金融中的数学方法

随机过程引论#

1 随机过程#

• 定义: 一个随机过程 $\{X(t), t \in T\}$ 是一个由时间 $t$ 索引的随机变量的集合。
  • 时间集 $T$: 可以是离散的（如 $T=\{0,1,2,\dots\}$）或连续的（如 $T=[0,\infty)$）。
  • 状态空间: 随机变量 $X(t)$ 所有可能取值的集合。
• 信息流 (Filtration):
  • 定义：一个 filtration $\{\mathcal{F}(t), t \ge 0\}$ 是一个递增的 $\sigma$ -代数族，即对所有 $s \le t$，都有 $\mathcal{F}(s) \subseteq \mathcal{F}(t)$。
  • 直观理解：$\mathcal{F}(t)$ 代表了直到时间 $t$ 为止可获得的所有信息。
• 适应过程 (Adapted Process):
  • 定义：一个随机过程 $\{X(t)\}$ 如果对于所有 $t$，随机变量 $X(t)$ 都是 $\mathcal{F}(t)$ -可测的，那么我们称该过程是适应于 filtration $\{\mathcal{F}(t)\}$ 的。
  • 直观理解：在时间 $t$ 的过程状态 $X(t)$ 是基于当时已知的信息 $\mathcal{F}(t)$ 的。
• 理想的性质
  • Stationary：有限时间点的分布具有平移不变性
    $(X(t_{1}), X(t_{2}), \cdots , X(t_{n})) \overset{d}{=} (X(t_{1}+h), X(t_{2}+h), \cdots , X(t_{n}+h))$
  • Stationary increments：相同时间内增量分布相同 $X(t)-X(s) \overset{d}{=} X(t+h)-X(s+h)$
  • Independent increments：增量之间彼此独立

2 马尔可夫过程 (Markov Process)#

• 马尔可夫性质: 给定“现在”的信息，“将来”与“过去”相互独立。
  • 形式化定义: 对于所有 $s, t \ge 0$ 和任何集合 $A$，有
    $P(X(t+s) \in A \mid \mathcal{F}(t)) = P(X(t+s) \in A \mid X(t))$
• 转移概率:
  • 离散时间转移概率：
    $\mathbb{P}(X_{n+1}=a \mid X_{n}=b, \cdots, X_{n-1}=c, \cdots) = \mathbb{P}(X_{n+1}=a \mid X_{n}=b)$
  • 连续时间转移密度：
    $p(t,y; s,x) = \frac{d}{dy} \mathbb{P}(X(t) \le y \mid X(s)=x)$

2.1 随机过程实例#

• 简单对称随机游走 (Simple Symmetric Random Walk, SRW):
  • 定义：$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$，其中 $X_i$ 是独立同分布 (i.i.d.) 的随机变量，且 $P(X_i = 1) = P(X_i = -1) = \frac{1}{2}$。
  • 性质：It is not stationary but has independent and stationary increments.
  • 概率性质：
    • 转移概率 $\mathbb{P}(W_{n+1} = s \mid W_n = r) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & \text{if } s = r+1,\\\frac{1}{2}, & \text{if } s = r-1\end{cases}$
    • 条件期望
      $\mathbb{E}(W_n \mid \mathcal{F}(m)) = W_m$
    • 条件二阶矩 $\mathbb{E}(W_n^{2} \mid \mathcal{F}(m)) = W_m^{2} + (n-m)$
• 泊松过程 (Poisson Process):
  • 定义：一个计数过程 $\{N(t), t \ge 0\}$，其定义依赖于以下几个关键特性：
    1. $N(0) = 0$。
    2. 独立增量: 在不重叠的时间区间内，过程的增量是相互独立的。
    3. 平稳增量: $N(t+s) - N(s)$ 的分布仅依赖于时间差 $t$，与起始时间 $s$ 无关。
    4. 概率质量函数： $\mathbb{P}(N(t+\Delta t) - N(t) = k) = \frac{\lambda^{k} (\Delta t)^{k}}{k!} e^{-\lambda \Delta t}$
  • 推论：
    • 实际上是指数分布间隔下的计数个数。
    • 条件期望：
      $\mathbb{E}(N(t+\Delta t) - N(t)) = \lambda \Delta t$

3 鞅#

• 动机: 鞅是“公平博弈”的数学模型。
• 公平博弈: 对未来任何时刻财富的最好预测就是当前的财富值。
• 鞅性质: 对于所有 s≤t，有 $E[M(t)∣F(s​)]=M(s)$。
• 下鞅 (Submartingale) / 上鞅 (Supermartingale):
  • 如果鞅性质中的等号变为 ”≥“，则为下鞅（有利可图的游戏）。
  • 如果等号变为 ”≤“，则为上鞅（不利的游戏）。

3.1 鞅的实例#

• 鞅投注策略: 其实是无利可图的，可以分为两种情况讨论其鞅性质
  • 如果赢了，那么 $\mathbb{P}(V_{n+1}=1|V_{n}=1)=1$
  • 如果没赢，那么 $\mathbb{P}(V_{n+1}=1|V_{n}=-(2^{n}-1))=1/2,\mathbb{P}(V_{n+1}=-(2^{n+1}-1))|V_{n}=-(2^{n}-1))=1/2$
  • 所以实际上是符合鞅性质的
• 简单随机游走: 对于 $S_{n}​=∑_{i=1}^{n​}X_{i}​$， $\{S_{n}\}$ 是一个鞅，$\{S_{n}^{2}-n\}$ 也是一个鞅
• 鞅变换 (Martingale Transform):
  • $\{\theta_{n}\}$ 是 $\mathcal{F}(n-1)$ -measurable，若给定一个鞅过程 $\{M_{n}\}$，那么可以构造 $T_{0}=0, T_{n}= \sum\limits_{k=1}^{n}\theta_{k}(M_{k}-M_{k-1})$
  • $\{T_{n}\}$ 也是一个鞅过程，被称为鞅变换
• 补偿泊松过程 (Compensated Poisson Process):
  • 泊松过程 $N(t)$ 的期望是 $\mathbb{E}[N(t)]=λt$。
  • 补偿后的过程 $M(t)=N(t)−λt$ 是一个鞅。

3.2 停时#

• 停时 (Stopping Time):
  • 定义：一个随机变量 τ 被称为停止时间，如果对于所有 t，“决定在 τ 时刻停止”的事件 {τ≤t} 仅依赖于到 t 时刻为止的信息，即 $\{τ≤t\}∈F(t)​$。
  • 例子：达到某个价格水平的首次穿越时间。
• 可选抽样定理 (Optional Sampling Theorem):
  • 停止过程（Stopped process）$X^{\tau}(t)=X(\min (t, \tau))$，若 $X(t)$ 是一个鞅过程，那么 $X^{\tau}(t)$ 也是一个鞅过程
  • 定理：若 $\{M_{n}\}$ 是一个鞅过程，在某些条件下，$\mathbb{E}M_{\tau}=\mathbb{E}M_{0}$
  • 常见的几种条件：
    • 停时有界
    • 停时的期望有界，而且 $\{M_{n}\}$ 右连续且 $\sup_{t<\tau}\mathbb{E}|M_{t}|<\infty$
    • $M_{n}$ 有界
• 应用：赌徒破产问题:
  • 由于此时并不满足那几种条件，所以不能直接使用可选抽样定理，但是可以使用停时鞅来代替求解 $\begin{aligned}&\mathbb{E}W_{r}^{\tau}=\mathbb{E}W_{0}^{\tau}=\mathbb{E}W_{0}\\ &\lim_{t\to\infty}\mathbb{E}W_{r}^{\tau}=\mathbb{E}\lim_{r\to\infty}W_{r}^\tau=\mathbb{E}W_\tau \end{aligned}$
  • 于是就可以得到 $\mathbb{E}W_\tau=\mathbb{E}W_{0}=0$，所以给出结果 $P(W_{\tau}=m)=\frac{n}{n+m}$

4 二叉树定价#

• 定价方法：复制，使用已知价格的证券对衍生品定价
• 选择二叉树的原因
  • 尽管简单，但是使用的无套利方法是普适的
  • 多期二叉树近似于连续 BSM 模型
  • 多期二叉树提供了一个强大的数量定价工具
• 二叉树模型，假设上涨幅度为 $u$，下跌幅度为 $d$，无风险利率为 $r$，然后使用期权和股票的复制组合构造无套利组合，计算得到股票份额 $\Delta_0$ 和期权价格 $X_{0}$ $\Delta_{0}= \frac{V_{1}(H)-V_{1}(T)}{S_{1}(H)-S_{1}(T)}, X_{0}=\frac{1}{1 + r}\left[ \frac{1 + r - d}{u - d} V_1(H) + \frac{u - (1 + r)}{u - d} V_1(T) \right]$
• 由此还可以定义一个风险中性概率 $p$，即 $p=\frac{(1 + r) - d}{u - d}$
• 于是给出了风险中性测度 $\mathbb{Q}$ 的定义：是满足 $S_{0}(1+r) = \mathbb{E}^\mathbb{Q}(S_{1}|\mathcal{F_{0}})$，由此还可以得到 $r = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left(\frac{S_{1}-S_{0}}{S_{0}}|\mathcal{F_0}\right)$
• 多期定价实际上也可以用风险中性测度（鞅方法定价）：也就是说，在风险中性测度 $\mathbb{Q}$ 下，股票的价格过程 $\{\frac{S_{n}}{(1+r)^{n}}\}$ 是一个鞅过程，由无套利方法定价的话，得到的期权的价格也是一个鞅过程
• 概率测度变换：定义 Radon-Nikodym 导数 $Z(\omega) = \frac{\mathbb{Q}(\omega)}{\mathbb{P}(\omega)}$，显然，可以得到以下结论：$\mathbb{E}^{\mathbb{P}}Z = 1, \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}Y=\mathbb{E}^\mathbb{P}YZ$
• 套利的定义：一个自融资证券组合 $X_n$ 满足 $X_{0}=0$ 且 $\exists N'<\infty ~\text{s.t.}~ \mathbb{P}(X_{N'} \ge 0)=1, \mathbb{P}(X_{N'}>0)>0$
• 状态价格：
  • 状态价格密度 $\zeta(\omega)=\frac{1}{(1+r)^{N}} \frac{\mathbb{Q}(\omega)}{\mathbb{P}(\omega)}$
  • 状态价格 $\zeta(\omega)\mathbb{P}(\omega)$
  • Arrow-Debreu 证券：贴现值为 $A_{N}^{\bar{\omega}}(\omega)= \mathbb{1}_{\omega=\bar{\omega}}$ 的证券
  • RN 导数过程：$Z_{n}=\mathbb{E}(Z|\mathcal{F}_{n})$ ，是一个鞅过程
  • 状态价格密度过程：$\zeta_{n}=\frac{Z_{n}}{(1+r)^{n}}$，也是一个鞅过程
  • 在真实概率测度下，$\{\zeta_nV_n\}$ 是一个鞅过程，我们有 $V_{n}=\frac{1}{\zeta_{n}}\mathbb{E}(\zeta_{N}V_{N}|\mathcal{F}_{n})$
• 奇异期权（Exotic Options）：期权的价值可能是 path-dependent 的，即它的价值取决于标的资产价格的路径，而不仅仅是终点价格。
  • lookback options（回望期权），它的价值取决于标的资产在整个期权有效期内的最高或最低价格；call 是 $V_{N}=S_{N}-\min_{0\le n\le N} S_{n}$，put 是 $V_{N}=\max_{0\le n\le N} S_{n}-S_{N}$；
  • Asian options（亚洲期权），它的价值取决于标的资产价格在期权有效期内的平均价格；call 是 $V_{N}=\max(\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N} S_{n}-K,0)$，put 是 $V_{N}=\max(K-\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N} S_{n},0)$；
  • Barrier options（障碍期权），它的价值取决于标的资产价格是否触及某个预设的障碍水平。
  • American options（美式期权），它的价值取决于标的资产价格在期权有效期内的任何时刻。Backward induction 方法可以用来计算美式期权的价格。$V_{n}=\begin{cases}\max \{g(S_{n}), v_{n}^{c}(S_{n})\} &1\le n\le N-1\\v_N(S_N)=g(S_N)&n=N\end{cases}$ 其中， $g(S_{n})$ 是行使期权的价值，$v_{n}^{c}(S_{n})$ 是继续持有期权的价值。
• 美式期权的超复制策略（super-replication）：在任何情况下都能保证期权的价值不低于其理论价值的策略。可以通过构造一个包含标的资产和无风险资产的自融资组合来实现。
  • $\Delta_{n} = \frac{v_{n+1}(S_{n}u)-v_{n+1}(S_{n}d)}{S_{n}(u-d)}$
  • $X_{n+1}= \Delta_{n}S_{n+1} + (1+r)(X_{n}-\Delta_{n}S_{n})$，其中 $X_{n}$ 是自融资策略的价值
  • 然后通过提前行权的额外价值 $C_{n}=v_{n}(S_{n})- \frac{1}{1+r}[\tilde{p}v_{n+1}(S_{n}u)+\tilde{q}v_{n+1}(S_{n}d)]$ ，我们可以得到一个递推关系 $X_{n+1} - V_{n+1} = (1+r)(X_{n} - V_{n} + C_{n})$，其中 $\tilde{p}$ 和 $\tilde{q}$ 是风险中性概率
• 美式期权的无套利定价：美式期权的“公平价格”  就是最小的初始财富，能让一个自融资组合在任意时刻都覆盖期权可能被行权的价值（super-replication）。

[!note] No Early Exercise (NEE) 定理 如果股票不分红，那么美式期权的价值等于对应的欧式期权的价值。也就是说，如果股票不分红，那么在任何时刻都没有必要提前行使期权。因为 $\{\frac{g(S_{n})}{(1+r)^{n}}\}$ 在风险中性测度下是一个 submartingale，其中 $g(S_{n})=\max \{S_{n}-K, 0\}$，这一点可以用 Jensen 不等式来证明。

• 美式期权定价的鞅方法：$\tau = \min \{n: V_{n} \ge g(S_{n})\}$，即最小的时刻使得期权价值大于等于行使价值。然后可以使用停时鞅来求解美式期权的价格：$V_{0} = \max_{\tau \in \Tau_{0}}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[g(\frac{S_{\tau}}{(1+r)^{\tau}})]$

5 布朗运动#

• 布朗运动 (Brownian Motion): 随机过程 $\{W(t)\}$ 被称之为一维标准布朗运动，若满足
  • $W(0)=0$
  • For each $\omega \in \Omega$ , $W(t,\omega)$ 是连续的
  • 对任意的 $0 \le s < t$，$W(t)-W(s)$ 服从正态分布 $N(0,t-s)$
  • 对任意的 $0 \le s < t$，$W(t)-W(s)$ 与 $W(s)$ 独立
• 对股价的估计，几何布朗运动更合适 $S(t) = \exp \{\sigma W(t)+at\}$
• 从随机游走构造布朗运动
  • 考虑对称随机游走：$M_{n}:= \sum\limits_{j=1}^{n}X_{j}$ ，其中 $X_{j}$ 是独立同分布的随机变量，且 $P(X_{j}=1)=P(X_{j}=-1)=\frac{1}{2}$。
  • 然后得到加权后的对称随机游走：当 $nt$ 为整数时， $W^{(n)}(t)=\frac{1}{\sqrt{n}}M_{nt}$
    • 当 $n \to \infty$ 时，$W^{(n)}(t)$ 收敛到 $N(0,t)$。
  • 当 $nt$ 不是整数时，可以通过线性插值来定义 $W^{(n)}(t)$。
    • $W^{(n)}(t) = \frac{M_{\lfloor nt \rfloor}}{\sqrt{n}} + \left( \frac{M_{\lfloor nt \rfloor + 1}}{\sqrt{n}} - \frac{M_{\lfloor nt \rfloor}}{\sqrt{n}} \right) (nt - \lfloor nt \rfloor)$
• 高斯过程：对于任意的 $t_1, t_2, \ldots, t_n$，$W(t_1), W(t_2), \ldots, W(t_n)$ 服从多元正态分布；布朗运动是一个高斯过程。
• 布朗运动是强马尔可夫过程：
  • 给定有限停时 $\tau$，$\mathbb{E}(f(W(\tau + t)) \mid \mathcal{F}(\tau)) = \mathbb{E}(f(W(\tau + t)) \mid W(\tau))$
  • 推论：布朗运动在停时之后刷新
• 一些基本性质：
  • 时间平移不变性：$B(t)=W(t+s) - W(s)$ 是 BM，与 $s$ 无关
  • 尺度不变性：$B(t) = \frac{1}{\sqrt{c}}W(ct)$ 是 BM
  • 对称不变性：$B(t) = -W(t)$ 是 BM
  • 时间反演不变性：：$B(t) = W(T)-W(T-t)$ 是 BM
• 路径性质：
  • 无界：$\mathbb{P} \left( \sup_{0 \leq t < \infty} W(t) = \infty \right) = 1, \; \mathbb{P} \left( \inf_{0 \leq t < \infty} W(t) = -\infty \right) = 1$
  • 常返：布朗运动会不断“回到”之前到过的位置，甚至在某点附近无限次经过。
  • 几乎每一条布朗运动路径在任意时刻 $t$ 都没有导数。
• 变差：
  • 一阶变差：对于过程 $S_{n}$ ，时间 $k$ 前的一阶变差定义为 $FV_{k}^{S} = \sum\limits_{j=1}^{k}|S_{j}-S_{j-1}|$。
  • 二阶变差：对于过程 $S_{n}$ ，时间 $k$ 前的二阶变差定义为 $QV_{k}^{S} = \sum\limits_{j=1}^{k}(S_{j}-S_{j-1})^{2}$。
  • 对于随机游走，一阶变差为 $FV^{M}_{k}=k$，二阶变差为 $QV_{k}^{M}=k$。
  • 对于加权随机游走，二阶变差为 $FV^{W^{(n)}}(T)=\sqrt{n}T$，一阶变差为 $QV^{W^{(n)}}(T)=T$。
  • 在概率意义下，布朗运动的二阶变差为 $QV_{T}^{W}=T$，一阶变差为 $FV_{T}^{W}=\infty$，更高阶变差为 $0$。
  • 由变差的性质，我们还可以证明布朗运动的路径几乎处处不可微，同时给出非正式的记号 $(\mathrm{d}W(t))^{2}=\mathrm{d}t$
• FPT (首次通过时间)：对于过程 $Y(t)$ ，定义 $\tau_{m} = \inf \{t \geq 0 : Y(t) = m\}$ 为首次通过时间。
  • 计算 FPT 分布的方法：反射原理或者拉普拉斯变换
  • 反射原理：将 $\tau_{m}$ 之后的路径翻转到水平线以下，得到的路径 $\bar{W}(t) =\begin{cases} W(t), & 0 \leq t \leq \tau_m \\2m - W(t), & t > \tau_m \end{cases}$ 仍然是一个布朗运动。所以我们可以得到 $\mathbb{P}(\tau_{m} \leq t) = 2\mathbb{P}(W(t) \geq m)$。 ^reflect-theorem
  • 类似的，我们也可以用他来分析历史最大值的分布：记 $M(t) = \max_{0\le s \le t}W(s)$ 为历史最大值，我们可以得到，$\mathbb{P}(M(t)\ge m, W(t)\le w)=\mathbb{P}(W(t)\ge 2m-w)$，于是我们还可以得到 $(M(t), W(t))$ 的联合分布密度：当 $m\ge 0, w\le m$ 时， $f_{M(t), W(t)} (m,w )=\frac{\partial^{2}}{\partial m \partial w}\mathbb{P}(M(t)\le m, W(t)\le w) = \frac{\partial^{2}}{\partial m \partial w}[\mathbb{P}(W(t)\le w)-\mathbb{P}(M(t)\ge m, W(t)\le w)]$
  • Laplace 变换：只需要估计 $\mathbb{E}e^{\theta \tau_{m}}$ 即可，这时候可以使用指数鞅 $Z(t) :=\exp(\sigma W(t)- \frac{\sigma^{2}}{2}t)$ 。利用 $\mathbb{E}Z(\tau_{m}) = \mathbb{E} Z(0)$ ，可以得到 $\mathbb{E}\exp( -\frac{\sigma^{2}}{2}\tau_{m})=\exp(-\sigma m)$ （严谨证明需要用到停时鞅及极限的可交换性）
• 布朗运动衍生出的随机过程
  • 带有漂移的布朗运动：$X(t) = \mu t + \sigma W(t)$，其中 $\mu$ 是漂移项，$\sigma$ 是波动率。
  • 几何布朗运动：$S(t) =\exp\left(\mu t + \sigma W(t)\right)$，其中 $\mu$ 是期望收益率，$\sigma$ 是波动率。
  • 布朗桥：$B(t) = W(t) - t W(1)$，其中 $W(t)$ 是布朗运动。布朗桥是一个条件于 $W(1)=0$ 的布朗运动。
• 应用实例：Merton 的违约
  • 假设公司的总价值 $V(t) = S(t)+B(t)$ ，其中 $S(t)$ 是公司的股价，$B(t)$ 是公司的债务，债务面值为 K 且在 T 到期。
  • 到期时，$B(T) = \min \{K, V(T)\}, S(T) = \max \{0, V(T)-K\}$
  • 如果假设公司价值服从几何布朗运动 $V(t) = V(0) \exp\left(\mu t + \sigma W(t)\right)$，那么可以得到违约概率为 $\mathbb{P}(V(T)<K)=\mathbb{P}(W(T)<\frac{\log(\frac{K}{V(0)})-\mu T}{\sigma \sqrt{T}})$
  • FPT：假设违约阈值为 D， $\tau= \inf \{t > 0 : V(t) < D\}$，可以得到 $\tau= \inf \{t > 0 : W (t) + \frac{\mu}{\sigma}t = \frac{1}{ \sigma}\log \frac{D}{V(0)}\}$.
• 多维布朗运动
  • 标准形式：d 维运动 $W(t) = (W_{1}(t), W_{2}(t), \ldots, W_{d}(t))$ 满足
    • $W(0) = 0$
    • 对任意的 $i \neq j$，$W_{i}(t)$ 和 $W_{j}(t)$ 独立，且 $W (t) - W(s)$ 服从正态分布 $N(0, (t-s)I_d)$
    • 每个 $W_{i}(t)$ 都是连续的
  • 相关形式：只需要将协方差矩阵 $\Sigma$ 替换单位矩阵，得到的过程仍然是一个布朗运动。
    • Cholesky 分解：总能找到一个标准正交矩阵 $A$，使得 $\Sigma = A A^T$，然后定义 $W(t) = A W'(t)$，其中 $W'(t)$ 是标准布朗运动。

6 随机微积分#

• 随机微积分：定义何为 $I(t)=\int^{t}_{0}\Delta(u)\mathrm{d}W(u)$
  • 其中 $\Delta(u)$ 是一个过程，$W(u)$ 是布朗运动。
  • 难点在于布朗运动的路径几乎处处不可微，而且几乎处处没有有界变差
• 简单过程：$\{\Delta(t)\}$ on $[0,T]$ 是一个简单过程，如果它可以表示为有限个分段常数的和，即 $\Delta(t) = \sum_{i=1}^{n-1} \Delta(t_{i})\mathbb{1}_{[t_{i}, t_{i+1})}(t)$，其中 $\Delta(t_{i})$ 是常数，$t_0 = 0 < t_1 < \ldots < t_n = T$。
  • 简单过程满足 $\mathbb{E}\int^{T}_{0} \Delta^{2}(u) \mathrm{d}u < \infty$
• 伊藤积分（Itô Integral）：对于简单过程 $\Delta(t)$，定义伊藤积分为 $I(t) = \int_{0}^{T}\Delta(u)\mathrm{d}W(u) = \sum\limits_{j=0}^{k-1}\Delta(t_{j})[W(t_{j+1})-W(t_{j})] + \Delta(t_{k})(W(t)-W(t_{k}))$
  • 其中 $W(t)$ 是布朗运动。
• 对于简单过程的伊藤积分的性质
  • 连续性：$I(t)$ 是连续的。
  • 适应性：$I(t)$ 是适应于 $\mathcal{F}(t)$ 的。
  • 线性性：两个简单过程的伊藤积分满足线性性，即 $\int_{0}^{T}(\alpha \Delta_{1}(u) + \beta \Delta_{2}(u))\mathrm{d}W(u) = \alpha I_{1}(T) + \beta I_{2}(T)$，其中 $\alpha, \beta$ 是常数。
  • 鞅性质：$I(t)$ 是一个鞅过程，即 $\mathbb{E}[I(t) | \mathcal{F}(s)] = I(s)$ 对于所有 $s \leq t$ 成立。
  • 等距公式：$\mathbb{E}I^{2}(t) = \mathbb{E}\int_{0}^{t}\Delta^{2}(u)\mathrm{d}u$
  • 二次变差：$[I, I](t) = \int_{0}^{t}\Delta^{2}(u)\mathrm{d}(u)$
• 伊藤公式
  • 最简版本：如果 $f$ 是一个二次可微函数，一阶导和二阶导都连续，那么对于布朗运动 $W(t)$，有 $f(W(t)) = f(W(0)) + \int_{0}^{t}f'(W(u))\mathrm{d}W(u) + \frac{1}{2}\int_{0}^{t}f''(W(u))\mathrm{d}u$，或者也可以写成微分形式： $\mathrm{d}f(W(t)) = f'(W(t))\mathrm{d}W(t) + \frac{1}{2}f''(W(t))\mathrm{d}t$。
  • 时间版本：如果 $f(t,x)$ 有连续的一阶偏导 $f_{t}, f_{x}$ 和二阶偏导 $f_{xx}$，那么就可以得到 $f(T,W(T)) = f(0,W(0)) + \int_{0}^{T}f_{t}(t,W(t))\mathrm{d}t + \int_{0}^{T}f_{x}(t,W(t))\mathrm{d}W(t) + \frac{1}{2}\int_{0}^{T}f_{xx}(t,W(t))\mathrm{d}t$，或者也可以写成微分形式： $\mathrm{d}f(t,W(t)) = f_{t}(t,W(t))\mathrm{d}t + f_{x}(t,W(t))\mathrm{d}W(t) + \frac{1}{2}f_{xx}(t,W(t))\mathrm{d}t$。
• 伊藤过程的伊藤公式
  • 如果 $X(t)$ 是一个伊藤过程，即 $X(t) = X(0) + \int_{0}^{t}\Delta(u)\mathrm{d}W(u) + \int_{0}^{t}\Theta(u)\mathrm{d}u$，其中 $\Delta(u)$ 和 $\Theta(u)$ 是适应于 $\mathcal{F}(u)$ 的过程，且 $\mathbb{E}\int_{0}^{t} \Delta^{2}(u)\mathrm{d}u < \infty$ 且 $\int_{0}^{t}|\Theta(u)|\mathrm{d}u<\infty, \forall t$, 或者写成微分形式 $\mathrm{d}X(t) = \Delta(t)\mathrm{d}W(t) + \Theta(t)\mathrm{d}t$，其中 $\Delta(t)$ 表示波动率，$\Theta(t)$ 表示趋势项。
  • 伊藤过程的二阶变差为 $[X, X](t) = \int_{0}^{t}\Delta^{2}(u)\mathrm{d}u$。
  • 伊藤过程的积分：对于适应过程 $\Gamma(t)$ 和伊藤过程 $X(t)$，其中 $\mathbb{E}\int_{0}^{t}\Gamma^{2}(u)\Delta^{2}(u)\mathrm{d}u<\infty$，定义伊藤积分为 $\int_{0}^{t}\Gamma(u)\mathrm{d}X(u) = \int_{0}^{t}\Gamma(u)\Delta(u)\mathrm{d}W(u) + \int_{0}^{t}\Gamma(u)\Theta(u)\mathrm{d}u$，或者写成微分形式 $\begin{aligned}&\mathrm{d}f(t, X(t))\\=& f_{t}(t, X(t))\mathrm{d}t + f_{x}(t, X(t))\mathrm{d}X(t) + \frac{1}{2}f_{xx}(t, X(t))\mathrm{d}[X, X](t) \\= &f_{t}(t, X(t))\mathrm{d}t + f_{x}(t, X(t))\Delta(t)\mathrm{d}W(t) + f_{x}(t, X(t))\Theta(t)\mathrm{d}(t)+ \frac{1}{2}f_{xx}(t,X(t))\Delta^{2}(t)\mathrm{d}t\end{aligned}$.
• 伊藤公式的应用
  • 假设广义几何布朗运动 $S(t) = S(0)\exp (X (t))$，其中 $X(t)$ 是一个伊藤过程，满足 $\mathrm{d}X(t) = \sigma(t)\mathrm{d}W(t) + (\alpha(t)- \frac{1}{2}\sigma^{2}(t))\mathrm{d}t, X(0)=0$。
  • 通过伊藤公式，可以得到 $\mathrm{d}S(t) = \alpha(t)S(t)\mathrm{d}t+\sigma(t)S(t)\mathrm{d}W(t)$
    • 若 $\alpha(t) = \alpha,\sigma(t)=\sigma$，则 $S(t) = S(0)\exp \{(\alpha - \frac{1}{2}\sigma^{2})t + \sigma W(t)\}$，可以得到 $\frac{\mathrm{d}S(t)}{S(t)}=\alpha \mathrm{d}t+\sigma \mathrm{d}W(t)$ ，这就是 BSM 模型的经典形式。
    • 若 $\alpha(t) = 0$，则 $S(t)$ 是一个鞅，因为 $S(t) = S(0)\exp \{\int_{0}^{t}\sigma(s)\mathrm{d}W(s)- \frac{1}{2}\int_{0}^{t}\sigma^{2}(s)\mathrm{d}s\}$ 也就是 $S(t)=S(0)+\int_{0}^{t}\sigma(s)S(s)\mathrm{d}W(s)$
• 确定性被积函数（非随机）的 Itô 积分
  • $I(t) = \int_{0}^{t}\Delta(s)\mathrm{d}W(s)$ 的分布是正态分布 $\mathcal{N}(0, \int_{0}^{t}\Delta^{2}(s)\mathrm{d}s)$。
  • 求解思路是构建矩母函数 $\mathbb{E}e^{u I(t)}$，然后利用伊藤公式和布朗运动的性质来计算，只需要注意到 $\exp\left \{\int_{0}^{t} u \Delta(s)\mathrm{d}W(s)- \frac{1}{2}\int_{0}^{t}(u \Delta(s))^{2}\mathrm{d}s\right\}$ 是一个鞅过程。

7 随机微分方程#

• 一维随机微分方程（SDE）：形式为 $\mathrm{d}X(t) = \beta( t,X(t))\mathrm{d}t + \gamma(t, X(t))\mathrm{d}W(t)$，其中 $\mu$ 是漂移项，$\sigma$ 是扩散项或者叫波动项。
  • Strong solution（强解） 是在一个给定的概率空间上解随机微分方程（SDE），其中驱动布朗运动 W(t)W(t) 是已知的（给定的）。
  • Weak solution（弱解） 是你同时给出一个概率空间 + 一个过程，使得这个过程在这个概率空间上是 SDE 的解。
  • 解的存在性和唯一性：如果 $\beta$ 和 $\gamma$ 满足 Lipschitz 条件和线性增长条件，那么 SDE 的强解存在且唯一。
    • Lipschitz 条件：对于任意的 $t$ 和 $x, y$，有 $|\beta(t,x) - \beta(t,y)| + |\gamma(t,x) - \gamma(t,y)| \leq L |x-y|$，其中 $L$ 是 Lipschitz 常数。
    • 线性增长条件：对于任意的 $t$ 和 $x$，有 $|\beta(t,x)| + |\gamma(t,x)| \leq C(1 + |x|)$，其中 $C$ 是常数。
• 线性 SDE：漂移项满足 $\beta(t,x) = a(t) + b(t)x$，扩散项满足 $\gamma(t,x) = \gamma (t)+\sigma (t) x$
  • Example 1: 广义几何布朗运动 $\mathrm{d}S(t) = \alpha (t)S(t)\mathrm{d}t + \sigma(t) S(t)\mathrm{d}W(t)$，其中 $\alpha$ 是漂移项，$\sigma$ 是波动率。可以通过伊藤公式求解这个式子。
    • 当 $\alpha$ 和 $\sigma$ 是常数时，这个方程就是经典的 BSM 公式。
  • Example 2: Vasicek Model for Interest Rate $\mathrm{d}R(t)=(\alpha-\beta R(t))\mathrm{d}t+\sigma \mathrm{d}W(t)$。
    • 当 $\alpha=0$ 时，这是一个 Ornstein-Uhlenbeck 过程
    • 可以等价写成 $\mathrm{d}R(t) = \kappa ( \theta-R(t))\mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}W(t)$，其中 $\kappa = \beta$, $\theta = \frac{\alpha}{\beta}$。$\kappa$ 表示均值回复速度，$\theta$ 表示长期均值。
    • 解这个方程可以模仿 ODE 的方法，利用 $\mathrm{d}e^{\kappa t}R(t)=e^{\kappa t}\alpha \mathrm{d}t+e^{\kappa t} \sigma \mathrm{d}W(t)$ ，得到 $R(t) = R(0)e^{-\kappa t} + \theta (1-e^{-\kappa t}) + \sigma \int_{0}^{t} e^{-\kappa (t-s)}\mathrm{d}W(s)$。
    • 再利用 $\int_{0}^{t}e^{\kappa s}\mathrm{d}W(S)\sim \mathcal{N}(0, \int_{0}^{t}e^{2\kappa s}\mathrm{d}s)$，可以得到 $R(t)$ 的分布为 $R (t)) \sim \mathcal{N}(e^{-\kappa t}R(0)+\theta(1-e^{-\kappa t}), \frac{\sigma^{2}}{2\kappa}(1-e^{-2\kappa t}))$。
    • 模型的缺点是它的利率可能会变为负数，优点包括三个方面
      • $\kappa$ 刻画了利率的均值回复速度
      • 长期均值：$\lim_{t \to \infty}\mathbb{E} R(t) = \theta$，即长期均值是 $\theta$。
      • 长期方差：$\lim_{t \to \infty}\text{Var}(R(t)) = \frac{\sigma^{2}}{2\kappa}$，即长期方差是 $\frac{\sigma^{2}}{2\kappa}$。
  • Example 3: Cox-Ingersoll-Ross (CIR) Model for Interest Rate $\mathrm{d}R(t)=(\alpha-\beta R(t))\mathrm{d}t+\sigma \sqrt{R(t)}\mathrm{d}W(t)$。
    • 这是一个非线性 SDE，因为扩散项 $\sigma \sqrt{R(t)}$ 是非线性的。
    • 这个模型的优点是它可以保证利率永远不会变为负数。
    • 这个模型没有闭式解，但是知道服从非中心卡方分布。
• 广义线性 SDE：漂移项和扩散项都是线性函数，即 $dX (t) = \left[ a (t) + b (t) X (t) \right] dt + \left[ \gamma (t) + \sigma (t) X (t) \right] dW (t), X (0) = x_0$
  • 借助算子我们可以得到 $X (t) = Y (t) x_0 + \int_0^t \left[ a (s) - \gamma (s) \sigma (s) \right] Y (t) Y^{-1}(s) ds+\int_0^t \gamma (s) Y (t) Y^{-1}(s) dW (s)$，其中 $Y (t) = \exp \left ( \int_0^t \left[ b (s) - \tfrac{1}{2} \sigma^2 (s) \right] ds + \int_0^t \sigma (s) dW (s) \right)$
  • 为了考虑波动率微笑的情况，我们很自然地可以考虑波动率的变化
    • 局部波动率模型：$\mathrm{d}S(t) = \mu S(t)\mathrm{d}t + \sigma(S(t), t) S(t)\mathrm{d}W(t)$，其中 $\sigma(S(t), t)$ 是一个函数，表示局部波动率。
    • 随机波动率模型：$\begin{aligned}dS (t) &= \mu S (t) dt + \sqrt{V (t)} S (t) dW_1 (t)\\dV (t) &= \kappa (\theta - V (t)) dt + \sigma_v \sqrt{V (t)} \left[ \rho dW_1 (t) + \sqrt{1 - \rho^2} dW_2 (t) \right]\end{aligned}$

期权定价#

1 期权定价：偏微分方程方法#

自融资策略（self-financing）：如果它在整个交易过程中没有外部资金的注入或取出

1.1 BSM 模型#

核心假设：

• 无风险利率为 $r$，也就是 $B(t)=e^{rt}$
• 假设股票价格 $S(t)$ 服从几何布朗运动：$\mathrm{d}S(t) = \alpha S(t)\mathrm{d}t + \sigma S(t)\mathrm{d}W(t)$，其中 $\alpha$ 是漂移项，$\sigma$ 是波动率。
• 要为 $T$ 时刻支付 $(S(T)-K)^{+}$ 的欧式看涨期权定价，而且这个期权价格只与股票价格和到期时间有关。
• 假设 $t$ 时刻的期权价格为 $V(t)=c(t,S(t))$，显然 $V (T)) = (S(T)-K)^{+}$。
• 假设 $c_{t}(t,x),c_{x}(t,x),c_{xx}(t,x)$ 存在，求解 $c(t,x)$ 复制现金流：
• 利用自融资策略 $X(t)$ 复制期权的现金流，即 $X(t) \equiv V (t) = c (t, S (t))$，我们可以得到 $\mathrm{d}X(t)\equiv \mathrm{d}V(t)=\mathrm{d}c(t, S(t))$
• 假设 $X(t)$ 的策略是：做多或者做空 $\Delta(t)$ 份额的股票，剩余的现金投资于无风险资产。
• 于是我们可以得到这个自融资策略的微分 $\begin{aligned}\mathrm{d}X(t)&=\Delta(t)\mathrm{d}S(t)+\frac{X(t)-\Delta(t)S(t)}{B(t)}\mathrm{d}B(t)\\&=[rX(t) +\Delta(t )( \alpha − r )S (t )]\mathrm{d}t + \Delta(t ) \sigma S (t )\mathrm{d}W (t )\end{aligned}$
• 同时另一个方面，我们计算期权价格的微分形式 $\begin{aligned}dc (t, S (t)) &= c_t (t, S (t))\, dt + c_x (t, S (t))\, dS (t) + \frac{1}{2} c_{xx}(t, S (t))\, d [S, S](t) \\&= c_t (t, S (t))\, dt + c_x (t, S (t))\left[\alpha S (t)\, dt + \sigma S (t)\, dW (t)\right] + \frac{1}{2} c_{xx}(t, S (t))\,\sigma^2 S^2 (t)\, dt \\&= \left[c_t (t, S (t)) + \alpha S (t)\, c_x (t, S (t)) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 (t)\, c_{xx}(t, S (t))\right] dt \\&\quad + \sigma S (t)\, c_x (t, S (t))\, dW (t)\end{aligned}$
• 这两个微分形式应当是相等的，我们可以得到 $\Delta(t) = c_x(t, S(t))$ 和 $c_t (t, S (t)) + rS (t)\, c_x (t, S (t)) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 (t)\, c_{xx}(t, S (t)) - r\, c (t, S (t)) = 0$，简单替换 $S(t)$ 为 $x$ 之后，就得到了 BSM 公式：$c_t (t, x) + r x\, c_x (t, x) + \frac{1}{2} \sigma^2 x^2\, c_{xx}(t, x) - r\, c (t, x) = 0$

[!tip] 两个小问题：

• 期权价格只和股票价格和到期时间有关是否合理？合理。因为自融资策略和期权的支付是一样的，无套利的情况下一定是一样的。
• 为什么和股价漂移率 $\alpha$ 无关？因为期权价格是受 $S(t)$ 间接影响的，在风险中性世界下，$r$ 是固定的，所以 $\alpha$ 的影响会被其他因素抵消

1.2 求解 BSM 偏微分方程#

目标：

$$\begin{align} &c_t (t, x) + r x\, c_x (t, x) + \frac{1}{2} \sigma^2 x^{2}c_{xx}(t, x) - r\, c (t, x) = 0,\forall t\in[0,T)\\ & c(T,x)=(x-K)^{+}\\ \end{align}$$

1.2.1 一维热力方程#

$$\frac{\partial u}{\partial \tau} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}, \quad \tau \geq 0, \quad z \in \mathbb{R}$$

而且满足初始条件 $u(0,z) = f(z)$，其中 $f(z)$ 是一个已知函数，连续且有界 那么就可以给出解的形式：

$$u(\tau,z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) G(z,y,\tau) \, dy,$$

其中

$$G(z,y,\tau) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \tau}} \exp\left(-\frac{(z - y)^2}{2 \tau}\right),$$

是热核（heat kernel）或者高斯核（Gaussian kernel）。 在一定的条件限制下可以确定唯一性，比如 $u(\tau,\infty)=u(\tau,-\infty)=0$

1.2.2 将 BSM 方程转化为一维热力方程#

从终端条件 $c(T,x)=(x-K)^{+}$ 开始，我们需要找到一些边界条件：

• 条件一：$\lim_{ x\to 0 }c(t,x)=0$，这是因为我们知道股票价格满足 $S(T)=S(t)\exp \left\{ \sigma(W(T)-W(t))+\left( \alpha- \frac{1}{2}\sigma^{2} \right)(T-t) \right\}$
• 条件二：$\lim_{ x \to \infty } \frac{\partial c(t,x)}{\partial x}\equiv 1$，这是因为当 $x$ 很大的时候，期权价格 $(S(T)-K)^{+}\approx S(T)-K$，另一个方面，我们通过在 $t$ 时刻的 call-put 平价关系式，可以知道 $c(t,S(t))\approx S(t)-Ke^{ -r(T-t) }$，所以 $\frac{\partial c(t,x)}{\partial x}\approx 1$。

接下来对 BSM 模型进行变量替换：

$$\begin{align} &u=e^{-rt}c, \\ & y = \ln x,\tau=(T-t)\sigma^{2} \\ & z = y+\frac{1}{\sigma^{2}}\left( r-\frac{1}{2}\sigma^{2} \right)\tau \end{align}$$

代入 BSM 方程，得到

$$u_{\tau}(\tau,z)=\frac{1}{2}u_{zz}(\tau,z)$$

满足初始条件 $u(0,z)=e^{-rT}\max\{e^{z}-K,0\}$，以及边界条件 $u(\tau,\infty)=u(\tau,-\infty)=0$ 于是就可以解出来：

$$c(t,x) = x N(d_+) - K e^{-r(T-t)} N(d_-)$$

其中

$$d_{\pm} = \frac{\ln \frac{x}{K} + \left(r \pm \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)}{\sigma \sqrt{T - t}}$$

其中，热力方程的解也可以用布朗运动的期望来解释

$$u(t,x)=\mathbb{E}f(W(t)+x)$$

1.2.3 多维拓展#

考虑多维情况，$x = (x_{1},x_{2},\cdots,x_{d})\in \mathbb{R}^{d}$，再考虑一个多维热力方程 $g:\mathbb{R}^{d}\to \mathbb{R}$ ，欲求解 $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{2}\Delta u, u (0, x)=g (x)$ ，其中 $\Delta=\sum_{i=1}^{d}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}}$ 是 Laplace 算子。 可以得到解的形式：

$$u(t,x)=\mathbb{E}\big[g\big(x+W(t)\big)\big],$$

其中 $W(t)$ 是一个 $d$ 维布朗运动。

1.3 拓展#

1.3.1 布朗运动和逆向热方程#

假设 $v (t, x)=u (T-t, x)$，那么就可以得到 $v_t (t, x)+\tfrac{1}{2}v_{xx}(t, x)=0, 0\le t\le T$，同时满足 $v (T, x)=f (x)$。于是就可以给出解 $v (t, x)=\mathbb{E}\big[f (B (T))\mid B (t)=x\big]$。

1.3.2 随机过程与 PDE#

能否泛化刚刚的结论？ Feynman-Kac 定理：如果 $X(t)$ 是一个伊藤过程，满足

\mathrm{d}X(u) = \beta(u, X(u))\mathrm{d}u + \gamma(u, X(u))\mathrm{d}W(u), $$而且由函数 $h(y)$ 定义 $g(t,x):=\mathbb{E}[h(X(T))|X(t)=x]$， 那么 $g(t,x)$ 满足偏微分方程

g_t(t,x)+\beta(t,x)g_x(t,x)+\tfrac{1}{2}\gamma^2(t,x)g_{xx}(t,x)=0, $$而且满足终值条件 $g(T,x)=h(x)$。

[!note] Feynman-Kac 的折现版本 如果 $X(t)$ 是一个伊藤过程，满足 $\mathrm{d}X(u) = \beta(u, X(u))\mathrm{d}u + \gamma(u, X(u))\mathrm{d}W(u),$ 而且由函数 $h(y)$ 定义 $f(t,x):=\mathbb{E}[e^{ -r(T-t) }h(X(T))|X(t)=x]$， 那么 $f(t,x)$ 满足偏微分方程 $f_t(t,x)+\beta(t,x)f_x(t,x)+\frac{1}{2}\gamma^2(t,x)f_{xx}(t,x)=rf(t,x),$ 且满足终值条件 $f(T,x)=h(x)$。

使用折现版本的 Feynman-Kac 定理，可以得到 BSM 模型的解

2 期权定价：鞅方法#

Girsanov Theorem（初步版） 设 $0 \le t \le T$，$W(t)$ 是概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 上的标准布朗运动，取任意常数 $\theta \in \mathbb{R}$。定义新的测度 $\widetilde{\mathbb{P}}$ 如下：

$$\frac{\mathrm{d}\widetilde{\mathbb{P}}}{\mathrm{d}\mathbb{P}} = Z (T),~ Z (t) = \exp\left ( -\theta W (t) - \frac{\theta^2}{2} t \right).$$

在 $\widetilde{\mathbb{P}}$ 下定义新的过程：

$$\widetilde{W}(t) = W(t) + \theta t.$$

则有结论：

• $\widetilde{\mathbb{P}}$ 是与 $\mathbb{P}$ 等价的概率测度；（“事件的概率为 0” 在两个测度下必须完全一致。）
• 在 $\widetilde{\mathbb{P}}$ 下，$\widetilde{W}(t)$ 是标准布朗运动。

2.1 应用在 BSM 上#

考虑夏普比率 $\theta=\frac{\alpha-r}{\sigma}$，根据 Girsanov 定理，定义新的测度 $\mathbb{Q}$ 满足

$$\mathrm{d}\mathbb{Q} = Z(T)\mathrm{d}\mathbb{P},~ Z(t) = \exp\left ( -\theta W (t) - \frac{\theta^2}{2} t \right).$$

于是我们可以得到布朗运动

$$W^{\mathbb{Q}}(t) = W(t) + \theta t = W(t) + \frac{\alpha - r}{\sigma} t.$$

同时，我们还可以得到在 $\mathbb{Q}$ 下 $S(t)$ 的 SDE

$$\mathrm{d}S(t) = r S(t)\mathrm{d}t + \sigma S(t)\mathrm{d}W^{\mathbb{Q}}(t)$$

所以我们可以得到如下这些鞅：

• 折现股票价格：$e^{ -rt }S(t)$
• 折现复制组合价格：$e^{ -rt }X(t)$
• 折现期权价格：$e^{ -rt }V(t)$ 也就是说 $\mathbb{Q}$ 是一个风险中性测度，在风险中性测度 $\mathbb{Q}$ 下，$\left( S(t) ,B(t),V(t)\right)$ 都无法套利，于是我们可以得到

$$\begin{align} &e^{ -rt }V(t) = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left [ e^{ -rT }(S(T)-K)^{+} | \mathcal{F}(t) \right ] \\ \Rightarrow &V(t) = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left [e^{ r(T-t) } (S(T)-K)^{+} | S(t) \right ] \end{align}$$

[!note] 变换测度的意义 这里变换测度的核心意义是使得在新的测度下，股票价格的漂移率变为无风险利率 $r$，从而使得期权定价可以通过折现未来现金流来计算。

2.2 Monte Carlo 方法#

通过 Monte Carlo 模拟，我们可以计算期权价格：

$$c(t,S(t)) = e^{ -r(T-t) }\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left [ (S(T)-K)^{+} | S(t) \right ] \approx e^{ -r(T-t) }\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(S_{i}(T)-K)^{+})$$

所以问题的关键是如何采样 $S_{i}(T)$： 我们通过 $S(T)$ 的解析解 $S(T) = S(0)\exp \left\{ \sigma W^{\mathbb{Q}}(T)+\left( r- \frac{1}{2}\sigma^{2} \right)T \right\}$ 来采样 $S_{i}(T)$，其中我们知道 $W^{\mathbb{Q}}(T)\sim \mathcal{N}(0,T)$，所以只需要采样一个正态分布。

2.2.1 更一般的 SDE 模拟#

如果 $S(T)$ 的精确分布不知道，那么可以使用 Euler-Maruyama 方法来近似模拟 SDE：在离散时间步长 $\Delta t=\frac{T}{m}$ 下，迭代计算

$$S_{i+1}=S_{i}+\mu(S_{i},t_{i})\Delta t+\sigma(S_{i},t_{i})\Delta W_{i} ,~ \Delta W_{i}\sim \mathcal{N}(0,\Delta t)$$

于是就可以得到整条路径

3 为奇异期权定价#

3.1 Preparation#

关键问题是带漂移的布朗运动的历史最大（小）值问题，用到的重要工具是反射原理。 考虑带漂移的布朗运动 $\widetilde{W}(t):=W(t)+\theta t$，定义历史最大值 $\widetilde{M}(t):=\max_{0\le s\le t}\widetilde{W}(s)$，然后利用 Girsanov 定理，定义新的测度 $\widetilde{\mathbb{P}}$ 于是我们发现，若 $\frac{\mathrm{d}\tilde{\mathbb{P}}}{\mathrm{d}\mathbb{P}}=Z(T)$，那么

$$\frac{1}{Z(t)}=\frac{\mathrm{d}\mathbb{P}}{\mathrm{d}\tilde{\mathbb{P}}} = \exp\left(\theta W(t) + \frac{\theta^2}{2} t\right)=\exp\left(\theta \widetilde{W}(t) - \frac{\theta^2}{2} t\right)$$

也是一个鞅。 于是利用反射原理，我们可以分别计算历史最大（小）值和当前值的联合分布：历史最大值的 pdf 记作 $f_{\widetilde{M}(t),\widetilde{W}(t)}(\tilde{m},\tilde{w})$ ，历史最小值的 pdf 记作 $f_{\widetilde{m}(t),\widetilde{W}(t)}(\tilde{m},\tilde{w})$。结果如下：

$$\begin{align} &f_{\widetilde{M}(t),\widetilde{W}(t)}(m,w)=\frac{2(2m-w)}{\sqrt{2\pi t^{3}}}\exp \left( \theta w- \frac{(2m-w)^{2}}{2t}-\frac{1}{2}\theta^{2}t \right), w\leq m, \\ &f_{\widetilde{m}(t),\widetilde{W}(t)}(m,w)=\frac{2(w-2m)}{\sqrt{2\pi t^{3}}}\exp \left( \theta w- \frac{(2m-w)^{2}}{2t}-\frac{1}{2}\theta^{2}t \right),w \geq m. \end{align}$$

于是我们可以计算得到最大（小）值的密度：

$$\begin{align} &f_{\widetilde{M}(t)}(m)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{\widetilde{M}(t),\widetilde{W}(t)}(m,w)\mathrm{d}w = \frac{2}{\sqrt{2\pi t}}e^{ - \frac{(m-\theta t)^{2}}{2t }}-2 \theta e^{ 2 \theta m }N\left( \frac{-m-\theta t}{\sqrt{t}} \right), \\ \\ &f_{\widetilde{m}(t)}(m)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{\widetilde{m}(t),\widetilde{W}(t)}(m,w)\mathrm{d}w = \frac{2}{\sqrt{2\pi t}}e^{ - \frac{(m-\theta t)^{2}}{2t }}+2 \theta e^{ 2 \theta m }N\left( \frac{m+\theta t}{\sqrt{t}} \right). \end{align}$$

3.2 鞅方法为奇异期权定价#

首先，在风险中性测度 $\mathbb{Q}$ 下，BSM 模型满足

$$\mathrm{d}S(t) = r S(t)\mathrm{d}t + \sigma S(t)\mathrm{d}W^{\mathbb{Q}}(t),S(0)=s_{0}$$

所以我们可以得到 $S(t)$ 的显式解

$$S(t) = s_{0}\exp\left\{ \sigma W^{\mathbb{Q}}(t)+\left( r- \frac{1}{2}\sigma^{2} \right)t \right\}=s_{0}\exp(\sigma \widetilde{W}^{\mathbb{Q}}(t))$$

其中 $\widetilde{W}^{\mathbb{Q}}(t)=W^{\mathbb{Q}}(t)+\theta t,\theta=\frac{1}{\sigma}\left( r-\frac{1}{2}\sigma^{2} \right)$ ，定义 $\widetilde{W}^{\mathbb{Q}}(t)$ 的最大值和最小值为 $\widetilde{M}^{\mathbb{Q}}(t)$ 和 $\widetilde{m}^{\mathbb{Q}}(t)$。 利用鞅方法的核心定价公式

$$V(t)=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{ -r(T-t) }V(T)|\mathcal{F}(t)\right]$$

分别为 Lookback 期权和 Barrier 期权定价。

3.2.1 Lookback 期权定价#

• Lookback call 期权：$V(T)=S (T)-\min_{0\leq t\leq T} S (t)$
• Lookback put 期权：$V(T)=\max_{0\leq t\leq T} S (t)-S (T)$ 不妨先考虑 Lookback put

$$\begin{align} V(t) & = e^{ -r(T-t) }\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\max_{0\leq s\leq T} S (s)-S (T)|\mathcal{F}(t)\right] \\ & =e^{ -r(T-t) }\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\max_{0\leq s\leq T} S (s)|\mathcal{F}(t)\right]-S(t) \end{align}$$

如果记 $X(t)=\max_{0\leq s\leq t}S(s)$ ，那么我们可以得到

$$\begin{align} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[X(T)|\mathcal{F}(t)\right]&=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[X(T)|S(t)=s,X(t)=x\right] \\ & =s_{0}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\exp(\sigma \widetilde{M}^{\mathbb{Q}}(T))|\widetilde{W}^{\mathbb{Q}}(t)=\frac{1}{\sigma}\ln \frac{s}{s_{0}},\widetilde{M}^{\mathbb{Q}}(t)=\frac{1}{\sigma}\ln \frac{x}{s_{0}}\right] \\ \end{align}$$

很自然地，我们希望定义

$$g(w,m))=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\exp(\sigma \widetilde{M}^{\mathbb{Q}}(T))|\widetilde{W}^{\mathbb{Q}}(t)=w,\widetilde{M}^{\mathbb{Q}}(t)=m\right]$$

于是我们可以得到

$$V(t)=e^{ -r(T-t) }s_{0}g\left(\frac{1}{\sigma}\ln \frac{s}{s_{0}},\frac{1}{\sigma}\ln \frac{x}{s_{0}}\right)-S(t)$$

[!note] $g(w,m)$ 的表达形式 $\begin{aligned}g(w,m)&=\int_{0}^{\infty} e^{\sigma\max\{m,m'+w\}}\, f_{\widetilde{M}}(T-t)(m')\,dm' \\[6pt]&=e^{\sigma m}\left[-e^{\sigma(m-w)}\left(\frac{2r}{\sigma^2}-1\right) N\!\left(-\delta_-(\tau,m-w)\right)+ N\!\left(-\delta_-(\tau,w-m)\right)\right] \\[6pt]&\quad + e^{\sigma w}\left[2e^{\sigma(w-m)+r\tau} N\!\left(\delta_+(\tau,w-m)\right)+\left(2\sigma - 1 - (w-m) + r\tau\right) N\!\left(\delta_+(\tau,w-m)\right) e^{\sigma(2r/\sigma^2)}\right.\\[2pt]&\qquad\qquad \left.-\left(\frac{2r}{\sigma^2}+1 - (m-w)\right) N\!\left(-\delta_-(\tau,m-w)\right) e^{\sigma(2r/\sigma^2)}\right],\end{aligned}$ 其中 $\tau=T-t$，并且 $\delta_+(\tau,x) = \frac{1}{\sigma}\left( \frac{r}{\sigma} + \frac{\sigma}{2} \right)\sqrt{\tau} + \frac{x}{\sigma\sqrt{\tau}}, \quad\delta_-(\tau,x) = \frac{1}{\sigma}\left( -\frac{r}{\sigma} + \frac{\sigma}{2} \right)\sqrt{\tau} + \frac{x}{\sigma\sqrt{\tau}}.$

3.2.2 Barrier 期权定价#

以 up-and-out call 为例，期权的价格

$$V(T)=(S(T)-K)^{+}\mathbb{1}_{\{X(T)<B\}},X(t)=\max_{0\leq s\leq t}S(s)$$

我们可以利用风险中性定价公式得到

$$\begin{align} V(t)&=e^{ -r(T-t) }\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[(S(T)-K)^{+}\mathbb{1}_{\{X(T)<B\}}|\mathcal{F}(t)\right] \\ & =e^{ -r(T-t) }\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[(S(T)-K)^{+}\mathbb{1}_{\{X(T)<B\}}|S(t),X(t)\right] \end{align}$$

由于

$$\begin{align} &\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[(S(T)-K)^{+}\mathbb{1}_{\{X(T)<B\}}|S(t),X(t)\right] \\ = &\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[(s_{0}\exp(\sigma \widetilde{W}^{\mathbb{Q}}(T))-K)^{+}\mathbb{1}_{\{\widetilde{M}^{\mathbb{Q}}(T)\leq \frac{1}{\sigma}\ln \frac{B}{s_{0}}\}}|\widetilde{W}^{\mathbb{Q}}(t)=\frac{1}{\sigma}\ln \frac{s}{s_{0}},\widetilde{M}^{\mathbb{Q}}(t)=\frac{1}{\sigma}\ln \frac{x}{s_{0}}\right] \end{align}$$

所以我们可以考虑这样一个函数

$$h(b,w,m)=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[(s_{0}\exp(\sigma \widetilde{W}^{\mathbb{Q}}(T))-K)^{+}\mathbb{1}_{\{\widetilde{M}^{\mathbb{Q}}(T)\leq b\}}|\widetilde{W}^{\mathbb{Q}}(t)=w,\widetilde{M}^{\mathbb{Q}}(t)=m\right]$$

4 BSM 公式实践：希腊字母和风险套利#

先看 BSM 对 call 期权的定价公式

$$c(t,x) = x N\left((d_+(T-t,x) \right) - K e^{-r(T-t)} N(d_-(T-t,x))$$

其中 $N(y)$ 是标准正态分布的累积分布函数，

$$d_{\pm}(T-t,x) = \frac{\ln \frac{x}{K} + \left(r \pm \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)}{\sigma \sqrt{T - t}}.$$

接下来我们要讨论的是期权价格对某些参数的敏感度，我们称之为希腊字母。

4.1 Delta#

$$\Delta=c_x(t,x)=N(d_+(T-t,x))>0$$

• As $x$ increases, $c(t,x)$ increases.
• $c(t,x) \to 0$ as $x \to 0$.
• As $x \to \infty$, $c(t,x) \sim x - K e^{-r(T-t)}$.
• Economic interpretation: $\Delta$ is the number of shares needed to replicate a call option.

4.2 Gamma#

$$\Gamma=c_{xx}(t,x)=\frac{N'(d_+(T-t,x))}{x\sigma\sqrt{T-t}}>0$$

• The price curve $c(t,x)$ is convex.
• $\Delta$ increases as $x$ increases.

4.3 Theta#

$$\Theta=c_t(t,x)=-rK e^{-r(T-t)} N(d_-(T-t,x)) - \frac{N'(d_+(T-t,x))\sigma x}{2\sqrt{T-t}}<0$$

• Measures the time value of the option.
• As $t$ increases, the option involves less uncertainty, so $c(t,x)$ decreases.
• As $t \to T$, $c(t,x) \to (x-K)^+$.

4.4 Vega#

$$\mathcal{V}=c_\sigma(t,x)=x N'(d_+(T-t,x))\sqrt{T-t}>0$$

• As volatility $\sigma$ increases, uncertainty increases.
• Since the option prices uncertainty, higher $\sigma$ increases option value.

4.5 理解 BSM 公式#

通过自融资策略去复制期权，我们可以得到

$$X(t) = \Delta(t) S(t) + \big[ X(t) - \Delta(t) S(t) \big],$$

其中 $\Delta(t)S(t)$ 是股票投资，剩余部分是无风险资产投资，我们有

$$(X(t)-\Delta(t) S(t)) = -K e^{-r(T-t)} N(d_-(T-t,x))$$

也就是期权是在借钱买股票。

4.6 Delta 中性做多 Gamma 策略#

由于凸性，期权价格的曲线高于切线，也就是说我们有

$$c(t,x_{1})\geq x_{1}c_{x}(t,x_{1})$$

于是我们可以在 $t$ 时刻构建一个策略：

$$0=P(t,x_{1})=c(t,x_{1})-x_{1}c_{x}(t,x_{1})+x_{1}c_{x}(t,x_{1})-c(t,x_{1})$$

• 买入期权 $c(t,x_{1})$
• 卖出 $x_{1}c_x(t,x_{1})$ 股股票
• 将剩余资金借出 此时如果忽略时间影响，我们可以得到当股价从 $x_{1}$ 变到 $x_{2}$ 时，

$$P(t+\Delta,x)=c(t,x_{2})-x_{2}c_{x}(t,x_{2})+x_{1}c_{x}(t,x_{1})-c(t,x_{1}))$$

于是我们可以做差并重写为

$$P(t+\Delta,x)-P(t,x)=c(t,x_{2})-[c(t,x_{1})+c_{x}(t,x_{1})(x_{2}-x_{1})]$$

由于凸性的存在，我们可以知道 $P(t+\Delta,x_{2})>0$

4.7 两种波动率#

• 隐含波动率：市场给出的波动率，通常是通过反推 BSM 公式得到的。
• 实际波动率：历史数据计算得到的波动率，通常是通过计算股票价格的标准差得到的，为 $\sqrt{ RV_{0,T} }$

$$RV_{0,T}:=\frac{1}{n\Delta t}\sum_{i=0}^{n-1}\left( \log \frac{S(t_{i+1})}{S(t_{i})} \right) ^{2}$$

4.8 波动率套利#

假设真实标的过程

$$\mathrm{d}S(t)=\alpha(t)S(t)\mathrm{d}t+\beta(t)S(t)\mathrm{d}W(t)$$

数据显示大部分情况下，我们都有 $\sigma_{imp}(K,T)\geq \sqrt{ \frac{1}{T}\int_{0}^{T}\beta^{2}(t)\mathrm{d}t }$ 所以我们构建一个这样的策略：

• 卖空期权（call 或者 put）
• 按照隐含波动率 $\sigma_{imp}(K,T)$ 投资股票进行 Delta 对冲
• 将剩余资金借出 我们就可以得到

$$\mathrm{d}Y(t)=rY(t)\mathrm{d}t+\frac{1}{2}\left( \beta^{2}(t)-\sigma_{imp}^{2}(K,T) \right) S^{2}(t)c_{xx}(t,S(t))\mathrm{d}t$$