抽象代数笔记

群、环、域#

1 运算与运算法则#

Hadamard 乘积：考虑集合 $F^{m\times n}$ ，任取 $P=(p_{ij})_{m\times n}, Q=(q_{ij})_{m\times n}$ 定义

$$P\circ Q =(p_{ij}q_{ij})_{m\times n},$$

则 $\circ$ 是 $F^{m\times n}$ 上的运算，称之为矩阵的 Hadamard 乘积

单位元：$A$ 中元素称为单位元，若 $\forall a\in A,ea=ae=a$ 逆元：设 $A$ 有单位元 $e$，$a\in A$ 的逆元是 $A$ 中的元素 $b$，使得 $ab=ba=e$

商集： $A$ 在等价关系 $R$ 下所有等价类构成的集合称之为 $A$ 关于 $R$ 的商集，记为 $A/R$

• 定理 1.1.1：若集合 $A$ 中的运算有结合律，则有广义结合律
• 命题 1.1.1：设 $A$ 有单位元，则单位元唯一
• 命题 1.1.2：设 $A$ 上的运算满足结合律，若 $a\in A$ ，则 $a$ 的逆元唯一
• 命题 1.1.3：设 $A$ 上的运算满足结合律，若 $a\in A$ 可逆，则 $a^{-1}$ 也可逆，且 $(a^{-1})^{-1}=a$。进一步的，若 $a,b$ 都可逆，则 $ab$ 也可逆，且 $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$
  • 穿脱法则：若 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}\in A$ 均可逆，则 $a_{1}a_{2}\cdots a_{m}$ 也可逆，且 $(a_{1}a_{2}\cdots a_{m})^{-1}=a_{m}^{-1}a_{m-1}^{-1}\cdots a_{1}^{-1}$

2 半群与群#

幺半群：设 $S$ 是一个非空集合，$S$ 上有一个代数运算，且运算满足结合律，则称 $S$ 是一个半群。进一步地，若 $S$ 有单位元，则称 $S$ 是一个幺半群 群：设 $G$ 是一个非空集合，$G$ 上有一个代数运算，且运算满足结合律，$G$ 有单位元，且 $G$ 中每个元素都有逆元，则称 $G$ 是一个群 若 $G$ 满足交换律，则称 $G$ 为交换群，或称之为 Abel 群。元素个数有限的群称之为有限群，反之称为无限群。有限群的元素个数称为该群的阶，记为 $|G|$

单位根群：设 $n$ 是正整数，复数域 $\mathbb{C}$ 上的单位根群为

$$\mu_{n}=\{ a\in \mathbb{C}|a^{n}=1 \}$$

一般线性群：设 $GL_{n}(F)$ 是域 $F$ 上所有 $n$ 阶可逆矩阵所构成的集合，则 $GL_{n}(F)$ 在矩阵乘法下构成一个群，称之为域 $F$ 上的 $n$ 阶一般线性群。 数域 $F$ 上所有行列式为 $1$ 的 $n$ 阶可逆矩阵所构成的集合，记为 $SL_{n}(F)$ ，则 $SL_{n}(F)$ 在矩阵乘法下也构成一个群，称之为域 $F$ 上的 $n$ 阶特殊线性群。

• 命题 1.2.1：设 $S$ 为幺半群，用 $U(S)$ 表示 $S$ 中所有可逆元构成的集合，则 $U(S)$ 在 $S$ 的运算下构成一个群
  • 半群 $S$ 中的可逆元也称为 $S$ 的单位，故称 $U(S)$ 为幺半群 $S$ 的单位群
• 命题 1.2.2（消去律）：设 $G$ 是一个群，则 $G$ 中有消去律，即 $\forall a,b,c \in G, ab=ac \text{或} ba=ca\implies b=c$
  • 类似的，在半群里，$ab=ac\implies b=c$ 称为左消去律，$ba=ca\implies b=c$ 称为右消去律

3 环与域#

环：设 $R$ 是一个非空集合，$R$ 上有两种代数运算，分别称为加法和乘法，记为 $+$ 和 $\cdot$ ，且满足

1. $R$ 对加法构成交换群，即 $(R,+)$ 为交换群
2. $R$ 对乘法构成幺半群，即 $(R,\cdot)$ 为幺半群
3. 乘法对加法的左右分配律成立 则称 $R$ 为一个环。如果还满足乘法交换律，则称之为交换环。 为方便起见，我们要求环中总有乘法单位元，称为环的单位元，记为 $1$；环中加法的零元称为环的零元，记为 $0$. 幺半群 $(R,\cdot)$ 的单位群称为环 $R$ 的单位群，记为 $U(R)$。

除环：若环 $R$ 中至少有两个元素，且每个非零元都可逆，则称 $R$ 为除环 除环的意义在于其保证了乘法的可除性，也就是说对乘法构成一个群。交换除环称为域 整环：至少含有两个元素且没有零因子的交换环称为整环。

• 命题 1.3.1：设 $R$ 是环，则 $\forall a\in R, 0a=a 0=0$

4 整数模 $n$ 的剩余类环#

在整数集 $\mathbb{Z}$ 上定义关系 $\sim$ ，对任意 $a,b\in \mathbb{Z}$，

$$a\sim b := n|(a-b),$$

记为 $a \equiv b(\operatorname{mod} n)$

• 命题 1.4.1：设 $n\geq 2,k\in \mathbb{Z}$，则 $\bar{k}$ 在 $\mathbb{Z}_{n}$ 中可逆当且仅当 $k,n$ 互素
  • 推论 1.4.1：环 $\mathbb{Z}_{n}$ 为域当且仅当 $n$ 为素数

群的基本性质与群作用#

1 对称群和交错群#

偶置换：设 $n$ 元置换 $\sigma$ 的两行式表示为

$$\sigma= \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ l_{1} & l_{2} & \cdots & l_{n} \end{pmatrix},$$

若排列 $l_{1},l_{2},\cdots,l_{n}$ 为偶排列（逆序数为偶数），则称 $\sigma$ 为偶置换，否则称为奇置换。 符号函数：定义映射 $\operatorname{sgn}: S_{n} \to \{ \pm 1 \}$ 为

$$\operatorname{sgn}(\sigma)=\begin{cases} 1, & \sigma \text{为偶置换} ,\\ -1, & \sigma \text{为奇置换}. \end{cases}$$

称为 $S_{n}$ 的符号函数，$\operatorname{sgn}(\sigma)$ 为置换 $\sigma$ 的符号

对换：设 $\sigma \in S_{n}, i \ne j \in[n]$。若 $\sigma$ 满足

$$\sigma(k)= \mathbb{1}_{k=i}j+\mathbb{1}_{k=j}i+\mathbb{1}_{k \neq i,j}k$$

则称之为一个对换，记作 $(ij)$. 轮换：设 $\sigma \in S_{n}, k\leq n$ 满足 $\sigma(a_{i})=\sigma(a_{i+1}), 1\leq i\leq k-1,\sigma(a_{k})=a_{1}$，则称 $\sigma$ 为一个 $k$ 轮换，记作 $\sigma=(a_{1}a_{2}\cdots a_{k})$.比如

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 4 & 5 & 1 & 6 \end{pmatrix} =(1345)$$

如果两个轮换 $\sigma,\tau$ 没有公共元素，则称 $\sigma,\tau$ 不相交。显然，两个不相交的轮换的乘积可以交换。

共轭：设 $G$ 是群，$a,b\in G$，若存在 $x\in G$ 使得 $b=xax^{-1}$，则称 $a$ 与 $b$ 共轭，这时也称 $xax ^{-1}$ 为用 $x$ 对 $a$ 做共轭变换。 型：设 $\sigma \in S_{n}$ ，把 $\sigma$ 写成不相交轮换的乘积，其中长度为 $i$ 的轮换出现 $\lambda_{i}$ 次，则称 $\sigma$ 的型为 $1^{\lambda_{1}}2^{\lambda_{2}}\cdots n^{\lambda_{n}}$。 显然我们知道

$$\sum_{i=1}^{n} i\lambda_{i}=n$$

所以 $S_{n}$ 中置换的型的个数就是上述方程的非负整数解的个数，即 $p(n)$，其中 $p(n)$ 是整数的称之为 $n$ 的分拆数。

图形 $S$ 的对称群：设 $S$ 是平面上的一个图形，即欧式空间 $\mathbb{R}^{3}$ 的一个子集，保持 $S$ 不变的空间运动（旋转变换），在映射合成运算下构成一个群，这个群称为图形 $S$ 的对称群，记为 $\operatorname{Sym}(S)$。 旋转（角度为 $\frac{k}{n} \pi,k \in \mathbb{Z}$）和翻转在合成运算下构成一个群，称之为二面体群，即 $D_{n}=\langle r,x| r^n = e, s^{2}=e, s rs=r^{-1}\rangle$

• 命题 2.1.1：任一 $n$ 元置换都可以写成对换的乘积

  • 对换因子的个数与此置换有相同的奇偶性。可以写成偶数个对换乘积的置换称为偶置换，否则称为奇置换

• 命题 2.1.2：在对称群 $S_{n}$ 中，型为 $1^{\lambda_{1}}2^{\lambda_{2}}\cdots n^{\lambda_{n}}$ 的置换的个数为 $\frac{n!}{\lambda_{1}!\lambda_{2}!\cdots \lambda_{n}!1^{\lambda_{1}}2^{\lambda_{2}}\cdots n^{\lambda_{n}}}$, 即组合数除以队首的可能数目

• 定理 2.1.1：集合 $A_{n}$ （所有 $n$ 元偶置换构成的集合）对于置换的乘法构成一个群

  • 群 $A_{n}$ 称为 $n$ 元交错群，显然 $A_{n}$ 为有限群，$|A_{1}|=1, |A_{n}|=\frac{1}{2}n!$

• 定理 2.1.2：任一个 $n$ 元置换都可以分解为不相交的轮换之积，且在不考虑轮换的顺序下，这种分解是唯一的

• 定理 2.1.3：对称群 $S_{n}$ 中两个元素共轭当且仅当它们有相同的型

2 子群与同态#

子群：设 $G$ 是一个群，$H\subseteq G$，若 $H$ 在 $G$ 的运算下也构成一个群，则称 $H$ 为 $G$ 的子群，记为 $H \leq G$. 若 $H \ne G$，则称 $H$ 为 $G$ 的真子群，记为 $H < G$。显然，$\{ e \}$ 和 $G$ 本身都是 $G$ 的子群，称之为平凡子群。

仿射群：设 $F$ 是域，$GL_{2}(F)$ 是 $F$ 上的 $2$ 级一般线性群，对于 $a \in F^{*},b\in F$ ，定义仿射矩阵

$$\operatorname{Aff}(a,b) = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

记

$$\operatorname{Aff}(F)=\{ \operatorname{Aff}(a,b)| a\in F^{*}, b\in F \}.$$

显然 $\operatorname{Aff}(F)\leq GL_{2}(F)$ ，称其为域 $F$ 上的仿射群。特别地，$G_{1}=\{ \operatorname{Aff}(1,b) |b\in F\},G_{2}=\{ \operatorname{Aff}(a,0)| a\in F^{*} \}$ 都是 $\operatorname{Aff}(F)$ 的子群，分别称为平移子群和伸缩子群。

生成子群：设 $S$ 为群 $G$ 的非空子集，则 $G$ 的所有包含 $S$ 的子群的交，记为 $\langle S \rangle$，称为由 $S$ 生成的子群，或 $S$ 所生成的子群。显然 $\langle S \rangle$ 是 $G$ 的子群，且是包含 $S$ 的最小子群。 对于非空集合 $S$，我们可以构造 $\langle S \rangle$ 如下：

$$H= \left\{ \prod_{i=1}^{k} s_{i}^{m_{i}} |s_{i}\in S, m_{i} \in \mathbb{Z},k \in \mathbb{Z}^{+}\right\}$$

显然，$H\leq G$ 且 $H \subset\langle S \rangle$ ，所以 $H = \langle S \rangle$ 如果 $S$ 为有限集，那么称为有限生成子群。进一步地，若 $G= \langle S \rangle$ ，则称 $G$ 由子集 $S$ 生成，也称 $S$ 是群 $G$ 的一个生成集。

若 $S=\{ a \}$ ，则记 $\langle S \rangle=\langle a \rangle$，称为 $G$ 的循环子群。若 $G=\langle a \rangle$ ，则称 $G$ 为循环群，且 $a$ 为 $G$ 的一个生成元。

集合乘积和逆：设 $G$ 为一个群，$K,L$ 为 $G$ 的非空子集，定义

$$KL=\{ ab|a \in K,b \in L \}, K^{-1}=\{ a^{-1}| a \in K \}.$$

$KL$ 称为 $K$ 和 $L$ 的集合乘积，$K^{-1}$ 称为 $K$ 的逆。

同态映射：设 $G_{1},G_{2}$ 为两个群，若映射 $\sigma: G_{1} \to G_{2}$ 保持运算，即对任意 $a,b \in G_{1}$ ，都有

$$\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b),$$

则称 $\sigma$ 为从 $G_{1}$ 到 $G_{2}$ 的一个同态映射，简称同态。若 $\sigma$ 是满射，则称 $\sigma$ 为 $G_{1}$ 到 $G_{2}$ 的一个满同态。若 $\sigma$ 是单射，则称为到的一个单同态。若是双射，则称为 $G_{1}$ 到 $G_{2}$ 的一个同构映射，简称同构，记作 $G_{1}\cong G_{2}$. 同构的意义在于它们除了元素记号不同，运算结构是一样的，所以我们可以把同构的所有群看作是同一个群。 群到自身的同态 （或同构）映射称为群的自同态（或自同构），群 $G$ 的所有自同构构成群，记为 $\operatorname{Aut}(G)$，称为群 $G$ 的自同构群。

核：设 $\sigma: G \to G'$ 是同态映射，则称 $G'$ 的单位元 $e'$ 的原像是 $G$ 的子群，记为 $\operatorname{Ker} \sigma$，即

$$\operatorname{Ker} \sigma=\{ a \in G|\sigma(a)=e' \}.$$

• 命题 2.2.1：若 $H \leq G$ ，则
  • $H$ 的单位元 $e_{H}$ 就是 $G$ 的单位元 $e$
  • $\forall a\in H$ ，$a$ 在 $H$ 中的逆元 $a_{H}^{-1}$ 就是 $a$ 在 $G$ 中的逆元 $a_{G}^{-1}$
• 命题 2.2.2：群 $G$ 的子群的交是 $G$ 的子群
• 命题 2.2.3：设 $G$ 是群，$H\subset G$ 且非空，则 $H\leq G$ 当且仅当 $H^{2}=H$ 且 $H^{-1}=H$
• 定理 2.2.1：设 $H$ 为 $G$ 的非空子集，则以下描述等价
  • $H \leq G$
  • $H$ 对 $G$ 的运算和求逆封闭，即对任意 $a,b\in H$ ，$ab\in H$ 且 $a^{-1}\in H$
  • 对任意 $a,b\in H$ ，$ab^{-1}\in H$
• 定理 2.2.2：设 $\sigma: G\to G'$ 为同态，则有
  • 设 $e$ 为 $G$ 的单位元，则 $\sigma(e)=e'$ 为 $G'$ 的单位元
  • $\forall a\in G,\sigma(a^{-1})=\sigma(a)^{-1}$
  • 对任意 $S\subset G$，令 $\sigma(S)=\{ \sigma(a)|a\in S\}$。显然 $\sigma(S)\subset G'$，称 $\sigma(S)$ 为 $S$ 在 $\sigma$ 下的像。若 $H\leq G$ ，则 $\sigma(H)\leq G'$
  • 对任意 $S'\subset \sigma(G)$ ，令 $\sigma ^{-1}(S')=\{ g\in G|\sigma(g) \in S'\}$，显然 $\sigma^{-1}(S')\subset G$，称 $\sigma^{-1}(S')$ 为 $S'$ 在 $\sigma$ 下的原像。若 $H'\leq G'$ ，则 $\sigma^{-1}(H')\leq G$
• 定理 2.2.3：设 $\sigma: G\to G'$ 为同态，$e$ 为群 $G$ 的单位元，则 $\sigma$ 为单同态当且仅当 $\operatorname{Ker}\sigma=\{ e \}$
• 定理 2.2.4（挖补定理）：设 $G,H'$ 是两个群，且 $G\cap H'=\emptyset$。又设 $H\leq G$ 且 $H \cong H'$。则存在群 $G'$，使得 $H'\leq G'$ 且 $G \cong G'$。
  • 关键是考虑同构映射 $\eta: H \to H'$，然后我们就可以构造 $G'=(G \backslash H)\cup H'$，然后我们就可以构造同构映射 $\varphi(a)=\begin{cases}\eta (a), & a \in H \\ a, & a \in G \backslash H\end{cases}$

3 循环群#

元素的阶：设 $G$ 为群，$a \in G$ ，称 $a$ 生成的循环子群 $\langle a \rangle$ 的阶为元素 $a$ 的阶，记为 $o(a)$。显然 $o(a)=o(a^{-1})$ 。且对于同构 $\sigma: G_{1}\to G_{2}$，我们有 $o(a)=o(\sigma(a))$。 方次数：设为群，满足 $\forall a\in G,a^{t}=e$ 的最小正整数 $t$ 为群 $G$ 的方次数，记为 $\exp(G)$。其实就是所有元素阶的最小公倍数。

整数模 $n$ 的乘法群：设 $n\geq 2$ 为整数，将整数集合模 $n$ 取余数，得到的类为 $\{ 1,2,\cdots,n-1 \}$ 。保留其中与 $n$ 互素的整数类，记为 $U(n)$，则 $U(n)$ 在乘法下构成一个交换群，称为整数模 $n$ 的乘法群。 欧拉-费马定理：设为正整数，为整数，则 $a^{\phi (n)}\equiv{1}(\operatorname{mod}n)$. 特别地，若 $p$ 为素数，且 $p \nmid a$，则 $a^{p-1}\equiv{1}(\operatorname{mod}p)$，这被称之为费马小定理。 威尔逊定理：设 $p$ 为素数，则 $(p-1)!\equiv -1(\operatorname{mod}p)$，这一点可以通过命题 2.3.2 轻松得到。 若群 $U(n)$ 为循环群，则称模 $n$ 有原根，$U(n)$ 的生成元称为模 $n$ 的一个原根。类似于 Wilson 定理，我们可以知道：对于 $n\geq_{3}$， 若模 $n$ 有原根，则 $\prod_{a\in U(n)} a \equiv -1(\operatorname{mod}n)$。 设 $n$ 为正整数，$U(n)$ 为循环群，则 $n$ 必为下列形式之一：$1，2,4,p^{k},2p^{k}$，其中 $p$ 为奇素数，$k$ 为正整数。

• 定理 2.3.1：设 $G =\langle a \rangle$ 为循环群，若 $a$ 的任意两个不同幂皆不相等，则 $G$ 无限，否则 $G$ 有限，且存在 $a$ 的某个正整数次幂为单位元且 $|G|$ 为满足 $a^{n}=e$ 的最小正幂的指数

• 定理 2.3.2：设 $G$ 为群，$a\in G$ 且 $o(a)=n$ 。设 $k$ 为正整数，则 $o(a^{k})= \frac{n}{\operatorname{gcd}(n,k)}$

• 定理 2.3.3：设 $G$ 是一个群，$a,b\in G$，且 $ab=ba$。若 $o(a)=m, o(b)=n$ 且 $\operatorname{gcd}(m,n)=1$ ，则 $o(ab)=mn$

• 定理 2.3.4：循环群的子群仍为循环群

  • 特别地，对于无限循环群，则除单位元群 $\{ e \}$ 外，所有的子群都是无限循环群。无限循环群 $G$ 的所有子群的集合为 $\mathcal{G}=\{ \langle a^{s}\rangle |s \in \mathbb{N} \}$

• 定理 2.3.5：设 $G=\langle a \rangle$ 为 $n$ 阶循环群，则 $G$ 的任一子群的阶都是 $n$ 的因子。进一步地，对 $n$ 的任一正因子 $d$，$G$ 中恰有一个阶为 $d$ 的子群。$n$ 阶循环群 $G = \langle a \rangle$ 的所有子群为 $\{ \langle a^{\frac{n}{d}} \rangle | d|n \}= \{ \langle a^{d} \rangle| ~d |n \}$

  • 该定理的逆定理也成立

• 定理 2.3.6：设 $G$ 为有限交换群，则 $G$ 是循环群当且仅当 $\exp(G)= |G|$

  • 必要性显然，充分性只需要证明对于最大阶元素 $g$ ，$o(g)=|G|$ 即可。其中，充分性的证明中有限交换群是必要的

• 定理 2.3.7：设 $G$ 为有限交换群，则 $G$ 为循环群当且仅当对于任意正整数 $m$ ，方程 $x^{m}=e$ 在 $G$ 中解的个数不超过 $m$.

  • 推论 2.3.2：域的乘法群的有限子群是循环群。

• 定理 2.3.8：设 $G=\langle a \rangle$ 为 $n$ 阶循环群，则 $Aut(G)\cong U(n)$

• 命题 2.3.1：设 $G$ 为群，$a\in G$ ，则 $a^{k}=e \iff o(a)|k$

  • 推论 2.3.1 设 $G$ 为 $n$ 阶交换群，则 $\forall a\in G, o(a)|n$。这个东西的证明需要用到 $aG \subset G$, $\forall a_{i}, a_{j}\in G, aa_{i}\neq aa_{j}$，所以我们进一步得到 $aG =G$，我们只需要将两个群中所有元素分别相乘就可以得到（这一步需要用到交换律）：$a^{n}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}= a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$，所以 $a^{n}=e$。事实上，这对于非交换群也是成立的，但是证明比较复杂。

• 命题 2.3.2：设 $G$ 为有限交换群，则 $\prod_{g\in G}g=\prod_{a\in G,o(a)=2}a$

• 命题 2.3.3：设 $G$ 为 $n$ 阶循环群，则 $G$ 中元素的阶为 $n$ 的因子。进一步地，对 $n$ 的任意正因子 $d$ ，$G$ 中恰有 $\phi(d)$ 个阶为 $d$ 的元素，其中 $\phi(n)$ 为 Euler $\phi-$ 函数。可以写作 $\sum_{d|n}^{}\phi(d)=n$

  • 在这个过程中，我们可以发现 $G = \langle a \rangle$ 若为 $n$ 阶循环群，$0\leq k\leq n-1$ 且 $\operatorname{gcd}(n,k)=1$ 则 $o(a^{k})=n$ ，也就是说 $\langle a^{k} \rangle=G$，于是我们发现 $n$ 阶循环群的生成元有 $\phi(n)$ 个。

• 命题 2.3.4：任意无限循环群 $G$ 与整数加法群 $\mathbb{Z}$ 同构

• 命题 2.3.5：两个有限阶循环群同构当且仅当它们的的阶相等

• 引理 2.3.1：设 $G$ 为有限交换群， $g$ 为 $G$ 中的一个最大阶元素，即满足 $\forall a\in G, o(a)\leq o(g)$ 的元素，则 $\exp(G)=o(g)$

  • 这个定理的证明需要构造一个比 $g$ 阶更大的元素 $h$ 来引出矛盾

4 群在集合上的作用#

变换群：设 $M$ 为非空集合，$S_{M}$ 为 $M$ 上所有双射所构成的集合，则 $S_{M}$ 在映射的复合下构成一个群，称为 $M$ 上的全变换群，$S_{M}$ 的子群都称为变换群。 Erlangen 纲领： 由 Felix Klein 于 1872 年提出，认为几何学的研究对象是某个集合 $M$ 上的某个变换群 $G$ 所不变的性质。

群作用：设 $G$ 为群，$M$ 为非空集合，若存在映射

$$\begin{aligned} \rho:G \times M &\to M \\ (g,m) &\mapsto \rho(g,m)=g\circ m \end{aligned}$$

满足 $\forall m \in M, \forall g_{1},g_{2} \in G$ 都有

1. $e \circ m=m$，其中 $e$ 为 $G$ 的单位元
2. $(g_{1}g_{2})\circ m=g_{1}\circ(g_{2}\circ m)$ 则称 $G$ 作用于 $M$，这个映射 $\rho$ 也称为一个群作用。

左（右）乘作用：设 $G$ 为群，$H\leq G$

1. $\forall h\in H,g \in G$，定义 $\rho_{1}(h,g)=hg$ 则 $\rho_{1}$ 为 $H$ 在 $G$ 上的一个群作用，称为 $H$ 在 $G$ 上的左乘作用
2. $\forall h\in H,g \in G$，定义 $\rho_{2}(h,g)=gh^{-1}$ 则 $\rho_{2}$ 为 $H$ 在 $G$ 上的一个群作用，称为 $H$ 在 $G$ 上的右乘作用
3. $\forall h\in H,g \in G$，定义 $\rho_{3}(h,g)=hgh^{-1}$ 则 $\rho_{3}$ 为 $H$ 在 $G$ 上的一个群作用，称为 $H$ 在 $G$ 上的共轭作用

内自同构：设 $G$ 为群，$\forall g\in G$，定义群在它自身的共轭作用 $\rho: G\times G\to G$，其中，对于 $g,a \in G$，有：

$$\rho(g,a)=gag^{-1}.$$

该作用对应的 $G$ 到 $S_{G}$ 的同态记为 $T: g \mapsto I_{g}$ ，对于 $g \in G, I_{g}(a)=gag^{-1}$。所以 $I_{g}$ 是群 $G$ 的一个自同构，称为的一个内自同构。所有内自同构构成群 $\operatorname{Inn}(G)$，$\operatorname{Inn}(G)\leq \operatorname{Aut}(G)$。

轨道：设群作用在集合上，$x\in M$，定义 $x$ 的轨道为

$$\bar{x}=\{ y\in M|\exists g\in G,y=g\circ x \}=\{ g\circ x|g\in G \},$$

记作 $O_{x}$。轨道的本质是一种等价关系。 传递：设群 $G$ 作用在集合 $M$ 上，若这个作用只有一个轨道，则称 $G$ 在 $M$ 上的作用传递。

• 定理 2.4.1：群 $G$ 在集合 $M$ 上有群作用的充分必要条件是存在群同态 $\varphi: G \to S_{M}$，其中 $S_{M}$ 为 $M$ 上的全变换群
• 定理 2.4.2（凯莱定理）：任一群 $G$ 同构于一个变换群
  • 特别地，有限群 $G$ 满足 $|G|=n$，则 $S_{G}$ 为 $n$ 元对称群 $S_{n}$ 。所以任意 $n$ 阶群同构于 $S_{n}$ 的某个子群，称对称群的子群为置换群。
• 定理 2.4.3：利用等价关系的等价类的结论，我们可以得到：设群 $G$ 作用在集合 $M$ 上，则有
  • $O_{y}=O_{x}\iff y \in O_{x}$
  • $\forall x,y\in M$，$O_{x}$ 与 $O_{y}$ 要么相等，要么互不相交
  • 在每个轨道上取一个元素组成 $M$ 的子集 $I$ ，称为 $M$ 的轨道代表元集，则 $M= \cup_{x \in I}O_{x}$

5 陪集、指数、Lagrange 定理#

陪集：设 $G$ 为群，$H\leq G$，考虑 $H$ 在 $G$ 上的左乘作用，对于 $x \in G$ ，定义 $x$ 的左陪集为群作用下过 $x$ 的轨道

$$O_{x} = \{ hx|h\in H \} :=Hx,$$

类似地，定义 $x$ 的右陪集为

$$xH := \{ xh^{-1}|h\in H \}=\{ xh|h \in H \}.$$

陪集就是一类特别的轨道。

左陪集代数元集：设 $G$ 为群，$H\leq G$ ，在 $G$ 的所有左陪集中取一个元素组成的子集 $I$，称为关于 $H$ 的左陪集代数元集。类似地，可以定义右陪集代数元集。 左（右）陪集分解：设 $G$ 为群，$H\leq G$ ，则 $G$ 的所有左（右）陪集构成 $G$ 的一个划分，称为关于 $H$ 的左（右）陪集分解。 指数：显然，子群 $H$ 在 $G$ 中的左陪集个数和右陪集个数相等，记为 $[G:H]$，称为 $H$ 在 $G$ 中的指数。

根据 Lagrange 定理，有限群 $G$ 的子群的阶就是 $G$ 的阶的因子，但是反之不一定成立。有限循环群有唯一的 $d$ 阶子群。

• 定理 2.5.1：设 $G$ 为群，$H\leq G$，则
  • $\forall x,y \in G$，$xH=yH \iff y \in xH \iff x ^{-1}y\in H ~or~ y^{-1}x \in H$
  • $\forall x,y \in G$，$xH \cap yH =\emptyset ~or~ xH=yH$
  • $G = \cup_{x \in I}xH$，且其中 $xH$ 互不相交
• 定理 2.5.2（Lagrange 定理）：设 $G$ 为有限群，$H\leq G$，则 $|G|=|H|[G:H]$。特别地，若 $G$ 为有限群， $|H|$ 整除 $|G|$
  • 推论 2.5.1：设 $G$ 为有限群，则 $\forall a\in G, o(a)| |G|$，这里我们证明了之前那个要求交换律的定理。
  • 推论 2.5.2：素数阶群为循环群
  • 推论 2.5.3：素数有无穷多个
  • 推论 2.5.4：4 阶群是交换群
• 定理 2.5.3：设群 $G,H,K$ 满足 $K\leq H\leq G$，则 $[G:K]=[G:H][H:K]$
  • 这个定理的证明需要用到陪集之间是不交的，由此可以消掉一个变元。
• 定理 2.5.4：设 $G$ 为群，$H,K$ 为 $G$ 的有限子群，则 $|HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}$
  • 推论 2.5.5：设 $G$ 为有限群，$H,K$ 为 $G$ 的子群，则 $[G:H \cap K] \leq [G:H][G:K]$

6 轨道长度和类方程#

稳定子群：设群 $G$ 作用在集合 $M$ 上，$x\in M$，定义

$$G_{x} =\{ g\in G|g \circ x =x \}.$$

容易验证 $G_{x}\leq G$ ，称其为 $G$ 作用下 $x$ 的稳定子群。

共轭子群：设为群，$H\leq G$，则对 $\forall g \in G$， $gHg^{-1}$ 也是 $G$ 的一个子群，称为与 $H$ 共轭的 $G$ 的子群，也称为 $H$ 的一个共轭子群。 正规化子：设 $G$ 为群，$\Delta$ 为 $G$ 的所有子群的集合，考虑在 $\Delta$ 上的共轭作用，对于 $H \in \Delta$，定义 $g \circ H = gHg^{-1}$，则称过 $H$ 的轨道的稳定化子为 $H$ 在 $G$ 中的正规化子，记为 $N_{G}(H)$，即

$$N_{G}(H)=\{ g \in G|gHg^{-1}=H \}.$$

这时显然我们有

$$|O_{H}| = [G:N_{G}(H)].$$

共轭类：设 $G$ 为群，考虑 $G$ 在自身上的共轭作用，此作用的轨道称为 $g$ 的共轭类，含元素 $x \in G$ 的共轭类记为 $C_{x}$ ，即

$$C_{x}= \{ gxg^{-1}|g \in G \}$$

中心化子：对于 $x \in G$ ，$x$ 在 $G$ 的共轭作用下的稳定化子称为在 $G$ 中的中心化子，记为 $C_{G}(x)$，即 $C_{G}(x)=\{ g \in G|gxg^{-1}=x \}$。显然 $|C_{x}|=[G:C_{G}(x)]$ 。称 $Z(G)= \cap_{x \in G}C_{G}(x)$ 为群 $G$ 的中心。 其实 $Z(G)$ 就是与 $G$ 中所有元素共轭的元素构成的子群，即 $Z(G)=\{ z \in G| \forall g \in G, zg=gz \}$，显然 $Z(G)\leq G$ ，而且我们可以看出 $y \in Z(G) \iff C_{y}= \{ y \}$，交换群就是满足 $Z(G)=G$ 的群。 正规化子和中心化子其实都是共轭作用下的稳定化子，只不过一个是作用在 $G$ 的子群集合上，一个是作用在 $G$ 本身上

类方程：设 $G$ 为有限群，我们得到 $G$ 的全部互不相同的共轭类为 $C_{x_{1}},C_{x_{2}},\cdots,C_{x_{n}}$ 。根据群作用的集合分解为轨道的不交并得到

$$G=\cup_{i=1}^{n}C_{x_{i}}.$$

计算两边元素个数，有

$$|G|=\sum_{i=1}^{n}|C_{x_{i}}|=\sum_{i=1}^{n}[G:C_{G}(x_{i})],$$

这就是有限群的 $G$ 的类方程。又设 $G$ 中元素个数多于一个的共轭类为 $C_{y_{1}}, C_{y_{2}},\cdots,C_{y_{m}}$ ，则 $G$ 的类方程可写为

$$|G|=|Z(G)|+\sum_{i=1}^{m}[G:C_{G}(y_{i})].$$

$p-$ 群：设 $p$ 为素数，$G$ 为有限群，若 $|G|=p^{n}$ ，其中 $n$ 为正整数，则称 $G$ 为 $p-$ 群。

• 定理 2.6.1：设群 $G$ 作用在集合 $M$ 上，则过 $x$ 的轨道 $O_{x}$ 的长度等于 $G_{x}$ 在 $G$ 中的指数，即 $|O_{x}|=[G:G_{x}]$。

  • 证明是定义映射 $\varphi: O_{x}\to G/G_{x}$ 为 $\varphi(g\circ x)=gG_{x}$，然后证明该映射是双射。
  • 推论 2.6.1：设有限群 $G$ 作用在集合 $M$ 上，则每个轨道长度都有限且为 $|G|$ 的因子
  • 推论 2.6.2：设群 $G$ 传递地作用在集合 $M$ 上，则有 $|M|=[G:G_{x}]$ ，其中 $x$ 是 $M$ 的任一元素

• 定理 2.6.2（伯恩赛德定理）：设有限群 $G$ 作用在集合 $M$ 上，对于 $g\in G$，则被 $g$ 固定的 $M$ 中元素的集合 $\psi (g)=\{ x \in M| g\circ x=x \}$ 满足：$G$ 作用的轨道个数为 $\frac{1}{|G|} \sum_{g \in M}^{}|\psi(g)|$

  • 证明过程是考虑满足 $g \circ x=x$ 的有序对 $(g,x)$ 的个数，然后通过两种方式计算该个数得到结论。分别是按 $g$ 计算和按 $x$ 计算，得到 $\sum_{g \in G} |\psi(g)|= |G|\sum_{x \in M}\frac{1}{|O_{x}|}$，后者可以利用 $\sum_{y \in O_{x}} \frac{1}{|O_{y}|}=1$ 进一步化简为 $|G|$ 乘以轨道个数。

• 命题 2.6.1：群作用同一个轨道中两个元素的稳定化子共轭

  • 证明：只需考虑 $y = g \circ x$，这时 $G_{y}=gG_{x}g^{-1}$ 即可

• 命题 2.6.2：设 $G$ 为 $p-$ 群，则 $p~|~|Z(G)|$，从而 $Z(G)\ne \{ e \}$

  • 证明要用到类方程，关键在于 $[G:C_{G}(y_{i})]$ 都是 $p$ 的方幂，所以 $|Z(G)|$ 也必须是 $p$ 的倍数。

7 正规子群与商群#

正规子群：设 $G$ 为群，$H\leq G$，若 $\forall g\in G ,\forall h\in H$ 都有 $ghg^{-1}\in H$，则称 $H$ 为 $G$ 的正规子群，记为 $H \trianglelefteq G$。提出正规子群的意义在于它使得我们能够构造商群。 单位元群 $\{ e \}$ 和 $G$ 都是群的正规子群，称为平凡正规子群。显然交换群的每个子群都是正规子群，但是反之不成立。 根据定义，我们可以发现正规子群其实是一些共轭类的并。 商集：设 $G$ 为群，$H \trianglelefteq G$，则 $H$ 的任一左陪集也是 $H$ 的一个右陪集，可以简称为 $H$ 的陪集。 $H$ 在 $G$ 中所有陪集的集合记为 $G / H$，即

$$G / H = \{ gH|g \in G \}$$

我们可以发现 $G /H$ 在 $G$ 的运算所诱导的运算下构成为一个群，称为 $G$ 对 $H$ 的商群。 通常，如果 $H$ 是明确的，我们可以记 $gH$ 为 $\bar{g}$，商群 $G/H$ 记为 $\bar{G}$。单位元群 $\{ e \}$ 和 $G$ 都是群的正规子群，显然 $G / \{ e \} \cong G$，$G / G \cong \{ e \}$。 当我们考虑整数加法群 $\mathbb{Z}$ 时，我们可以发现

$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_{n}$$

单群：设 $G$ 至少含有两个元素，若仅有平凡正规子群，则称为单群。所以单群做不出非平凡的商群，单群就像数论中的素数一样。 有限单群可以分为以下几类：

1. 素数阶循环群（交换单群）
2. $n \geq 5$ 时的交错群 $A_{5}$
3. $Lie$ 型单群，共 16 族
4. 26 个散在单群

• 定理 2.7.1（$G/Z$ 定理）：设 $G$ 为群，$Z(G)$ 为 $G$ 的中心，若 $G/Z(G)$ 为循环群，则 $G$ 为交换群
  • 证明：设 $a, b \in G$，则由于 $G / Z(G)$ 为循环群，存在 $g \in G$，使得 $\bar{a}=\bar{g}^{m}, \bar{b}=\bar{g}^{n}$，即 $a=g^{m}z_{1}, b=g^{n}z_{2}$，其中 $z_{1}, z_{2} \in Z(G)$。所以 $ab = g^{m}z_{1}g^{n}z_{2} = g^{m+n}z_{1}z_{2}=g^{n}z_{2}g^{m}z_{1}=ba$
  • 当然我们还可以看出，此时 $G / Z(G)$ 一定是平凡的单位元群
  • 推论 2.7.1：设 $p$ 为素数，则任一 $p^{2}$ 阶群为交换群. 这是因为 $|Z(G)|$ 必为 $p$ 或 $p^{2}$，若为 $p^{2}$ 则为交换群；若为 $p$ 则 $|G / Z(G)|=p$，所以 $G / Z(G)$ 为循环群，$|G / Z(G)|=1$ 矛盾。
• 定理 2.7.2：交换单群一定是素数阶循环群
  • 由于交换群的子群都是正规子群，所以交换群 $G$ 是单群当且仅当 $G$ 没有非平凡的子群： 如果这个群阶数为素数，那很显然；反之，我们可以找出 $G$ 的一个生成元，然后一步步证明该循环群就是 $G$ 本身，同时证明 $G$ 的阶数为素数。
• 定理 2.7.3：当 $n\geq 5$ 时，交错群 $A_{n}$ 为单群
  • 证明过程比较复杂，先证明 $A_{n}$ 可以由所有三轮换生成，然后证明如果 $N \trianglelefteq A_{n}$，且 $N \ne \{ e \}$，则 $N$ 包含所有的三轮换，这一点可以通过证明若 $N$ 中有一个三轮换，就包含所有的三轮换。
• 命题 2.7.1：设 $G$ 为群，$H\leq G$，则以下描述等价：
  • $H \trianglelefteq G$
  • $\forall g\in G,\forall h \in H, ghg^{-1} \in H$
  • $\forall g\in G, gH=Hg$
  • $\forall g \in G,gHg^{-1}=H$
  • $\forall g\in G,g^{-1}Hg=H$
• 命题 2.7.2：设 $G,H$ 为群，$\sigma : G\to H$ 为群同态，则 $\operatorname{Ker}\sigma \trianglelefteq G$
  • 只需要代入定义即可。
• 命题 2.7.3：设 $G$ 为群，$Z(G)$ 为 $G$ 的中心，$H \leq Z(G)$，则 $H \trianglelefteq G$ 。特别地 $Z(G)\trianglelefteq G$
  • 同样代入定义即可。
  • 这种传递性还可以体现在，若 $H , K \trianglelefteq G$ 则 $HK \trianglelefteq G$. 但是注意， $H,K \leq G$ 不一定有 $HK \leq G$； 与此反过来的是，若 $H \leq K,K\leq G$，则 $H \leq G$，但是 $H \trianglelefteq K,K \trianglelefteq G$ 不一定有 $H \trianglelefteq G$。

8 同态基本定理#

自然同态（典范同态）：设 $G$ 为群，$N \trianglelefteq G$，定义映射 $\eta: G\to \bar{G}$ 为 $\eta(g)= \bar{g}$，其中 $\bar{G}=G/N$，则 $\eta$ 为群同态，称为 $G$ 到 $G/N$ 的自然同态或典范同态。容易验证 $\operatorname{Ker} \eta=N$, 所以正规子群一定是同态核，又根据命题 2.7.2，我们知道，同态核和正规子群是等价的概念。 从同态基本定理出发，我们还可以发现，对于任意群 $G$ 我们都有

$$G/Z(G)\cong \operatorname{Inn}(G)$$

根据这个结论我们可以得到 $n \geq 3$ 时，$\operatorname{Inn}(S_{n})\cong S_{n}$，进一步可以得到：若 $n \ne 6$，则 $\operatorname{Aut}(S_{n})\cong S_{n}$。此外我们还可以发现二面体群 $D_{6}$ 满足 $\operatorname{Inn}(D_{6})\cong S_{3}$. 商空间：设 $V$ 是线性空间，$W$ 为 $V$ 的子空间，定义商空间 $V/W$ 为所有形如 $v+W$ 的集合构成的集合。 线性映射基本定理：$V/\operatorname{Ker}\varphi \cong \mathrm{Im}\varphi$

• 定理 2.8.1（同态基本定理）：设 $G, G_1$ 为群，$\pi: G \to G_1$ 为群同态，则 $G /\operatorname{Ker}\pi \cong \pi(G)$
  • 只需要给出 $\pi_{1}(g)=gK$ ，然后证明其为映射而且是一个双射。
  • 推论 2.8.1：设 $g$ 为有限群，$\pi: G \to G_{1}$ 为群同态，则 $\operatorname{Ker} \pi$ 和 $\pi(G)$ 都是有限群，而且 $|G|=|\operatorname{Ker}\pi|\cdot|\pi(G)|$
• 定理 2.8.2（N/C 定理）：设 $G$ 为群，$H \leq G$，则 $N_{G}(H)/C_{G}(H)$ 同构于 $\operatorname{Aut}(H)$ 的一个子群
  • 这个定理的关键在于 $C_{G}(S)\trianglelefteq N_{G}(S)$，所以我们就可以定义共轭作用诱导的同态 $\varphi: N_{G}(H) \to \operatorname{Aut}(H)$，这个同态的核正好是 $C_{G}(H)$，所以根据同态基本定理，我们就得到了结论。
• 定理 2.8.3（第二同构定理）：设 $G$ 是群，若 $N \trianglelefteq G, H\leq G$，则 $H\cap N\trianglelefteq H, N\trianglelefteq NH\leq G$，且 $NH/N\cong H/(H\cap N)$
  • 这个定理更加简单，只需要考虑 $\varphi(h)=hN$ 就好了，然后证明其为同态且核为 $H\cap N$ 即可。
  • 这个定理的条件可以进一步地放松为 $N,H\leq G$ 且 $H \leq N_{G}(N)$
• 定理 2.8.4（第三同构定理）：设为群，$N\trianglelefteq G,M\trianglelefteq G$ 且 $N \leq M$，则 $G/M\cong(G/N)/(M/N)$
  • 这个也是一样的，我们需要定义 $\varphi(gN)=gM$
• 定理 2.8.5（第三同构定理）：设 $G,H$ 为群，$\eta: G \to H$ 为群同态。若 $M \trianglelefteq G$ 且 $\operatorname{Ker}\eta \subseteq M$, 则 $\eta(M) \trianglelefteq \eta(G)$，且有同构 $\eta(G)/\eta(M) \cong G/M$
  • 这是上一个定理的推广，类似的我们只要定义 $\eta(g)=gN$
• 定理 2.8.6（对应定理）：设 $G$ 是群，$N \trianglelefteq G$，记 $\mathcal{M}$ 为 $G$ 中包含 $N$ 的所有子群的集合，记 $\bar{\mathcal{M}}$ 为 $\bar{G}=G/N$ 的所有子群的集合，即 $\mathcal{M}=\{ N\leq M\leq G \},\bar{\mathcal{M}}=\{ \bar{M}\leq \bar{G}=G/N \}$ 则映射 $\pi: \mathcal{M} \to \overline{\mathcal{M}},\ M \mapsto \overline{M} = M/N$ 为双射，且此双射具有如下性质：对于任意 $M_{1},M_{2},M \in \mathcal{M}$,
  • $M_1 \leq M_2$ 当且仅当 $\overline{M_1} \leq \overline{M_2}$；
  • 如果 $M_1 \leq M_2$，那么 $[M_2: M_1] = [\overline{M_2}: \overline{M_1}]$；
  • $\overline{\langle M_1, M_2 \rangle} = \langle \overline{M_1}, \overline{M_2} \rangle$；
  • $\overline{M_1 \cap M_2} = \overline{M_1} \cap \overline{M_2}$；
  • $M \unlhd G$ 当且仅当 $\overline{M} \unlhd \overline{G}$，且有 $G/M \cong \overline{G}/\overline{M}$。
• 命题 2.8.1：设 $G$ 是有限群, $p$ 是 $|G|$ 对的最小素因子，且 $N$ 为 $G$ 的指数为 $p$ 的子群，则 $N \trianglelefteq G$.
  • 这个定理的证明是要利用 $G$ 在 $G/N$ 上的作用，我们可以得到一个群同态 $\varphi: G \to S_{p}$，显然我们可以得到 $\operatorname{Ker}\varphi =\cap_{a \in G}aNa^{-1}\leq N$，然后从阶数出发证明这个 $\operatorname{Ker}\varphi$ 就是 $N$。
  • 这个定理的一个简单推论就是任意 $2n$ 阶群都有一个指数为 2 的正规子群。

9 自由群#

字：设 $X$ 为一个非空集合，记 $X^{-1}=\{ x^{-1}|x \in X \},S =X\cup X^{-1}$ ，并对 $x \in X$，令 $(x ^{-1})^{-1}=x$. 由 $S$ 中的元素组成的有限序列

$$\omega=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}, a_{i}\in S, 1\leq i\leq n$$

称为 $S$ 上的一个字，其中 $n$ 称为该字的长度，记为 $|\omega|=n$。特殊地，长度为零的字称为空字，记为 $\emptyset$。如果 $\omega$ 中没有 $a^{-1}a$ 的字串，其中 $a\in S$ ，则称该字为既约字（或简化字）。 连写运算：记 $F(X)=W/\sim =\{ \bar{\omega}|\omega \in W \}$，其中 $W$ 为 $S$ 上的所有字的集合，$\sim$ 为等价关系，$\omega_{1} \sim \omega_{2}$ 当且仅当 $\omega_{1},\omega_{2}$ 有相同的既约形式。对于 $\bar{\omega_{1}}, \bar{\omega_{2}} \in F(X)$，定义连写运算为

$$\bar{\omega_{1}} \cdot \bar{\omega_{2}} = \overline{\omega_{1}\omega_{2}},$$

我们不难发现 $F(X)$ 在连写运算下成为一个群。

• 定理 2.9.1（自由群的泛性质）：设 $G$ 为群， $X$ 为集合，$f: X \to G$ 为映射，则可以扩充为群同态 $\varphi:F(X)\to G$ 使得 $f = \varphi i$，其中 $i: X \to F(X)$ 为自然的包含映射，即对任意 $x \in X$ 有 $i(x)= \bar{x}$，进一步地，该群同态 $\varphi$ 是唯一的。
• 定理 2.9.2：设 $G$ 为 8 阶非交换群，则 $G$ 为二面体群 $D_{4}$ 或四元数群 $Q$.
• 命题 2.9.1：对任一字 $\omega$，$\omega$ 有唯一的既约形式
• 命题 2.9.2：每个群都是自由群的商群，每个有限群都是有限生成自由群的商群
• 命题 2.9.3（Dyck 定理）：设群 $G = \left< a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}| r_{1}=r_{2}=\cdots=r_{t}=e \right>$，$H=\left< a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}|r_{1}=r_{2}=\cdots=r_{t}=r_{t+1}=\cdots=r_{t+k}=e \right>$, 则 $H$ 是 $G$ 的同态像。

群的结构#

1 群的直积#

直积：设 $G_{1},G_{2}$ 为群，$G = G_{1}\times G_{2}$ 称为 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 的直积，$G$ 中元素的运算定义为 $(g_{1},g_{2}) \cdot(h_{1},h_{2})=(g_{1}h_{1},g_{2}h_{2})$ 显然我们可以知道

$$\begin{align} |G_{1}\times G_{2}|&=|G_{1}|\cdot|G_{2}| \\ G_{1}\times G_{2} &\cong G_{2}\times G_{1} \\ \end{align}$$

[!note] 直积有关的传递性 注意，$B \cong C \implies A\times B\cong A\times C$，但是反之不成立，比如 $A=\mathbb{Q},B=\mathbb{Q},C=\{ 0 \}$ 另外，$H_{1} \le(\trianglelefteq)G_{1},H_{2}\le(\trianglelefteq)G_{2}\implies H_{1}\times H_{2} \le(\trianglelefteq) G_{1}\times G_{2}$ 但是反之不成立。

内直积：设为群，$H,K \leq G$ 且 $G\cong H\times K$, 则称 $G$ 为 $H$ 和 $K$ 的内直积，记为 $G=H \times K$。

同构作用：设 $H,K$ 是两个群，称群同态 $\varphi: K \to \operatorname{Aut}(H)$ 为群 $K$ 在群 $H$ 上的同构作用。

1. 对任意 $y \in K$，定义 $\varphi(y)=\operatorname{id}_{H}$ ，即 $H$ 的恒等自同构，称为在上的平凡同构作用。
2. 设 $\mathbb{F}$ 为域，$\mathbb{F}$ 在加法下构成群， $\mathbb{F}$ 的非零元集在乘法下构成群，记为 $\mathbb{F}^{*}$，则 $\mathbb{F}^{*}$ 在 $\mathbb{F}$ 上有自然的同构作用，即对任意 $a \in \mathbb{F}^{*},\varphi_{a}:\mathbb{F} \to \mathbb{F}$ 定义为 $\varphi_{a}(x)=ax$。则 $\varphi:\mathbb{F}^{*}\to \operatorname{Aut}\mathbb{F}$ ，其中 $\varphi(t)=\varphi_{t}$ ，为 $\mathbb{F}^{*}$ 在 $\mathbb{F}$ 上的同构作用。
3. 设 $G$ 为群，$H \trianglelefteq G$，则 $G$ 在 $H$ 上有共轭作用，即对任意 $g \in G$，定义 $\varphi_{g}: H \to H$ 为 $\varphi_{g}(h)=ghg^{-1}$，则 $\varphi: G \to \operatorname{Aut}(H)$ ，其中 $\varphi(g)=\varphi_{g}$，为 $G$ 在 $H$ 上的同构作用。
4. 对任意 $H$，设 $K\le \operatorname{Aut}(H)$，则包含映射 $i: K \to \operatorname{Aut}(H)$ 为群 $K$ 在群 $H$ 上的同构作用。 半直积：设 $H,K$ 为群，$\varphi: K \to \operatorname{Aut}(H)$ 为群 $K$ 在群 $H$ 上的同构作用，定义集合 $G=H\times K$ 上的乘法为

$$(x,y)(u,v)=(x\varphi_{y}(u),yv), \forall x,u \in H, \forall y,v \in K.$$

，则 $G$ 在该乘法下构成一个群，称为 $H$ 和 $K$ 关于 $\varphi$ 的半直积，记为 $H \rtimes_{\varphi} K$。 一个经典的例子是 $D_{n}=C_{n}\rtimes_{\varphi}C_{2}$，其中 $\varphi$ 为 $C_{2}$ 在 $C_{n}$ 上的共轭作用。$C_{n}$ 是旋转子群，$C_{2}$ 是反射子群，反射子群会把旋转子群中的每个元素映射到它的逆元。

• 定理 3.1.1：若正整数 $m,n$ 互素，则 $m$ 阶循环群与 $n$ 阶循环群的直积为 $mn$ 阶循环群。
  • 如果 $\operatorname{gcd}(m,n)\neq 1$，则 $C_{m}\times C_{n}$ 不是循环群。
  • 推论 3.1.1（中国剩余定理）：设正整数 $m,n$ 互素，$a,b$ 是任意整数，则同余方程组 $x\equiv a(\operatorname{mod}m),x\equiv b(\operatorname{mod}n)$。进一步地，若 $x,y$ 均是该同余方程组的解，则 $x\equiv y(\operatorname{mod}mn)$。
• 定理 3.1.2：设有限群 $G_{1},G_{2}$ 的阶互素，则 $G_{1}\times G_{2}$ 的任一子群 $H$ 都可唯一表示为 $H=H_{1}\times H_{2}$，其中 $H_{1}\leq G_{1},H_{2}\leq G_{2}$。
  • 定理的证明只需要考虑子群在 $G_{1},G_{2}$ 上的投影，投影必然是一个满同态，于是很显然 $H \subset H_{1}\times H_{2}$。然后利用中国剩余定理证明 $\forall a\in H_{1},b \in H_{2},(a,e_{2})\in K,(e_{1},b)\in K$
• 定理 3.1.3：设 $G$ 为群，$H,K$ 为 $G$ 的两个子群，且满足
  • $G=HK$
  • $H \cap K=\{ e \}$
  • $\forall h \in H,\forall k \in K, hk=kh$
  • 则 $G \cong H \times K$
  • 条件一用来证明满射，条件二用来证明单射，条件三用来证明映射是同态。
  • $p$ 为素数，$G$ 为 $p^{2}$ 阶群，所以 $G$ 要么是循环群，要么是 $C_{p}\times C_{p}$，所以 $G$ 一定可以交换
• 定理 3.1.4：设 $G$ 为群，$H,K$ 为 $G$ 的两个子群，且满足
  • $H \trianglelefteq G$
  • $H \cap K=\{ e \}$
  • $G=HK$
  • 则 $G \cong H \rtimes_{\varphi} K$，其中 $\varphi: K \to \operatorname{Aut}(H)$ 为 $K$ 在 $H$ 上的共轭作用，即 $\varphi_{k}(h)=khk^{-1}$。

2 Sylow 定理#

$p$ 部分：设 $p$ 为素数，$n$ 为正整数，记 $n=p^{r}m$，其中 $r\geq 0$，$p \nmid m$，则称 $p^{r}$ 为 $n$ 的 $p$ 部分，也称 $n$ 的 $p-$ adic 阶为 $r$. 所以 $n$ 的 $p-$ adic 阶为 0 当且仅当 $p \nmid n$。

• 引理 3.2.1：设 $p$ 是一个素数，$n=p^{r}m,r\geq{0},p \nmid m$，则对于任意 $0\leq k\leq r$，有 $p^{r-k}||\binom{n}{p^{k}}$，即 $\binom{n}{p^{k}}$ 的 $p$ 部分为 $p^{r-k}$。
• 定理 3.2.1（Sylow 第一定理）：设 $G$ 为有限群，$p$ 为素数，若 $p^{r}|| |G|$，则对于任意 $0\leq k\leq r$，$G$ 至少有一个 $p^{k}$ 子群
  • 这个定理的证明关键在于考虑所有 $p^{k}$ 元子集的集合 $\Omega$，然后让 $G$ 在 $\Omega$ 上作用，利用轨道-稳定化子定理计算轨道长度，从而证明存在 $p^{k}$ 子群。
  • 推论 3.2.1：设群 $G$ 的阶为 $n=p^{r}m$，其中 $p$ 为素数，$r\geq 1$，$p \nmid m$，则
    • Cauchy 定理：$G$ 中至少有一个 $p$ 阶元素
    • Sylow $p$ 子群：$G$ 中至少有一个阶为 $p^{r}$ 的子群
• 定理 3.2.2（Sylow 第二定理）：设 $K$ 为有限群 $G$ 的子群，其阶可被素数 $p$ 整除，$P$ 是 $G$ 的一个 Sylow $p$ 子群，则存在 $P$ 的某个共轭子群 $P'=aPa^{-1}, a \in G$ 使得 $P'\cap K$ 是 $K$ 的 Sylow $p$ 子群
  • 证明过程是让 $K$ 在 $G/P$ 上作用，然后考虑 $K$ 在 $G/P$ 上的某个轨道 $O$，利用轨道长度计算得到结论。
  • 推论 3.2.2：设素数 $p$ 是有限群 $G$ 阶的一个因子，则有
    • $G$ 的任一 $p$ 子群都包含在某个 Sylow $p$ 子群中
    • 任意两个 Sylow $p$ 子群都是共轭的
• 定理 3.2.3（Sylow 第三定理）：设群 $G$ 的阶为 $n=p^{r}m$，其中 $p$ 为素数，$r\geq 1$，$p \nmid m$，记 $G$ 的 Sylow $p$ 子群的个数为 $n_{p}$ 则
  • $n_{p}|m$ 且 $n_{p}\equiv1(\operatorname{mod}p)$
  • 首先证明与 $n_{p}\equiv{1}(\operatorname{mod}p)$，任取一个 Sylow $p$ 子群 $P$，然后我们就可以给出所有的 Sylow $p$ 子群 $X=\{ aPa^{-1}|a\in G \}$，让 $P$ 在 $X$ 上作用，计算轨道长度即可。然后证明 $n_{p}|m$，这列我们考虑 $G$ 在 $X$ 上的作用，可以从 $P$ 的共轭子群个数为 $[G:N_{G}(P)]$ 看出
• 定理 3.2.4：最小有限非交换单群同构于交错群 $A_{5}$

[!summary] Sylow 定理总结

1. Sylow 第一定理保证了 Sylow $p$ 子群的存在性。
2. Sylow 第二定理说明了所有 Sylow $p$ 子群都是共轭的，并且任何 $p$ 子群都包含在某个 Sylow $p$ 子群中。
3. Sylow 第三定理给出了 Sylow $p$ 子群个数的限制条件，即它必须整除群阶中不含 $p$ 的部分，并且满足模 $p$ 同余条件。

• 命题 3.2.1：设 $p,q$ 为素数，则 $pq$ 和 $p^{2}q$ 阶群都不是单群
• 命题 3.2.2：设为有限群，$p$ 为奇素数，则 $2p$ 阶群或为循环群，或为二面体群
• 命题：若有限群 $G$ 的阶 $<60$，则不是非交换单群
• 命题：设 $G$ 是 60 阶单群，则 $G \cong A_{5}$

3 有限交换群的结构#

• 引理 3.3.1：设 $A$ 是有限交换 $p-$ 群，则 $A$ 循环当且仅当 $A$ 有唯一的阶为 $p$ 的子群

• 定理 3.3.1：设 $A$ 是有限交换 $p-$ 群， $a$ 是 $A$ 中一个最高阶元素，则存在 $B \le A$ 使得 $A \cong \langle a \rangle\times B$

• 定理 3.3.2：有限交换 $p-$ 群 $A$ 可以分解为它的循环子群的直积，即存在 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{t}\in A$ 使得 $A\cong\langle a_{1}\rangle \times \langle a_{2}\rangle \times \cdots \times \langle a_{t}\rangle$，并且直积因子的个数 $t$ 以及它们的阶 $|\langle a_{1}\rangle|,|\langle a_{2}\rangle|,\cdots,|\langle a_{t}\rangle|$ 由群 $A$ 唯一确定。

• 定理 3.3.3：设 $G$ 为 $n$ 阶交换群，$n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{s}^{e_{s}}$ 为 $n$ 的素因子分解，其中 $p_{1},p_{2},\cdots,p_{s}$ 为互不相同的素数，$e_{1},e_{2},\cdots,e_{s}$ 为正整数，则 $G \cong \times_{i=1}^{s}(\mathbb{Z}_{p_{i}^{l_{i_{1}}}}\times \mathbb{Z}_{p_{i}^{l_{i_{2}}}}\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_{i}^{l_{i_{t_{i}}}}})$，其中 $l_{i_{1}}\geq l_{i_{2}}\geq \cdots \geq l_{i_{t_{i}}}\geq 1$ 且 $\sum_{j=1}^{t_{i}}l_{i_{j}}=e_{i}$。进一步地，该直积分解是唯一的。集合 $\{ p_{1}^{l_{1 1}},p_{1}^{l_{1 2}},\cdots,p_{1}^{l_{1 t_{1}}},\cdots,p_{s}^{l_{s 1}},p_{s}^{l_{s 2}},\cdots,p_{s}^{l_{s t_{s}}} \}$ 称为群 $G$ 的初等因子。

  • 推论 3.3.1：有限交换群被它的初等因子唯一确定，即设 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 都是 $n$ 阶交换群，则 $G_{1}\cong G_{2}$ 当且仅当它们有相同的初等因子。

• 定理 3.3.4：设 $G$ 为 $n$ 阶交换群，则 $G\cong Z_{d_{1}}\times Z_{d_{2}}\times \cdots \times Z_{d_{t}}$，其中 $d_{1}|d_{2}|\cdots|d_{t}$ 且 $\prod_{i=1}^{t}d_{i}=n$。进一步地，该直积分解是唯一的。集合 $\{ d_{1},d_{2},\cdots,d_{t} \}$ 称为群 $G$ 的不变因子。

  • 推论 3.3.2：有限交换群被它的不变因子唯一确定，即设 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 都是 $n$ 阶交换群，则 $G_{1}\cong G_{2}$ 当且仅当它们有相同的不变因子。

• 定理 3.3.5：8 阶群共有五个，其中交换群有三种，分别为 $Z_{8},Z_{4}\times Z_{2},Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}$；非交换群有两种，分别为二面体群 $D_{4}$ 和四元数群 $Q$。

4 可解群#

换位子：设 $G$ 为群， $a,b \in G$，令 $[a,b]=aba^{-1}b ^{-1}$ 称为 $a$ 和 $b$ 的换位子。 换位子群： 设 $G$ 为群，记 $G$ 的所有换位子生成的子群为 $G$ 的换位子群，记为 $G^{(1)}$，即 $G^{(1)}=\langle [a,b]|a,b \in G \rangle$，也称为导群。显然 $G$ 为交换群当且仅当 $G^{(1)}=\{ e \}$，且 $G^{(1)}\trianglelefteq G$。 $n$ 级导群：可以递归定义， $G^{(0)}=G,\forall n\ge 1, G^{(n)}=(G^{(n-1)})^{(1)}$。 可解群：如果存在正整数 $n$ 使得 $G^{(n)}=\{ e \}$，则称群 $G$ 为可解群。 显然，交换群都是可解群，但是非交换单群不是可解群，因为它们的导群就是它们本身。 可解群列：对任意 $0\le i\le s-1$，$G_{i}/G_{i+1}$ 都是交换群的 $G$ 的正规子群列称为 $G$ 的一个可解群列。

• 命题 3.4.1：设 $\sigma: G\to H$ 为群同态，则 $\sigma(G)$ 交换当且仅当 $G^{(1)}\subseteq \operatorname{Ker}\sigma$

  • 推论 3.4.1：设 $N \trianglelefteq G$，则 $G/N$ 交换当且仅当 $G^{(1)}\le N$，特别地， $G/G^{(1)}$ 为交换群

• 命题 3.4.2：设 $\sigma: G\to H$ 为群同态，则 $\sigma(G^{(n)})= (\sigma(G))^{(n)}$。

• 定理 3.4.1：可解群的子群和商群仍为可解群

• 定理 3.4.2：设 $N\trianglelefteq G$，若 $N$ 和 $G/N$ 都为可解群，则 $G$ 也为可解群

  • 推论 3.4.2：有限 $p-$ 群都是可解群

• 定理 3.4.3：设 $G$ 为群，则 $G$ 是可解群的充分必要条件是存在一列子群 $\{ e \}\trianglelefteq G_{s}\trianglelefteq \cdots\trianglelefteq G_{1}\trianglelefteq G_{0}=G$ 使得每个商群 $G_{i-1}/G_{i}$ 都为交换群。

5 Jordan-Hölder 定理#

次正规群列：设 $G$ 为群，称群 $G$ 的一个子群列

$$G =G_{0}\ge G_{1}\ge \cdots \ge G_{t}=\{ e \}$$

为 $G$ 的一个次正规群列，如果对任意 $1\leq i\leq t-1$，都有 $G_{i+1}\trianglelefteq G_{i}$。其商群组 $G_{i}/G_{i+1}, 0\le i\le t-1$ 称为该次正规群列的因子群组。如果进一步有对于 $\forall 0\le i\le t-1,G_{i+1}\subset G_{i}$ ，则称该次正规群列是 无重复的 ，此时称因子群的个数 $t$ 为无重复的正规群列的长度。

交换群列：在群 $G$ 的次正规群列中，若因子群组中的所有因子群 $G_{i}/G_{i+1}$ 都是交换群，则称该次正规群列为 $G$ 的一个交换群列或者可解群列。

正规群列：设 $G$ 为群，称群 $G$ 的一个次正规群列

$$G =G_{0}\ge G_{1}\ge \cdots \ge G_{t}=\{ e \}$$

为 $G$ 的一个正规群列，如果对任意 $0\leq i\leq t-1$，都有 $G_{i+1}\trianglelefteq G$。进一步地，若 $\forall 0\le i\le t-1,G_{i}/G_{i+1}\subset Z(G/G_{i+1})$ ，则称该正规群列为 $G$ 的一个中心群列。 对任意 $H,K\le G$ ，用 $[H,K]$ 表示由所有换位子 $[h,k],h\in H,k\in K$ 所生成的子群。我们可以递归定义子群 $L_{i}, i\ge 0$ 如下

$$L_{0}=G,L_{i+1}=[G,L_{i}], i\ge 0.$$

幂零群：若 $G$ 有中心群列，则称群 $G$ 为幂零群。

合成群列：设为群，称群的一个次正规群列

$$G = G_0 \unrhd G_1 \unrhd \cdots \unrhd G_{t-1} \unrhd G_t = \{e\}$$

为群的一个合成群列，如果对任意 $0 \leq i \leq t-1$，商群 $G_i / G_{i+1}$ 都是单群。这时每个因子群也称为合成因子。

• 引理 3.5.1：设 $G$ 为群，$N\unlhd G$. 若群 $G$ 有合成群列，则 $N$ 也有合成群列。

• 命题 3.5.1：设 $G$ 为群，则 $G$ 存在中心群列，当且仅当存在正整数 $s$ 使得 $L_{s}=\{ e \}$

• 命题 3.5.2：每个有限群都有一个合成群列

• 定理 3.5.1：设 $G$ 为有限群，则 $G$ 可解当且仅当存在 $G$ 的次正规群列$G=H_{0}\unrhd H_{1}\unrhd \cdots \unrhd H_{r}=\{ e \}$使得每个因子群都是素数阶循环群

• 定理 3.5.2（Jordan-Hölder 定理）：设 $G$ 有合成群列，则 $G$ 的任两个合成群列有相同的长度，并且它们的因子群组在不计次序的意义下对应同构。

环的一般理论#

子环与同态#

幂等元：设 $R$ 为环，$a \in R$，若 $a^{2}=a$，则称 $a$ 为环 $R$ 的一个幂等元。 Boole 环：若环 $R$ 中的每个元素都是幂等元，则称环 $R$ 为一个 Boole 环。