数学分析三

反例构造小结论#

闭包：$\bar{A}=((A^{c})^{\circ})^{c}$ P38 T22 对于高维，要分析 $n$ 的多少 各阶偏导用泰勒

1 累次极限#

总分关系 分存在而总不存在

$$f(x,y)=\begin{cases} 0,&xy=0\\ 1,&xy\neq 0 \end{cases}$$

总存在而分不存在

$$f(x,y)=\begin{cases} (x+y)\sin \dfrac{1}{x}\sin \dfrac{1}{y},&xy\neq 0\\ 0,&xy=0 \end{cases}$$

2 紧集#

连续函数在紧集上一致连续，但是在闭集上不一样。比如

$$f(x,y)=\sin(xy)$$

3 连续、偏导、可微#

偏导存在而不连续

$$f(x,y)=\begin{cases} 0 ,&xy=0\\ 1,&xy\neq 0 \end{cases}$$

方向导数存在而偏导不存在

$$f(x,y)=\sqrt{ x^{2}+y^{2} }$$

方向导数存在而不连续

$$f(x,y)=\begin{cases} 1, &y= x^2\\ 0,&else \end{cases}$$

可微但偏导不连续

$$f(x,y)=\begin{cases} (x^{2}+y^{2})\sin \dfrac{1}{{x^{2}+y^{2}}},& (x,y)\neq (0,0)\\ 0,&(x,y)=(0,0) \end{cases}$$

高阶偏导不相等

$$f(x,y)=\begin{cases} xy\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq (0,0)\\ 0,&(x,y)=(0,0) \end{cases}$$

方向导数存在、偏导存在、连续但不可微

$$f(\vec{x})=\begin{cases} \frac{x_{1}^{3}}{|\vec{x}|^{2}},&\vec{x}\neq 0 \\ 0,&\vec{x}=0 \end{cases}$$

4 齐次函数#

若$f(x)$为$K$次齐次函数，则有欧拉定理

$$\left( \sum_{i=1}^{n} x_{i}\frac{ \partial }{ \partial x } \right)^{k}f(x)=\dfrac{K!}{(K-k)!}f(x)$$

5 雅克比行列式#

逆映射存在定理只是局部的同胚映射，而不是全局的，比如

$$\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\exp x\cos y\\ \exp x\sin y\end{pmatrix}$$

逆映射如不要求连续偏导数，雅克比行列式不是必要条件，比如

$$\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x^{3}\\ y\end{pmatrix}$$

6 二重积分#

二重积分存在时，未必有累次积分

$$f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{1}{k},& x = \dfrac{1}{k},y \in \mathbb{Q} & \\ 0,& else \end{cases}$$

课本内容#

1 第十三章 多元函数的极限和连续#

1.1 定义#

1. 距离：对非空集合$E$，若二元关系$d: E×E→R$满足正定性（$d(x,y)≥0$且$d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$）、对称性（$d(x,y)=d(y,x)$）、三角不等式（$d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)$），则$d$为$E$上的距离，$(E,d)$为距离/度量空间。
2. 范数：对线性空间$E$（数域$R$），若一元关系$||·||: E→R$满足正定性（$||x||≥0$且$||x||=0\Leftrightarrow x=0$）、正齐次性（$||cx||=|c|||x||$）、次可加性（$||x+y||≤||x||+||y||$），则$||·||$为$E$上的范数，$(E,||·||)$为赋范线性空间。
3. 内积：对线性空间$E$，若二元关系$(·,·): E×E→R$满足正定性（$(x,x)≥0$且$(x,x)=0\Leftrightarrow x=0$）、对称性（$(x,y)=(y,x)$）、关于数的线性性（$(cx,y)=c(x,y)$）、关于元素的线性性（$(x,y+z)=(x,y)+(x,z)$），则$(·,·)$为$E$上的内积，$(E,(·,·))$为内积空间。
4. 欧几里得空间：带有内积（范数、距离）的$R^n$称为$n$维欧几里得空间。
5. 邻域：设$x_0\in R^n$，$\delta>0$，$U(x_0,\delta)=\{x\in R^n||x-x_0|<\delta\}$为以$x_0$为心的$\delta$邻域；$U_0(x_0,\delta)=U(x_0,\delta)\setminus\{x_0\}$为$x_0$的空心$\delta$邻域；$N(x_0,\delta)=\{x\in R^n||x_j - x_j^0|<\delta\}$为方形邻域。
6. 点列收敛：设点列$\{x_k\}\subset R^n$，若存在$x_0\in R^n$使得$\lim_{k→+\infty}|x_k - x_0|=0$，则称$\{x_k\}$收敛于$x_0$，$x_0$为$\{x_k\}$的极限点。
7. 有界集：集合$E\subset R^n$有界，当且仅当$\exists M>0$，使得$|x|≤M$对$\forall x\in E$成立。
8. 聚点：对$R^n$的非空集合$E$，若$\forall \delta>0$，$U_0(x,\delta)\cap E≠\emptyset$，则$x$为$E$的聚点。
9. 孤立点：若$x\in E$且不是$E$的聚点，则$\exists \delta>0$使得$U_0(x,\delta)\cap E=\emptyset$，此时$x$为$E$的孤立点。
10. 稠密：对无限集 $A,B$，若 $A\subset B$ 且 $A$ 中任何点的任何邻域都有 $B$ 的点，则称 $B$ 在 $A$ 中稠密。
11. 内点、外点、边界点：点$P$为$E$的内点，若$\exists \delta>0$使得$U(P,\delta)\subset E$，所有内点的集合为$E$的内部$E^\circ$；点$P$为$E$的外点，若$\exists \delta>0$使得$U(P,\delta)\cap E=\emptyset$；点$P$为$E$的边界点，若$\forall \varepsilon>0$，$U(P,\varepsilon)\cap E≠\emptyset$且$U(P,\varepsilon)\cap E^c≠\emptyset$，所有边界点的集合为$E$的边界$\partial E$（$E^c=R^n\setminus E$为$E$的余集）。
12. 导集，闭包：集合$E$的导集$E'$是$E$的所有聚点构成的集合，闭包$\bar{E}=E\cup E'$。
13. 开集、闭集：若$E^\circ=E$，则$E$为开集；集合$E$的导集$E'$是$E$的所有聚点构成的集合，闭包$\bar{E}=E\cup E'$，若$E=\bar{E}$，则$E$为闭集（空集和$R^n$既开又闭）。
14. 道路连通集、区域、闭区域：若$E$中任意两点都能用属于$E$的连续曲线连接，则$E$是道路连通集；道路连通的开集称为区域；区域$D$的闭包$\bar{D}$称为闭区域。
15. 凸集、凸域：若$E$内任意两点间的直线也属于$E$，则$E$为凸集；凸的区域称为凸域。
16. Cauchy列：设点列$\{P_n\}\subset R^n$，若$\forall \varepsilon>0$，存在$K\in N$使得$d(P_k,P_m)<\varepsilon$对$\forall k,m>K$成立，则$\{P_k\}$为Cauchy列。
17. 集合的直径：集合$E$的直径$diam(E)=\sup d(P_1,P_2)$，其中$P_1,P_2\in E$。
18. 完备空间：有距离的空间$X$，若其任一Cauchy列都有极限点，则$X$是完备的。
19. 开覆盖、紧集：开集族$\Theta=\{G_\alpha\}$称为$E$的开覆盖，若$E\subset\cup_\alpha G_\alpha$；若集合$K$的每一个开覆盖都含有有限子覆盖，则$K$为紧集。
20. 单射、满射、双射：若$x_1≠x_2\Rightarrow f(x_1)≠f(x_2)$，则$f$为单射；若$f(X)=Y$，则$f$为满射；既单又满的映射为双射；若$X\subset R^n$，$Y\subset R$，则映射$f$为$n$元函数。
21. 多元函数极限：设$f(P)$定义于$E\subset R^n$，$P_0$是$E$的聚点，若$\exists$常数$A$，使得$\forall \varepsilon>0$，$\exists \delta>0$，当$P\in U_0(P_0,\delta)\cap E$时$|f(P)-A|<\varepsilon$，则$\lim_{P\in E→P_0}f(P)=A$。
22. 累次极限：设$f(x,y)$在$\{(x,y)|0<|x - x_0|<a,0<|y - y_0|<a\}$上有定义，若对任意固定的$y\in(y_0 - a,y_0 + a)\setminus\{y_0\}$，$\lim_{x→x_0}f(x,y)=\varphi(y)$存在，且$\lim_{y→y_0}\varphi(y)=A$，则$A$是$f(x,y)$的累次极限，记作$\lim_{y→y_0}\lim_{x→x_0}f(x,y)=A$。
23. 向量函数：映射$\vec{f}: R^n→R^m$称为$n$元$m$维向量函数，记作$u=\vec{f}(x)$；若$\vec{f}(E)$是$R^m$中的有界集，则$\vec{f}$是$E$上的有界向量函数。
24. 向量函数极限：$\lim_{x→x_0}\vec{f}(x)=(A_1,\cdots,A_m)$当且仅当$\lim_{x→x_0}\vec{f}_j(x)=A_j$对$\forall j$成立。
25. 多元函数连续：设$x_0$是$n$元函数$y=f(x)$定义域$E$中的点，若$\lim_{x\in E→x_0}f(x)=f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$点连续；若$f(x)$在$E$的每一点都连续，则$f(x)\in C(E)$。
26. 向量函数连续：向量函数$\vec{f}(x)=(f_1(x),\cdots,f_m(x))$在$x_0$点连续，当且仅当$f_j(x)$（$j=1,\cdots,m$）都在$x_0$点连续。
27. 一致连续：设$f(x)\in C(E)$，若$\forall \varepsilon>0$，$\exists \delta>0$，使得对$\forall x_1,x_2\in E$，当$|x_1 - x_2|<\delta$时$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$，则$f(x)$在$E$上一致连续；向量函数一致连续当且仅当各分量函数一致连续。
28. 连通：设 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 是一个非空集合，若对于$\forall \vec{x},\vec{y} \in E$ ，都存在一条道路 $\vec{h}(t):t \in[\alpha,\beta ]$，使得 $\vec{h}(\alpha)=\vec{x}$，$\vec{h}(\beta)=\vec{y}$ 且 $\vec{h}(t)\in E$ 对 $\forall t \in [\alpha,\beta ]$ 成立，则称 $E$ 是连通的。
29. 区域：设 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 是一个非空开集，若 是连通的，则称 是区域。设 $D$ 是一个区域，则 称为区域 $D$ 的闭包 $\bar{D}$ 为闭区域。
30. 同胚映射：若$\vec{f}: E\subset R^n→\vec{f}(E)\subset R^n$是双射，且$\vec{f}$与$\vec{f}^{-1}$都连续，则$\vec{f}$为$E$到$\vec{f}(E)$的同胚映射（$\vec{f}^{-1}(y)=x$其中$\vec{f}(x)=y$）。

1.2 定理#

1. 定理 13.1.1：点列收敛的充要条件：设 $\{x_k\}$ 是 $R^n$ 中的点列，$x_0=(x_1^0,\cdots,x_n^0)\in R^n$，则 $\lim_{k→+\infty}x_k = x_0\Leftrightarrow\lim_{k→+\infty}x_j^k = x_j^0$ 对 $\forall j$ 成立。
2. 高维空间点列极限的性质：极限唯一；收敛有界；线性性；保内积。
3. 定理 13.1.5：聚点的充要条件：点 $P_0$ 是 $E$ 的聚点，当且仅当存在点列 $\{P_n\}\subset E$，$P_n≠P_0$ 对 $\forall n\in N$ 成立，且 $\lim_{n→\infty}P_n = P_0$。
4. 定理 13.1.6(7)：开集与闭集的运算性质：
   1. $\mathbb{R}^{n}$ 和 $\emptyset$ 是开集和闭集；
   2. 有限个开集的交集是开集，任意多个开集的并集是开集；
   3. 有限个闭集的并集是闭集，任意多个闭集的交集是闭集；
   4. $E\subset R^n$ 是开集 $\Leftrightarrow E^c$ 是闭集。
5. 德摩根定律：设 $\Lambda$ 为指标集，$E_\lambda\subset R^n$ 对 $\forall \lambda\in\Lambda$，则
   1. $(\cup_{\lambda\in\Lambda}E_\lambda)^c=\cap_{\lambda\in\Lambda}E_\lambda^c$，
   2. $(\cap_{\lambda\in\Lambda}E_\lambda)^c=\cup_{\lambda\in\Lambda}E_\lambda^c$。
6. 定理 13.1.8：设 $E \subset \mathbb{R}^{n}$ 则$E$ 是闭集的充分必要条件是 $E=\bar{E}$
7. 定理 13.1.9：Cauchy列与收敛的关系：$R^n$中Cauchy列$\Leftrightarrow$收敛。
8. 定理 13.1.10（闭集套定理）：设$\{F_k\}$是非空闭集列，满足$F_1\supset F_2\supset\cdots\supset F_k\supset\cdots$且$diam(F_k)→0(k→\infty)$，则存在唯一一点$P_0\in\cap_{k=1}^{+\infty}F_k$。
9. 定理 13.1.11：有界点列与聚点定理：有界点列必有收敛子列；$R^n$中任何有界无穷集必有聚点。
10. 有限覆盖定理：设$E\subset R^n$是非空有界闭集，$\Theta=\{G_\alpha\}$是$E$的开覆盖，则从$\Theta$中必能选出有限个开集$G_1,\cdots,G_n$使得$E\subset\cup_{j=1}^n G_j$。
11. 定理 13.1.13：紧集的充要条件：$E\subset R^n$是紧集$\Leftrightarrow E$是有界闭集。
12. 定理 13.2.2：设$f(x,y)$在$\{(x,y)|0<|x - x_0|<a,0<|y - y_0|<a\}$上有定义，若
    1. $\lim_{(x,y)→(x_0,y_0)}f(x,y)=A$(可以是无穷)
    2. 对固定$y\in(y_0 - a,y_0 + a)\setminus\{y_0\}$，$\lim_{x→x_0}f(x,y)=\varphi(y)$存在，
    3. 则$\lim_{y→y_0}\lim_{x→x_0}f(x,y)=A$；
13. 定理 13.3.1：设 $E\subset \mathbb{R}^{n}$，向量函数 $\vec{y}=\vec{f}(\vec{x})$ 在 $E$ 上连续，向量函数 $\vec{g}(\vec{y})$ 在 在 $\vec{f}(E)$ 上连续，则复合函数 $\vec{h}(\vec{x})=\vec{g}(\vec{f}(\vec{x}))$ 在 $E$ 上连续。
14. 定理 13.3.2：$E\subset R^n$是紧集，向量函数$\vec{f}(x)$在$E$上连续，则$\vec{f}(E)\subset R^m$是紧集，推论：$f(x)$在$E$上有界、取到最大最小值、一致连续。
15. 定理 13.3.3：$E\subset R^n$是道路连通集，向量函数$\vec{f}(x)$在$E$上连续，则$\vec{f}(E)\subset R^m$连通；若$f(x)\in C(E)$且$\exists x_1,x_2\in E$使得$f(x_1)<0$，$f(x_2)>0$，则$\exists x_0\in E$使得$f(x_0)=0$。
16. 定理 13.3.4：设 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 是紧集，若 $\vec{f}(\vec{x})$ 在 $E$ 上连续，则 $\vec{f}(\vec{x})$ 在 $E$ 上一致连续。

2 第十四章 多元微分学#

2.1 定义#

1. 偏导数：$\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_i}=\lim_{x_i→x_i^0}\frac{f(x_1^0,\cdots,x_{i-1}^0,x_i,x_{i+1}^0,\cdots,x_n^0)-f(x_1^0,\cdots,x_n^0)}{x_i - x_i^0}$。
2. 全微分：设$\Delta x=(\Delta x_1,\cdots,\Delta x_n)$，$x=x_0+\Delta x$，若存在仅依赖于$x_0$的常数$A_i$使得$\Delta f(x_0)=\sum_{i=1}^n A_i\Delta x_i + o(|\Delta x|)$，则$f(x)$在$x_0$处可微，$\sum_{i=1}^n A_i\Delta x_i$为全微分。
3. 方向导数：单位向量$v=(\cos\theta_1,\cdots,\cos\theta_n)$，$\frac{\partial f(x_0)}{\partial v}=\lim_{t→0^+}\frac{f(x_0 + tv)-f(x_0)}{t}$为$f(x)$在$x_0$点沿方向$v$的方向导数。
4. 梯度：设 $f(\vec{x})$ 在 $\vec{x}_{0}$处可微，则 $\operatorname{grad} f(x_0)=(\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_1},\cdots,\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_n})$，也记作$\nabla f$。
5. 切平面、法向量：函数$y=f(x_1,\cdots,x_n)$在可微点存在切平面，所有切线所在的平面为切平面，垂直于切平面的矢量为法向量。
6. 向量函数可微、Jacobi矩阵：若向量函数$\vec{f}(x)$满足$\Delta \vec{f}(x)=A\Delta x + \alpha(|\Delta x|)$（其中$\lim_{|\Delta x|→0}\frac{\alpha_i(|\Delta x|)}{|\Delta x|}=0$），则$\vec{f}(x)$可微，矩阵$A$为导数/Jacobi矩阵，记作$D\vec{f}(x)$或$\vec{f}'(x)$，$A\Delta x$为全微分$d\vec{f}(x)=\vec{f}'(x)dx$，$A_{ij}=\frac{\partial f_i(x)}{\partial x_j}$；若$A$是方阵，$|A|$为Jacobi行列式，记作$|f'(x_0)|$或$\frac{\partial(f_1,\cdots,f_n)}{\partial(x_1,\cdots,x_n)}|_{x_0}$。
7. 临界点、临界值：设$\vec{f}: D\subset R^n→R^m$，$\vec{f}(x)\in C^1(D)$，$x_0\in D$，若$rank(\vec{f}'(x_0))<min(n,m)$，则$x_0$为$\vec{f}(x)$的临界点，$y_0=\vec{f}(x_0)$为临界值；$n$元函数的临界点满足$\nabla f(x_0)=0$；$n$元$n$维向量函数的临界点满足$|f'(x_0)|=0$。
8. 高阶偏导数：$\frac{\partial^2 f}{\partial x_k\partial x_i}=\frac{\partial(\frac{\partial f}{\partial x_i})}{\partial x_k}$，$n$元函数有$n^2$个二阶偏导数；$C^k(D)$为区域$D$上具有直到$k$阶连续偏导数的函数的全体。
9. 二阶微分：$d^2 f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_k\partial x_i}dx_kdx_i$；Laplace算子$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$。
10. 高阶全微分：2元函数$d^k u=(dx\frac{\partial}{\partial x}+dy\frac{\partial}{\partial y})^k u=\sum_{i=0}^k C_k^i\frac{\partial^k u}{\partial x^i\partial y^{k - i}}dx^i dy^{k - i}$；$n$元函数$d^k u=(\sum_{i=1}^n dx_i\frac{\partial}{\partial x_i})^k u$。
11. Hesse矩阵：$H_f(x_0)=(\frac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_i\partial x_j})$（二次型）。
12. 多元函数极值：设$u=f(x)$在$D\subset R^n$内有定义，$x_0\in D$，若$\exists U(x_0,\delta)$使得$f(x)≤f(x_0)$（或$f(x)≥f(x_0)$）对$\forall x\in U(x_0,\delta)$成立，则$f(x)$在$x_0$点取得极大值（或极小值），$x_0$为极大值点（或极小值点）。
13. 曲线：$R^n$中的一条曲线是$[\alpha,\beta]→R^n$的连续映射$h(t)=(x_1(t),\cdots,x_n(t))$；若$h(t_1)≠h(t_2)$对$\forall t_1,t_2\in[\alpha,\beta]$，则为简单曲线；若$h(t_1)≠h(t_2)$对$\forall t_1,t_2\in[\alpha,\beta)$且$h(\alpha)=h(\beta)$，则为简单闭曲线（Jordan曲线）。
14. 凸函数：设$D\subset R^n$是凸区域，$f(x)$在$D$上定义，若对$\forall x_1,x_2\in D$，$\forall t\in(0,1)$，有$f(tx_1+(1 - t)x_2)≤tf(x_1)+(1 - t)f(x_2)$，则$f(x)$为$D$上的凸函数；若不等式严格成立，则为严格凸函数。

2.2 定理#

1. 注 2：设 $f(\vec{x})$ 关于 $x_{i}$ 的偏导数存在并等于 $A$ ，若记 $\vec{v}_{i}$ 是 第 $i$ 个坐标轴的单位向量，则有 $\frac{\partial f(\vec{x})}{\partial x_{i}}=\frac{\partial f(\vec{x})}{\partial \vec{v}_{i}}=A$，但是应该注意到 $\frac{\partial f(\vec{x})}{\partial -\vec{v}_{i}}=-A$
2. 定理 14.1.1：$n$ 元函数$f$可微，则必连续，且$\mathrm{d}f=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\mathrm{d}x_i$；
3. 定理 14.1.2：设函数 $f(\vec{x})$ 在区域 $D \subset \mathbb{R}^{n}$ 上有定义，且在 $\vec{x}_{0}$ 的某邻域内 $f(\vec{x})$ 的各偏导数均存在且连续，则 $f(\vec{x})$ 在 $\vec{x}_{0}$ 处可微；
4. 定理 14.1.3：设函数 $f(\vec{x})$ 在区域 $D \subset \mathbb{R}^{n}$ 上有定义，且在 $\vec{x}_{0}\in D$ 处可微，则$\frac{\partial f(x_0)}{\partial v}=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_i}\cos\theta_i$。
5. 梯度的运算性质：设$f$和$g$是$n$元可微函数，则：
   1. $\nabla C=0$；
   2. $\nabla(af+bg)=a\nabla f+b\nabla g$；
   3. $\nabla(fg)=f\nabla g+g\nabla f$；
   4. $\nabla(\frac{f}{g})=\frac{g\nabla f - f\nabla g}{g^2}$。
6. 复合函数求导法则（链式法则）：设$u=f(x,y)$，$x=g(s,t)$，$y=h(s,t)$构成复合函数，$\frac{\partial x}{\partial s},\frac{\partial x}{\partial t},\frac{\partial y}{\partial s},\frac{\partial y}{\partial t}$都存在，$f(x,y)$可微，则$\frac{\partial u}{\partial s}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$，$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$。
7. 向量函数可微的充要条件：向量函数可微的充要条件是分量函数可微。
8. 导数的四则运算：
   1. $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$；
   2. $(f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)$；
   3. $(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$（要求定义域和值域合适）。
9. Jacobi矩阵的链式法则：$\frac{\partial(f_1,\cdots,f_p)}{\partial(x_1,\cdots,x_n)}=\frac{\partial(f_1,\cdots,f_p)}{\partial(u_1,\cdots,u_m)}\cdot\frac{\partial(u_1,\cdots,u_m)}{\partial(x_1,\cdots,x_n)}$，或$df(u(x))=f'(u(x))u'(x)dx$，从而$\frac{\partial f(u(x_0))}{\partial x_i}=\sum_{j=1}^m\frac{\partial f(u_0)}{\partial u_j}\cdot\frac{\partial u_j(x_0)}{\partial x_i}$。
10. 定理 14.2.3：如果二阶偏导数存在且连续，那么$f_{ki}''(x)=f_{ik}''(x)$；若$f_{ki}''(x)$或$f_{ik}''(x)$在$x_0$点附近存在且其中之一在$x_0$点连续，那么$f_{ki}''(x_0)=f_{ik}''(x_0)$。
11. 定理 14.3.1：设$f(x)$在$x_0\in R^n$的邻域$U(x_0,\delta_0)$内具有$K+1$阶连续偏导数，则对$x_0 + h\in U(x_0,\delta_0)$，有$f(x_0 + h)=f(x_0)+\sum_{k=1}^K\frac{1}{k!}(\sum_{i=1}^n h_i\frac{\partial}{\partial x_i})^k f(x_0)+\frac{1}{(K+1)!}(\sum_{i=1}^n h_i\frac{\partial}{\partial x_i})^{K+1}f(x_0+\theta h)$（$0<\theta<1$）。
    1. 推论 1：设$f(x)$在$x_0\in R^n$的邻域$U(x_0,\delta_0)$内具有$K$阶连续偏导数，则对$x_0 + h\in U(x_0,\delta_0)$，有$f(x_0 + h)=f(x_0)+\sum_{k=1}^K\frac{1}{k!}(\sum_{i=1}^n h_i\frac{\partial}{\partial x_i})^k f(x_0)+o(|h|^K)$（$|h|→0$）。
    2. 推论 2（拉格朗日微分中值定理）：设$f(x)$在$x_0$的某邻域内具有连续偏导数，则对于 $\forall t\in[0,1], \vec{x}_{0}+t(\vec{x}-\vec{x}_{0})\in D$，我们有 $f(\vec{x})-f(\vec{x}_{0})=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f(\vec{x}_{0}+\theta(\vec{x}-\vec{x}_{0}))}{\partial x_{i}}(x_{i}-x_{i}^{0})$，其中 $\theta \in (0,1)$
    3. 推论 3：若函数 $f(\vec{x})$ 在区域 $D \subset \mathbb{R}^{n}$ 上各个偏导数均为 $0$，则 $f(\vec{x})$ 在 $D$ 上为常函数。
12. 定理 14.4.1（隐函数存在定理）：设二元函数$F(x,y)$在$U((x_0,y_0),\delta)$内满足：
    1. $F(x_0,y_0)=0$；
    2. $F(x,y)$和$F_y'(x,y)$连续；
    3. $F_y'(x_0,y_0)≠0$， 则$\exists \delta_0\in(0,\delta)$，使得在$U(x_0,\delta_0)$内存在唯一连续函数$y=f(x)$，满足
    4. $y_0=f(x_0)$，
    5. $F(x,f(x))=0$；
    6. 若$F_x'(x,y)$连续，则$f(x)\in C^1$且$f'(x)=-\frac{F_x'(x,f(x))}{F_y'(x,f(x))}$。
13. 隐函数存在定理（$n+1$元）：设$F(\vec{x},y)=F(x_1,\cdots,x_n,y)$在$U(\vec{x}_0,\delta)×U(y_0,\delta)$内满足：
    1. $F(\vec{x}_0,y_0)=0$；
    2. $F(\vec{x},y)$和$F_y'(\vec{x},y)$连续；
    3. $F_y'(\vec{x}_0,y_0)≠0$， 则$\exists \delta_0>0$，使得在$U(x_0,\delta_0)$内存在唯一连续函数$y=f(\vec{x})$，满足
    4. $y_0=f(\vec{x}_0)$，
    5. $F(\vec{x},f(\vec{x}))=0$；
    6. 若$F$的各偏导数连续，则$f(\vec{x})$ 存在各个连续偏导数，且$\frac{ \partial f(\vec{x}) }{ \partial x_{i} } =-\frac{F_{x_{i}}'(\vec{x},y)}{F_y'(\vec{x},y)}$。
14. 隐函数组存在定理（向量函数）：设向量函数$F(x,u)=(F_1(x,u),\cdots,F_m(x,u))$在$U(x_0,\delta)×U(u_0,\delta)$内有定义（$x=(x_1,\cdots,x_n)$，$u=(u_1,\cdots,u_m)$），满足：$F_j(x_0,u_0)=0$对$\forall j$；$F_j(x,u)$及各偏导数连续；$\frac{\partial(F_1,\cdots,F_m)}{\partial(u_1,\cdots,u_m)}|_{(x_0,u_0)}≠0$，则$\exists \delta_0>0$，使得在$U(x_0,\delta_0)$内存在唯一$m$维$n$元向量函数$f(x)=(f_1(x),\cdots,f_m(x))$，满足$u_0=f(x_0)$，$F_j(x,f(x))=0$对$\forall x\in U(x_0,\delta_0)$；$f'(x)=-{F_u'(x,u)}^{-1}{F_x'(x,u)}$（分母为逆矩阵）。
15. 逆映射存在定理：设$y=f(x)=(f_1(x),\cdots,f_n(x))$是区域$D\subset R^n$到$\Omega\subset R^n$的$C^1$映射，且$\frac{\partial(f_1,\cdots,f_n)}{\partial(x_1,\cdots,x_n)}|_{x_0}≠0$（$y_0=f(x_0)$），则$f$在$x_0$的某邻域$U(x_0,\delta)$内是$C^1$同胚映射，$f(U(x_0,\delta))$是包含$y_0$的区域。
16. 定理 14.5.1：设函数$u=f(\vec{x})$在$x_0$点取得极值，且$f(\vec{x})$在$\vec{x}_0$点各偏导数存在，则偏导数都为$0$；若$f(\vec{x})$在$\vec{x}_0$点可微，则$f'(\vec{x}_0)=0$。
17. 定理 14.5.2：设函数$f(x)$在$D\subset R^n$内有连续二阶偏导数，且$f'(x_0)=0$，$H_f(x_0)$满秩，则
    1. $H_f(x_0)$正定时$f(x_0)$取极小值，
    2. 负定时取极大值，不定时不取极值；
    3. $H_f(x_0)$不满秩时需用高阶导数判定。
18. 条件极值的必要条件（拉格朗日乘数法）：设$n$元函数$f(x)$和$m$维$n$元向量函数$g(x)=(g_1(x),\cdots,g_m(x))$（$m<n$）在$D$内有连续偏导数，$x_0\in D$为$f(x)$在约束$g(x)=0$下的极值点，且$rank(g'(x_0))=m$，则存在常数$t_1,\cdots,t_m\in R$，使得$g(x_0)=0$，$\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_i}+\sum_{j=1}^m t_j\frac{\partial g_j(x_0)}{\partial x_i}=0$（$\forall i$），即$f'(x_0)+(t_1,\cdots,t_m)g'(x_0)=0$（构造$F(x,t)=f(x)+\sum_{j=1}^m t_jg_j(x)$，必要条件为$\frac{\partial F(x_0,t_0)}{\partial x_i}=0$，$\frac{\partial F(x_0,t_0)}{\partial t_j}=0$）。
19. 定理 14.5.3：设$(x_0,\lambda_0)$为$F(x,\lambda)=f(x)+\sum_{j=1}^m \lambda_j\varphi_j(x)$的驻点，且 $\vec{\varphi}'(\vec{x}_{0})$ 的秩为 $m$，$H_F(x_0,\lambda_0)=(\frac{\partial^2 F}{\partial x_i\partial x_j}(x_0,\lambda_0))_{n×n}$，则$H_F(x_0,\lambda_0)$正定或负定时，$x_0$是$F(x,\lambda_0)$的极值点且为$f(x)$的条件极值点；$H_F(x_0,\lambda_0)$不定时，$x_0$不是$F(x,\lambda_0)$的极值点，但不能确定是否为$f(x)$的条件极值点。
20. 曲线的切线方向：曲线方程为$h(t)=(x(t),y(t),z(t))$，在$t=t_0$点的切线方向为$(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))$。
21. 曲面的法线方向：参数式曲面$x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)$在$M_0=(x_0,y_0,z_0)$点的法线方向为$(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)},\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)},\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)})$；曲面$F(x,y,z)=0$在$M_0$点的法线方向为$(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z})|_{M_0}$。
22. 隐式曲线的切线方向：曲线由$\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$给出，在$M_0$点的切线方向为$(\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)},\frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)},\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)})|_{M_0}$。
23. 定理 14.6.1：设$D\subset R^n$是凸区域，$f(x)\in C^2(D)$，则以下命题等价：
    1. $f(x)$是$D$上的凸函数；
    2. $\forall x_0,x\in D$，$f(x)≥f(x_0)+f'(x_0)(x - x_0)^{\top}$；
    3. $\forall x_0\in D$，$H_f(x_0)$半正定。

3 第十五章 重积分#

3.1 定义#

1. Jordan可测集（有面积）：对于$1/n×1/n$的方体分割$\Delta_n$，记$Q_n^-$为内部方体，$Q_n^+$为最小覆盖方体，若$\lim_{n→+\infty}m(Q_n^-)=\lim_{n→+\infty}m(Q_n^+)$，则集合$A$有面积（Jordan可测），极限为$A$的面积$m(A)$。
2. 简单图形：边界线均为垂直或水平直线段的闭区域。
3. 分划：平面有界可测集$D$的分划$\Delta=\{\Delta\sigma_i\}_{i=1}^n$，满足$\Delta\sigma_i$可测且$\Delta\sigma_i^\circ\cap\Delta\sigma_j^\circ=\emptyset$，分划的直径$\|\Delta\|=max\{diam(\Delta\sigma_i)\}$；空间有界可测集$\Omega$的分划$\Delta=\{\Delta V_i\}_{i=1}^n$，定义类似。
4. 二重积分：设$D$为平面有界可测集，$f(x,y)$在$D$上定义，若$\lim_{\|\Delta\|→0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)m(\Delta\sigma_i)=I$（对任意分划和取点都成立），则$f(x,y)$在$D$上可积，$I$为二重积分，记作$\iint_D f(x,y)d\sigma$或$\iint_D f(x,y)dxdy$，$D$上所有可积函数全体记为$R(D)$。
5. 三重积分：设$\Omega$为空间有界可测集，$f(x,y,z)$在$\Omega$上定义，若$\lim_{\|\Delta\|→0}\sum_{i=1}^n f(x_i,y_i,z_i)\Delta V_i=I$（对任意分划和取点都成立），则$f(x,y,z)$在$\Omega$上可积，$I$为三重积分，记作$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv$或$\iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz$，$\Omega$上所有可积函数全体记为$R(\Omega)$。
6. 穷竭列：设$D\subset R^2$为区域，$\forall R>0$，$D\cap\{x^2+y^2<R^2\}$可测，若有界可测闭集列$\{D_n\}$满足$D_1\subset D_2\subset\cdots\subset D_n\subset D$，且任意有界闭集$F\subset D$都存在$m$使得$F\subset D_m$，则$\{D_n\}$为$D$的穷竭列。
7. 内闭可积：函数$f(x,y)$在$D$的任何可求面积的有界闭子区域上可积，则$f(x,y)$在$D$上内闭可积。
8. 广义重积分：设$D$为区域，$\forall R>0$，$D\cap\{x^2+y^2<R^2\}$可测，$f(x,y)$在$D$上内闭可积，若对$D$的任意穷竭列$\{D_n\}$，$\lim_{n→+\infty}\iint_{D_n}f(x,y)dxdy$存在且唯一，则广义二重积分$\iint_D f(x,y)dxdy$收敛；若$\iint_D|f(x,y)|dxdy$收敛，则称原积分绝对收敛。

3.2 定理#

1. 定理 15.1.1：有面积的充要条件：平面有界点集$A$有面积$\Leftrightarrow\forall \varepsilon>0$，存在包含$\partial A$的简单图形$Q$使得 $m(Q)<\varepsilon$ 。
   1. $A,B$有面积$\Rightarrow A\cup B,A\cap B,A\setminus B$有面积；
   2. $D$ 可求体积的充分必要条件是 $\bar{D}$ 可求体积，$V(D)=V(\bar{D})$
   3. 当$A^\circ\cap B^\circ=\emptyset$时，$m(A\cup B)=m(A)+m(B)$；
   4. $\cup_{i=1}^n A_i,\cap_{i=1}^n A_i$有面积且$m(\cup_{i=1}^n A_i)≤\sum_{i=1}^n m(A_i)$。
2. 特殊集合的面积：平面可求长曲线的面积为$0$；由有限条可求长曲线或显式连续曲线围成的区域面积存在。
3. 定理 15.2.1：有界可测区域上的可积函数必有界。
4. 定理 15.2.3（达布定理）：设$D\subset R^2$有界可测，$f(x,y)$在$D$上有界，则$f(x,y)\in R(D)\Leftrightarrow\lim_{\|\Delta\|→0}\sum_{i=1}^n \omega_i\Delta\sigma_i=0\Leftrightarrow\forall \varepsilon>0$，$\exists$ 分划 $\Delta$ 使得 $\bar{S}(f,\Delta)-\underline{S}(f,\Delta)<\varepsilon\Leftrightarrow\overline{\iint_D f(x,y)d\sigma}=\underline{\iint_D f(x,y)d\sigma}$（$\omega_i$为$f$在$\Delta\sigma_i$上的振幅）。
5. 定理 15.2.4：设 $D$ 是可求体积的有界闭区域，$f(x,y)$在$D$上有界且在 $D$ 上连续，则$f(x,y)\in R(D)$；连续函数必可积。
6. 复合函数的可积性：设$D$是有界可测区域，$f(x,y)\in R(D)$，$m≤f(x,y)≤M$，$g(z)$在$[m,M]$上连续，则$g(f(x,y))\in R(D)$。
7. 二重积分的性质：
   1. 线性性、被积函数可加性、积分区域可加性；
   2. 积分区域单调性、被积函数单调性；三角不等式；
   3. 重积分第一中值定理，$f$ 在 $D$ 上连续，$g$ 在 $D$ 可积且不变号，使得$\iint_D f(x,y)g(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)\iint_D g(x,y)d\sigma$。
8. 定理 15.3.1：设$f(x,y)$在$D=[a,b]×[c,d]$上可积，且$\forall x\in[a,b]$，$I(x)=\int_c^d f(x,y)dy$存在，则定积分 $\int_{a}^{b} I(x)\mathrm{d}x$ 存在，并且 $\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{a}^{b}I(x)\mathrm{d}x$.
9. 定理 15.3.2：设$D=\{(x,y)|a≤x≤b,g_1(x)≤y≤g_2(x)\}$，$f(x,y)$在$D$上可积，且$\forall x\in[a,b]$，$I(x)=\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)dy$存在，则$\iint_D f(x,y)d\sigma=\int_a^b dx\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)dy$。
10. 定理 15.4.1：设$D_{xy},D_{uv}$是由逐段光滑曲线围成的有界闭区域，变换$T:\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\end{cases}$是$D_{uv}→D_{xy}$的$C^1$同胚映射，且$J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}≠0$对$\forall(u,v)\in D_{uv}$，$f(x,y)\in R(D_{xy})$，则$\iint_{D_{xy}}f(x,y)dxdy=\iint_{D_{uv}}f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv$。
11. 广义重积分收敛的充要条件：设$D$为区域，$\forall R>0$，$D\cap\{x^2+y^2<R^2\}$可测，$f(x,y)$在$D$上内闭可积，则$\iint_D f(x,y)d\sigma$收敛$\Leftrightarrow\iint_D|f(x,y)|d\sigma$收敛。
12. 广义重积分的变量替换：设区域$G,D\subset R^n$，$\forall R>0$，$G\cap B_R,D\cap B_R$可测，同胚变换$T\in C^1(G)$，$G→D$，则$\iint_D f(x,y)dxdy$与$\iint_G f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv$同敛散，收敛时值相等。
13. 矩形区域广义重积分的敛散性：设$D=\{a<x<b,c<y<d\}$，$f(x,y)$在$D$上内闭可积，则$\int_c^d dy\int_a^b|f(x,y)|dx$收敛$\Rightarrow\iint_D f(x,y)d\sigma$收敛且$\iint_D f(x,y)d\sigma=\int_c^d dy\int_a^b f(x,y)dx$；$\int_a^b dx\int_c^d|f(x,y)|dy$收敛$\Rightarrow\iint_D f(x,y)d\sigma$收敛且$\iint_D f(x,y)d\sigma=\int_a^b dx\int_c^d f(x,y)dy$；其中一个发散则原积分发散。

4 第十六章 曲线积分与曲面积分#

4.1 定义#

1. 第一型曲线积分：设$\Gamma$是平面可求长曲线，$f(x,y)$在$\Gamma$上有定义，若$\lim_{\lambda→0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i$（对任意分割和取点都成立），则极限为$f(x,y)$在$\Gamma$上的第一型曲线积分，记作$\int_\Gamma f(x,y)ds$，闭曲线时记作$\oint_\Gamma f(x,y)ds$；空间曲线的第一型曲线积分定义类似。
2. 光滑曲线：参数式曲线$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}$（或空间曲线$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$），满足$x(t),y(t)$（或$x(t),y(t),z(t)$）$\in C^1[a,b]$且$x'(t)^2+y'(t)^2>0$（或$x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2>0$）。
3. 第二型曲线积分：设有向连续线段$\Gamma=AB$，向量函数$\vec{F}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$在$\Gamma$上连续，若$\lim_{\|\Delta\|→0}\sum_{i=1}^n[P(\xi_i,\eta_i,\varsigma_i)\Delta x_i+Q(\xi_i,\eta_i,\varsigma_i)\Delta y_i+R(\xi_i,\eta_i,\varsigma_i)\Delta z_i]$（对任意分割和取点都成立），则极限为$\vec{F}(x,y,z)$在$\Gamma$上的第二型曲线积分，记作$\int_{AB}\vec{F}\cdot d\vec{s}$或$\int_{AB}Pdx+Qdy+Rdz$。
4. 第一型曲面积分：设函数$f(x,y,z)$在分片光滑的曲面$\sum$上有定义，若$\lim_{\lambda→0}\sum_{i=1}^n f(x_i,y_i,z_i)\Delta S_i$（对任意分割和取点都成立），则极限为$f(x,y,z)$在$\sum$上的第一型曲面积分，记作\iint_\sum f(x,y,z)dS。
5. 双侧曲面、单侧曲面：光滑曲面$\sum$上任取一点$M_0$，选定法向量朝向，若$M_0$连同法向量沿$\sum$上任意封闭曲线连续滑行一周后法向量方向不变，则$\sum$为双侧曲面；否则为单侧曲面。
6. 第二型曲面积分：设$\sum\subset R^3$是分片光滑双侧曲面，单位法向量$n(x,y,z)$，向量函数$\vec{F}(x,y,z)=(P,Q,R)$在$\sum$上有定义，若$\lim_{\lambda(T)→0}\sum_{i=1}^k\vec{F}(x_i,y_i,z_i)\cdot\vec{n}(x_i,y_i,z_i)\Delta S_i$（对任意分割和取点都成立），则极限为第二型曲面积分，记作\iint_\sum\vec{F}\cdot\vec{n}dS或\iint_\sum P dydz+Q dzdx+R dxdy，闭曲面时记作\oiint_\sum\vec{F}\cdot\vec{n}dS。
7. 平面单连通区域：平面连通区域$D$，若$D$内任一简单闭曲线的内部总包含在$D$内，则$D$为单连通区域。
8. 空间单连通区域、线单连通区域：空间连通区域$\Omega$，若$\Omega$内任一简单闭曲线能收缩成$\Omega$中一点，则$\Omega$为单连通区域；若$\Omega$内任何闭曲线都可以张成一张完全属于$\Omega$的曲面，则$\Omega$为线单连通区域。
9. 边界正向：一个人沿着$D$的边界曲线前进时，曲线所围区域总在他的左边，该方向为$\partial D$的正向。
10. 旋度、散度：向量函数$\vec{F}(x,y,z)=(P,Q,R)$的旋度$rot\vec{F}=\nabla×\vec{F}=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})$；散度$div\vec{F}=\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$。
11. 调和函数、Laplace方程：设$D$为区域，$u(x,y)\in C^2(D)$，若$\Delta u=0$，则$u(x,y)$是$D$上的调和函数，方程$\Delta u=0$称为Laplace方程（调和方程）。

4.2 定理#

1. 第一型曲线积分的存在性：当$\Gamma$可求长且$f(x,y)\in C(\Gamma)$时，$\int_\Gamma f(x,y)ds$存在。
2. 第一型曲线积分的计算（平面曲线）：设$\Gamma$为光滑曲线，参数方程$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}$，$t\in[a,b]$，$f(x,y)\in C(\Gamma)$，则$\int_\Gamma f(x,y)ds=\int_a^b f(x(t),y(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt$。
3. 第一型曲线积分的计算（空间曲线）：设光滑曲线$C: x=x(t),y=y(t),z=z(t)$，$t\in[a,b]$，$f(x,y,z)\in C(C)$，则$\int_C f(x,y,z)ds=\int_a^b f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}dt$。
4. 第一型曲线积分的性质：线性性（$\int_\Gamma k_1f+k_2g ds=k_1\int_\Gamma f ds+k_2\int_\Gamma g ds$）；积分区域可加性（$\int_{\Gamma_1}f ds+\int_{\Gamma_2}f ds=\int_{\Gamma_1\cup\Gamma_2}f ds$）；无向性（$\int_{AB}f ds=\int_{BA}f ds$）。
5. 第二型曲线积分的存在性与计算：设$\Gamma=AB$是光滑曲线，参数方程$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$，$t\in[t_0,t_1]$（$t$从$t_0$到$t_1$对应点从$A$到$B$），$P,Q,R\in C(\Gamma)$，则$\int_{AB}Pdx+Qdy+Rdz=\int_{t_0}^{t_1}[P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))z'(t)]dt$。
6. 第二型曲线积分的性质：线性性；积分区域可加性；有向性（$\int_{AB}\vec{F}\cdot d\vec{s}=-\int_{BA}\vec{F}\cdot d\vec{s}$）。
7. 第一型曲面积分的计算（显式曲面）：设$\sum: z=z(x,y)$，$(x,y)\in D_{xy}$，则\iint_\sum f(x,y,z)dS=\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}d\sigma_{xy}。
8. 第一型曲面积分的计算（参数曲面）：设$\sum: x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)$，$(u,v)\in D_{uv}$，$\vec{r_1}=(\frac{\partial x}{\partial u},\frac{\partial y}{\partial u},\frac{\partial z}{\partial u})$，$\vec{r_2}=(\frac{\partial x}{\partial v},\frac{\partial y}{\partial v},\frac{\partial z}{\partial v})$，则\iint_\sum f(x,y,z)dS=\iint_{D_{uv}}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|\vec{r_1}×\vec{r_2}|d\sigma_{uv}。
9. 第二型曲面积分的表达式：\iint_\sum\vec{F}\cdot\vec{n}dS=\iint_\sum P dydz+Q dzdx+R dxdy，其中$dS=\vec{n}dS=(dydz,dzdx,dxdy)$，$dydz=\cos A dS$，$dzdx=\cos B dS$，$dxdy=\cos C dS$（$A,B,C$为法向量与坐标轴的夹角）。
10. Green公式：设平面闭区域$D$由有限条可求长简单闭曲线围成，$\partial D$为$D$的正向边界，$P,Q\in C^1(D)$，则$\oint_{\partial D}Pdx+Qdy=\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma$；特殊情况$\oint_{\partial D}Pdx=-\iint_D\frac{\partial P}{\partial y}d\sigma$，$\oint_{\partial D}Qdy=\iint_D\frac{\partial Q}{\partial x}d\sigma$。
11. Gauss公式：设有界闭区域$\Omega\subset R^3$，边界曲面$\partial\Omega$（外侧）分片光滑，$P,Q,R,\frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial z}\in C(\Omega)$，则$\oiint_{\partial\Omega}\vec{F}\cdot\vec{n}dS=\iiint_\Omega div\vec{F}dv$。
12. Stokes公式：设光滑双侧曲面$\sum$含于空间区域$\Omega$，边界$\partial\sum$由有限条分段光滑曲线组成，$\sum$的正侧与$\partial\sum$的正向按右手法则取定，$P,Q,R\in C^1(\Omega)$，则\oint_{\partial\sum}Pdx+Qdy+Rdz=\iint_\sum(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy，也可表示为\oint_{\partial\sum}Pdx+Qdy+Rdz=\iint_\sum\begin{vmatrix}\cos\alpha&\cos\beta&\cos\gamma\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}dS。
13. 平面曲线积分与路径无关的等价条件：设$D$为区域，$P,Q\in C(D)$，则$\forall A,B\in D$，$\int_{AB}Pdx+Qdy$与路径无关$\Leftrightarrow$对任意闭曲线$C\subset D$，$\oint_C Pdx+Qdy=0\Leftrightarrow$存在可微函数$u(x,y)$使得$du=Pdx+Qdy$；若$D$为单连通区域且$\frac{\partial P}{\partial y},\frac{\partial Q}{\partial x}\in C(D)$，则上述等价条件等价于$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$对$\forall(x,y)\in D$成立。
14. 空间曲线积分与路径无关的等价条件：设$\Omega$是线单连通区域，$P,Q,R\in C^1(\Omega)$，$\vec{F}=(P,Q,R)$，则$\forall$闭曲线$L\subset\Omega$，$\oint_L Pdx+Qdy+Rdz=0\Leftrightarrow\forall A,B\in\Omega$，$\int_{AB}Pdx+Qdy+Rdz$与路径无关$\Leftrightarrow$存在$u$使得$du=Pdx+Qdy+Rdz\Leftrightarrow rot\vec{F}=0\Leftrightarrow\vec{F}$是有势场（无旋场）。
15. 曲面积分与曲面无关的等价条件：设$P,Q,R\in C^1(\Omega)$，则\iint_\sum P dydz+Q dzdx+R dxdy只与$\partial\sum$有关$\Leftrightarrow$对任意闭曲面$S\subset\Omega$，$\oiint_S P dydz+Q dzdx+R dxdy=0\Leftrightarrow div\vec{F}=0$（$\Omega$为单连通区域）。
16. 场论中的公式：Green公式$\oint_{\partial D}\vec{v}\cdot d\vec{s}=\iint_D rot\vec{v}d\sigma$；Gauss公式$\iiint_\Omega div\vec{v}dv=\oiint_{\partial\Omega}\vec{v}\cdot\vec{n}dS$；Stokes公式\iint_\sum rot\vec{v}\cdot\vec{n}dS=\oint_{\partial\sum}\vec{v}\cdot d\vec{s}。
17. 调和函数的积分公式：设闭区域$D$由有限条逐段光滑曲线围成，$u,v\in C^2(D)$，则$\iint_D\Delta u d\sigma=\oint_{\partial D}\frac{\partial u}{\partial n}ds$；$\iint_D v\Delta u d\sigma=-\iint_D(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y})d\sigma+\oint_{\partial D}v\frac{\partial u}{\partial n}ds$；$\iint_D(v\Delta u - u\Delta v)d\sigma=\oint_{\partial D}(v\frac{\partial u}{\partial n}-u\frac{\partial v}{\partial n})ds$（Green第二公式）。

5 第十七章 含参变量积分#

5.1 定义#

1. 含参变量定积分：$I(x)=\int_c^d f(x,y)dy$（$x\in[a,b]$），其中$f(x,y)$在$D=[a,b]×[c,d]$上定义。
2. 含参变量广义积分：$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$（$x\in[a,b]$）。
3. 一致收敛：含参变量广义积分$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$关于$x$在$[a,b]$上一致收敛，当且仅当$\forall \varepsilon>0$，$\exists A_0>c$，使得$\forall x\in[a,b]$，$\forall A>A_0$，有$|\int_A^{+\infty} f(x,y)dy|<\varepsilon$。
4. Gamma函数（$\Gamma$函数）：$\Gamma(s)=\int_0^{+\infty} x^{s-1}e^{-x}dx$（$s>0$）。
5. Beta函数（$B$函数）：$B(p,q)=\int_0^1 x^{p-1}(1 - x)^{q-1}dx$（$p,q>0$）。

5.2 定理#

1. 含参变量定积分的连续性：设$f(x,y)\in C(D=[a,b]×[c,d])$，则$I(x)=\int_c^d f(x,y)dy$在$[a,b]$上连续；若$h_1(x),h_2(x)\in C[a,b]$，则$F(x)=\int_{h_1(x)}^{h_2(x)}f(x,y)dy\in C(D)$。
2. 含参变量定积分的可微性：设$f(x,y),f_x'(x,y)\in C(D=[a,b]×[c,d])$，则$I(x)\in C^1[a,b]$且$I'(x)=\int_c^d f_x'(x,y)dy$；若$h_1(x),h_2(x)\in C^1[a,b]$，则$J(x)=\int_{h_1(x)}^{h_2(x)}f(x,y)dy\in C^1[a,b]$且$J'(x)=\int_{h_1(x)}^{h_2(x)}f_x'(x,y)dy - f(x,h_1(x))h_1'(x)+f(x,h_2(x))h_2'(x)$。
3. 含参变量定积分的可积性：设$f(x,y)\in C(D=[a,b]×[c,d])$，则对任意$z\in[a,b]$，有$\int_a^z[\int_c^d f(x,y)dy]dx=\int_c^d[\int_a^z f(x,y)dx]dy$。
4. Dirichlet判别法：设$1^\circ\exists M>0$，使得$|\int_c^A f(x,y)dy|≤M$对$\forall A>c$，$\forall x\in E$成立；$2^\circ$对任意固定$x\in E$，$g(x,y)$关于$y$单调且$g(x,y)→0$（$y→+\infty$，$x\in E$），则$\int_c^{+\infty} f(x,y)g(x,y)dy$关于$x\in E$一致收敛。
5. Abel判别法：设$1^\circ\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$关于$x\in E$一致收敛；$2^\circ$对任意固定$x\in E$，$g(x,y)$关于$y$单调且$\exists M>0$使得$|g(x,y)|≤M$对$\forall x\in E$，$y\in[c,+\infty)$成立，则$\int_c^{+\infty} f(x,y)g(x,y)dy$关于$x\in E$一致收敛。
6. 含参变量广义积分的连续性：设$f(x,y)$在$a≤x≤b$，$c≤y<+\infty$上连续，$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$关于$x\in[a,b]$一致收敛，则$I(x)=\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$在$[a,b]$上连续。
7. 含参变量广义积分的可积性：设$f(x,y)$在$a≤x≤b$，$c≤y<+\infty$上连续，$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$关于$x\in[a,b]$一致收敛，则$\int_a^b[\int_c^{+\infty} f(x,y)dy]dx=\int_c^{+\infty}[\int_a^b f(x,y)dx]dy$。
8. 含参变量广义积分的可微性：设$f(x,y),f_x'(x,y)$在$a≤x≤b$，$y≥c$上连续，存在$x_0\in[a,b]$使得$\int_c^{+\infty} f(x_0,y)dy$收敛，$\int_c^{+\infty} f_x'(x,y)dy$关于$x\in[a,b]$一致收敛到$g(x)$，则$I(x)=\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$关于$x\in[a,b]$一致收敛且$I'(x)=\int_c^{+\infty} f_x'(x,y)dy$。
9. 非负函数含参变量广义积分的一致收敛性：设$f(x,y)$在$a≤x≤b$，$y>c$上连续非负，$\forall x\in[a,b]$，$I(x)=\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$收敛且$I(x)\in C[a,b]$，则$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$关于$x\in[a,b]$一致收敛。
10. 无穷限含参变量广义积分的交换次序：设$f(x,y)$在$x≥a$，$y≥c$上连续，$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$关于$x\in[a,+\infty)$内闭一致收敛，$\int_a^{+\infty} f(x,y)dx$关于$y\in[c,+\infty)$内闭一致收敛，且$\int_c^{+\infty}[\int_a^{+\infty} f(x,y)dx]dy$与$\int_a^{+\infty}[\int_c^{+\infty} f(x,y)dy]dx$有一个存在，则两者相等。
11. 非负函数无穷限含参变量广义积分的交换次序：设$f(x,y)$在$x≥a$，$y≥c$上连续非负，$\int_c^{+\infty} f(x,y)dy$和$\int_a^{+\infty} f(x,y)dx$分别关于$x,y$连续，且$\int_c^{+\infty}[\int_a^{+\infty} f(x,y)dx]dy$与$\int_a^{+\infty}[\int_c^{+\infty} f(x,y)dy]dx$有一个存在，则两者相等。
12. Gamma函数的性质：$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$，从而$\Gamma(n)=(n-1)!$（$n$为正整数）；$\Gamma(s)=2\int_0^{+\infty} x^{2s-1}e^{-x^2}dx$；$\Gamma(s)\in C^\infty(0,+\infty)$；$\Gamma(s)$是$(0,+\infty)$内的严格凸函数。
13. Beta函数的性质：$B(p,q)=B(q,p)$；$B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$（$p,q>0$）；$B(p,q)=2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2p-1}\theta\sin^{2q-1}\theta d\theta$；$B(p,q)=\int_0^{+\infty} \frac{x^{q-1}}{(1+x)^{p+q}}dx$（换元$x=\frac{t}{1+t}$）。

回顾#

1.求 $\int \left( \sum x_{i} \right)^{2}\mathrm{d}\vec{x}$ 在 $[0,1]^{n}$ 上的值，其中 $\mathrm{d}\vec{x}=\mathrm{d}x_{1}\mathrm{d}x_{2}\cdots \mathrm{d}x_{n}$。 2.求体积，第一卦限内，坐标平面和 $z = x^{2}+y^{2}+1$， $2x+y=2$ 所围立体。 3.证明连续性和任意开集的原像是开集的等价性 4.证明有界开区域，若一阶偏导连续，且任意两点间道路长度有界，则函数有界；并给出道路长度不有界时的反例 5.求 $x^{3}+y^{3}+z^{3}-2xyz$ 在单位球内（包括边界）的最大值和最小值