得到整条路径

3 为奇异期权定价

3.1 Preparation

关键问题是带漂移的布朗运动的历史最大（小）值问题，用到的重要工具是反射原理。考虑带漂移的布朗运动 $\widetilde{W}(t):=W(t)+\theta t$，定义历史最大值 $\widetilde{M}(t):=\max_{0\le s\le t}\widetilde{W}(s)$，然后利用 Girsanov 定理，定义新的测度 $\widetilde{\mathbb{P}}$ 于是我们发现，若 $\frac{\mathrm{d}\tilde{\mathbb{P}}}{\mathrm{d}\mathbb{P}}=Z(T)$，那么 $$ \frac{1}{Z(t)}=\frac{\mathrm{d}\mathbb{P}}{\mathrm{d}\tilde{\mathbb{P}}} = \exp\left(\theta W(t) + \frac{\theta^2}{2} t\right)=\exp\left(\theta \widetilde{W}(t) - \frac{\theta^2}{2} t\right) $$ 也是一个鞅。于是利用反射原理，我们可以分别计算历史最大（小）值和当前值的联合分布：历史最大值的 pdf 记作 $f_{\widetilde{M}(t),\widetilde{W}(t)}(\tilde{m},\tilde{w})$ ，历史最小值的 pdf 记作 $f_{\widetilde{m}(t),\widetilde{W}(t)}(\tilde{m},\tilde{w})$。结果如下： $$ \begin{align} &f_{\widetilde{M}(t),\widetilde{W}(t)}(m,w)=\frac{2(2m-w)}{\sqrt{2\pi t^{3}}}\exp \left( \theta w- \frac{(2m-w)^{2}}{2t}-\frac{1}{2}\theta^{2}t \right), w\leq m, \ &f_{\widetilde{m}(t),\widetilde{W}(t)}(m,w)=\frac{2(w-2m)}{\sqrt{2\pi t^{3}}}\exp \left( \theta w- \frac{(2m-w)^{2}}{2t}-\frac{1}{2}\theta^{2}t \right),w \geq m. \end{align} $$ 于是我们可以计算得到最大（小）值的密度： $$ \begin{align} &f_{\widetilde{M}(t)}(m)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{\widetilde{M}(t),\widetilde{W}(t)}(m,w)\mathrm{d}w = \frac{2}{\sqrt{2\pi t}}e^{ - \frac{(m-\theta t)^{2}}{2t }}-2 \theta e^{ 2 \theta m }N\left( \frac{-m-\theta t}{\sqrt{t}} \right), \ \ &f_{\widetilde{m}(t)}(m)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{\widetilde{m}(t),\widetilde{W}(t)}(m,w)\mathrm{d}w = \frac{2}{\sqrt{2\pi t}}e^{ - \frac{(m-\theta t)^{2}}{2t }}+2 \theta e^{ 2 \theta m }N\left( \frac{m+\theta t}{\sqrt{t}} \right). \end{align} $$

3.2 鞅方法为奇异期权定价

首先，在风险中性测度 $\mathbb{Q}$ 下，BSM 模型满足 $$ \mathrm{d}S(t) = r S(t)\mathrm{d}t + \sigma S(t)\mathrm{d}W^{\mathbb{Q}}(t),S(0)=s_{0} $$ 所以我们可以得到 $S(t)$ 的显式解 $$ S(t) = s_{0}\exp\left{ \sigma W^{\mathbb{Q}}(t)+\left( r- \frac{1}{2}\sigma^{2} \right)t \right}=s_{0}\exp(\sigma \widetilde{W}^{\mathbb{Q}}(t)) $$ 其中 $\widetilde{W}^{\mathbb{Q}}(t)=W^{\mathbb{Q}}(t)+\theta t,\theta=\frac{1}{\sigma}\left( r-\frac{1}{2}\sigma^{2} \right)$ ，定义 $\widetilde{W}^{\mathbb{Q}}(t)$ 的最大值和最小值为 $\widetilde{M}^{\mathbb{Q}}(t)$ 和 $\widetilde{m}^{\mathbb{Q}}(t)$。利用鞅方法的核心定价公式 $$ V(t)=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{ -r(T-t) }V(T)|\mathcal{F}(t)\right] $$ 分别为 Lookback 期权和 Barrier 期权定价。

3.2.1 Lookback 期权定价

Lookback call 期权：$V(T)=S (T)-\min_{0\leq t\leq T} S (t)$
Lookback put 期权：$V(T)=\max_{0\leq t\leq T} S (t)-S (T)$ 不妨先考虑 Lookback put $$ \begin{align} V(t) & = e^{ -r(T-t) }\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\max_{0\leq s\leq T} S (s)-S (T)|\mathcal{F}(t)\right] \ & =e^{ -r(T-t) }\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\max_{0\leq s\leq T} S (s)|\mathcal{F}(t)\right]-S(t) \end{align} $$ 如果记 $X(t)=\max_{0\leq s\leq t}S(s)$ ，那么我们可以得到 $$ \begin{align} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[X(T)|\mathcal{F}(t)\right]&=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[X(T)|S(t)=s,X(t)=x\right] \ & =s_{0}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\exp(\sigma \widetilde{M}^{\mathbb{Q}}(T))|\widetilde{W}^{\mathbb{Q}}(t)=\frac{1}{\sigma}\ln \frac{s}{s_{0}},\widetilde{M}^{\mathbb{Q}}(t)=\frac{1}{\sigma}\ln \frac{x}{s_{0}}\right] \ \end{align} $$ 很自然地，我们希望定义 $$ g(w,m))=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\exp(\sigma \widetilde{M}^{\mathbb{Q}}(T))|\widetilde{W}^{\mathbb{Q}}(t)=w,\widetilde{M}^{\mathbb{Q}}(t)=m\right] $$ 于是我们可以得到 $$ V(t)=e^{ -r(T-t) }s_{0}g\left(\frac{1}{\sigma}\ln \frac{s}{s_{0}},\frac{1}{\sigma}\ln \frac{x}{s_{0}}\right)-S(t) $$

[!note] $g(w,m)$ 的表达形式 $$\begin{aligned}g(w,m)&=\int_{0}^{\infty} e^{\sigma\max{m,m'+w}}, f_{\widetilde{M}}(T-t)(m'),dm' \[6pt]&=e^{\sigma m}\left[-e^{\sigma(m-w)}\left(\frac{2r}{\sigma^2}-1\right) N!\left(-\delta_-(\tau,m-w)\right)+ N!\left(-\delta_-(\tau,w-m)\right)\right] \[6pt]&\quad + e^{\sigma w}\left[2e^{\sigma(w-m)+r\tau} N!\left(\delta_+(\tau,w-m)\right)+\left(2\sigma - 1 - (w-m) + r\tau\right) N!\left(\delta_+(\tau,w-m)\right) e^{\sigma(2r/\sigma^2)}\right.\[2pt]&\qquad\qquad \left.-\left(\frac{2r}{\sigma^2}+1 - (m-w)\right) N!\left(-\delta_-(\tau,m-w)\right) e^{\sigma(2r/\sigma^2)}\right],\end{aligned}$$ 其中 $\tau=T-t$，并且 $$\delta_+(\tau,x) = \frac{1}{\sigma}\left( \frac{r}{\sigma} + \frac{\sigma}{2} \right)\sqrt{\tau} + \frac{x}{\sigma\sqrt{\tau}}, \quad\delta_-(\tau,x) = \frac{1}{\sigma}\left( -\frac{r}{\sigma} + \frac{\sigma}{2} \right)\sqrt{\tau} + \frac{x}{\sigma\sqrt{\tau}}.$$

3.2.2 Barrier 期权定价

以 up-and-out call 为例，期权的价格 $$ V(T)=(S(T)-K)^{+}\mathbb{1}{{X(T)<B}},X(t)=\max{0\leq s\leq t}S(s) $$ 我们可以利用风险中性定价公式得到 $$ \begin{align} V(t)&=e^{ -r(T-t) }\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[(S(T)-K)^{+}\mathbb{1}{{X(T)<B}}|\mathcal{F}(t)\right] \ & =e^{ -r(T-t) }\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[(S(T)-K)^{+}\mathbb{1}{{X(T)<B}}|S(t),X(t)\right] \end{align} $$ 由于 $$ \begin{align} &\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[(S(T)-K)^{+}\mathbb{1}{{X(T)<B}}|S(t),X(t)\right] \ = &\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[(s{0}\exp(\sigma \widetilde{W}^{\mathbb{Q}}(T))-K)^{+}\mathbb{1}{{\widetilde{M}^{\mathbb{Q}}(T)\leq \frac{1}{\sigma}\ln \frac{B}{s{0}}}}|\widetilde{W}^{\mathbb{Q}}(t)=\frac{1}{\sigma}\ln \frac{s}{s_{0}},\widetilde{M}^{\mathbb{Q}}(t)=\frac{1}{\sigma}\ln \frac{x}{s_{0}}\right] \end{align} $$ 所以我们可以考虑这样一个函数 $$ h(b,w,m)=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[(s_{0}\exp(\sigma \widetilde{W}^{\mathbb{Q}}(T))-K)^{+}\mathbb{1}_{{\widetilde{M}^{\mathbb{Q}}(T)\leq b}}|\widetilde{W}^{\mathbb{Q}}(t)=w,\widetilde{M}^{\mathbb{Q}}(t)=m\right] $$

4 BSM 公式实践：希腊字母和风险套利

先看 BSM 对 call 期权的定价公式 $$ c(t,x) = x N\left((d_+(T-t,x) \right) - K e^{-r(T-t)} N(d_-(T-t,x)) $$ 其中 $N(y)$ 是标准正态分布的累积分布函数， $$ d_{\pm}(T-t,x) = \frac{\ln \frac{x}{K} + \left(r \pm \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)}{\sigma \sqrt{T - t}}. $$ 接下来我们要讨论的是期权价格对某些参数的敏感度，我们称之为希腊字母。

4.1 Delta

$$ \Delta=c_x(t,x)=N(d_+(T-t,x))>0 $$

As $x$ increases, $c(t,x)$ increases.
$c(t,x) \to 0$ as $x \to 0$.
As $x \to \infty$, $c(t,x) \sim x - K e^{-r(T-t)}$.
Economic interpretation: $\Delta$ is the number of shares needed to replicate a call option.

4.2 Gamma

$$ \Gamma=c_{xx}(t,x)=\frac{N'(d_+(T-t,x))}{x\sigma\sqrt{T-t}}>0 $$

The price curve $c(t,x)$ is convex.
$\Delta$ increases as $x$ increases.

4.3 Theta

$$ \Theta=c_t(t,x)=-rK e^{-r(T-t)} N(d_-(T-t,x)) - \frac{N'(d_+(T-t,x))\sigma x}{2\sqrt{T-t}}<0 $$

Measures the time value of the option.
As $t$ increases, the option involves less uncertainty, so $c(t,x)$ decreases.
As $t \to T$, $c(t,x) \to (x-K)^+$.

4.4 Vega

$$ \mathcal{V}=c_\sigma(t,x)=x N'(d_+(T-t,x))\sqrt{T-t}>0 $$

As volatility $\sigma$ increases, uncertainty increases.
Since the option prices uncertainty, higher $\sigma$ increases option value.

4.5 理解 BSM 公式

通过自融资策略去复制期权，我们可以得到 $$ X(t) = \Delta(t) S(t) + \big[ X(t) - \Delta(t) S(t) \big], $$ 其中 $\Delta(t)S(t)$ 是股票投资，剩余部分是无风险资产投资，我们有 $$ (X(t)-\Delta(t) S(t)) = -K e^{-r(T-t)} N(d_-(T-t,x)) $$ 也就是期权是在借钱买股票。

4.6 Delta 中性做多 Gamma 策略

由于凸性，期权价格的曲线高于切线，也就是说我们有 $$ c(t,x_{1})\geq x_{1}c_{x}(t,x_{1}) $$ 于是我们可以在 $t$ 时刻构建一个策略： $$ 0=P(t,x_{1})=c(t,x_{1})-x_{1}c_{x}(t,x_{1})+x_{1}c_{x}(t,x_{1})-c(t,x_{1}) $$

买入期权 $c(t,x_{1})$
卖出 $x_{1}c_x(t,x_{1})$ 股股票
将剩余资金借出此时如果忽略时间影响，我们可以得到当股价从 $x_{1}$ 变到 $x_{2}$ 时， $$ P(t+\Delta,x)=c(t,x_{2})-x_{2}c_{x}(t,x_{2})+x_{1}c_{x}(t,x_{1})-c(t,x_{1})) $$ 于是我们可以做差并重写为 $$ P(t+\Delta,x)-P(t,x)=c(t,x_{2})-[c(t,x_{1})+c_{x}(t,x_{1})(x_{2}-x_{1})] $$ 由于凸性的存在，我们可以知道 $P(t+\Delta,x_{2})>0$

4.7 两种波动率

隐含波动率：市场给出的波动率，通常是通过反推 BSM 公式得到的。
实际波动率：历史数据计算得到的波动率，通常是通过计算股票价格的标准差得到的，为 $\sqrt{ RV_{0,T} }$ $$ RV_{0,T}:=\frac{1}{n\Delta t}\sum_{i=0}^{n-1}\left( \log \frac{S(t_{i+1})}{S(t_{i})} \right) ^{2} $$

4.8 波动率套利

假设真实标的过程 $$ \mathrm{d}S(t)=\alpha(t)S(t)\mathrm{d}t+\beta(t)S(t)\mathrm{d}W(t) $$ 数据显示大部分情况下，我们都有 $\sigma_{imp}(K,T)\geq \sqrt{ \frac{1}{T}\int_{0}^{T}\beta^{2}(t)\mathrm{d}t }$ 所以我们构建一个这样的策略：

卖空期权（call 或者 put）
按照隐含波动率 $\sigma_{imp}(K,T)$ 投资股票进行 Delta 对冲
将剩余资金借出我们就可以得到 $$ \mathrm{d}Y(t)=rY(t)\mathrm{d}t+\frac{1}{2}\left( \beta^{2}(t)-\sigma_{imp}^{2}(K,T) \right) S^{2}(t)c_{xx}(t,S(t))\mathrm{d}t $$

财务报表分析

Tue, 05 Aug 2025 08:00:00 GMT

合并财务报表

1 少数股东权益

代表母公司下属的非全资子公司中少数股东享有的权益
只可能出现在合并资产负债表中
少数股东损益（ Earnings attributable to noncontrolling interests ）：当期净利润中归属于少数股东享有的部分
少数股东权益与损益可以反映出企业的竞争力

2 净资产收益率

$$ ROE = \frac{\text{归属于母公司的净利润}}{\text{归属于母公司股东权益}} $$ 净利润中要扣除非经常损益 $$ \text{净资产} =E 0＋ NP ÷ 2 ± E i× M i÷ M0 $$

战略分析

1 PEST 分析

政治因素经济因素社会文化因素技术因素

1 税负比较重的行业

白酒、房地产、油气能源

2 行业分析

1 生命周期分析

投入期：亏损经营，到收支相抵结束
成长期：收入、利润增长，大幅派息结束
成熟期：增长停止、回购股份
衰退期：销售下滑，出现亏损

2 波特五力模型

现有企业的竞争
新进入企业的威胁
替代产品的威胁
客户的议价能力
供应商的议价能力

3 SWOT 分析

4 战略分析

1 公司战略

多元化战略与去多元化战略国际化战略

1.1 总资产报酬率

$$ ROA = \frac{EBIT}{\text{总资产}} $$

1.2 不同战略对公司利润的影响

前向一体化可以增加公司收入
后向一体化可以降低成本，增加利润
不相关多元化可以增加收入
国际化战略可以增加收入

2 竞争战略

低成本战略差异化战略

2.1 毛利率

$$ \text{毛利率} = \frac{\text{营业收入}-\text{营业成本}}{\text{营业收入}} $$ 国内 A 股上市公司中，毛利率居前的企业主要是医药、互联网、软件等行业的企业

企业扩张方式

新兴市场：内生增长
成熟市场：兼并收购
- 纵向收购：并购上下游企业
- 横向收购：同一业务的竞争对手
- 联合收购：不相关多元化

1 企业合并

1 对当期利润、收入的影响

2 商誉

公司治理

1 治理模式

英美模式：股东利益至上
- 不设监事会
- 董事会中设立独立董事
德国模式：兼顾多方利益诉求
- 双层委员会：监事会和董事会
中国模式：董事会和监事会
- 可以不设监事会，上市公司设立独立董事

上市公司治理

1 关联交易

一方能够控制、共同控制另一方或对另一方施加重大影响，以及两方受同一方控制、共同控制或重大影响的企业之间具有关联关系关联交易：有关联关系的企业之间转移资源、劳务或义务的行为

会计分析

$$ \text{年折旧率} = \frac{1-\text{预计净残值率}}{\text{折旧年限}} $$ $$ \text{应计利润} = \text{企业的净利润}-\text{经营活动现金流量净额} $$ 应计利润中包含折旧摊销、资产减值等非现金费用与损失以及投融资活动的收益与损失等

1 财务报告制度框架的缺陷

证监会
- 缺乏激励
- 存在时滞
- 信息量大
- 信息不对称
基本会计准则
- 权责发生制需要主观判断
- 对信息质量的要求：相对性和可靠性的权衡
具体会计准则
- 统一性和准确性之间的矛盾
- 没有限制额外披露
- 政治博弈的产物
外部审计
- 审计师会要求增强可靠性，损失相关性
- 外部审计独立性受影响
司法体系
- 国外法律赔偿限制披露不确定性信息
- 法律法规时滞
- 法律诉讼成本高
- 国内理发慢，执法力度不够，违法成本低

2 杜邦分析

对企业的总资产周转率、存货周转率、应收账款周转率、应付账款周转率等财务比率的计算分析一般被称为营运能力分析 $$ \begin{aligned} \text{净资产收益率} &= \frac{\text{净利润}}{\text{净资产平均余额}}\ &= \text{销售净利润率} \times \text{总资产周转率} \times \text{权益乘数}\ \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \text{应收账款周转率} &= \frac{\text{营业收入净额}}{\text{应收账款平均余额}}\ \text{应收账款周转天数} &= \frac{360}{\text{应收账款周转率}}\ \text{存货周转率} &= \frac{\text{营业成本}}{\text{存货平均余额}}\ \text{存货周转天数} &= \frac{360}{\text{存货周转率}}\ \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \text{账面价值} &= \text{资产} - \text{负债} = \text{净资产} = \text{股东权益}\ \text{市场价值} &= \text{股价} \times \text{股数}\ \text{每股净资产} &= \frac{\text{净资产}}{\text{股数}} \ \text{市净率（P/B）} &= \frac{\text{每股市价}}{\text{每股净资产}} \ \end{aligned} $$ $$ \text{杠杆系数} = \frac{\text{边际贡献}}{\text{营业利润}} = \frac{\text{营业收入} - \text{变动成本}}{\text{营业收入} - \text{变动成本} - \text{固定成本}} $$ $$ \text{每股收益} = \frac{\text{净利润}-\text{优先股股息}}{\text{普通股股数}} $$ 基本每股收益只考虑发行在外的普通股股数，稀释每股收益还考虑了可能被转换的优先股、可转换债券等

$$ \text{市盈率（P/E）}= \frac{\text{每股市价}}{\text{每股收益}}=\frac{\text{总市值}}{\text{净利润}} $$ $$ \text{净资产收益率（ROE）} = \frac{\text{净利润}}{\text{净资产平均余额}} $$ $$ \begin{aligned} \text{投资资本回报率} &= \frac{\text{息税前收益}}{\text{资本总额}}\ \text{现金循环周期} &= \text{存货周转天数} + \text{应收账款周转天数} - \text{应付账款周转天数}\ \text{成本费用利润率} &= \frac{\text{利润总额}}{\text{成本费用总额}} \end{aligned} $$

3 资产结构分析的局限

涵盖范围有限，品牌、声誉、优秀员工等无形资产
计量手段有缺陷，历史成本原则
账面固定资产、投资性房地产、无形资产的真实质量需要实地考察

4 或有负债与预计负债的关系

满足以下条件，或有负债计入预计负债

承担了现时义务
该义务很可能导致经济利益流出
该义务的金额可以可靠计量

5 固定成本比重增大的原因

设备自动化程度的提高
稳定的人员雇佣政策

6 ROE 指标的缺陷

无法可靠预测未来
没有考虑风险
没有考虑企业规模
容易出现投资不足

7 资产负债表和利润表的相对重要性

因行业和财务状况的不同而异

高科技行业，医药行业利润表相对重要
金融行业、房地产企业资产负债表重要
随着财务困难加剧，资产负债表的重要性增加，净利润的相对重要性下降，还应该关注现金流量表

现金流量表

$$ EBITDA = \text{净利润}+\text{所得税费用}+\text{利息费用}+\text{折旧和摊销} $$ $$ \text{自由现金流量}=\text{经营活动产生的现金流量净额}-\text{资本性支出} $$

1 经营活动现金流量

和以下三类无关

融资活动的项目，比如利息支出，债券
投资活动的项目，比如投资收益，应收利息
不涉及现金流量的项目，比如折旧摊销

2 财务比率分析——偿债能力

$$ \begin{aligned} \text{资产负债率} &= \frac{\text{总负债}}{\text{总资产}} \ \text{权益倍数} &= \frac{\text{总资产}}{\text{净资产}} = 1/(1-\text{资产负债率}) \ \text{资本负债率} &= \frac{\text{有息负债}}{\text{有息负债}+\text{所有者权益}} \ \text{利息保障倍数} &= \frac{\text{息税前收益}}{\text{利息费用}} \ \text{营运资本} &= \text{流动资产} - \text{流动负债} \ \text{投资资本回报率} &= \frac{\text{息税前收益}}{\text{资本总额}} \ \end{aligned} $$

HJF Python

Tue, 05 Aug 2025 08:00:00 GMT

数据类型

1 基础数据类型

1.1 数值类型

用于存储数字值，根据数值特点分为三类：

整数（Int）
- 表示任意大小的整数，支持十进制、二进制（以 0b 开头）、八进制（以 0o 开头）、十六进制（以 0x 开头）表示。
- 特点：上不封顶，3.8 以后建议使用 = 代替 is 比较整数。
浮点数（Float）
- 表示小数或科学计数法表示的数（如 1.23、4.5e-6）。
- 特点：存储为双精度浮点型（64位），可能存在精度误差和截断误差，精确到 15 位十进制小数
复数（Complex）
- 由实部和虚部组成，格式为 a + bj（a 为实部，b 为虚部，j 表示虚数单位）。
- 特点：适用于科学计算和工程领域中的复数运算。

1.2 布尔类型（Bool）

仅有两个取值：True（真）和 False（假）。
and, or, not, != 分别是且、或、非、异或
or, and 为短路运算，并不强制返回布尔值，但是非和异或返回的是布尔类型
类型可以自定义 __bool__ 方法来控制布尔值的返回，默认 len()==0 对应 false ，其他 true

1.3 python 中的对象

每个对象有唯一的标识码，可以通过 id() 函数获取，是该对象的内存地址，使用 is 比较两个对象是否相同。

2 序列类型

列表 list，元祖 tuple，range
字符串 str
字节流类型

2.1 列表（List）

不同类型可以混在一起
实际存放的是引用对象
下标访问为按引用取值
赋值是指向新的对象

常用方法

增 append
插入 insert
查找、定位：index

2.2 元组（Tuple）

一旦初始化后不可更改
其中嵌套的元素可变，如果嵌套的是列表就可以修改列表
解包：c, d, *_ = a，合并直接用 +

2.3 string

可读、可下标访问、不可修改
反斜杠用法与 C 语言一致
.strip() 返回一个新的对象
count 函数是 find 函数的复用
拆分、合并用 split()、join()

2.4 迭代器

语句块 for 不会产生独立的命名空间
迭代器可以作用于 for 循环，也可以被 next() 函数调用
列表生成式 [x for x in iterable] 返回一个列表
生成器表达式 (x for x in iterable) 返回一个迭代器

2.5 set 集合

{} 表示集合
使用 set() 完成类型转换

2.6 字典（Dict）

无序、可变的键值对集合，用 {键: 值} 格式定义。
键必须是不可变类型（如字符串、数字、元组），值可以是任意类型。

2.7 容器类

容器（container）类（如：list，string，set，tuple，dict…）都内建有一个操作函数来返回一个迭代器（iterator）。该迭代器被用来支持 for循环语句，以及in操作。同时还支持.next()接口，返回下一个对象。
字典可以用关键字遍历

2.8 列表生成式

嵌套的列表生成式

2.9 高阶函数

map，reduce，filter

3 第一次作业讲评

python 3.13 对于 // 的处理方式等于先 / 再算 floor
同一函数的默认参数会指向同一个数据体，不论其类型以及是否可变
列表乘法的本质是创建了对同一个列表进行引用的复制而不是多个列表，但是注意如果修改的是不可变对象，则不会有影响

函数编程

解包再 zip 等价于转置

1 对象拷贝机制

加赋值引用并不会直接导致对象被复制

对象复制和对象引用的复制
浅拷贝：copy.copy()，只复制对象本身，不复制对象包含的子对象。
深拷贝：copy.deepcopy()，创建一个新对象，然后递归地插入原始对象中元素的拷贝
list 的切片操作会生成新的对象，但实际上只有一层复制而已

2 名字绑定及引用计数

sys.getrefcount() 函数可以获取对象的引用计数，注意在函数调用时会增加一次引用计数。

3 函数的一般性质

参数传递的本质是传递对象引用而非对象副本，返回值也是对象引用

4 函数实现generator

使用 yield 关键字创建生成器函数，返回一个迭代器对象。
生成器函数可以派生出多个生成器示例，相互独立

5 匿名函数（Lambda表达式）

用于创建简短的一次性函数，语法：lambda 参数: 表达式。常见用途：作为参数传递给高阶函数（如 map、filter）。

6 函数高阶使用技术

6.1 可变参数列表

使用 *args 接受任意数量的位置参数，返回一个元组。
使用 **kwargs 接受任意数量的关键字参数，返回一个字典。

6.2 嵌套函数

在函数内部定义另一个函数，内部函数可以访问外部函数的变量。
变量的作用域：python 引用变量的顺序
1. 局部作用域（函数内部）
2. 闭包作用域（嵌套函数）
3. 全局作用域（模块级别）
4. 内建作用域（内置函数和变量）
不声明就是局部变量，nonlocal 声明可以访问外部函数的变量，global 访问全局变量
函数闭包：内部定义了一个函数，把该函数作为返回值

6.3 函数装饰器

装饰器是一个函数，用于在不修改原函数代码的前提下，增加额外功能。
装饰器语法：@decorator_name，放在函数定义前。
装饰器可以嵌套使用，也可以接受参数。
所有被装饰的函数实例共享同一个公共缓存，可以实现记忆化存储

7 文件操作

open() 函数用于打开文件，返回一个文件对象，完整定义是 open(file, mode='r', buffering=-1, encoding=None, errors=None, newline=None, closefd=True, opener=None)。
mode 可选值
readlines() 方法读取文件所有行，返回一个列表；read() 方法读取整个文件内容，返回一个字符串，可以制定读入的字节数。
但是 open() 会保留行尾换行，如果需要去掉行尾换行符，可以使用 strip() 方法。
文件写入：write()方法
上下文管理器：with 语句用于自动管理资源，确保文件在使用后正确关闭。

8 Python的异常处理

python 异常处理流程：当有异常出现时，它会使当前的进程停止，并且将异常传递给调用进程，直到异常被处理为止。
可以使用 try-except 语句捕获异常，except 块可以指定捕获特定类型的异常。
主动触发异常：raise exceptions
try 语句可以选 finally 子句，该子句无论如何都会执行，通常用于释放外部资源

9 OS模块

9.1 文件管理

创建目录：os.mkdir(path)，创建多级子目录：os.makedirs(path)。
删除目录：os.remove(path)
遍历目录：for root, dirs, files in os.walk(path)，返回目录树的根目录、子目录列表和文件列表。
文件重命名：os.rename(src, dst)
高级文件操作（复制、压缩）放在 shutil 模块中。

10 第二次作业讲评

is_alpha 用于判断字符串是否只包含字母

类型化编程

Python 是一种面向对象的编程语言，类是其核心概念之一。通过类，可以创建自定义数据类型，封装数据和方法，实现继承和多态等面向对象的特性。

1 类的定义与实例化

类是对象的蓝图，定义了对象的属性和方法。通过关键字 class 定义类，实例化类可以创建具体的对象。

2 类的基本结构

一个类通常包含以下部分：

类名：遵循大驼峰命名法
属性：描述对象的状态
方法：定义对象的行为，对象方法的形参通常包括 self，表示实例自身，而且必须位于最前面

2.1 self参数、实例属性

self 本质是一个占位符，用于显示的指明实例的私有名字空间。被__new__()方法赋值
函数 __str__() 返回实例的字符串表示，通常用于打印输出。

3 类实例、类属性

类属性由该类和所有派生的对象实例共享
实例属性不会修改类属性，但是修改类属性会影响所有实例

3.1 property 装饰器定义只读属性

使用 @property 装饰器可以将方法转换为只读属性，避免直接访问实例属性。
被@PROPERT Y 装饰的方法通常用作属性的GETTER 方法，即它返回属性的值。如果希望外部代码能够设置属性的值，可以使用@属性名.SETTER 装饰器来定义一个SETTER 方法。在这个方法中，我们可以对输入值进行验证，然后将其赋值给私有属性。

3.2 序列对象的内置方法

__iter__()：返回迭代器对象，支持 for 循环。
__next__()：返回下一个元素，支持迭代器协议。
__reversed__()：返回反向迭代器，支持反向遍历。

属性的设置

__len__()：返回对象长度，支持 len() 函数。
__contains__()：实现成员测试，支持 in 操作符。

4 可调用对象

callable() 函数用于检查对象是否可调用（如函数、类实例等）。
普通数据、普通对象实例返回 False；函数、类实例返回 True。
实现 __call__() 方法可以使类实例变为可调用对象。
基于类实现的装饰器：必须实现 call 和 init两个内置函数。 init ：接收被装饰函数f，call（）：保证是可调用对象，同时在内部实现对输入函数的装饰逻辑
每次调用，就是相当于调用了类的 __call__() 方法，传入参数和关键字参数。

5 继承与多态

5.1 继承

继承允许一个类继承另一个类的属性和方法，被继承的类称为父类（基类），继承的类称为子类（派生类）。子类可以扩展或重写父类的方法。

5.2 构造函数

如果要传参，就要使用到构造函数，

经典类的写法：父类.__init__(self, 参数1, 参数2)
新式类的写法：super(子类, self).__init__(参数1, 参数2)

5.3 方法继承

C3 线性继承，mro 继承

5.4 静态方法

静态方法使用 @staticmethod 装饰器定义，不需要访问实例或类属性。适用于不需要访问实例或类状态的方法。
静态方法设定为恒定的当前运行环境，类方法的运算环境可以随着继承关系而进化
静态方法由于不使用相对引用来标定参数因此不会随着继承到新环境而改变运算逻辑
类方法由cls参数自动带入类的环境引用，因此会随着继承到新环境而改变运算逻辑

5.5 多态

多态是指不同类的对象可以对同一方法做出不同响应的特性。通过继承和方法重写实现多态。

编程模式-并发

Python 并发编程允许程序同时执行多个任务，提高效率和响应性。根据实现方式和适用场景，Python 提供了多种并发编程模型。

1 并行与并发

并发是指多个任务在同一时间段内交替执行，而并行是指多个任务在同一时刻同时执行。多线程、协程是并发，多进程是并行。

2 `name` 属性

模块（.py文件）创建之初会自动加载一些内建变量

3 Python设计模式

3.1 策略模式

三部分

上下文（Context）：使用策略的类，持有对策略接口的引用。
策略接口（Strategy）：定义一组算法的接口。
具体策略（Concrete Strategy）：实现策略接口的具体算法。

3.2 单例模式

保证一个类仅有一个实例，并提供一个全局访问点。

重写 __new__() 方法，确保类只能创建一个实例。

3.3 观察者模式

多使用一种注册-通知-撤销注册的形式 Observer）将自己注册到被观察对象（Subject）中，被观察对象将观察者存放在一个容器（Container）里

3.4 工厂模式

抽象类：抽象类是被继承的，不能直接实例化
用 abc.abstractmethod 装饰器定义抽象方法，子类必须实现。

4 并发编程

多进程：进程通讯机制
多线程：线程锁与同步
协程-时间轮转机制：单线程分时任务处理
并行：多核 CPU 不同核上跑的两个进程，两个计算流在时间上重叠
并发：单核 CPU 跑的两个进程，两个计算流在时间上交替执行

5 线程（Threading）

线程：调度执行的最小单元
- 每个线程运行在单一进程中
- 一个进程中可以有多个线程
线程上下文
- 程序计数器、通用目的寄存器、浮点寄存器、条件码
- 线程 ID、栈、栈指针
线程间可以共享进程空间的公有数据
多进程：程序之间不共享内存，使用虚拟地址映射保证资源独立
- 优点：一个进程挂了不影响别的进程
- 缺点：进程间通信（IPC）开销大，创建和销毁进程开销大
多线程：
- 优点：上下文切换效率高，线程之间信息共享和通信方便
- 缺点：一个线程挂了会使整个进程挂掉，操作全局变量需要锁机制
线程锁机制：多个逻辑控制流同时读写共享的资源时，需要加入锁机制
p.start() 启动线程，p.join() 等待线程结束。
进程池：固定数量的进程，有任务要处理就拿一个进城来处理任务
两个进程传递消息，可以使用 Pipe()，多个进城共享消息或数据可以使用 Queue()，
消息队列的常见应用：生产者-消费者

6 第四次作业讲评

变量引用的特点：闭包中的内部函数不会拷贝外部变量的值，而是引用这个变量，如果变量修改，内部函数看到的是修改后的值
yield from 用于委托生成器，可以将一个生成器的输出直接传递给另一个生成器。

线程-协程-网络编程

Python 提供了丰富的并发和网络编程模型，通过线程、协程和网络库实现高效的多任务处理和网络通信。

1 多线程资源锁

线程间可以共享全局变量，可以用锁机制来协调多线程的运行在 CPython 中由于全局解释器锁 GIL 的存在，多核 CPU 无法提升效率，可以选择没有 GIL 的 Python 实现（如 IPython）

2 协程（Coroutine）

本质上是一个可被异步唤醒的函数，存在自阻塞操作的被动服务函数，存在发出调用操作并等待调用返回才继续执行的主动客户方，协程的调度由用户程序（而非系统内核）自己来控制

2.1 生成器函数被动响应

在函数里定义 a = yield b，利用 send 方法发送一个值，会被 a 接受，启用 next 的时候返回 b（next 其实会发送 None）

2.2 异常注入与 throw方法

在生成器函数中，可以使用 throw 方法向协程发送异常，协程可以捕获并处理这些异常。

2.3 回调函数

在函数中调用一个作为参数传入的函数

2.4 yield from 与协程嵌套

yield from“ 是一个在Python协程（coroutine）中使用的表达式。它的意思是唤醒某个生成器“产生”值，并且在那个地方暂停执行，等待被唤醒生成器（协程）产生后继续执行。
用 await 代替 yield from ，异步 awaitable object 要使用 async def 定义异步函数。

3 正则表达式

\, ^, \d, \w, \s、*、+、?、{m,n},
re.match()：从字符串开头匹配正则表达式。
re.search()：在字符串中搜索正则表达式。
re.findall()：返回所有匹配的子串列表。
\A, \Z, ^, $, \b, \B
括号是分组，多个分组按左括号从左往右从 1 开始编号
电话号码：^\d{11}$
邮箱：^[a-zA-Z0-9.]+@[a-zA-Z0-9.]+$
在量词后面加上 ? 可以变成非贪婪模式，匹配尽可能少的字符

4 网络编程基础

连网的计算机根据其提供的功能将之区分为客户机或服务器（C/S）
通信协议：计算机之间以及计算机与设备之间进行数据交换而遵守的规则、标准或约定
- TCP/IP（在互联网上采用），IEEE802.3以太网协议（局域网），IEEE902.11 （无线局域网，WIFI）
网络通信识别的基本方案：
- 服务器监听特定的端口：如8080
- 得到请求后建立数据链路（远程I/O strem）
- 启动阻塞式通讯（TCP）
C/S 架构与 B/S 架构
- C/S（Client/Server）：12306 APP 购票，客户端和服务器端直接通信，适用于需要高性能和实时交互的应用。
- B/S（Browser/Server）：12306 网页购票，浏览器作为客户端，通过 HTTP 协议与服务器通信，适用于 Web 应用。
HTTP 协议：超文本协议

NumPy

1 初始化

2 reshape

3 运算

add, subtract, multiply, divide, power 等函数用于逐元素的运算
np.concatenate() 默认沿着第一个轴连接数组，axis=0 表示按行连接，axis=1 表示按列连接。
- vstack：沿着 axis =0
- stack：新的维度
sort（）：
- 默认为 -1，最后一个轴
- 否则指定哪个按哪个
- axis =None 展平之后排

4 广播

维度有一个对上了，另一个是 1 就可以
向量乘法：
- 最常用 np.dot 对于一维相当于点积，对于二维相当于矩阵乘法 matmul 或者 @ ，否则就是沿着 a 的最后一个轴与 b 的倒数第二个进行点积
- vdot 是绝对的向量点乘
- inner 内积，否则就是沿着最后一个轴的内积和
切片只是一个视图，不会复制数据，改变切片会修改元数据，
- 拷贝可以用 copy 或者 take
- 省略号会省略其他维度
- 切片参数如果是一个 list，就采用高级索引模式
- 通过下标元组得到的是一个副本
- 生成表达式也可以作为索引

5 画图

6 线性代数包

计算 Bx = C 的解，使用 np.linalg.solve(B, C) 或者 np.linalg.inv(B)@C
线性空间变换可以用变换矩阵直接点乘

7 特征值与特征向量

SIMD（Single Instruction Multiple Data）指单条指令对多数据进行并行处理，适用于向量化操作。

8 Kmeans 聚类

8.1 步骤

随机选择 K 个初始聚类中心。
将每个数据点分配到最近的聚类中心。
更新每个聚类中心为其所属数据点的均值。
重复步骤 2 和 3，直到聚类中心不再变化或达到最大迭代次数。
返回最终的聚类中心和每个数据点的聚类标签。

8.2 意义

Kmeans 会收敛到局部最优解
算法复杂度为 O(n * k * i)，其中 n 是数据点数量，k 是聚类数量，i 是迭代次数。
本质是一种贪心算法
需要预先指定 k 值和初始划分
VQ 下平方和误差最小

8.3 改进方案

确定 K 值：使用肘部法则（Elbow Method）或轮廓系数（Silhouette Coefficient）。
初始种子选定

8.4 质量评价

聚类的纯度：分出的结果中占比最高的类别所占的比例 $$ P(S_{r}) = \frac{1}{n_{r}}\max (n_{r}^{i}) $$ 聚类结果的纯度：所有聚类中“最多类别数量”之和 ÷ 全数据量 $$ P(S_{r}) = \sum\limits_{r=1}^{k} \frac{n_{r}}{n}P(S_{r}) $$ F 值：准确率和召回率的调和平均数 $$ \begin{aligned} P(i, r) &= \frac{n_{r}^{i}}{n_{r}} , R(i, r) = \frac{n_{r}^{i}}{n_{i}} \ f(i, r) &= \frac{2 \cdot P(i, r) \cdot R(i, r)}{P(i, r) + R(i, r)}\ F &= \sum\limits_{i}\max f(i,r) \end{aligned} $$

Numpy 进阶

1 向量范数

L1 范数（曼哈顿距离）：向量元素绝对值之和。
L2 范数（欧几里得距离）：向量元素平方和的平方根。
无穷范数（切比雪夫距离）：向量元素绝对值的最大值。
分别用 np.linalg.norm(x, ord=1)、np.linalg.norm(x, ord=2)、np.linalg.norm(x, ord=np.inf) 计算。
矩阵范数
- Frobenius 范数：矩阵元素平方和的平方根。np.linalg.norm(A, 'fro')
- 谱范数：矩阵的最大奇异值。np.linalg.norm(A, 2)
- 1-范数：矩阵每列元素绝对值之和的最大值。np.linalg.norm(A, 1)
- ∞-范数：矩阵每行元素绝对值之和的最大值。np.np.linalg.norm(A, np.inf)
中心化：减去列均值 A - A.mean(axis=0)，使得每列均值为 0。
正规化：使用 Frobenius 范数 A / np.linalg.norm(A, 'fro')，使得矩阵的 Frobenius 范数为 1。
布尔下标
布尔下标可以用于筛选满足条件的元素，返回一个布尔数组，True 表示满足条件，False 表示不满足。
np.where(condition, a, b) 返回满足条件的元素对应的索引位置，a 和 b 分别表示满足和不满足条件时的值。
np.clip(x, a_min, a_max) 用于将数组 x 中的元素限制在 [a_min, a_max] 范围内。

2 数据特征分析

分布的信息量 $$ H = -(p\log p+ q\log q) $$ 编码系统的信息量 $$ H(U) = E[-\log p_{i}] $$ 2元编码系统均匀分布的信息熵定义为 1bit 4 元的可以算出是 2 bit 一个特征分布的方差越大，信息量越高

3 特征空间的正交化、标准化

中心化

sample = np.random.normal(loc = 2, scale =1, sizs=(6,2))
sample -= sample.mean(axis=0)
std = sample / sample.std(axis=0)

z-score 标准化 $$ z = \frac{x - \mu}{\sigma} $$

4 特征值与特征空间

eigVals, eigVecs = np.linalg.eig(A.T @ A)

5 PCA

特征值的能量占比= 特征值/特征值之和
cum_var_exp = np.cumsum(var_exp) 计算累计能量占比。
目标：降维的同时保留大部分信息
PCA 的作用包括：
- 降维、去噪、正交化

6 HITS

一种用于网页排序的经典算法，由 Jon Kleinberg 提出。它通过分析网页之间的链接关系，将网页分为两类：

Hub 页面：指向许多高质量 Authority 页面的页面。
Authority 页面：被许多高质量 Hub 页面指向的页面。 HITS 算法的核心思想是 Hub 和 Authority 之间的相互增强关系：
一个好的 Hub 页面会指向许多好的 Authority 页面。
一个好的 Authority 页面会被许多好的 Hub 页面指向。

计算流程：

定义两个向量
1. Authority 向量 a：表示每个页面作为 Authority 的重要性。
2. Hub 向量 h：表示每个页面作为 Hub 的重要性。
更新规则
1. Authority 更新：每个页面的 Authority 分数等于所有指向它的 Hub 页面分数之和。
2. Hub 更新：每个页面的 Hub 分数等于它指向的所有 Authority 页面分数之和。
归一化：每次迭代后，对 Authority 和 Hub 向量进行归一化，防止数值爆炸。
收敛

7 SVD 分解与特征分解

$NM$ 的矩阵 X，rank 为 r，可以分解为三个矩阵的乘积： $$ X = U_{Nr} \Sigma_{rr} V_{Mr}^T $$ 奇异值分解的基本流程 $$ \begin{aligned} v_{1}&= \arg \max_{|v_1|=1} |Xv_{1}|{2}^{2} \ v{2}&= \arg \max_{|v_2|=1, v_2 \perp v_1} |Xv_{2}|{2}^{2} \ \cdots\ v{r}&= \arg \max_{|v_r|=1, v_r \perp v_1, \cdots, v_{r-1}} |Xv_{r}|_{2}^{2} \ \end{aligned} $$ 使用 U, s, VT = np.linalg.svd(X) 计算奇异值分解，其中 U 是左奇异向量矩阵，s 是奇异值向量（一维，可以使用np.fill_diagonal(Sigma, s)，VT 是右奇异向量矩阵的转置。最后选取 Sigma 的前 k 列

特征分解与主成分分析的应用场景

都会要求产生一组正交基
主成分分析：把样本投影到新的特征空间
- 特征工程（检索、聚类）、数据降噪、数据压缩
特征分解（SDV）：样本集被分解为 参数*特征 的线性表达
- 文档话题模型（主题分析）
- 隐含语意挖掘（词义泛化、协同过滤）降维后乘回矩阵
- 检索、聚类：也需要把样本投到新的特征空间
- 特征分析与压缩（GIF、jpg）：可以放松正交性约束

Pandas

1 Series

自动维护标号索引
支持下标和切片访问
也可以指定可哈希的索引（也可以是非连续的索引项）
loc 和 iloc 分别用于标签索引和位置索引

2 Dataframe

初始化 df 使用字段名+数据序列
时间序列索引 dates = pd.date_range('20230101', periods=6)
排序：df.sort_values(by='column_name')，默认升序
df 列之间的运算自动进行索引键对齐/补缺
当列中出现 NaN 时，整数自动转为 float64，布尔值转为 object
isnull和 notnull 用于判断缺失值，fillna 用于填充缺失值，dropna 用于删除缺失值所在的行或列。

3 表的连接

groupby：分组操作，得到 name，group 的 Series 或 Dataframe

3.1 index之间的计算

类似于有序集合
&, |, ^ 分别表示交集、并集和差集

3.2 表的连接

merge() 函数用于连接两个 DataFrame，自动按照公共字段为轴进行合并
on 参数指定连接的公共字段，how 参数指定连接方式（如 'inner', 'outer', 'left', 'right'，默认是 inner 当出现多对一的时候展开为多个），left_on 和 right_on 分别指定左侧和右侧 DataFrame 的连接字段。
连接使用 pd.concat() 函数，默认沿着行（axis=0）连接，可以通过 axis=1 沿着列连接。

文本信息处理

1 距离度量

杰卡德相似系数： $$ J(A, B) = \frac{|A \cap B|}{|A \cup B|} $$ 杰卡德距离： $$ J_{\delta}(A, B) = 1 - J(A, B) $$ 信息相关度：（表明两个随机变量是否比在其独立时更相关） $$ \begin{aligned} I(X;Y) &= \sum\limits_{x \in X} \sum\limits_{y \in Y} P(x, y) \log \frac{P(x, y)}{P(x) P(y)}\ pmi(x;y) &= \log \frac{P(x, y)}{P(x) P(y)}\ \end{aligned} $$ mean squared error（均方误差）： $$ RMSE = \sqrt{\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2} $$

2 TF-IDF 权值

tf-idf 权值计算公式 $$ idf_{t}=\log \frac{N}{df_{t}}, w_{t,d}= tf_{t,d} \cdot idf_{t} $$

图像处理基础

1 社区

社区是指在图中具有较高密度的节点集合，社区检测旨在识别这些节点集合。社区发现的目标：

高内聚性：社区内节点之间的连接密度较高。
低耦合性：社区之间的连接密度较低。

1.1 社区发现的算法

Louvain 算法：基于模块度优化的层次聚类算法，通过合并节点来最大化模块度。
- 模块度：$$ Q=\frac{1}{2m}\sum\limits_{i,j} \left( A_{ij} - \frac{k_i k_j}{2m} \right) \delta(c_i, c_j) $$
- 步骤：
  1. 初始化每个节点为独立社区。
  2. 迭代合并社区，选择合并后模块度最大的社区对。
  3. 重复迭代直到模块度不再提高。
Girvan-Newman 算法：基于边介数的算法，通过逐步移除边来发现社区。
- 边介数： $$ B(e)=\sum\limits_{s \neq t \neq e} \frac{\sigma_{st}(e)}{\sigma_{st}} $$
  - 步骤：
    1. 计算所有边的介数。
    2. 移除介数最大的边。
    3. 重复步骤 1 和 2，直到图被分割成多个连通分量。
标签传播算法（Label Propagation Algorithm, LPA）：基于节点标签传播的算法。
- 步骤：
  1. 初始化每个节点的标签为其自身。
  2. 在每次迭代中，每个节点将其标签更改为其邻居中最常见的标签。
  3. 重复迭代直到标签不再变化。

2 图嵌入

图嵌入是一种将图结构数据（节点、边、图整体）映射到低维向量空间的技术，同时保留原始图的拓扑结构、节点属性和其他关键信息。其核心目标是解决图数据的高维稀疏性和复杂关系表示问题，使图数据适用于传统机器学习模型（如分类、聚类、推荐等）

降维：
保留信息：
可计算性：算法：
基于 JACARD 关联的 PCA 近邻嵌入
DeepWalk：基于随机游走的节点嵌入方法，通过模拟随机游走生成节点序列，使用 Skip-Gram 模型学习节点向量。

3 图像处理

3.1 局部不变特征检测和描述

对遮挡、形变、类内差异稳定

寻找一组具有区分性的关键点在图像中检测具有稳定性和重复性的关键点（如角点）。
在每个关键点周围定义一个区域以关键点为中心划定一个固定或自适应大小的邻域区域。
提取并归一化该区域的内容获取区域内的像素特征并进行尺度、旋转或亮度归一化。
从归一化区域中计算局部描述子将区域特征编码成一个高维向量表示（如 SIFT、ORB）。
匹配局部描述子通过相似度度量在不同图像中寻找最匹配的特征对。

图像特征提取与DCT

1 视觉特征的核心问题

图像特征提取需解决三大挑战：

尺度变化：同一物体在不同拍摄距离下的特征匹配。
旋转变化：物体旋转后仍需保持特征一致性。
光照变化：不同光照条件下的鲁棒识别。

2 SIFT算子（尺度不变特征变换）

2.1 自动尺度选择

目标：通过尺度空间（Scale Space）检测图像中具有尺度不变性的关键点。
方法：
- 高斯拉普拉斯变换（LOG）：通过计算图像的拉普拉斯算子与高斯核的卷积（即LOG），检测图像中的“Blob”（斑点）特征。公式为：
  $$
  L_{xx}(\sigma) + L_{yy}(\sigma) $$ 其中，$\sigma$ 表示高斯核的尺度参数。
- 高斯差（DOG）：用不同尺度的高斯核差分近似LOG，计算效率更高。公式为：
  $$ DOG = G(\sigma_1) * I - G(\sigma_2) * I \quad (\sigma_1 > \sigma_2) $$ 通过构建高斯金字塔和DOG金字塔，检测不同尺度下的极值点（每个像素与同尺度8邻域及上下尺度各9邻域共26个点比较）。

2.2 关键点特征方向表达

方向直方图计算：以关键点为中心，计算邻域像素的梯度方向分布，生成方向直方图。
主方向确定：选择直方图峰值对应的方向作为关键点的主方向，确保旋转不变性。
正则化：将关键点邻域旋转至主方向，实现方向归一化。

2.3 SIFT特征描述子

特征向量构建：将关键点邻域划分为 (4 \times 4) 个单元格（Cell），每个单元格计算8个方向的梯度直方图，最终形成 (4 \times 4 \times 8 = 128) 维向量。
特性：对尺度、旋转、光照变化具有较强鲁棒性，广泛用于图像匹配、物体识别等。

3 HOG算子（方向梯度直方图）

3.1 核心思想

通过计算图像局部区域的梯度方向直方图构成特征，适用于行人检测、人脸识别等场景，但不具备旋转不变性。

3.2 2. 提取流程

灰度化与Gamma校正：标准化颜色空间，减少光照影响。
梯度计算：计算每个像素的梯度大小和方向，捕获轮廓信息。
单元格划分：将图像划分为小单元格（如 (6 \times 6) 像素/Cell）。
梯度直方图统计：每个单元格内统计梯度方向的分布，生成Cell级特征。
块（Block）归一化：将多个Cell组成Block（如 (3 \times 3) 个Cell/Block），进行对比度均衡，增强特征鲁棒性。
特征串联：将所有Block的特征串联，形成图像的HOG特征向量。

3.3 3. 代码示例（OpenCV实现）

import cv2
import numpy as np

# 预设HOG参数
winSize = (20, 20)
blockSize = (8, 8)
cellSize = (8, 8)
nbins = 9
hog = cv2.HOGDescriptor(winSize, blockSize, blockStride=(8,8), cellSize=cellSize, nbins=nbins)

# 提取特征
hog_descriptors = hog.compute(gray_image)

17 神经网络

1 梯度消失

梯度消失问题是指在反向传播过程中，梯度会随着网络层的增加而逐渐减小，甚至在后面的计算中变得非常接近于零。这会导致神经网络在训练时无法正确学习到数据的特征，从而影响模型的准确性和性能。

采用激活函数ReLU（Rectified Linear Unit）是一种常见方法，降低了单层拟合的非线性能力。
负边置为0可以对比PMI表达。这种架构更强调捕获正相关性。

2 Batch Normalization

训练过程中，不断统计当前mini batch中激活值的均值和方差，并使用它们进行标准化，保证下一层输入的分布较为稳定

加速收敛速度，缓解梯度消失等

3 Dropout

属于模型正则化可以避免单层模型有过强的特征捕获表达能力

4 pytorch

autograd 机制

创建一个张量，并设置 requires_grad=True，表示需要对它求导。例如：x = torch.tensor([2.0], requires_grad=True)
使用该张量进行一系列数学运算，PyTorch 自动构建计算图。例如：y = x ** 2 + 3 * x
调用 y.backward() 启动反向传播，自动计算所有梯度。
通过 x.grad 查看张量的梯度值。
每次前向传播都会动态构建新的计算图，确保灵活性和调试友好性。

5 卷积神经网络

手写体识别框架：

卷积层
激活层
池化层
全连接层
激活层损失函数的定义 `criterion = nn.CrossEntropyLoss() 优化器 optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01, momentum=0.9) 计算梯度、更新参数

loss.backward()  # 反向传播计算梯度
optimizer.step()  # 更新参数

网络的优化：

训练过程优化
- optimizer 的选择：Adam
  - 与SGD的核心区别在于计算更新步长时，增加了分母：梯度平方累积和的平方根。此项能够累积各个参数gt,i的历史梯度平方，频繁更新的梯度，则累积的分母项逐渐偏大，那么更新的步长(stepsize)相对就会变小，而稀疏的梯度，则导致累积的分母项中对应值比较小，那么更新的步长则相对比较大。
  - 对梯度的一阶矩估计（First Moment Estimation，即梯度的均值）和二阶矩估计（Second Moment Estimation，即梯度的未中心化的方差）进行综合考虑，计算出更新步长。
  - 优点
    - 实现简单，计算高效，对内存需求少
    - 参数的更新不受梯度的伸缩变换影响
    - 超参数具有很好的解释性，且通常无需调整或仅需很少的微调
      - 更新的步长能够被限制在大致的范围内（初始学习率）
    - 能自然地实现步长退火过程（自动调整学习率）
    - 很适合应用于大规模的数据及参数的场景适用于不稳定目标函数
    - 适用于梯度稀疏或梯度存在很大噪声的问题
数据优化
- 标准化
- 数据增强
模型参数优化

评价指标

准确率：有多少比例正确
精准率：预测为正的当中有多少正确
召回率：正样本中有多少被预测为正
F1-score：精准率和召回率的调和平均数

6 RNN模型

在 pytorch 中的实现：

定义网络结构
- forward 中要 combine input 和 hidden
设置样本集
采用序列循环模式进行训练
序列编码的每一个输出都是前驱序列的编码结果
序列编码本质上是一个时序过程，理论上应该有滑窗限制
在语言类问题的处理中常常借用语言的自然边界，如标点
RNN序列编码是一个2阶模型仿真n阶模型，必然弱于真n阶模型的编码能力

7 LSTM模型

假设：

当前输入：$x_t$
上一个隐藏状态：$h_{t-1}$
上一个细胞状态：$C_{t-1}$

7.1 （1）遗忘门 — 决定丢弃多少旧信息

$$ f_t = \sigma(W_f \cdot [h_{t-1}, x_t] + b_f) $$

$\sigma$ 是 sigmoid 激活，输出在 0~1 之间，代表遗忘比例
0 表示“完全忘记”，1 表示“完全保留”

7.2 （2）输入门 — 决定写入多少新信息

$$ i_t = \sigma(W_i \cdot [h_{t-1}, x_t] + b_i) $$

7.3 （3）生成候选记忆 — 新的候选内容

$$ \tilde{C}t = \tanh(W_C \cdot [h{t-1}, x_t] + b_C) $$

7.4 （4）更新细胞状态 — 结合遗忘旧记忆和添加新记忆

$$ C_t = f_t \odot C_{t-1} + i_t \odot \tilde{C}_t $$

$\odot$ 表示元素乘（Hadamard积）
这一步就是“部分保留旧记忆 + 部分加入新记忆”

7.5 （5）输出门 — 决定隐藏状态输出什么

$$ o_t = \sigma(W_o \cdot [h_{t-1}, x_t] + b_o) $$

7.6 （6）计算隐藏状态

$$ h_t = o_t \odot \tanh(C_t) $$

神经网络生成模型

1 Seq2Seq

模型的基本框架

ht = Encoder(e(xt), ht-1)
st = Decoder(d(yt), st-1)
\hat yt=f(st)

解决 seq2seq 效率问题的一种方法：teacher forcing 定长输入 \to 定长输出，多余的用空字符补齐

2 self-attention

矩阵运算 $$ Attention(Q, K, V) = softmax\left(\frac{QK^T}{\sqrt{d_k}}\right)V $$

国际金融

Tue, 05 Aug 2025 08:00:00 GMT

lecture 2

1 汇率基础

直接标价法：每一个外币可以拿到的本币 $E_{¥/{\char36}}$
- 直接标价法下，汇率上升说明本币贬值，汇率下降说明汇率升值
间接标价法：每一个本币可以拿到的外币 $E_{{\char36}/¥}$
汇率的两个方面：商品的价格和资产的收益
经验法则：花钱决策不受使用的货币影响，存钱决策也不受影响
贸易条件（Terms of Trade）：一个国家出口的商品价格与进口商品价格的比率
有效汇率：使用贸易权重计算的加权平均汇率，这样的话有效汇率的变化率是使用贸易权重计算的加权平均汇率变化率

2 汇率制度

固定利率：政府设定一个汇率，允许在这个汇率附近有一个小的波动范围
浮动利率：政府不设定汇率，允许汇率自由波动

3 外汇市场

美元是 vehicle currency，三个主要的外汇交易中心是伦敦、纽约和东京
Spot contract：即期合约，交易双方在交易日当天交割，占外汇市场大多数
Forward contract：远期合约，交易双方在未来某个时间交割
- 在直接标价法下，$F>E$，称为远期贴水
- 在直接标价法下，$F<E$，称为远期升水
Swaps：掉期，即期加远期合约

4 套利

两地套利：汇率和所在地无关
三角套利：$E_{\pounds/{\char36}} = E_{\pounds/¥} E_{¥/{\char36}}$

5 利率平价条件

UIP：$i_{\char36} = i_€ + \frac{E^e_{{\char36}/€} - E_{{\char36}/€}}{E_{{\char36}/€}}$
CIP：$i_{\char36} = i_€ + \frac{F_{{\char36}/€} - E_{{\char36}/€}}{E_{{\char36}/€}}$

lecture 3

1 一价定律

一个商品，一个价格

2 购买力平价

PPP：对同样的商品篮子运用一价定律
绝对购买力平价：$E_{{\char36}/€} = P_{\char36} / P_€$
相对购买力平价：$\frac{E_{{\char36}/€,t+1}-E_{{\char36}/€,t} }{E_{{\char36}/€,t}}= \pi_{{\char36}, t+1} - \pi_{€, t+1}$

PPP 失效的原因：

非卖品
交易成本
不完全竞争
价格粘性和狂暴汇率

3 货币和货币供给

货币总量完全由央行控制

4 长期货币市场均衡

4.1 简单版本

$$M=M^{d}=\bar LPY$$ 通胀决定式 $$\pi=\mu-g$$ 通常假设产出不变

4.2 通常版本

$$M=M^{d}=L(i)PY$$ $$r^{e}=i-\pi^{e},\pi^{e}=\frac{P^{e}-P}{P}$$ 几条假设：

一步调整到位原则
稳定增长状态下名义利率为常数，故 L 为常数 $\pi=\mu-g$
稳定增长状态下预期与实际相符，$\pi^{e}=\pi_{+1}=\pi$

5 长期模型下的汇率：货币法

长期来看汇率由价格决定
长期来看，价格由货币供应和真实货币需求决定

5.1 简单版本

$$E_{{\char36}/€}=\frac{M_{\char36}/M_€}{\bar LY_{US}/\bar LY_{EU}}$$ 所以可以得到 $$\frac{E_{{\char36}/€,t+1}-E_{{\char36}/€,t}}{E_{{\char36}/€,t}}=(\mu_{\char36}-\mu_€)-(g_{US}-g_{EU})$$

5.2 通常版本

$$E_{{\char36}/€}=\frac{M_{\char36}/M_€}{L(i_{\char36})PY_{\char36}/L(i_€)PY_€}$$ 所以可以得到 $$\frac{E_{{\char36}/€,t+1}-E_{{\char36}/€,t}}{E_{{\char36}/€,t}}=(\mu_{\char36}-\mu_€)-(g_{US}-g_{EU})$$ 国际费雪效应：名义利率差等于预期通胀率差，可以通过 UIP 条件和 PPP 条件得到

6 实际汇率

直接标价法下： $Q_{US/ Eu}=\frac{EP_{EU}}{P_{US}}$
实际汇率贬值，$Q_{US/ EU}$ 上升；实际汇率升值，$Q_{US/ EU}$ 下降
PPP 成立，则真实汇率等于 1

7 巴萨假说

$$ RY_{i/US} = \frac{GDP_{i}/(P_{i}/P_{US})}{GDP_{US}}\frac{POP_{US}}{POP_{i}} $$ $$ Q_{US/i}=(P_{i}/P_{US})E_{i/{\char36}} $$ 宾大效应：$RY_{i/US}$ 和 $Q_{US/i}$ 存在正向线性关系巴萨假说：RER 主要由国家间贸易部门和非贸易部门的相对生产力决定

两个国家，分别两个部分
劳动力可以在部门之间自由流动但是不能跨国流动
非贸易部门生产能力恒定
对于本国商品，一价定律成立生产方程： $$ Y_{T} = A_{T}L_{T}, Y_{N} = A_{N}L_{N}, Y^_{T} = A^{T}L^*{T}, Y^_{N} = A^{N}L^*{N} $$ 完全竞争下的价格水平 $$ P_{T}=\frac{W}{A_{T}}, P_{N}=\frac{W}{\bar A_{N}}, P^_{T}=\frac{W^}{A^_{T}}, P^{N}=\frac{W^}{\bar A^{N}} $$ 一价定律： $$ P_{T}=EP^{}_{T}\Rightarrow \frac{W}{EW^}=\frac{A_{T}}{A^{T}} $$ 总价格： $$ P=(P{N})^{\alpha}(P_{T})^{1-\alpha},P^=(P^_{N})^{\alpha}(P^{T})^{1-\alpha} $$ 消费比例相同： $$ \frac{P{T}C_{T}}{P_{N}C_{N}}=\frac{P^_{T}C^{T}}{P^*{N}C^{N}}=1-\alpha $$ 公平贸易： $$ C{T}=Y_{T}, C_{T}^=Y^{T} $$ 非交易部门市场出清： $$ C{N}= Y_N, C^{N}= Y^*{N} $$ 可以得到的结论： $$ \frac{L_{T}}{L_{N}}=\frac{L^_{T}}{L^{N}}=\frac{1-\alpha}{\alpha} $$ $$ Q = \left(\frac{A{T}/A_{N}}{A^{}_{T}/A^{}_{N}}\right)^{\alpha} $$

Lecture 4

1 外汇市场均衡

UIP 条件

2 短期外汇市场均衡

$$ M=M^{d}=L(i)\bar PY,\Leftrightarrow \frac{M}{\bar P}=\frac{M^{d}}{\bar P} = L(i)Y,where~ L'(i)<0 $$

3 资产法

$$ \begin{cases} \frac{M_{US}}{\bar P_{US}}=L(i_{US})Y_{US} \ \frac{M_{EU}}{\bar P_{EU}}=L(i_{EU})Y_{EU} \ i_{\char36} = i_€ + \frac{E^e_{{\char36}/€}-E_{{\char36}/€}}{E_{{\char36}/€}} \end{cases} $$

4 超调模型

Assumptions:

最开始是稳定增长的，短暂调整之后回到稳定增长状态
两国实际利率相等
所有实际变量给定
所有外国变量给定
$P_{US}$ 短期内有粘性，但是长期来看会收敛到 $P_{US}^{SS}$
$E^{e}$ 迅速调整到新的 $E^{SS}$ 并且保持不变

5 货币收入模型：长期表达式

假设：

PPP
UIP
货币市场出清稳定系统

$s_{t}=p_{t}-p_{t}^*$
$E_{t}(s_{t+1})-s_{t}=i_{t}-i^{*}_{t}$
$m_{t}-p_{t}=\gamma y_{t}-\alpha i_{t}$ 计算可以得到 $$ s_{t}=(1-b)\sum\limits_{j=0}^{\infty}b^{j}E_{t}[(m_{t+j}-p_{t+j})-\gamma(y_{t+j}-y^{*}_{t+j})] $$

6 固定汇率与不可能三角

浮动汇率下，传导路径是 $M\to i\to E$ 固定汇率下，传导路径是 $E\to i\to M$

lecture 5

GNE：国民总支出，$GNE = C+G+I$
GDP：国内生产总值，$GDP =GNE+TB$
- TB：贸易差额，$TB = EX - IM$
GNI：国民总收入，$GNI = GDP + NFIA$
- NFIA：净要素收入，$NFIA = EX_{FS}-IM_{FS}$
GNDI：国民总可支配收入，$GNDI = GNI + NUT$
- NUT：净转移支付，$NUT = UT_{+}-UT_{-}$

1 经常账户 CA

经常账户 CA：$CA = TB + NFIA + NUT$
TB 是 CA 最重要的部分
$GNDI = C+G+I+CA$
经常账户恒等式：$S=GNDI-(C+G)=I+CA$

2 金融账户 FA 和资本账户 KA

金融账户 FA：$FA = EX_{A}-IM_{A}$
资本账户 KA：$KA = KA_{IN}-KA_{OUT}$

3 国际收支余额 BOP

记账的法则：

真金白银法则：记在 TB、NFIA、FA
爱的法则：记在 NUT、KA 国际收支恒等式 $$ CA+FA+KA=0 $$

金融账户分解$FA=NRFA+OSB$

NRFA：非储备金融资产
OSB：官方储备资产
国际收支余额：$BOP=CA+NRFA+KA$

Lecture 6

1 金融全球化的收益

金融封闭，则该国收支平衡一国长期预算约束式，假设净财富 $W$

假设
- NUT = 0
- NFIA 只包括净投资收入
- KA =0
- 世界上只有一种商品
- 世界上只有一种资产
- 资本损益为 0，$\Delta W = CA$
运动方程：$\Delta W_{t}=W_{t}-W_{t-1}=TB_{t}+r^{w}W_{t-1}$
长期预算约束式：$-(1+r^{w})W_{-1}=\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{TB_{j}}{(1+r^{w})^{j}}$
也可以写成 $-(1+r^{w})W_{-1}+\sum\limits_{j=0}^{\infty} \frac{GDP_{j}}{(1+r^{w})^{j}}=\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{GNE_{j}}{(1+r^{w})^{j}}$

2 金融全球化的风险

Lecture 7

1 商品市场均衡

本国商品总需求 $$ D=C+\bar G+I +TB=C+\bar G+I+CA $$ 可支配收入 $$ C= C(Y-\bar T), MPC=C'(Y-\bar T)\in(0,1) $$ 政府消费

预算平衡 $\bar G=\bar T$
预算赤字 $\bar G>\bar T$
预算盈余 $\bar G<\bar T$ 投资 $$ I=I(i),I'(i)<0 $$ 贸易余额 $$ TB=TB(\frac{E\bar P^{}}{\bar P}, Y-\bar T, \bar Y^{}-\bar T^{}),TB_{1}>0,,TB_{2}<0,TB_{3}>0 $$ 总需求 $$ D = C(Y-\bar T)+\bar G+I(i)+TB(\frac{E\bar P^{}}{\bar P}, Y-\bar T, \bar Y^{}-\bar T^{}) $$ $$ \frac{\partial D}{\partial (Y-\bar T)}\in(0,1), \frac{\partial D}{\partial \bar G}>0,\frac{\partial D}{\partial i}<0,\frac{\partial D}{\partial E\bar P^{}/\bar P}>0,\frac{\partial D}{\partial (\bar Y^{}-\bar T^{*})}>0 $$ 凯恩斯交叉

2 IS曲线

商品市场均衡条件 $$ Y = C(Y-\bar T)+\bar G+I(i)+TB(\frac{E\bar P^{}}{\bar P}, Y-\bar T, \bar Y^{}-\bar T^{}) $$ 外汇市场均衡条件 $$ i=\bar i^+\frac{E^e-E}{E} $$ 于是，可以得到 $$ Y = IS(i; \bar G, \bar T,\bar i^{},\bar E^{e}, \bar P^{}, \bar P, \bar Y^{}, \bar T^{} ) $$

3 LM曲线

货币市场均衡 $$ M/ \bar P = L(i,Y-\bar T) $$ 于是可以得到 $$ i = LM(Y; M, \bar P) $$

4 IS-LM-FX模型

5 稳定化政策

6 流动性陷阱

名义利率有零下限约束

lecture 8

1 中国汇率制度沿革

1981-1993，双轨制
1994 年第一次汇改，干预而不再决定操控价格
1997-2005，盯住美元，8.28
2005 年第二次汇改，管理浮动，一篮子货币、浮动区间
2005-2015，管理浮动汇率制
2015 年第三次汇改，完善中间汇率形成机制

2 人民币低估说

lecture 11

1 汇率制度

汇率制度选择：一体化程度 V.S. 相似度

一体化程度：稳定汇率有利于贸易
相似度：固定汇率使得钉住国丧失货币政策独立性，但是两国相似度越高，就越不需要货币政策独立性

2 汇率系统

利率合作：钉住国和被钉住国采取相类似的货币政策

lecture 13

1 汇率危机

汇率危机：汇率大幅贬值，对于钉住汇率制的国家，往往 5 年左右崩盘，政府被迫放弃钉住汇率制，崩盘瞬间大幅贬值

2 固定汇率制

假设

开放小国：$i^$ 为常数，$P^{}=1$
UIP 条件：$i = i^{*}+(E^{e}-E)/E$
- 钉住汇率制下，$E^{e}=E=1$ 可信承诺
- 浮动汇率制下，$E^{e}=E_{+1}$ 完美预期
PPP 条件：$P = EP^{*}$
货币市场出清：$M/P = L(i)Y$
简化版央行资产负债表：$M = B+R$，其中 B 是央行持有的国债，不受央行决定，R 是央行的外汇储备，R/M 是支持比率可以得到钉住汇率制下
UIP 条件 $\Rightarrow$ $i^*=i$
PPP 条件 $\Rightarrow$ $P=1$
货币市场出清 $\Rightarrow$ $M = L(i^{*})Y$
央行资产负债表 $\Rightarrow$ $R = L(i^{*})Y-B>0$
支持比率定义 $\Rightarrow$ $\frac{R}{M}= 1- \frac{B}{[L(i^{})Y]}\in(0,1)$ 钉住汇率制下央行对外生变化的反应以及后果 $$ \begin{aligned} &M=L(i^{})Y \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial Y }>0, \frac{\partial M}{\partial i^{}}<0 , \frac{\partial M}{\partial B}=0 \ & R = L(i^{})Y-B \Rightarrow \frac{\partial R}{\partial Y }>0, \frac{\partial R}{\partial i^{}}<0 , \frac{\partial R}{\partial B}=-1 \ & \frac{R}{M}= 1- \frac{B}{[L(i^{})Y]} \Rightarrow \frac{\partial (R/M)}{\partial Y }>0, \frac{\partial (R/M)}{\partial i^{}}<0 , \frac{\partial (R/M)}{\partial B}=-\frac{1}{L(i^{})Y}<0 \end{aligned} $$

3 第一代汇率危机

钉住汇率制下，M 与 B 无关，在 (M, B) 平面上是垂直线
浮动汇率制下，M = B，45 度线，谓之浮动线

短视或完美预期

短视：危机在外汇储备自然耗尽的那一刻爆发，货币供给水平不变
完美预期：危机在外汇储备耗尽之前爆发，关键是那一瞬间汇率不变，货币供给水平下降

4 第二代汇率危机

相机承诺：只有当信守承诺的获益高于成本的时候，行为主体才会言行一致有两种钉住：可信的和不可信的

可信的：市场相信下一期还会钉住
不可信的：市场相信下一期将要被放弃
不可信钉住的成本高于可信钉住的成本

计算机视觉导论

Tue, 05 Aug 2025 08:00:00 GMT

lecture 5

1 MLP

MLP 的出现：因为传统的线性模型表达能力不足 Through many non-linear layers, transform a linear nonseparable problem to linear separable at the last layer

2 Conv

卷积的参数多少 $FFC_{1}*C_{2}$，其中 $C_{1}$ 是输入通道数，$C_{2}$ 是输出通道数 CNN 是 sparse connection，MLP 是 dense connection FC 是 CNN 的超集，表达能力更强 Parameter Sharing = Equivariance with Translation

lecture 6

1 data processing

减去均值和方差应该是对于同一个 pixel 的不同图片，而非同一图片的全部 pixel

2 Weight Initialization

Xavier Initialization: $Var(W) = \frac{1}{n_{in}}$，即标准正态化后除以 $\sqrt{n_{in}}$ He initialization: $Var(W) = \frac{2}{n_{in}}$，即标准正态化后除以 ${\frac{\sqrt{n_{in}}}{2}}$，因为 relu 会直接减少一半的神经元输入

3 SGD

可能会碰到鞍点(saddle point)
可能在不同方向上 loss 降低的速度不同其中之一的解决办法是 Momentum

4 learning rate

epoch是所有数据过一遍 iterations = epoch_size / batch_size

5 Batch Normalization

在 train 和 test 的时候不一样解决了 covariance shift 的问题 / 使得 loss curve 更平滑存在的问题： train 和 test 的时候分布不同 batch_size较小时，batch_norm的效果不好，可以考虑使用 group norm

Lecture 7

1 He initiation

针对 RelU 设计：乘上 $\sqrt{\frac{2}{n}}$ 每层分布不变，没有 covariance shift，但是只在初始状态下控制住了，后续 gradient 变化需要用 normalization 来控制 Batch norm 把输入限制为正态分布，使得分布更加平稳

2 Residual link

Use network layers to ﬁt a residual mapping instead of directly trying to ﬁt a desired underlying mapping 使得 loss 从深层的高度 chaotic 变得更加 convex 和光滑

3 Data augmentation

DA 的幅度不能太大，不能丢失图片中的核心信息

4 Regularization

添加权重衰减项

5 Batch norm 也可以降低 overfitting

因为可以限制模型的表达能力但是在最后一层不会加 Batch norm，因为此时不认为其应该满足高斯分布

6 Softmax

$$ \sigma(z_{i}) = \frac{e^{\beta z_{i}}}{\sum\limits e^{\beta z_{i}}} $$ 默认 $\beta =1$ 当 $\beta \to \infty$，$softmax \to \arg\max$

7 KL Divergence

不满足距离的三角不等式 $D_{KL(P||Q)}\ge 0$，等于号取到当且仅当 $P=Q$ 随机初始化时 $\mathcal{L}_{CE} \approx$ 类别数的对数

Lecture 8

1 * 1 conv 不等于 FC，一般用于最后修饰

1 bottleneck

使用 bottleneck 来提高计算效率，即使用 $11conv, 33conv, 11conv$，来代替原来的两个 $33 conv$ ，瓶颈的好处在于筛选掉不重要的信息

2 mobilenet

3 Unet

bootleneck
- Large receptive field and provides global context
- Get rid of of redundant redundant information
- Lower the computation cost
Skip link：
- Assist ﬁnal segmentation
- Avoid memorization

4 Evaluation

$$IoU = \frac{target \cap prediction}{target \cup prediction}$$

lecture 9

explicit: 显式地提供 3D 信息，包括点云图，mesh，voxel
implicit: 隐式表达 3D 信息，Signed Distance Function等 aperture 的大小存在 trade-off:
大 aperture：明亮但是很模糊
小 aperture：清晰但是亮度低解决办法：加透镜

1 perspective(projective) camera

Camera intrinsics(5个自由度): $$ P'=MP, M=K[I, 0], K=\begin{bmatrix} &\alpha &0 &c_{x}\ &&\beta&c_{y} \ &&&1 \end{bmatrix} $$ 内参是解决相机坐标系的问题，外参是解决从相机坐标系到世界坐标系的问题正交变换包括含镜像$det = -1$和不含镜像$det=1$的旋转，都保长度保角度 $$ P= \begin{bmatrix} &R &T \ &0&1 \end{bmatrix}P_{w}, P' =MP=K[I, 0]\begin{bmatrix} &R &T \ &0&1 \end{bmatrix}P_{w}=K[R,T]P_{w}= \begin{bmatrix} m_1\ m_2 \ m_3 \end{bmatrix}P_{w} $$ 为什么投影变换出现近大远小：因为除以了距离坐标$z$

2 weak projective camera

没有近大远小，上帝视角，距离非常远

3 正交投影

保长度好处是测量物体的高度

4 相机校准（calibration）

$$ \mathbf{K} = \begin{bmatrix} \alpha & -\alpha \cot\theta & u_0 \ 0 & \frac{\beta}{\sin\theta} & v_0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad \mathbf{R} = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_1^{\mathrm{T}} \ \mathbf{r}_2^{\mathrm{T}} \ \mathbf{r}_3^{\mathrm{T}} \end{bmatrix} \quad \mathbf{T} = \begin{bmatrix} t_x \ t_y \ t_z \end{bmatrix} $$ 一共 11 个参数，内参五个，外参 6 个，至少需要 6 组对应点，因为 1 组点坐标有两个，实际中我们会选择多组点选取能量最低的办法为什么要选择三个棋盘，因为 K 实际上决定的是Field of View，即只能确定张角而不能确定距离，只有不在一个平面上的数据（可以是两个平行的平面）才能确定所有结果

5 深度图

$H\times W\times 1$，1记录的是 z-depth 而非 v-depth，深度图只是 2.5D，因为如果计算真实世界中的距离还需要用到相机的内参 K

lecture 10

1 stereo sensors

disparity maps: $$ u-u'=\frac{Bf}{z} $$ Advantages：

Robust to the illumination of direct sunlight
Low implementation cost Disadvantage:

Finding correspondences correspondences along $Image_{L}$ and $Image_{R}$ is hard and erroneous

2 structure light

主动投射，使用的是红外光，缺陷是在室外用不了，因为太阳光的红外光更加强烈，也解决不了镜面问题

3 Voxel

H×W×D

Can be indexed Can be indexed
An expensive expensive geometry geometry representation representation
Not a surface surface representation representation
Where is the surface? the surface？
How to upsample?

4 Mesh

用三角形（最通用）线性逼近 3D 物体的表面 $$ \begin{align*} V&={v_1, v_2, \ldots, v_n} \subset \mathbb{R}^3\ E&={e_1, e_2, \ldots, e_k} \subseteq V\times V\ F&={f_1, f_2, \ldots, f_m} \subseteq V\times V\times V \end{align*} $$

5 point cloud

点云是一个稀疏的三维表示方法，点云中每个点都有一个坐标，不可看作是一个 $N\times 3$ 的向量，因为点的顺序关系实际上不重要点云的问题：分不清边缘和表面在哪里，因为点云只是在表面上的一种采样，采样过程包括两次随机，首先是随机选择三角形，然后在三角形内部随机选择

5.1 FPS

实际上是一个 NP 问题，计算实在困难

5.2 Iterative Furthest Point Sampling

可以先选择 K 个点，然后依次添加进离这些点最远的点

5.3 计算点云之间的距离

Chamfer distance We define the Chamfer distance between $S_1, S_2 \subseteq \mathbb{R}^3$ as: $d_{CD}(S_1, S_2) = \sum_{x \in S_1} \min_{y \in S_2} |x - y|2 + \sum{y \in S_2} \min_{x \in S_1} |x - y|_2$ 对采样不敏感，因为不要求一一对应
Earth Mover's distance Consider $S_1, S_2 \subseteq \mathbb{R}^3$ of equal size $s = |S_1| = |S_2|$. The EMD between $A$ and $B$ is defined as: $d_{EMD}(S_1, S_2) = \min_{\phi: S_1 \to S_2} \sum_{x \in S_1} |x - \phi(x)|_2$ where $\phi : S_1 \to S_2$ is a bijection.对采样敏感，因为总要求一一对应

5.4 点云的深度学习

Deep net needs to be invariant to N! permutations pointnet的缺陷：只能提取到全局特征，不能提取局部特征 pointnet++：Recursively apply pointnet at local regions.

Lecture 11

1 PointNet ++

一般而言不如 3D conv 的表达能力强，因为 PointNet++ 对于位置不敏感，各向同性，想要达到相同的效果要使用 MLP field Voxelization 会造成信息损失 3D conv 计算量太大，所以使用 sparse conv，只有表面的 voxel 记为 1，只计算有数的部分，天然适合处理大批量的数据，广泛应用于工业，对于信息的损失，可以存储一个平均值以作为全局信息

2 RNN

功能：

学习序列数据的特征
生成序列数据 W 的梯度计算了 $\frac{t (t+1)}{2}$ 次 Truncated RNN 的两个问题
初始隐藏层状态怎么确定
- 直接使用前面确定的 ht，forward 一直过来，bp 的时候固定前面的结果
- 但是问题是 bp 之后要从头到尾再 forward 一次
最多只见过 $t$ 步之前的状态，不能看到更远的状态也可以双向 RNN，但是代价是不能生成下文了。 Sample 的方法
Greedy sampling：每一步都取概率最大的那个，但是导致结果是决定性的
Weighted sampling：每一步都按照概率分布采样，但是可能采样错误结果
Exhaustive sampling：每一步都采样所有可能的结果，但是计算量太大
Beam search：每一步都保留前 $K$ 个最优的结果，下一步再从这 $K$ 个结果中继续采样 Receptive field：RNN 的每个节点都可以看到之前的所有节点提升 RNN 容量：使用 multilayer RNN，单向变双向，但是都不解决梯度消失的问题如果减少非线性层，则会根据权重参数的奇异值决定最终是梯度消失还是梯度爆炸解决梯度爆炸的办法：gradient clipping，只保留方向，不改变大小

3 LSTM

解决 RNN long term dependency 的问题，引入记忆机制 LSTM 通过 gate 控制信息的流动（逐元素乘积）

i：input gate，决定是否输入信息
f：forget gate，决定是否忘记信息
o：output gate，决定是否输出信息
g：gate gate，决定处理多少新信息

4 Seq2Seq

问题：所有的信息只通过一个 bottleneck 传递，对于长序列来说信息太少了

不能使用 residual，因为序列之间不一定是一一对应的顺序 VQA的问题：图像提取的特征和问题提取的特征是分开处理的，如果要求结果准确需要图像提取出的特征完美提取所有语意信息聚合信息的三种手段（fusion method）
直接加（addition）
拼接（concatenation）
乘积（element-wise multiplication） ablation study：检验融合方法的效果，替换所希望检测的组件 Image captioning：CNN 可以预训练，训练的时候可以 freeze CNN 的参数，只训练 RNN 的参数，也可以只 bp 后面的几层，freezing 之后 forward 的内存开销不变，但是 BP 会减少。

5 Attention

Seq 2 Seq with RNN and Attention

所有的信息只通过一个 bottleneck 传递，对于长序列来说信息太少了
不能使用 residual，因为序列之间不一定是一一对应的顺序
可以在每计算出一个 $s_t$ 之后和前面的所有 $h_i$ 对齐(计算相似性 $e_{t,i} = f_{att}(s_{t-1}, h_{i})$)，然后经过 softmax 得到注意力权重，将注意力权重与 $h_i$ 相乘，得到一个加权的平均值，作为下一步的上下文信息 $c_{t}$，进一步得到下一个 $s_{t} =g_{U}(y_{t-1}, s_{t-1}, c_{t})$
Attention 的优点：所有的注意权重不需要监督

Generalized 版本

可以看成是 query vectors (decoder RNN states) 和 data vectors(encoder RNN states) 转换成为了 output vectors (context vectors))
考虑余弦相似度，即 $e_{i}=a\cdot X_{i}/\sqrt{D_{x}}$
Attention 算 softmax 的时候是逐列计算，也就是每一列内部归一化
整个过程是并行的，不需要序列计算
也可以进行 self attention，即 query 和 key 都是对一个序列进行计算
Attention 是接受全局信息，而 CNN 只能通过加大卷积核和增加层数来获取全局信息
Attention 对序列的位置是不敏感的，所以可以使用 positional encoding 来解决
为了保证序列数据不提前预知结果，可以使用 mask 来屏蔽掉未来的信息，具体操作是让 K 的对角线以下的元素为 $-\infty$，然后 softmax 之后变为 0
Multi-head self attention 内部的每个头其实也可以并行处理，一共包括四次计算QKV Projection、QKsimilarity、V 加权平均、Output Projection，2 和 3 复杂度最高，为$O (N^2)$

6 The Transformer

不同 token 之间传播信息的方式只有 self attention，layernorm 和 mlp只在 token 内部独自变换 LLM 在最前面会有一个 Embedding Matrix，起到一个查单词表的作用

7 Vision Transformer

把 $224\times 224\times 3$ 划分成 $14\times 14$ 个图像，对于每一个图像，取出 $16\times 16\times 3$ 的 patch，将其展平为 $768$ 维的向量，作为一个 token，最后加上位置编码

Transformer 的一些小的改变：

Pre Norm：在每一层的前面加上 LayerNorm，将 Layernorm 加入到 residual 里面
RMS Norm：LayerNorm 的一个变种，使用均方根来计算标准差
SwiGLU：它结合了门控机制（Gated Linear Units, GLU）和更有效的激活函数（SiLU），能带来更强的表示能力和更好的训练效果。

8 MOE

关键问题是不可导

lecture 13

1 Object Detection

Bbox 的优良性（tight bbox）：所有像素都在 bbox 内部，而且 bbox 不能更小 Loss 的选择：希望离目标点远时梯度大，离目标点近时梯度小 R-CNN

太慢了，提出的 ROI 太多
分类采用的是 SVM
crop 出的区域如果不包含全部信息会很难处理
R-CNN 的主要性能瓶颈是 forward CNN

所以提出了 Fast R-CNN，对特征空间操作而非直接处理 RoI Cropping features：ROI Pooling

使用更低分辨率的图，把框吸附到最近的格点上
然后把框分割，然后对每个区域做 maxpooling
Fast R-CNN 的主要性能瓶颈是 ROI Pooling

于是又提出了Faster R-CNN

RPN：对于每个像素点，提出 K 个 anchor box，size 是固定的
RPN 识别出有物体的边框，会通过监督来输出一组偏移量，使得调整后的 anchor box 更接近真实的框，对于没有物体的 anchor box，输出的 correction loss 是 0
RPN 的输出是一个二分类的概率，和一个回归的结果；根据二分类的概率排序，筛选出前 300 个位置，共 300 K 个 anchor box 供下一步
Faster R-CNN 有 4 个 loss，RPN 的检测 loss、RPN 的回归 loss、Fast R-CNN 的分类 loss 和 Fast R-CNN 的回归 loss FPS(Frequency per second)：每秒钟多少张图片，Faster RCNN 一般是 3～5 Yolo：一阶段预测，直接从图像预测类别和框；非常快，可以达到几百 FPS，但是精度不如 Faster RCNN Faster RCNN 中的 NMS：

先分类
每种类别内部按照置信度排序
每次取出置信度最大的框，计算和其他框的 IoU，如果大于阈值则删除
直到没有框了 Faster RCNN 的训练是两阶段的网络分别训练的，不是全程可导的

AP（Average Precision）：如何获得 recall 和 precision 的函数，只需要按照置信度排序，然后每增加一个预测框，计算 recall 和 precision 的变化。mAP 是不同 IoU （或者类别）条件下的平均值：$AP_{50}$ 代表 IoU 大于 0.5 的 AP，$AP_{75}$ 代表 IoU 大于 0.75 的 AP

2 Instance Segmentation

使用的是 Top-Down 的方法，先检测出物体，然后对物体进行分割 Mask R-CNN：提出了 ROI Align，解决了 ROI Pooling 的问题

吸附的过程造成了信息损失：使用双线性插值来解决
否则的话会导致边缘对不齐
对于越高的 IOU thresh，ROI Align 的优势越明显，而且甚至还能提升 bbox 精度

Lecture 15

1 两种生成策略

显示定义并且计算出密度函数
使用采样的方式，直接生成数据

2 FVBN

直接把图片变为序列数据，利用的是 chain rule，但是计算量太大了，而且很不符合直觉

3 VAE

本质是一个概率的 autoencoder

不具有采样能力，也没有显式给出密度函数
输出的维数远远小于特征的维数
解决的办法：限制特征空间的分布，比如假设为标准正态分布
如果是期望的形式，为了计算密度 $p_{\theta}(x)=\int p(z)p_\theta(x|z)dz$，需要 $p_{\theta}(x|z)$，这个不好去算，如果采用 monto carlo 的话噪声太大
另一种方式：从 $p_{\theta}(x)= \frac{1}{p_{\theta}(z|x)}p(z)p_{\theta}(x|z)$，于是问题就变成了计算 $p_{\theta}(z|x)$，这个可以使用 Encoder 去学习
使得采样过程变得可导了
VAE 无法做到完美的图，因为重建损失和 KL 散度之间存在天然的矛盾，KL 散度要求从 x 得到的 z 分布接近正态分布，但其实不符合重构损失的定义

4 GAN

目标函数： $$ \min_{\theta_g} \max_{\theta_d} \left[ \mathbb{E}{x \sim p{data}} \log D_{\theta_d}(x) + \mathbb{E}{z \sim p(z)} \log(1 - D{\theta_d}(G_{\theta_g}(z))) \right] $$ 其中，判别器的目标函数 $$ \max_{\theta_d} \left[ \mathbb{E}{x \sim p{data}} \log D_{\theta_d}(x) + \mathbb{E}{z \sim p(z)} \log(1 - D{\theta_d}(G_{\theta_g}(z))) \right] $$ 生成器的目标函数 $$ \min_{\theta_g} \mathbb{E}{z \sim p(z)} \log(1 - D{\theta_d}(G_{\theta_g}(z))) $$ 但是在实际过程中，由于生成器的任务更加复杂，因此需要做出一些改变： $$ \max_{\theta_{g} } \mathbb{E}{z \sim p(z)} \log D{\theta_{d}}(G_{\theta_{g}}(z)) $$ GAN 最适合的任务是前景服从一个简单的分布，因此适合生成人脸和室内 Mode collapse：生成器只生成一个模式的样本，判别器无法区分真假样本使用 FID ：比较真实图像和生成图像的均值和协方差的 $Frechet$ 距离

5 Diffusion Model

还是回到了 VAE 的思想，找密度函数，但是没有简单假设高斯分布，使用了 hierarchical VAE 的方式来生成数据，来回加噪降噪

金融学概论

Tue, 05 Aug 2025 08:00:00 GMT

lecture 2 货币的时间价值

复利（Compounding）： $$ FV_{n}=PV_{0}(1+i)^{n} $$ 现值： $$ PV_{0}= FV_{n}\times \frac{1}{(1+i)^{n}} $$ Annuity（年金）：每年付款 C $$ PV_{0}= \frac{C}{i}[1- \frac{1}{(1+i)^{t}}] $$ Perpetuity（永续年金）： $$ PV = \frac{C}{i} $$ APR（年度百分率）= $period~rate\times #~of~periods$ EFF（有效年利率）=$(1 + \frac{APR}{m})^{m} - 1$

Lecture 3 资产类别

1 T-bill Yields

$\text{Discount Yield}=\frac{FV-P}{FV}\times\frac{360}{M}$
$\text{Investment Yield}=\frac{FV-P}{P}\times\frac{365or366}{M}$

2 Bonds pricing

$$P_B=\sum_{t=1}^T\frac{C_t}{(1+r)^t}+\frac{\text{Face Value}}{(1+r)^T}$$ Yields的来源：时间价值、通胀、信用风险、流动性、税收

Lecture 4 交易，保证金和做空

做多的 margin：ratio(比率) of net worth to value of shares owned 做空的 Margin：ratio(比率) of net worth to value of shares owed

Initial margin（适用于购买时,通常为50%）
Maintenance margin（随后适用,对价格变动敏感）

Lecture 5 股票市场指数

PWI（Price Weighted Index）：每个股票的价格加权 VWI（Value Weighted Index）：每个股票的市值加权拆股：对 VWI 没影响，PWI 要加上一个分母

Lecture 6 基金

基金的类别：

开放式基金（例如共同基金、对冲基金）是最大的类别,由基金创建和赎回的股票。
- 投资者从基金购买股票,然后按照每个交易日收盘时确定的资产净值将其卖回给基金。
封闭式基金在证券交易所上市交易,固定数量的已发行股票（需额外发行）。
- 封闭式基金份额以市场价格在投资者之间进行交易,通常不等于基金的资产净值。
交易所交易基金（ETF）是最新的基金类型,结合了开放式基金和封闭式基金的最佳特点。
- 发明人之间在交易所进行股票交易,但存在套利机制（套利机制）比保持市场价格的机制接近资产净值

Lecture 8 风险资产的历史回报

实际回报率 $$r_{t+1}=\frac{P_{t+1}-P_t}{P_t}-\pi_{t+1}$$

Lecture 9 证券组合的选择

效用方程： $$U=E(r)-\frac{1}{2}A\sigma^2$$ certainty equivalent（确定等价收益率）使得风险资产效用等于无风险资产的效用的无风险利率

Lecture 10 构建证券投资组合

投资组合 C 由无风险资产和风险资产组成 $$E(r_c)=(1-y)r_f+yE(r_p)=r_f+y(E(r_p)-r_f)$$ $$\sigma_c=y\sigma_p$$ $$S=\frac{\text{Risk premium}}{\text{SD of excess returns}}=\frac{E(r_p)-r_f}{\sigma_p}$$ 资本配置线（CAL）：Linear relation between $E(r_c)$ and $\sigma_c$ $$E(r_c)=r_f+S\sigma_c$$ 最优选择：$$y^*=\frac{E(r_p)-r_f}{A\sigma_p^2}$$

Lecture 11 最优风险投资组合

两个资产的投资组合最小方差投资组合：$\frac{d\sigma_p^2}{dx}=0$

Lecture 12 MPT

1 分离定理

风险偏好与投资组合分离，始终选择斜率最大的 CAL
无风险利率可以多也可以空
特殊情况：
- 没有无风险利率：分离定理失效
- 不能做空：CAL 止于切点
- 不同的借贷利率 MPT 的推论：所有投资者都持有相同的风险投资组合（市场组合），但在无风险资产上的投资比例不同。

2 多个风险资产

Lecture 13 指数模型

Consider a market index M with $R_m=r_m-r_f$, index models are base on the hypothesis that movements in $R_i$ and $R_m$ are correlated.

$$R_i = \alpha_i+\beta_iR_m +e_i$$

$e_i$ 是反映特定风险的随机变量
$\beta_i$ 反映对影响所有证券的因素的敏感性(可能是大的、小的甚至是负的)
航空公司、建筑公司的贝塔系数很高
公用事业、黄金的贝塔系数较低/为负 $$E(e_i)=0,cov(e_i,R_m)=0,cov(e_i,e_j)=0$$

Lecture 14 CAPM

CML 是由无风险资产和市场组合构成的CAL Key idea of CAPM :

分散化（Diversification）消除特定风险
资产价格不存在套利机会 $$

\begin{align*}

&\frac{w_i(E(r_i)-r_f)}{E(r_m)-r_f}=\frac{w_i\sigma_{im}}{\sigma_m^2}\

\Rightarrow & E(r_i) = r_f+\frac{\sigma_{im}}{\sigma_m^2}(E(r_m)-r_f)\quad(\text{SML: }\beta-E(r))

\end{align*}

$$ $$\beta_i = \frac{\sigma_{im}}{\sigma_m^2},\beta_m=1$$

Lecture 15 APT

Returns

Individual Securities
联立 Index model , $R_i$定义, $F=r_m-E(r_m)$ 可得: $$r_i=E(r_i)+\beta_iF+e_i$$
Portfolio

$$r_i=E(r_i)+\beta_iF$$ 个股不一定在 SML 上，APT 不去要严格的 CAPM 假设，而且利用的是套利而非均衡

Lecture 16 Bond

yield（收益率）对于 ZCB： $$ P = \frac{100}{(1+y)^{t}} $$ 美国债券半年付息 $$ \frac{P}{100}= \sum\limits_{i=1}^{2T}\frac{c/2}{({1+y/2)^{i}}}+1/({1+y/2)^{2T}} $$ 零息债券：假设coupon为 $c$

若 $y=c$ , 债券按面值交易(trades at par)
若 $y<c$ , 债券溢价交易(trades at premium)
若 $y>c$ , 债券折价交易(trades at discount) 标价（quoted price）：净价全价（all-in / dirty ）: 净价加上应计利息
应计利息（accured interest）的计算公式$$ AI = C\times \frac{N_{t}}{D}$$
其中 $N_{t}$ 是从上次付息到现在的天数，$D$ 是从上次付息到下次付息的天数

DV01（Duration Value of 01）:债券对收益率变化的敏感度 $$ \Delta P = -DV01 \times \Delta y $$

Lecture 17 利率期限结构

远期利率（forward interest rate) $$ 1+f_{n}= \frac{(1+y_{n})^{n}}{(1+y_{n-1})^{n-1}} $$

Lecture 18 权益定价

市场资本化率（Market Capitalization Rate）： $$ k= r_{f} + \beta (r_{m}-r_{f}) $$ 也叫做必要收益率（required rate of return）股利折现模型 $$ V_{0}= \frac{D_{1}}{1+k} + \frac{D_{2}}{(1+k)^{2}} + \cdots $$ 固定增长模型（Constant Growth Model）： $$ D_{2}=D_{1}(1+g),D_3=D_{2}(1+g),\cdots $$ $$ V_{0}= \frac{D_{1}}{k-g} $$ Price-Earning Ratios：$E_1$ 表示息税后利润，b 表示收益留存率 $$ V_{0}= \frac{E_1(1-b)}{k-g} $$ 市盈率 $$ \frac{P_{0}}{E_{1}}=\frac{1-b}{k-g} $$

Lecture 19 期权策略和 put-call parity

$$ S_{0} + P_{0} = C_{0} + \frac{X}{(1+r)^{T}} $$

Lecture 20 期权定价

$$ C_{0}\ge S_{0} - \frac{X}{(1+r)^{T}} $$ 对冲比率 $$ H=\frac{C^{+}-C^{-}}{S^{+}-S^{-}} $$

Lecture 21 期货

基差（Basis）： $$ \text{Basis} = \text{Spot Price} - \text{Futures Price} $$ 定价 $$ F_{0} = S_{0}(1+r_{f}-d)^{T} $$ CIP $$ (1+i_{euro}) \frac{S_{0}}{F_{0}}=1+i_{dollar} $$

2024 年终总结

Sat, 18 Jan 2025 20:00:00 GMT

放假了，补一补自己因为期末季落下的 2024 年终总结。

总觉得 2024 对自己似乎不是很重要的一年，比起从高中来到北京的 2022 和放开后回归正常校园生活的 2023，2024 仅仅只是自己本科生活的又一个四分之一而已。但仔细想来似乎也是解锁了许多全新的体验：第一次献血，第一次一个人出去旅游（虽然只有两天），第一次收获 70 分（而且是在一个人过的生日当天），第一次出了国（当然，是一场穷游），第一次上小班课（不过一次两三个同学和之前的一对一好像也没什么区别——很想剩下一年半有机会给小朋友们上习题课），第一次去实习（似乎也不是什么很好的体验），第一次谈了场大学恋爱（完全计划之外，但显著提高了自己的幸福水平和拍照频率）。认识了很多新的朋友，走路上越来越多人见到我喊中山哥。

比起过去的两年，自己今年读了更多书，学了更多课，去了更多地方，但遗憾的是依然没能成为一个自律的人，没能培养一个新爱好——如果走出学校吃吃吃不算的话。

对自己而言，2024 一分为二，是截然相反的体验，或许有点像 Exploration 和 Exploitation 的区别：整个上半年都是活在不确定之中的——或者说是没底气，总觉得自己现在做的还不够，眼下有一个更好的选择……但一切只是为了尝试而尝试，每天晚上躺上床，两眼一闭仍然不得安稳，于是看了比以往更多的书，熬了更多的夜。那些没有任何规划和目的性的选择，自然，最后都无疾而终。6 月底眼瞅着又一届学长学姐毕业，自己还没有什么着落；出完分后知道自己成功把路走死了，于是那时候就计划着，把一学期塞的满满当当全是课——刷刷分，或许是自己干起来不那么差劲的一件事。七八月份恐怕不是 2024压力最大的时候，但久违地流了许多眼泪，因为害怕，也因为自己不争气，当然，还有一部分是因为外公的离世……所有事情就这么一起发生了，我希望我像我那时以为的一样成人了。在接下来的半年，每当有人问自己的规划时，自己总能无奈又莫名笃定地回答道“我没有别的选择了”，选了从未尝试过的 30 学分，虽然最终退掉了一门因为和工作安排冲突的概率论，但一学期以来，睡足六个小时的日子还是屈指可数，在这一学期自己很累，也麻烦了身边很多人帮忙，这里简单感谢大家，感谢帮助过我的同学老师、学长学姐和学弟学妹，还有一直在我身边陪伴着我的聪明又可爱的女朋友，给了我许多次坚持下去的希望和盼头。

半年前的很多事情已经模糊了，但开学季仿佛还在眼前：再次穿上理性鹿皮套迎新，军训首日教大家怎么学数学（虽然被 yygg 一声催促急忙下台来不及介绍自己准备的大礼包），开学第一跑时又在皮套里手舞足蹈，陪大家一起和潘展乐、马龙、陈梦近距离接触……那段时间认识了很多小朋友，他们似乎觉得我挺厉害的挺喜欢我的，但我总是很担心，担心自己或许立了一个自己配不上的人设（多少有点双相在的），于是我经常和找我私聊的朋友解释自己的窘境，劝他们做选择之前多做慎重的考虑，很想能提供一些信息上的或是现实中的帮助。Well，淋透了就想给人撑把伞，虽然自己这边还并没有转晴的样子。

除了实习之外，这学期还有了院融媒体的新经历：确实非常感谢影音组同学们的支持和融媒体大家的理解和帮助（特别是 yjjj 和 sfjj，我的神）。能参与到为大家的工作还是一件十分幸福的事情的，很可惜上个学期实在太忙没能把自己不那么专业的事情做好。

2024 没能像去年年终总结期待的那样少熬夜，事实上想的更多了，也找了更多同学和学长学姐聊天，经常一顿饭一聊两三个小时，或是微信上一边唠嗑一边提供建议和指导。作为一个爱在大家面前抖机灵但不太爱单独交流的题家，确实十分感谢大家愿意谅解我不富裕的情商。

最后一段留给我的对象，能在这学期开始一段恋情确实是不小的惊喜，接下来的幸福更是惊喜连连。在这堪比高三的大三上开始前，我做了很多心理准备确保自己扛下去（说实话晚上两点舍友都没睡就得睡，早上七点醒来看见舍友还在打游戏很折磨），但我还是多虑了，没有什么比这么一个可爱又阳光的人陪在身边来的有力量了吧。对我来说，确实是一个全新的体验，我好像上了一个新的大学。不过总觉得自己还有很多没做好，希望未来能够多多指教。

旧文：随笔记于熬夜后

Sun, 21 Jul 2024 03:07:00 GMT

翻来覆去睡不着，下午似乎是被骚扰电话喊醒的，没有保护隐私的习惯，收到过不少骚扰电话，不过都接通都不会超过3秒，因此没留下什么印象，不过回南昌那天打的那个出租车却是个例外

正开着车的司机师傅，划通了手机支架上的不明来电。对面的AI音怀着激动的心情，恭喜着这位师傅被游戏的重磅福利砸中。我原以为师傅会同我一样顺手挂断，不料他却拖着和手里的方向盘一样稳健的语调回应到: “这个，那你要给我先介绍一下这个游戏啦”。对面的语料库里自然没有准备这一句，而是另一句套路化的回答说些什么信号不好然后把开头的惊喜重复一遍——到这里我还有点熟悉的，有时心烦了会接通之后大骂几声，得到的回答往往如此类。司机这下没有说话，似乎是想起还有我这个乘客在；对面见没人回应进入了他那个我从未接触过的正题“先生要不您留个联系方式吧，我们这边给您登记一下”，当然，激动而机械的感觉依旧。“这个，我叫xxx，微信就是这个电话，你加我微信就可以”，最后一句没有等他说完对面就已经挂断。记得他是报了自己名字的，不过究竟是什么我实在记不清了。

我为这一次图灵测试的成功感到惋惜。我没有打断这次测试，那时刚下硬卧，正在去看医院里卧床的外公的路上。外公那一辈人明白戏是人演的，却会对哪一部封神榜电视剧里的是真神仙侃侃而谈，我与他们争起来只会落得一句小孩子懂什么。同样是那一代人，曾经在田野山头，等到改开来了，子女纷纷奔向沿海各省，而他们依旧在耕种自己的几分薄田；而师傅的一代人，现在就在大街小巷，GPT和Robotaxi来了，不知道他们的从容还能维持多久。

我不确定一个什么样的新世界正向我跑来，但我希望永远能为图灵测试贡献一分错误率。

数学分析解题技巧

Fri, 05 Jul 2024 20:00:00 GMT

来自老王的解题建议

首先理解题目在说什么，表达了什么 insight，然后再做题而不是直接用套路

实数系基本定理

1 稠密性证明

1.1 用到 $\frac{1}{N}$ 的证明

尝试构造 $N+1$ 个数落在 $(0, 1)$ 之间，这时这 $N+1$ 个数中一定有两个数的差小于 $\frac{1}{N}$

1.1.1 形式是 $px+q(p, q\in \mathbb{Z})$

可以构造形如 $mx - mx$ 的数

1.2 稠密的一个充分条件

若单调递增数列 ${S_n}{n=1}^{\infty}$ 满足则对任何 $T> 0, S_n$ mod $T$ 在 $[0,T]$ 中稠密. 且 $\lim{n\to\infty}S_{n}=+\infty,\quad\lim_{n\to\infty}(S_{n+1}-S_{n})=0$，则对任何 T >0, $S_n modT$ 在[0,T]中稠密.

2 形如 $x_{n+m} = f(x_n, x_m)$ 的极限问题

首先考虑倍数关系，即找出 $x_{kn}$ 和 $x_{n}$ 的代数关系
再考虑 $n=qm+r$ 即给定 $m$，再考虑让 $q$ 趋于无穷大

3 极限点问题

一个由极限点构成的集合，其极限点必然是它的一个元素
所以不存在 ${\frac12,\frac13,\cdots,\frac1n}$ 这样一个由极限点构成的集合，因为 0 是它的一个极限点

4 可列问题

对于可列问题，考虑构造集合 $E_n$，使得每个集合中的元素为可列个，从而得到 $$ E=\underset{n=1}{\bigcup^{\infty}}E_n $$ 中元素个数为可列个

5 势的比较

区间内有理数的势小于实数的势
像空间的势小于原空间的势

数列极限

1 有限项和一定，求内积极限（形如求 $lim_{n\to \infty} \sum a_ib_i,s.t.\sum a_i = s$ )

取某一项，不妨取 $a_0=s-\sum_{i = 1}a_i$ 带入原式
得到新的内积形式 $sb_0+\sum_{n=1}(b_i-b_0)a_i$ (阿贝尔引理)
再逐项分析极限，或者考虑求和的极限

2 底数和指数都很复杂的式子的极限

无脑取对数，然后再利用Stolz定理等得出答案

3 含有不等式的迭代数列的极限

先证明单调性和有界性
再利用不等式条件，和极限等式得到的基本不等式，得到等式

3.1 一个特别的迭代数列

形如 $a\leq x_{n+1} + u_i\leq x_n$ 的迭代不等式。其中，$u_i$ 为收敛级数的一项
利用 $u_i = S_i - S_{i+1}$ 可以得到 $x_{n+1} + S_i\leq x_n + S_{i+1}$
得到 $x_{n+1}-S_n$ 收敛

4 对于两个迭代数列的极限

4.1 方法一

首先找到每个数列的单调性
利用归纳法或其他方法构造交叉形式

4.2 方法二

利用压缩映照原理先得到各自的极限 $a, b$
利用 $|a_n - a| = f(|b_{n-1} - b|)$ 和 $|b_n - b|= g(|a_{n-1} - a|)$ 得到 $|a_n-a|$ 和 $|b_n-b|$ 的迭代关系

5 一个比较好用的级数估计

$$ \begin{gathered} \quad\text{设两数}f(x),\mathrm{g}(x)\text{在0的某个邻域里有定义 }\mathrm{g}(x)>0,\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1;\\text{且}n\to\infty\text{时} \alpha_{mn}\rightarrow\rightarrow0\left(m=1,2,\cdots,n\right),\\text{亦即 }\forall\varepsilon>0,\exists N\left(\varepsilon\right)>0,\text{当 }n>N\left(\varepsilon\right)\text{时},\text{对一切 }m=1,2,\cdots,n,\text{有} \mid\alpha_{{mn}}\mid<\varepsilon;\\text{另设 }\alpha{{mn}}\neq0\text{则} \lim{n\to\infty}\sum_{m=1}^{n}f(\alpha_{mn})=\lim_{n\to\infty}\sum_{m=1}^{n}g(\alpha_{mn}),\quad(1) \ \text{当右端极限存在时成立}. \end{gathered} $$

6 欧拉常数 $\gamma$

$$\gamma = \lim_{n\to\infty}\sum^n_{i=1}\frac{1}{i} - \ln n$$
可以利用欧拉常数对级数进行估计$$\ln n\leqslant1+\frac12+\cdots+\frac1n\leqslant\ln n+1$$

7 利用上下极限

7.1 出现形如 $Aa_n + B a_{n+1} = b_n(\lim_{n\to\infty}b_n\exists)$ 的表达式

将原式改写为 $a_n = b_n- Ca_{n+1}$ 的形式，然后两边分别取上下极限，然后解方程

连续性

1 证明函数连续的办法

利用定义
利用左右极限
利用序列语言
利用邻域语言
利用四则运算

2 连续函数的介值性给出了和集合开闭有关的信息

2.1 具有介值性且函数值为任一有理数的自变量集合为闭集的函数连续

2.2 开区间上具有介值性的单射严格单调且连续

2.3 连续<=>开集的逆像仍然是开集（拓扑性质）

3 数列的单调性证明

证明数列单调可以先证明单射然后证明如果存在不单调则与单射矛盾

4 区间$[0, n]$上的连续问题

找到可以打起“绳结”的点打结，退化为$[0, n-1]$上的连续问题
利用归纳法，得证

5 不动点问题

5.1 涉及复合函数的连续问题，求解满足条件的函数形式（形如$f(g(x))=h(x)$，其中，$g(x)=F_1(f(x)),h(x)=F_2(f(x))$）

先证明单调性
先猜测出 $f(x)$ 的形式，常见的是 $f(x)=x$，再由单调性和函数的收敛等性质证明，不存在 $f(x)\neq x$ 的点，其中，可以构造数列 $x_{n+1} = f(x_n)$ 方便证明矛盾

5.2 单调但不连续函数的不动点（零点）问题

利用确界存在定理，得到单调区间的上确界，即假设 $x_0=\sup{x\in[a,b]\mid f(x)>x}$
对于 $x_0$ 处的函数值进行分析，利用单调性和确界的性质（还有函数连续性）证明该点不能不符合不动点（零点）的性质

5.3 加强形式的闭区间上不动点定理

$f$ 是 $[a,b]\to[a,b]$ 上的连续函数，若有 $x_{n+1}=f(x_n),\forall n \in \mathbb{N}$，则 ${x_n}$ 收敛<=> $\lim_{n\to\infty}(x_{n+1} - x_n) = 0$

6 对于 $\lim_{n\to\infty}f(x_n,x_{kn})=a$ 的问题

分别对该极限取上下极限，从而得到包含 $x_n$ 和 $x_{kn}$ 的上下极限不等式
利用如下关系得到不等式组 $$ \begin{aligned} \lim_{\overline{n\rightarrow\infty}}x_{n}+\lim_{\overline{n\rightarrow\infty}}y_{n}& \leqslant\operatorname*{lim}{n\rightarrow\infty}(x{n}+y_{n}) \ &\leqslant\lim_{\overline{n\rightarrow\infty}}x_{n}+\underset{{n\rightarrow\infty}}{\overline{\operatorname*{lim}}}y_{n} \ &\leqslant\underset{{n\rightarrow\infty}}{\overline{\operatorname*{lim}}}(x_n+y_{n}) \ &\leqslant\underset{{n\rightarrow\infty}}{\overline{\operatorname*{lim}}}x_{n}+\underset{{n\rightarrow\infty}}{\overline{\operatorname*{lim}}}y_{n}, \end{aligned} $$ $$ \forall M,\exists x_0,\forall x >x_0,f(x)>M $$

7 有界变差数列

8 无穷远处的连续性和函数极限的关系

柯西收敛准则可以沟通无穷远处函数极限的存在性和函数的连续性因为都可以用到 $|f(x) - f(y)|\leq \epsilon$

导数

1 无穷小增量公式

对于某点导数存在的情况，可以将导数的表达式改写为无穷小增量公式 $$ \Delta y = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x) $$

1.1 另一个形式

$$ cdx\begin{aligned} \Delta y = f'(x_0)\Delta x + \omega(x)\Delta x\ where\quad\lim_{x\to x_0}\omega(x)=\omega(x_0)=0 \end{aligned} $$

2 无限可微的函数（不包括常数函数）

$$ g(x)=\begin{cases}0,&x=0,\\mathrm{e}^{-\frac1{x^2}},&x\ne0,&\end{cases} $$

中值定理

1 形如 $f^{(n)}(x) = 0$ 有 n 个不同的根

先证明端点处 0~n-1 阶导全都为零，然后对每一阶导数运用 Rolle 定理

2 使用 Cauchy 中值定理

注意是否满足前提条件
如果不确定，最好使用 Rolle 定理进行证明

函数的凹凸性

1 开区间上的凸函数必定连续

![[凸性必有连续性的几何证明.png|90]]

也可以根据凸函数任一点左右导数的存在性（左右导函数单调且有界）证明函数的连续性

定积分

1 可积性问题

1.1 定积分取值的多重性

一方面，定积分可以由其介值点集的任意选取同时具有多重性质另一方面，定积分的取值又被达布大和和达布小和控制，具体表现为：

达布大和为介值点统统选函数值大的点
达布大和为介值点统统选函数值小的点
达布大和=达布小和

2 定积分的性质

2.1 Taylor 积分余项的一阶形式

$$ R_0(x)=\int_{x_0}^{x}f'(t)\mathrm{d}t $$

2.2 积分的极限证明

对于极限不为零的式子，可以考虑将常数移项从而利用其他性质求解

2.3 牛莱公式的使用条件

使用 $Newton-Leibniz$ 公式时必须验证是否满足条件：被积函数 $f$ 在积分区间上连续

广义积分

1 敛散性判别法

1.1 构造收敛数列（利用 Abel 判别法和 Dirichlet 判别法的形式）

1.1.1 Abel 判别法的形式

定义 $$ \begin{aligned} u(x)&=\begin{cases} 1 & a\leq x\leq A_1\ \frac1n&A_n<x\leq A_{n+1}\end{cases}\ v(x)&=\frac{f(x)}{u(x)} \end{aligned} $$

1.1.2 Dirichlet 的形式

$$ \begin{aligned} u_1 = \sqrt{u},v_1 = \sqrt{uv}\end{aligned} $$ 其中 $u$ 和 $v$ 是 Abel 中的形式

1.2 涉及三角函数的条件收敛和绝对收敛的判断

涉及三角函数 $\sin x$ 和 $\cos x$ 等的级数判断时，善用 $$ |\frac{\sin x}{f(x)}|\geq |\frac{\sin^2 x}{f(x)}|=|\frac{1}{2f(x)}|-|\frac{\cos 2x}{2f(x)}| $$

常用的反例

1 只有连续

类似于黎曼函数和迪利克雷函数
特别地，对于有限个点处连续的函数，可以构造形如 $f(x) = P(x_1,\cdots,x_n)D(x)$ 其中 $P(x_1,\cdots,x_n)$ 为以 $x_1,\cdots ,x_n$ 为解的多项式

2 可导和连续

$$ \begin{aligned} &f (x) = x\sin\frac {1}{x}\ &f (x) = x^2\sin\frac {1}{x} \end{aligned} $$

振幅在震荡

3 导数和单调性

3.1 在一点导数不为零但是没有充分小邻域单调

$$ f(x)=\begin{cases}x+2x^2\sin\frac{1}{x},&x\ne0,\0,&x=0,\end{cases} $$ 在 $x=0$ 处导数等于 1 但是 0 附近不单调

3.2 极值点一侧邻近也不一定具有单调性

$$ f(x)=\begin{cases}0,&x=0,\-x^2\left(2+\sin\frac{1}x\right),&x\neq0,\end{cases} $$ 在零处达到极值点，但是两侧都不单调

4 可积性问题

4.1 函数的复合导致可积性的改变

多考虑特殊的函数如 $sgn(x),R(x), D(x)$

4.2 零附近的可积函数的性质

设 $f\in R[a, b]$，且 $\int_a^bf(x)\mathrm{d}x>0$，则有子区间 $[c, d]$ 和 $\mu>0$，使得 $f(x)\geq\mu, \forall x\in [c,d]$

高等代数解题技巧

Fri, 05 Jul 2024 08:00:00 GMT

1 所有元素代数余子式的和

利用例9，考虑构造 $$ |A(t)|=|A|+t\sum_i\sum_j A_{ij} $$ 记得考虑 $A = A(t)(-t)$ 以简化运算

2 三对角线行列式

若给定 $$ \left.D_n=c^n\left|\begin{array}{ccccccccc}\frac{a}{c}&\frac{b}{c}&0&0&\cdots&0&0&0\\1&\frac{a}{c}&\frac{b}{c}&0&\cdots&0&0&0\\0&1&\frac{a}{c}&\frac{b}{c}&\cdots&0&0&0\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\0&0&0&0&\cdots&1&\frac{a}{c}&\frac{b}{c}\\0&0&0&0&\cdots&0&1&\frac{a}{c}\end{array}\right.\right|. $$ 可得出 $$ \begin{gathered} \text{令 }\alpha+\beta=\frac ac,\alpha\beta=\frac bc\text{,则 }\alpha,\beta\text{ 是方程} \ x^{2}-\frac{a}{c}x+\frac{b}{c}=0 \ \text{的两个根:}\alpha=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c}+\frac{1}{c}\sqrt{a^{2}-4bc}\right),\beta=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c}-\frac{1}{c}\sqrt{a^{2}-4bc}\right)。 \end{gathered} $$ 进一步可以得到 $$ D_n=\begin{cases}\frac{\alpha_1^{n+1}-\beta_1^{n+1}}{\alpha_1-\beta_1},&\quad\text{当}a^2\neq4bc,\2ex\frac{a^n}{2^n},&\quad\text{当}a^2=4bc,\end{cases} $$

3 证明线性相关性相同

1 行列式推导

对于列向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 和列向量组 $\beta_1, \beta_2,\cdots ,\beta_n$，其中，每个向量都是 n 维的，可以证明其所对应的矩阵 $A$ 和 $B$ 存在线性映射关系 $A= CB$ 其中，$C$ 满秩

2 证明秩相等（特别地）

欲证明 $rank(A) = rank(B)$，可以先证明 A 和 B 可以互相线性表出
- 而不等关系只需证明单方向线性表出即可
也可以通过解空间相同，利用解空间的维数关系得出

4 主对角占优矩阵

对于拥有类似于主对角占优矩阵类似性质的非方阵矩阵，可以将矩阵扩充成方阵再进行推理。

5 循环矩阵

n 级矩阵 A 是循环矩阵的充分必要条件是可以写成： $$ A=a_1I+a_2C+a_3C^2+\cdots+a_nC^{n-1} $$
其中，C 为 n 级循环移位矩阵 $$ \left.C=\left(\begin{array}{ccccccc}0&1&0&0&\cdots&0&0\0&0&1&0&\cdots&0&0\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\0&0&0&0&\cdots&0&1\1&0&0&0&\cdots&0&0\end{array}\right.\right)_{n\times n} $$
循环位移矩阵形成的线性空间的基就是 $I,C,C^2,\cdots, C^{n-1}$

6 Binet-Cauchy公式😱

$$ A=\left(a_{ij}\right){s\times n},B=\left(b{ij}\right){n\times s} $$ $$ \begin{aligned}&\text{(1)如果 }s>n,\text{那么}\mid AB\mid=0;\&\text{(2)如果 }s\leqslant n,\text{那么}\mid AB\mid\text{等于 }A\text{ 的所有 }s\text{ 阶子式与 }B\text{ 的相应s 阶子式的乘积之和,即}\&\mid AB\mid=\sum{1\leqslant v_1\leq v_2<\cdots<v_j\leq n}A\begin{pmatrix}1,2,\cdots,s\v_1,v_2,\cdots,v_s\end{pmatrix}\cdot B\begin{pmatrix}v_1,v_2,\cdots,v_s\1,2,\cdots,s\end{pmatrix}.\end{aligned} $$ 除此之外，常见的特殊情况有 $$ \begin{gathered} AA^{\prime}{\binom{\imath_{1},\imath_{2},\cdots,\imath_{r}}{i_{1},i_{2},\cdots,i_{r}}} =\sum_{1\leqslant v_{1}<v_{2}<\cdots<v_{r}\leqslant n}A\binom{\iota_{1},\iota_{2},\cdots,\iota_{r}}{v_{1},v_{2},\cdots,v_{r}}A^{\prime}\binom{v_{1},v_{2},\cdots,v_{r}}{i_{1},i_{2},\cdots,i_{r}} \ =\sum_{1\leqslant v_1<v_2<\cdots<v_r\leqslant n}\bigg[A{\binom{i_1,i_2,\cdots,i_r}{v_1,v_2,\cdots,v_r}}\bigg]^{2} \end{gathered} $$

7 秩的加法运算

对于如果存在秩的加法运算 $rank (A) + rank(B) =？$，考虑构造分块矩阵如下再进行初等行列变换 $$ \mathrm{rank}\begin{pmatrix}A&0\0&B\end{pmatrix}=\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B) $$ 如需证明不等关系，可能还会用到如下不等式 $$ \mathrm{rank}\begin{pmatrix}A&C\0&B\end{pmatrix}\geqslant\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B). $$

8 n级矩阵的分解问题

利用归纳证明法
利用分块矩阵的初等行变换

9 常见的矩阵求逆方法

1 解方程法

求 $A^{-1}$ 即相当于求解 $AX=I$ 的解，可以将 $I$ 视作列向量组，对于每一个列向量分别求解，再组合起来

2 初等变换法

对于分块矩阵 $A$，可以先使用初等变换得到分块对角矩阵 $B$，即 $PAQ = B$
然后再两边求逆，得到 $A = PBQ$

3 凑矩阵法

Sherman-Morrison-Woodbury 公式：$A+UV^{\mathrm{T}}$ 可逆当且仅当 $E_{n}+V^{\mathrm{T}}A^{-1}U$ 可逆，且 $$ (A+UV^{\mathrm{T}})^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(E_{n}+V^{\mathrm{T}}A^{-1}U)^{-1}V^{\mathrm{T}}A^{-1}. $$

10 行列式求解技巧

1 利用 $|I-AB|$ 的性质

根据 $$ |I_n-AB|=|I_s-BA| $$ 其中，$A = (a_{ij}){n*s},B = (B{ij}){s*n}$ 尝试构造 $$ |diag{\lambda_1, \lambda_2,\cdots,\lambda_n}-A{sn}B_{ns}| $$ 常见的情况是 A 和 B 为行列向量

2 利用行列式的分解

对于某些形式比较类似的行列式，比如 $\begin{vmatrix}A&B\C&D\end{vmatrix}$ 和 $\begin{vmatrix}A&B\C&E\end{vmatrix}$ 可以写成 $$ \begin{vmatrix}A&B\C&D\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&B\C&E\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}A&0\C&D-E\end{vmatrix} $$

3 利用 $A(t)$ 的性质

先构造出 $A(t) = |A + tJ|$ 的形式
不难发现 $A(t)$ 是 t 的一次多项式：$A(t) = ct + D$
带入两个特殊值得到二元一次方程组 $$ \left{ \begin{aligned} A(\alpha ) &= c\alpha + D\ A(\beta ) &= c\beta + D \end{aligned} \right. $$
由方程组解出 D，即 $A(0)$

11 施密特正交化对矩阵进行分解

利用施密特正交化，可以得到 $$ \begin{aligned} &a_1 =\beta_1, \ &a_2 =\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1+\beta_2, \ &··· \ &a_n =\sum_{j=1}^{n-1}\frac{(\alpha_n,\beta_j)}{(\beta_j,\beta_j)}\beta_j+\beta_n. \end{aligned} $$ 记 $$ b_{ji}=\frac{(\alpha_{i},\beta_{j})}{(\beta_{j},\beta_{j})},\quad i=2,3,\cdots,n;\quad j=1,2,\cdots,i-1. $$ 再对每个 $\beta_i$ 单位化 $$ \eta_i=\frac1{\mid\beta_i\mid}\beta_i,\quad i=1,2,\cdots,n. $$ 则 $$ \begin{aligned} A&=(\boldsymbol{a}{1},\boldsymbol{a}{2},\cdots,\boldsymbol{a}{n}) \ &\left.=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)\left|\begin{array}{cccc}1&b{12}&\cdots&b_{1n}\0&1&\cdots&b_{2n}\\vdots&\vdots&&\vdots\0&0&\cdots&1\end{array}\right.\right|\ &=\left.(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)\left[\begin{array}{cccc}|\beta_1|&0&\cdots&0\0&|\beta_2|&\cdots&0\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\0&0&\cdots&|\beta_n|\end{array}\right.\right] \end{aligned} $$

12 正交投影的证明

先证明变换后得到向量在对应的子空间中
再证明变换后得到的向量与原向量的差和子空间正交

13 解的存在问题

欲证明一个方程有解，只需证明该方程的系数矩阵和增广矩阵秩相等
再利用秩不等式寻找出秩之间的相等或者不等关系

1 形如 $ABX=A$ 的方程

解存在的充分必要条件是 $rank(AB)=rank(A)$
特别地，当 $rank(A^2)=rank(A)$ 时，$A^2X=A$ 有解

14 不同数域上的矩阵

对于定义在不同数域上的矩阵，有其对应的性质
- 定义在整数数域上的矩阵，其各种运算只能得到整数，迹、方阵行列式等均为整数
- 定义在实数域上的矩阵，其各种运算的结果的平方只能是非负数，如迹，方阵行列式
- 定义在复数域上的矩阵，可以先将其分解为实部和虚部，然后分别当作实数域上的矩阵进行操作

15 行列式互为相反数

对于行列式之和为 0 的两个矩阵 $|A|+|B|=0$，可以改写成 $|A|=-|B|$
然后再用所求矩阵左（右）乘 $A$ 和 $B$，并且分别取行列式

16 复合形式矩阵逆矩阵的存在问题

对于一个矩阵的和（如 $A+BC$），想要求解它的逆矩阵的存在问题，可以先写出 $$ (A+BC)(A^{-1}-X)=I $$ 然后经过一系列简化，得到 $$ (C+D)X=E $$ 然后再根据 $C,D,E$ 的形式将 X 改写为 $X=FYG$ 的形式，最后从而根据 $Y$ 的存在性给出 X 的形式

17 多项式行列式

对于每个元素都是多项式的行列式问题 $$ \begin{vmatrix}f_1(a_1)&f_2(a_1)&\cdots&f_n(a_1)\f_1(a_2)&f_2(a_2)&\cdots&f_n(a_2)\\vdots&\vdots&&\vdots\f_1(a_n)&f_2(a_n)&\cdots&f_n(a_n)\end{vmatrix} $$ 有两种常见的处理方法

1 方法一：多项式假设

可以假设如下形式的多项式 $$ F(x)=\begin{vmatrix}f_1(x)&f_2(x)&\cdots&f_n(x)\f_1(a_2)&f_2(a_2)&\cdots&f_n(a_2)\\vdots&\vdots&&\vdots\f_1(a_n)&f_2(a_n)&\cdots&f_n(a_n)\end{vmatrix}. $$

显然，$F(x)$ 有根 $a_2,\cdots,a_n$
同时，$F(x)$ 可以看成是多项式 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)$ 的线性组合

2 方法二：矩阵分解法

对于 $n$ 次多项式 $f(x)$，可以写成 $f(x)=\sum_{i\operatorname{=}0}^{n}c_{ij}x^i$
利用矩阵乘法，可以进行如下分解 $$ \left.\begin{pmatrix}f_1(a_1)&f_2(a_1)&\cdots&f_n(a_1)\\vdots&\vdots&&\vdots\f_1(a_n)&f_2(a_n)&\cdots&f_n(a_n)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&a_1&\cdots&a_1^{n}\\1&a_2&\cdots&a_2^{n}\\vdots&\vdots&&\vdots\1&a_n&\cdots&a_n^{n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{01}&c_{02}&\cdots&c_{0n}\\c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\vdots&\vdots&&\vdots\c_{n,1}&c_{n,2}&\cdots&c_{n,n}\end{pmatrix}\right. $$

18 对易子形式的等式（形如 $AB-BA=C$）

对于含有对易子形式的等式，两边取迹可以得到 $Tr(C) = 0$
如果 $C$ 为二阶矩阵，则可以给出 $C$ 的形式 $$ C= \begin{pmatrix} a&b\c&-a \end{pmatrix} $$
此时，可以得到 $$ C^2= \begin{pmatrix} a^2 + bc &\&a^2+bc \end{pmatrix} $$

19 每行元素和为定值的矩阵

若对于矩阵 $A$ 满足它的每一行元素之和为定值 $c$，则可以记成 $A\mathbf{1} = c\mathbf{1}$
对于 $A$ 进行幂乘运算，可以得到 $A^n\mathbf{1} = c^n\mathbf{1}$ 其中，$\mathbf{1}$ 表示的是 $n$ 维的元素全为 1 的列向量

20 伴随矩阵的性质

1 行列式的性质

$$ |A^| = |A|^{n-1},|(kA)^| = k^{n-1}|A|^{n-1} $$

2 秩的性质

$$ \text{rank}A^*=\begin{cases}n,&\text{rank}A=n,\1,&\text{rank}A=n-1,\0,&\text{rank}A<n-1.\end{cases} $$

3 伴随矩阵的乘法性质

$A^*$ 的元素之所以都是代数余子式是根据行列式按行（列）展开的性质得到的，其本质还是矩阵的乘法。因此，对于矩阵中元素都是代数余子式的矩阵，可以考虑利用矩阵乘法的性质。

21 幂等矩阵的秩

1 幂等矩阵一定可以对角化

2 幂等矩阵的秩和迹相等

22 特征多项式证明技巧

需要证明重数的写成 $|\lambda I - A|=0$ 的形式
- 由此可以得出 $AB$ 和 $BA$ 拥有相同的非零特征值
需要证明特征向量的写成 $A\alpha = \lambda \alpha$

23 合同变换为标准二次型的技巧

首先将 $\sum_{1\leq i \leq j\leq n} a_{ij}x_ix_j$ 利用技巧转换为 $a_{11}y_{11}^2+\sum_{2\leq i \leq j \leq n}a_{ij}x_ix_j$
然后利用归纳法继续证明

24 复数域上的矩阵证明问题

尝试拼凑出 $\alpha$ 和共轭矩阵 $\overset-{\alpha}$ 的组合，利用 $\alpha'\overset-{\alpha}\neq0$ 的性质

25 二次型的大小估计

$$\begin{aligned}\lambda_n\leq\frac{\alpha'A\alpha}{|\alpha|^2}\leq\lambda_1\where ~\lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\lambda_n\end{aligned}$$

26 斜对称矩阵的合同变换

斜对称矩阵经过合同变换一定可以得到形如 $$diag{\begin{pmatrix}0&1\-1&1\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}0&1\-1&1\end{pmatrix},(0),\cdots,(0)}$$ 的分块对角矩阵

27 证明线性空间维数无限的思路

运用反证法，假设维数有限，设维数为d
则对于空间中任意 d+1 个向量都线性相关
由此引出矛盾

28 多项式空间的三种基

第一种：简单的指数形式
第二种：根据泰勒展开得到的形式
第三种：根据拉格朗日插值得到的形式：

29 空间的交、和、并关系

证明空间关系，可以从空间中的任意向量入手，证明某一向量属于某空间后的结论。

旧文：随笔记于胖猫事件后

Mon, 06 May 2024 01:31:00 GMT

假期结束，小圈立的flag好像只看完了理想国，少于无的序尚且没有读完，法哲学批判PDF甚至都没下载，蓝以中也因为田老师授课进度略慢没怎么翻，结果是只读了鲁迅先生的一些短篇和把怎么办勉强囫囵吞枣了，不过如果算上不在计划内一时兴起的出游，也不算违约太多。

看了点破书就有点牢骚要发，趁这个假期最后一次发个小作文，虽然不过是用点读到的东西生搬硬套现学现卖。

想写的没什么新意，也还是承包了几天热搜的51万的事。可能是受事件本身影响，总感觉自己看到的舆论较以前有些不一样了，可能是有什么新思想的传播，性别议题这次不那么受欢迎了，“爱自己”的声音变大了。

“爱自己”确实是一个巧妙的结论，和事情关联起来，就会自然地让人想到“爱别人”，把悲剧判定为胖猫过于爱别人导致的从而作为它的反面出现，确实是十分正当、更能让人信服又不伤害到第三方的结论。

不过我也揣测起来，“爱自己”如此受欢迎或许还是因为不那么直接地表达着什么，既然“自己”已经是“别人”的反面，或许大家想呼吁的是“爱”。细细想来，自己刚刚的结论似乎是唐突了，“爱自己”和“爱别人”似乎并不是绝对的对立——当然，这取决于如何去“爱”。或许写成正反合，可以是

正：爱别人
反：爱自己
合：爱

大家自发地会将51万和10块的外卖对立起来，仿佛这就是胖猫爱别人而不爱自己的依据，但前提恐怕得是爱的标准在于花费的多少，或者说爱有一个固定的零和博弈的标准在，既然以钱来衡量爱情，就必然有此消彼长、爱自己和爱别人的矛盾。尤其在一方追求另一方的时候，网络给了不在一处的两个灵魂相遇的机会，但也把追求时的示爱方式很大程度上限定在了花钱；换言之，大多数人变得差不多，愿意花钱，愿意付出通用货币就成了脱颖而出的凭靠。如果有人坚信金钱买不来爱情，那我也只好仿照“显示性偏好”将这些付出称作爱情的“显示性价格”。当然人们仍然向往罗密欧与朱丽叶一见钟情月下幽会，或是牧马人里天降爱情后朝夕相处具体的爱，但回到现实，人们仍然得面对写情话会被称油腻，发小作文会被挂只有想尽名目转钱不会遭受任何质疑的抽象的爱。现实总是不能像希望的那样。

我眼中似乎一直有两股对爱的定义的力量在较量，一种是相信爱情，“双向奔赴”之类的，确实能让热恋中的情侣平添更多情调，却也让围城以外的人看见爱情应该是怎样的，羡而不得，执己所念；另一种，恐怕就是小时代的名言“没有物质的爱情就是一盘散沙”，从最初纯爱战士这种中性词到“舔狗”、“沸羊羊”叙事，穷尽各种办法让人们睁了眼看现实：货币只能作为抽象的表达而不能作为现实的爱情，所以美羊羊可能理所应当的接受沸羊羊的善意而投入喜羊羊的怀抱；货币的价值只在其绝对值的大小而不是其与收入的比例，所以哪怕花光十年的老底也可能比不上土豪的一辆车一套房——总有比现实更现实的事情在。它们不只是不同人的声音，或许也是每个人心中的纠结，是应然与实然的对抗。应然在网络上这几年来式微了，不过这次大家的声援让我重新看见了它，虽然此类声援最后仍要加上“爱自己”给出自己的药方。

我也十分羞愧，虽然自鸣得意地给出关键在“爱”的暴论，却没有一剂根除沉疴的良方。我自然没胆子为了几个具体的生命扬言要改变以及让千百万人享受福祉的商品社会的根基，只希望“应然”的声音越来越大，使其也变成一种“实然”的文化现象所在，尤其在三年后人们能更多拥抱现实具体的爱，不必在抽象的世界里纠结爱自己还是爱别人。又或许，至少能结合曾许诺给我们的“共产主义”，提供一丝我眼中这类问题可能被解决的希望，而不必再担心每次重大事故时都有此类事件拿得出来炒作，浪费了群众的注意力又把逝者当做工具。

2023 年终总结

Mon, 01 Jan 2024 20:00:00 GMT

给自己的2023拟的关键词是惑，或，豁(每次想到这个就会哼起霍元甲来)。惑是因为水土不服并没有被22年充满变革的半个学期治好；或则是让自己相信了发展的可能，不把过多希望寄托在自己所期盼的未来；至于豁，是自己在尝试放弃自己的成见，多去问为什么。

自己年度电影应该是封神，年度游戏是还卡着关的塞尔达，年度书单是今年开封了没读完的书——没读完的都是好书，尤其是涅朵奇卡，已经纠缠一年整了，希望读的时候很不忍心是我读不完的原因。

相册没有很多好看的照片，浅浅挑几张能看的：非常好看见大家都在用我4倍速看录播的时候截下来的表情包，很喜欢赵老师，自己对实用主义者理解一直都是：用对的逻辑推出错的结论，现出框架里一直被藏起来的错来，但自己怎么也不愿也不敢成为他们；不愿意为了首映礼排队，因此只在灌篮高手这样在容量巨大的邱德拔首映的时候，才有机会在线上抢到票，和大家一起享受北京电影首映大学的福利；以及因为羡慕大家都看他不错的理性鹿 22而在招新日下午自己扮了一回，留下了珍贵的手机锁屏画面，希望新的一年也能和更多学弟学妹一起熟悉熟悉；还有我可爱的朋友们，难以想象有生之年居然有机会和朋友一起分享自己的爱好——熬大夜；今年选课有点过于猛了，没留多少时间做志愿服务，和大家一起玩，希望明年能拾起来和大家一起玩；2023的最后一天能有同学一起吃顿饭还是蛮开心的，虽然吃一半得滚回宿舍赶12点的英语课论文ddl。

赶完论文11：58赶到未名湖，挤不进灯光秀，只能远远看着博雅塔。听着身边人倒数，却也是一样的激动和兴奋，就想起找可爱的王老师答疑时老王的那一句“做选择的时候不用往人多的地方挤，也可以看看人少的那一个”希望自己接下来也能坚定地走人少的那一条路。

新年愿望是能够少熬夜，作息调回东半球，今天除外，第一天怎么也得放纵放纵。