实变函数与泛函分析概要

集与点集#

基本集：如果所考虑的一切集都是 $X$ 的子集，那么称 $X$ 为基本集 补集：当 $B \subset A$ 时，差集称为 $B$ 关于 $A$ 的补集，记为 $\mathscr{C}_{A}B$

• 分配律：$E\cap(\cup_{\alpha\in I}A_{\alpha})=\cup_{\alpha\in I}(E\cap A_{\alpha})$
• 德摩根律：
  • $\mathscr{C}(\cup_{\alpha\in I}A_{\alpha})=\cap_{\alpha\in I}\mathscr{C}A_{\alpha}$
  • $\mathscr{C}(\cap_{\alpha\in I}A_{\alpha})=\cup_{\alpha\in I}\mathscr{C}A_{\alpha}$

逆映射：如果对于每个 $y \in B$，仅有唯一的 $x \in A$ 使得 $f(x)=y$，则称 $f$ 有逆映射 $f^{-1}$，定义在 $f(A)$ 上而取值于 $A$ 上。 一一映射：如果 $f$ 有逆映射，则称 $f$ 为一一映射。 限制与扩张：设 $A_{0}\subset A$，映射 $g$ 在 $A_{0}$ 上定义，如果 $f$ 在 $A$ 上定义，且 $g$ 在 $A_{0}$ 上的值与 $f$ 相同，则称 $g$ 是 $f$ 的限制，记为 $g=f|_{A_{0}}$，这时也称 $f$ 是 $g$ 在 $A$ 上的扩张。

特征函数：对于集 $E$，特征函数 $\chi_{E}(x)$ 定义为:

$$\chi_{E}(x)=\begin{cases} 1, & x\in E \\ 0, & x\notin E \end{cases}$$

一一对应：设 $A$ 和 $B$ 是两个集，如果存在一一映射 $f:A\rightarrow B$，则称 $A$ 和 $B$ 之间存在一一对应或互相对等，记成 $A\sim B$。

• 自反性：$A\sim A$
• 对称性：如果 $A\sim B$，则 $B\sim A$
• 传递性：如果 $A\sim B$ 且 $B\sim C$，则 $A\sim C$

可列（数）集：在所有无限集中，如果存在一一映射 $f:\mathbb{N}\rightarrow A$，则称 $A$ 为可列集或可数集。

• 定理 2.1：任何一个无限集都含有一个可列子集。
  • 推论：任何无限集一定和它的一个真子集对等
• 定理 2.2：可列个可列集的并集仍然是可列集。
• 定理 2.3：点集 $[0,1]$ 是不可列的
  • 证明要用到康托三分集：假设 $[0,1]$ 可列，列出所有 $[0,1]$ 中的点 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},\cdots$，然后构造一个渐缩的区间列 $\{ A_{n} \}$，保证 $x_{n} \not\in A_{n}$，但是总有一个 $\xi \in[0,1],\xi \in A_{n}$，说明不可列

邻域：设 $E$ 为一维欧几里得空间 $\mathbb{R}$ 中的一个集，$a\in \mathbb{R}$，含有 $a$ 的任意开区间称为 $a$ 的邻域。 内点：设 $E$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个集，$a\in E$，如果存在一个邻域 $U$ 使得 $U\subset E$，则称 $a$ 为 $E$ 的内点。 开集：如果 $E$ 的每个点都是 $E$ 的内点，则称 $E$ 为开集。 全集和开集都是既开又闭的，称之为 clopen 集。在 $\mathbb{R}$ 中，只有 $\emptyset$ 和 $\mathbb{R}$ 是 clopen 集。

拓扑：给定 $\mathbb{R}$ 的一个子集类，每个元都是开集，且 $\emptyset,\mathbb{R}$ 属于该类，并且该类对任意并集和有限交集封闭，则称该类为 $\mathbb{R}$ 的一个拓扑，这时称 $\mathbb{R}$ 在所在拓扑下成为拓扑空间。 聚点：设 $E$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个集，$a\in \mathbb{R}$，如果 $a$ 的每个邻域都含有 $E$ 中不同于 $a$ 的点，则称 $a$ 为 $E$ 的聚点。

[!tip] 聚点的几点说明

• 注意 $E$ 的聚点不一定属于 $E$
• 如果 $a$ 是 $E$ 的聚点的充分必要条件是 $E$ 中有点列 $\{ a_{k} \}_{k \in \mathbb{N}}$ 收敛于 $a$，其中 $\forall k,a_{k}\neq a$
• 对于任意一点 $a$ 和一个集合 $E$，$a$ 要么是 $E$ 的聚点，要么是 $\mathscr{C}E$ 的聚点，或者两者都是。（排中律）

导集、闭包、完全集：点集 $E$ 的一切聚点组成的集称为 $E$ 的导集，记为 $E'$。$E$ 的闭包是 $E$ 和 $E'$ 的并集，记为 $\bar{E}$。如果 $E=E'$，则称 $E$ 为完全集。称 $E\setminus E'$ 为 $E$ 的孤立点集。

• 定理 3.1：开集的性质
  • 任意开集的并集仍然是开集
  • 任意有限个开集的交集仍然是开集；无限个开集的交并不一定是开集
• 定理 3.2：$E$ 为闭集的充分必要条件是 $E'\subset E$
  • 推论：若 $E$ 为闭集，则 $\bar{E}=E$；若闭集 $E$ 无孤立点时，$E$ 是完全集
• 定理 3.3：任何集的导集是闭集
• 定理 3.4：
  • $A\subset B\implies A'\subset B'$
  • $(A\cup B)'=A'\cup B'$
• 定理 3.5：闭集的性质：
  • 任意闭集的交集仍然是闭集
  • 任意有限个闭集的并集仍然是闭集
• 定理 3.6：闭包的性质
  • $E\subset \bar{E}$
  • $\bar{\bar{E}}=\bar{E}$
  • $\overline{(E_{1}\cup E_{2})}=\bar{E_{1}}\cup \bar{E_{2}}$

[!tip] 证明一个闭集 通常直接证明闭集是困难的，证明它的补集是开集更容易。

[!info] 讨论范围 我们接下来将详细讨论直线上有界开集的构造，假定所考察的点集都是有界集

构成区间：设 $G$ 是任一非空的有界开集，取 $x_{0}\in G$，存在开区间 $(\alpha,\beta)$，使得 $x_{0}\in(\alpha ,\beta)$，且满足

1. $(\alpha,\beta)\subset G$
2. $\alpha \not\in G,\beta \not\in G$ 则称 $(\alpha,\beta)$ 为 $G$ 的一个构成区间。

康托尔三分集：有这么一个不可列的，不含有任何区间的集，构造过程如下： 将基本区间 $[0,1]$ 分成三等份，去掉中间的 $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$，剩下的两个区间为 $[0,\frac{1}{3}]$ 和 $[\frac{2}{3},1]$，再对这两个区间重复上述操作，得到康托尔三分集 $P_{0}$ 和开集 $G_{0}$：

$$\begin{align} G_0 = &\left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \cup \left( \frac{1}{3^2}, \frac{2}{3^2} \right) \cup \left( \frac{7}{3^2}, \frac{8}{3^2} \right) \cup \\ &\left( \frac{1}{3^3}, \frac{2}{3^3} \right) \cup \left( \frac{7}{3^3}, \frac{8}{3^3} \right) \cup \left( \frac{19}{3^3}, \frac{20}{3^3} \right) \cup \left( \frac{25}{3^3}, \frac{26}{3^3} \right) \cup \cdots, , \\ P_{0}=&\mathscr{C}G_{0} \end{align}$$

$P_{0}$ 是不可列的无限集，在之前已经证明了，然后我们还可以知道 $P_{0}$ 是一个完全集（证明的关键在于三分集中构成区间没有公共端点）。

稠密集： 如果点集 $E$ 的闭包 $\bar{E}=\mathbb{R}$，则称 $E$ 在 $\mathbb{R}$ 中是稠密的；当 $\bar{E}$ 的补集在 $\mathbb{R}$ 中稠密时，称 $E$ 在 $\mathbb{R}$ 中是稀疏的。 距离：在 $n$ 维欧几里得空间 $\mathbb{R}^{n}$ 中，点 $x=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$ 和 $y=(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n})$ 之间的距离定义为

$$\rho(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}$$

距离有以下性质：

1. 非负性：$\rho(x,y)\geq 0$，且 $\rho(x,y)=0\iff x=y$
2. 对称性：$\rho(x,y)=\rho(y,x)$
3. 三角不等式：$\rho(x,z)\leq \rho(x,y)+\rho(y,z)$ 一般地，如果对一个抽象集能引进满足条件 $1-3$ 的二元函数 $\rho(x,y)$，则称该函数为距离，称该集为距离空间。 直径：设 $A$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 的一个非空集，$E$ 的直径定义为 $d(A)=\sup_{x,y\in A}\rho(x,y)$。当 $d(A)<\infty$ 时，称 $A$ 是有界的。 类似地，我们定义一点 $a\in \mathbb{R}^{n}$ 与一非空集 $A\subset \mathbb{R}^{n}$ 的距离为 $\rho(a,A)=\inf_{x\in A}\rho(a,x)$，两集合 $A$ 和 $B$ 的距离定义为 $\rho(A,B)=\inf_{x\in A,y\in B}\rho(x,y)$。 注意，这里的距离不满足一般距离定义中的三角不等式性质。

• 定理 4.1：有界非空开集 $G$ 可表示为至多可列个互不相交的构成区间的并：$G=\cup_{k}(\alpha_{k},\beta_{k})$
  • 证明过程只需要考虑每一个点的构成区间，然后将这些区间进行合并；这些构成区间要么是重合的，要么互不相交，所以我们可以取不交的并；又因为每个构成区间中至少有一个有理点，所以可以得到可列个构成区间的并。
  • 形如 $\cup_{k}(\alpha_{k},\beta_{k})$ 的表示，称为 $G$ 的一个结构表示。
• 定理 4.2：$\mathbb{R}^{2}$ 中任一非空开集 $G$ 可表示为至多可列个互不相交的半闭正方形的并：
  • 证明过程和定理 4.1 不一样，核心思想是推广一维空间中的半闭区间类。然后取这些类的并

势：我们用 $\overline{\overline{E}}$ 来表示 $E$ 的势，用来区分集，彼此对等的归于同一类。 可列集的势计为 $\aleph_{0}$，与区间 $[0,1]$ 对等的集的势记成 $\aleph$，称为连续集的势。 假定 $A$ 与 $B$ 不对等，而 $A$ 与 $B$ 的一个子集 $B_{0}$ 对等，则称 $A$ 的势小于 $B$ 的势，或 $B$ 的势大于 $A$ 的势，记为 $\overline{\overline{A}}<\overline{\overline{B}}$ 或 $\overline{\overline{B}}>\overline{\overline{A}}$，$n$ 个元的有限集的势记成 $n$ ，而空集的势记成 $0$。那么下列势的大小关系成立

$$0<n<\aleph_{0}<\aleph$$

实数的 $p$ 进表示：设 $p\in \mathbb{Z},p\geq 2$，设 $x\in[0,1]$，可以把 $x$ 写成

$$x=\sum_{k=1}^{\infty}x_{k}p^{-k}, x_{k}\in\{0,1,\cdots,p-1\}$$

当出现两种表示方法时，优先使用有限表示。这样，我们就可以把 $[0,1)$ 中的实数和 $p$ 进数对等起来了。此外，自然数同样可以用 $p$ 的幂组合表示，这样我们就可以将每个非负实数与一个 $p$ 进数对等起来。 连续统假设：在 $\aleph$ 和 $\aleph_{0}$ 之间不存在第三种势。这个假设与集合论公理体系是互相独立的。 序公理：

1. $a \leq a$ 自反性
2. $a \leq b, b\leq c \implies a \leq c$ 传递性
3. $a \leq b,b\leq a \implies a=b$ 反对称性
4. $a \leq b$ 或 $b \leq a$ 完全性 $1-3$ 三条性质称为偏序关系，如果还满足 $4$ 称为全序关系。

容许集：设 $X$ 为非空半序集，它的每个非空全序子集均有上确界，取定元 $a\in X$ 与映射 $f: X\to X$。称 $X$ 的子集 $A$ 为容许集，如果

1. $a\in A$
2. $f(A)\subset A$
3. $A$ 的每个全序子集的上确界属于 $A$ 显然 $X$ 本身是一个容许集，令 $P$ 为一切容许集的交，我们可以证明 $P$ 是最小的容许集

极大（小）元：设为非空半序集，$x\in X$ 是极大元，如果 $\forall y \in X,x\leq y\implies y=x$ 极小元的定义类似。

• 定理 5.1：设 $A$ 的势为 $\mu$，用 $2^{\mu}$ 来表示 $A$ 的幂集的势，则有 $2^{\mu}>\mu$
  • 证明运用反证法，假如存在一一映射 $f:\mathscr{A}\to A$，那么考虑 $\mathscr{A}_{1}=\{ f(E) :E \in \mathscr{A},f(E)\not\in E\}$
• 定理 5.2（伯恩斯坦定理）：设 $\lambda,\mu$ 为两个势，如果 $\lambda\leq \mu$ 且 $\mu \leq \lambda$，则 $\mu=\lambda$
  • 这个过程很有意思，分别利用 $\lambda \leq \mu$ 和 $\mu \leq \lambda$ 给出一一映射 $f: A\to B_{0}$ 和 $g: B\to A_{0}$；然后构造数列 $\{ A_{n} \}$ 和 $\{ B_{n} \}$ ： $$\begin{align} & A\setminus A_{0}=A_{1}, &f(A_{1})=B_{1},\\ & g(B_{1})=A_{2}, & f(A_{2})=B_{2}, \\ & g(B_{2} )=A_{3},&f(A_{3})=B_{3},\\ & \cdots\end{align}$$ 由此我们知道 $\cup_{n=1}^{\infty}A_{n}\sim\cup_{n=1}^{\infty}B_{n},B\setminus\cup_{n=1}^{\infty}B_{n}\sim A\setminus\cup_{n=1}^{\infty}A_{n}$
  • 推论是，对于任何两个势 $\lambda,\mu$，三个关系 $\lambda<\mu,\lambda=\mu,\lambda>\mu$ 不可能两者同时成立
• 定理 5.3：设 $X$ 为半空半序集，且 $X$ 的每个非空全序子集均有上确界，再设映射满足 $f(x)\geq x(x\in X)$，那么 $f$ 有不动点即 $\exists c\in X,f(c)=c$。
  • 引理 5.1：设 $X$ 为非空半序集且 $X$ 的每个非空全序子集均有上确界，再设映射 $f: X\to X$ 满足 $f(x)\geq x(x\in X)$ ，那么 $M=\{ x:x\in X,x\geq a \}$ 为容许集，故最小容许集 $P\subset M$
  • 引理 5.2：我们考虑 $B=\{ x:x\in P\text{且}\forall y\in P,y<x\implies f(y)\leq x \}$ 并约定 $a \in B$，再考虑 $C=\{ z:z\in P,\forall x \in B ,z\leq x\text{或}z\geq f(x) \}$。显然 $B\subset P,C\subset P$，接下来我们可以证明 $C$ 是容许集且 $C=P$
  • 引理 5.3：$B$ 是容许集且 $B=P$
• 定理 5.4：每个半序集都有极大全序子集
  • 其实是根据极大元的定义，结合定理 5.3，将 $f(x)$ 解释为包含关系
• 定理 5.5（Zorn 引理）：设 $X$ 为非空半序集，$X$ 的每个全序子集均有上确界，则 $X$ 中至少有一个极大元。
• 定理 5.6（策梅洛选择公理）：设 $\mathscr{A}$ 是一个非空集的类，则存在映射 $f:\mathscr{A}\to \cup_{A\in \mathscr{A}}A$ 满足：$\forall A\in \mathscr{A},f(A)\in A$
  • 这里予以承认

勒贝格测度#

1 引言#

测度公理：假定基本集为 $[0,1]$，所有有限个区间的并构成一个类 $\mathscr{R}$，并且这个类对差封闭。设 $E\in \mathscr{R}$，$E$ 可以表示为有限个互不相交的区间的并，定义 $E$ 的测度 $mE$ 为这些区间长度之和，即

1. $mE\geq{0}$ （非负性）
2. $E_{1}\cap E_{2}=\emptyset\implies m(E_{1}\cup E_{2})=mE_{1}+mE_{2}$ (有限可加性)
3. $m[0,1]=1$ 其中第二条更为重要，因为反映了全量等于分量之和。当然，如果考虑可列个互不相交的区间的并，我们可以将第二条替换为：

$$E_{k}\cap E_{j}=\emptyset\implies m(E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots\cup E_{k}\cup \cdots)=mE_{1}+mE_{2}+\cdots+mE_{k}+\cdots$$

2 有界点集的外、内测度，可测集#

开集的测度：对于非空开集 $G$，考虑其结构表示 $G=\cup_{k}(\alpha_{k},\beta_{k})$，规定其测度为一切构成区间长度的和，计为 $mG$：

$$mG=\sum_{k}(\beta_{k}-\alpha_{k})$$

闭集的测度：对于非空闭集 $F$，任取一个包含 $F$ 的开区间 $(a,b)$，令 $G=(a,b)\setminus F$，则 $G$ 是非空开集，定义 $F$ 的测度为

$$mF=(b-a)-mG$$

可以证明，$F$ 的测度与包含它的开区间 $(a,b)$ 的选取无关。

外测度：设 $E$ 是任意有界点集，定义 $E$ 的外测度为一切包含 $E$ 的开集测度的下确界，记为 $m^{*}E$，即

$$m^{*}E=\inf_{G\supset E}mG$$

内测度：设 $E$ 是任意有界点集，定义 $E$ 的内测度为一切包含于 $E$ 的闭集测度的上确界，记为 $m_{*}E$，即

$$m_{*}E=\sup_{F\subset E}mF$$

勒贝格可测：设 $E$ 是任意有界点集，如果 $E$ 的外测度与内测度相等，即 $m^{*}E=m_{*}E$，则称 $E$ 为勒贝格可测集，简称可测集，这时 $E$ 的外测度或内测度称为 $E$ 的测度，记为 $mE$

• 定理 2.1：
  • 设 $G_{1},G_{2}$ 是非空开集，且 $G_{1}\subset G_{2}$，则 $mG_{1}\leq mG_{2}$ （单调性）
  • 设有界开集 $G$ 是有限个或可列个开集 $G_{k}(k=1,2,\cdots)$ 的并，则 $mG\leq \sum_{k}mG_{k}$ （半可加性），如果 $G_{k}$ 互不相交，则 $mG=\sum_{k}mG_{k}$ （完全可加性）
• 定理 2.2：设 $F$ 为闭集，$G$ 为开集，且 $F\subset G$，则 $m (G\setminus F)=mG-mF$
  • 引理 2.1：设 $F_{1},F_{2},\cdots,F_{n}$ 均为闭集，$F_{k}\subset(\alpha_{k},\beta_{k}),k=1,2,\cdots,n$，且 $(\alpha_{k},\beta_{k})$ 互不相交，则 $m(\cup_{k=1}^{n}F_{k})=\sum_{k=1}^{n}mF_{k}$
• 定理 2.3：关于点集的内、外测度有：
  • $m_{*}E\leq m^{*}E$
  • 单调性： $E_{1}\subset E_{2}\implies m_{*}E_{1}\leq m_{*}E_{2},m^{*}E_{1}\leq m^{*}E_{2}$
  • 半可加性： $m^{*}(\cup_{k=1}^{n}E_{k})\leq \sum_{k=1}^{n}m^{*}E_{k}$ ，如果 $E_{k}$ 互不相交，则 $m_{*}(\cup_{k=1}^{n}E_{k})\geq \sum_{k=1}^{n}m_{*}E_{k}$

3 可测集的性质#

$G_{\delta}$ 集：可表示为可列个开集的交的集 $F_{\sigma}$ 集：可表示为可列个闭集的并的集

全密点：设是可测集，$x\in \mathbb{R}$，称 $x$ 为 $E$ 的全密点，如果

$$\lim_{ \varepsilon\to 0^{+}} \frac{m(E\cap I(x;\varepsilon))}{2\varepsilon}=1$$

其中 $I(x;\varepsilon)=(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ 是以 $x$ 为中心，$\varepsilon$ 为半径的开区间。

• 定理 3.1：有界集 $E$ 可测的充分必要条件是：对于任一 $\varepsilon>0$，都存在开集 $G$ 和闭集 $F$，使得 $F\subset E\subset G$ 且 $mG-mF<\varepsilon$
• 定理 3.2：
  • 设基本集 $X=(a,b)$ ，若 $E\subset X$ 可测，则 $X\setminus E$ 也可测
  • 设 $E_{1},E_{2}$ 可测，则 $E_{1}\cup E_{2},E_{1}\cap E_{2},E_{1}\setminus E_{2}$ 也可测。若 $E_{1},E_{2}$ 互不相交，则 $m(E_{1}\cup E_{2})=mE_{1}+mE_{2}$
• 定理 3.3：（测度的单调性）设 $E_{1},E_{2}$ 可测，且 $E_{1}\subset E_{2}$，则 $mE_{1}\leq mE_{2}$
• 定理 3.4：
  • 设 $E_{k}(k=1,2,\cdots)$ 可测，则 $E=\cup_{k=1}^{\infty}E_{k}$ 也可测，且如果 $E_{k}$ 互不相交，则 $mE=\sum_{k=1}^{\infty}mE_{k}$
  • 设 $E_{k}(k=1,2,\cdots)$ 可测，则 $E=\cap_{k=1}^{\infty}E_{k}$ 也可测

[!tip] 定理的使用

• 定理 3.1 可以用来证明一个集是可测的，
• 定理 3.2 可以用来构造新的可测集，
• 定理 3.3 可以用来比较两个可测集的测度大小。
• 定理 3.4 揭示了测度的完全可加性以及可测集关于可列交、并的封闭性

• 定理 3.5：有界集 $E$ 可测的充分必要条件是：对任何集 $A$，等式 $m^{*}A=m^{*}(A\cap E)+m^{*}(A\cap \mathscr{C}E)$ 成立
  • 引理 3.1：设 $E\subset(a,b)$ ，$\mathscr{C}E$ 是 $E$ 关于 $(a,b)$ 的补集，则 $b-a=m_{*}E+m^{*}\mathscr{C}E$
  • 该条件也被称为卡拉泰奥多里（Carathéodory）条件
• 定理 3.6
  • 设 $\{ E_{k} \}$ 是基本集 $(a,b)$ 中的渐张可测集列，即 $E_{k}\subset E_{k+1},k=1,2,\cdots$，令 $E=\cup_{k=1}^{\infty}E_{k}$，则 $E$ 可测，且 $mE=\lim_{k\to\infty}mE_{k}$
  • 设 $\{ E_{k} \}$ 是基本集 $(a,b)$ 中的渐缩可测集列，即 $E_{k}\supset E_{k+1},k=1,2,\cdots$，令 $E=\cap_{k=1}^{\infty}E_{k}$，则 $E$ 可测，且 $mE=\lim_{k\to\infty}mE_{k}$
• 定理 3.7：设 $E$ 可测，则存在 $G_{\delta}$ 集 $A$ 与 $F_{\sigma}$ 集 $B$，使得 $B\subset E\subset A$ 且 $mA=mB=mE$

4 关于测度的几点评注#

对于一维无界集 $E$，如果它与任何开区间 $(a,b)$ 的交 $E\cap(a,b)$ 都是可测的，则称 $E$ 是可测的，并定义 $E$ 的测度为

$$\lim_{ \alpha \to \infty } \{ (-\alpha,\alpha) \cap E\}$$

平移变换：$h\in \mathbb{R},E\subset \mathbb{R}$，令 $T_{h}$ 为平移变换 $T_{h}: x\to x+h$，并令

$$T_{h}E=\{ T_{h}x:x\in E \},$$

称为 $E$ 关于 $h$ 平移变换。显然当 $E$ 可测时，$T_{h}E$ 也可测，且 $m(T_{h}E)=mE$，称之为勒贝格测度关于平移的不变性

• 命题 4.1：设 $\{ E_{k} \}_{k\in \mathbb{N}}$ 是可测集列 (有界或无界)，则它的并集 $E=\cup_{k=1}^{\infty}E_{k}$ 也是可测的；又若 $E_{k}$ 互不相交，则 $m(E)=\sum_{k=1}^{\infty}mE_{k}$。
• 定理 4.1：一维不可测集是存在的
  • 引理 4.1：设 $E$ 是一维点集，具有正的测度，数 $\alpha$ 满足 $0<\alpha<1$，那么存在开区间 $I$，满足 $m(E\cap I)>\alpha mI$（在某些地方，正测度集的密度会特别高）
  • 引理 4.2：设 $E$ 为正测度集，令 $\Delta(E)=\{ x-y:x,y\in E \}$，则 $\Delta(E)$ 包含一个原点对称的开区间（正测度集在差集上表现的连续）
  • 定理的证明需要用到策梅洛选择公理，关键在于构建等价类（当 $x-y\in \mathbb{Q}$ 时认为 $x,y$ 输入与同一等价类），每个等价类中抽取一个元，构成集 $E$，然后证明 $E$ 不可测

5 环与环上定义的测度#

环：设 $X$ 为基本集，$\mathscr{R}$ 为 $X$ 的子集的类，如果 $\mathscr{R}$ 满足

1. $A,B\in \mathscr{R}\implies A\setminus B\in \mathscr{R}$
2. $A,B\in \mathscr{R}\implies A\cup B\in \mathscr{R}$ 则称 $\mathscr{R}$ 为 $X$ 上的环。如果 $\mathscr{R}$ 不满足 2 而满足
3. $A_{1},A_{2},\cdots \in \mathscr{R}\implies \cup_{n=1}^{\infty}A_{n}\in \mathscr{R}$ 则称 $\mathscr{R}$ 为 $X$ 上的 $\sigma$ 环。若环 $\mathscr{R}$ 含有 $X$ 自身，则称 $\mathscr{R}$ 为代数。同样的，$\sigma$ 代数是含有 $X$ 的 $\sigma$ 环。 设 $\mathscr{E}$ 是 $X$ 子集的类，包含类 $\mathscr{E}$ 的一切环的交记为 $\mathscr{R}(\mathscr{E})$ ，它是包含类 $\mathscr{E}$ 的最小环，称为由 $\mathscr{E}$ 生成的环。同理，可以定义由 $\mathscr{E}$ 生成的 $\sigma$ 环 $\mathscr{R}_{\sigma}(\mathscr{E})$。

单调类：设 $X$ 为基本集，$\mathscr{M}$ 为 $X$ 的子集的类，若其中渐张序列的并与渐缩序列的交均属于 $\mathscr{M}$，则称 $\mathscr{M}$ 为 $X$ 上的单调类。 由定理 3.6 可知，可测集类都是单调类。一般地，每个 $\sigma$ 环都是单调类，反之也成立。 我们称包含类 $\mathscr{E}$ 的最小单调类为由 $\mathscr{E}$ 生成的单调类，记为 $\mathscr{M}(\mathscr{E})$。

集函数：设 $X$ 为基本集，$\mathscr{R}$ 为 $X$ 上的子集的类。称定义在 $\mathscr{R}$ 上且取值为实数或无穷大的广义实函数为集函数。若对每个 $E\in \mathscr{R},\mu E\geq {0}$，称 $\mu$ 为非负的；若 $\mu E \neq \pm\infty$，称为有限的；若对 $\mathscr{R}$ 中互不相交的序列 $\{ E_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}$，并 $\cup_{n}E_{n}\in \mathscr{R}$，恒有

$$\mu(\cup_{n=1}^{\infty}E_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}\mu E_{n},$$

则称为 $\sigma$ 可加的或完全可加的。

[!note] 测度 最重要的是当 $\mathscr{R}$ 为 $\sigma$ 环或者环的情形：若 $\mathscr{R}$ 上的集函数 $\mu$ 满足

1. $\mu$ 非负
2. $\mu$ $\sigma$ 可加
3. $\mu \emptyset=0$

则称 $\mu$ 为测度。如果 $\mu$ 满足 2,3，而不满足 1，则称 $\mu$ 为广义测度

• 定理 5.1：由类 $\mathscr{E}$ 生成的环 $\mathscr{R}(\mathscr{E})$ 中的每个元都含于 $\mathscr{E}$ 的有限个元的并中；由 $\mathscr{E}$ 产生的 $\sigma$ 环 $\mathscr{R}_{\sigma}(\mathscr{E})$ 中的每个元都含于 $\mathscr{E}$ 的可列个元的并中
• 定理 5.2： 设 $\mathscr{E}$ 为 $X$ 的子集所成的环，则由 $\mathscr{E}$ 生成的单调类 $\mathscr{M}(\mathscr{E})$ 与由 $\mathscr{E}$ 生成的 $\sigma$ 环 $\mathscr{R}_{\sigma}(\mathscr{E})$ 相等，即 $\mathscr{M}(\mathscr{E})=\mathscr{R}_{\sigma}(\mathscr{E})$
  • 证明过程是先证明 $\mathscr{M}(\mathscr{E})\subset \mathscr{R}_{\sigma}(\mathscr{E})$，然后再证明 $\mathscr{M}(\mathscr{E})$ 是 $\sigma$ 环
  • 推论：设 $\mathscr{E}$ 是环，$\mathscr{M}$ 是单调类，则 $\mathscr{E}\subset\mathscr{M}\implies \mathscr{R}_{\sigma}(\mathscr{E})\subset \mathscr{M}$
• 定理 5.3：设 $\mu$ 是 $\sigma$ 环 $\mathscr{R}$ 的测度，则有以下性质：
  • 单调性：$E_{1},E_{2}\in \mathscr{R},E_{1}\subset E_{2}\implies \mu E_{1}\leq \mu E_{2}$
  • 半可加性：$E_{n}\in \mathscr{R},n \in \mathbb{N}\implies \mu(\cup_{n}E_{n})\leq \sum_{n}\mu E_{n}$
  • 对于 $\mathscr{R}$ 中的渐张序列 $\{ E_{n} \}$，有 $\mu(\cup_{n}E_{n})=\lim_{ n }\mu E_{n}$；对于 $\mathscr{R}$ 中的渐缩序列 $\{ E_{n} \}$，如果 $\mu E_{1}<\infty$，则 $\mu(\cap_{n}E_{n})=\lim_{ n }\mu E_{n}$

6 $\sigma$ 环上外测度 · 可测集 · 测度的扩张#

外测度：设 $X$ 为基本集，$\mathscr{R}_{\sigma}$ 为由 $X$ 的子集所成的 $\sigma$ 环，$\lambda$ 为定义在 $\mathscr{R}_{\sigma}$ 上的集函数。如果下列条件成立，称 $\lambda$ 为 $\mathscr{R}_{\sigma}$ 上的外测度：

1. 非负性：$\lambda E\geq 0 (E\in \mathscr{R}_{\sigma}),\lambda \emptyset=0$
2. 半可加性：$\lambda \left( \cup_{n=1}^{\infty} \right)\leq \sum_{i=1}^{\infty}\lambda E_{n}(E\in \mathscr{R}_{\sigma})$
3. 单调性：$E_{1},E_{2}\in \mathscr{R}_{\sigma},E_{1}\subset E_{2}\implies \lambda E_{1}\leq \lambda E_{2}$ 特别地，当 $\mathscr{R}_{\sigma}$ 为 $X$ 的幂集所成的 $\sigma$ 环时，称 $\lambda$ 为 $X$ 上的外测度。

接下来我们想要构造一个合适的环来定义外测度。设 $\mathscr{E}$ 是由 $X$ 的子集所成的环，$\mu$ 是定义在 $\mathscr{E}$ 上的测度。考虑类

$$\mathscr{S}(\mathscr{E})=\{ E:E\subset X,E\subset \cup_{i=1}^{n}A_{i},A_{i}\in \mathscr{E}\}.$$

显然这个类是一个 $\sigma$ 环，而且还可以看出 $\mathscr{S}(\mathscr{E})$ 是 $\sigma$ 代数时，它一定是由 $X$ 的一切子集构成的类 由 $\mu$ 导出的外测度：。现在对于 $E\in \mathscr{S}(\mathscr{E})$ ，令

$$\mu^{*}E=\inf \left\{ \sum_{i=1}^{n}\mu A_{i}:E\subset \cup_{i=1}^{n}A_{i},A_{i}\in \mathscr{E} \right\},$$

则 $\mu^{*}$ 是 $\mathscr{S}(\mathscr{E})$ 上的外测度，称为由 $\mu$ 导出的外测度

$\lambda$ 可测： 设 $\lambda$ 是 $\sigma$ 环 $\mathscr{R}_{\sigma}$ 上的外测度，$E\in \mathscr{R}_{\sigma}$，如果对任何 $A\in \mathscr{R}_{\sigma}$，都有

$$\lambda A=\lambda(A\cap E)+\lambda(A\cap \mathscr{C}E),$$

则称 $E$ 是 $\lambda$ 可测的。将一切 $\lambda$ 可测集记成 $\mathscr{M}$ ，则 $\mathscr{M}$ 是一个 $\sigma$ 环，并且限制在 $\mathscr{M}$ 上，是一个测度。

扩张：设在环 $\mathscr{E}$ 上给定一个测度 $\mu$，而 $\mathscr{R}_{\sigma}$ 为包含 $\mathscr{E}$ 的一个环，若存在 $\mathscr{R}_{\sigma}$ 上的测度 $\lambda$，使得 $\lambda$ 限制在 $\mathscr{E}$ 上与 $\mu$ 相等，则称 $\lambda$ 为 $\mu$ 在 $\mathscr{R}_{\sigma}$ 上的扩张。 $\sigma$ 有限：设 $\mathscr{R}$ 是环，$\mu$ 是 $\mathscr{R}$ 上的测度，如果对任何 $A\in \mathscr{R}$ 存在集列 $\{ A_{n} \}_{n\in \mathbb{N}}$，使得 $A\subset\cup_{n=1}^{\infty}A_{n}$ 且 $\mu A_{n}<\infty$，则称为 $\sigma$ 有限

博雷尔集类：设 $X$ 是任意基本集，$\mathscr{E}$ 为 $X$ 的子集所成的环，则由 $\mathscr{E}$ 生成的 $\sigma$ 环 $\mathscr{R}_{\sigma}(\mathscr{E})$ 称为 $X$ 上的博雷尔集类，$\mathscr{R}_{\sigma}(\mathscr{E})$ 中的元称为博雷尔集。

• 定理 6.1：设 $\lambda$ 是环上的外测度，$\mathscr{M}$ 是一切 $\lambda$ 可测集的类，则有：
  1. $\mathscr{M}$ 是 $\sigma$ 环
  2. 设 $\{ E_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}$ 为中的互不相交的序列，它的并是 $E$，则对任何 $A\in \mathscr{R}_{\sigma}$ 都有 $\lambda(A\cap E)=\sum_{n=1}^{\infty}\lambda(A\cap E_{n})$
  3. 限制在 $\mathscr{M}$ 上的 $\lambda$ 是测度
  • 引理 6.1：外测度 $\mu^{*}$ 满足：当 $E\in \mathscr{E}\implies \mu^{*}E=\mu E$
  • 引理 6.2：设 $\lambda$ 是 $\sigma$ 环 $\mathscr{R}_{\sigma}$ 上的外测度，则由 $\lambda$ 引出的一切可测集类 $\mathscr{M}$ 是一个环
• 定理 6.2：设 $\mu$ 是环 $\mathscr{E}$ 上的测度，$\mathscr{M}$ 是 $\mu^{*}$ 可测集类，则 $\mathscr{R}_{\sigma}(\mathscr{E})\subset \mathscr{M}$，且 $\mu^{*}$ 在 $\mathscr{R}_{\sigma}(\mathscr{E})$ 的限制是 $\mu$ 的扩张
• 定理 6.3：设 $\mathscr{E}$ 为环，$\mu_{1},\mu_{2}$ 为由 $\mathscr{E}$ 产生的 $\sigma$ 环 $\mathscr{R}_{\sigma}(\mathscr{E})$ 上的测度，如果 $\mu_{1},\mu_{2}$ 在 $\mathscr{E}$ 上相等，且 $\mu_{1},\mu_{2}$ 是 $\sigma$ 有限的，则 $\mu_{1},\mu_{2}$ 在 $\mathscr{R}_{\sigma}(\mathscr{E})$ 上也相等

可测函数#

1 基本性质#

勒贝格可测函数：设 $f$ 为定义在可测集 $E$ 上的实值函数，如果对于任一实数 $\alpha$，集 $E(f>\alpha)=\{ x\in E:f(x)>\alpha \}$ 是可测的，则称 $f$ 为勒贝格可测函数，简称可测函数。 这个定义中的条件 $E(f>\alpha)$ 恒可测等价于下列条件之一：

1. $E(\alpha<f<\beta)$ 恒可测
2. $E(f\geq \alpha)$ 恒可测
3. $E(f<\alpha)$ 恒可测
4. $E(f\leq \alpha)$ 恒可测

简单函数：设 $E$ 为可测集，若 $f$ 在 $E$ 上取有限个实数值 $c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}$，且 $E(f=c_{1}),E(f=c_{2}),\cdots,E(f=c_{n})$ 均为可测集，则称 $f$ 为简单函数。显然，简单函数是可测函数。且利用特征函数 $\chi_{E}(x)$ ，简单函数可以写为：

$$f(x)=\sum_{k=1}^{n}c_{k}\chi_{E(f=c_{k})}(x)$$

连续：设 $f(x)$ 为定义在集 $E$ 上的可测函数，$x\in E$。如果对任何点列 $x_{n}\to x(x_{n}\in E)$ 都有 $f(x_{n})\to f(x)(n\to \infty)$，则称 $f$ 在 $E$ 上连续。特别地，约定 $f(x)$ 在孤立点处连续。如果 $f$ 在 $E$ 上每一点都连续，则称 $f$ 在 $E$ 上连续。 几乎处处：设 $S$ 是某个命题或者某个性质，如果 $S$ 在集 $E$ 上成立，除了 $E$ 的一个测度为零的子集外，则称 $S$ 在 $E$ 上几乎处处成立，记作 $S,a.e.$。例如，两函数 $f,g$ 在 $E$ 上几乎处处相等，记作 $f=g,\mathrm{a.e.}.$ 或 $f \overset{\mathrm{a.e.}}{=}g$，如果 $m\{ x\in E:f(x)\neq g(x) \}=0$，简称 $f$ 与 $g$ 对等，记作 $f\sim g$.

• 定理 1.1：设 $\{ f_{n}(x) \}_{n\in \mathbb{N}}$ 是定义在可测集 $E$ 上的可测函数列，则函数 $\sup_{n}f_{n}(x)$ 与 $\inf_{n}f_{n}(x)$ 也是定义在 $E$ 上的可测函数。
  • 推论 1：设 $f(x)$ 是可测集 $E$ 上的可测函数，则 $f_{+},f_{-}$ 与 $|f|$ 也是定义在 $E$ 上的可测函数
  • 推论 2：设 $\{ f_{n}(x) \}_{n\in \mathbb{N}}$ 是定义在可测集 $E$ 上的可测函数列，则函数 $\limsup_{n\to\infty}f_{n}(x)$ 与 $\liminf_{n\to\infty}f_{n}(x)$ 也是定义在 $E$ 上的可测函数
• 定理 1.2：设 $\{ f_{n}(x) \}_{n\in \mathbb{N}}$ 是定义在可测集 $E$ 上的可测函数列，如果 $\lim_{ n }f_{n}(x)$ 几乎处处存在，它是定义在 $E$ 上的可测函数。
• 定理 1.3：设 $f(x)$ 是可测集 $E$ 上非负可测函数，则存在一个非负递增的简单函数列 $\{ \varphi_{n}(x) \}:0\leq \varphi_{1}(x)\leq \varphi_{2}(x)\leq \cdots$，使得 $\lim_{ n }\varphi_{n}(x)=f(x)$ 在 $E$ 上处处成立，因而一般可测函数可以表示成简单函数列的极限
  • 由此可以给出可测函数的另一个定义：设 $f$ 为定义在可测集 $E$ 上的实值函数，如果存在简单函数列 $\{ \varphi_{n}(x) \}$，使得 $\lim_{ n }\varphi_{n}(x)=f(x)$ 在 $E$ 上处处成立，则称 $f$ 为勒贝格可测函数，简称可测函数
• 定理 1.4：设 $f,g$ 是定义在可测集 $E$ 上的可测函数，则 $f+g,f-g,fg$ 与 $\frac{f}{g}(g\neq 0)$ 也是定义在 $E$ 上的可测函数
  • 引理 1.1：设 $f_{1}(x),f_{2}(x)$ 是定义在可测集 $E$ 上的简单函数，则 $f_{1}+f_{2},f_{1}f_{2}$ 与 $\frac{f_{1}}{f_{2}}(f_{2}\neq 0)$ 也是定义在 $E$ 上的简单函数

2 可测函数列的收敛性#

上限集、下限集：给定一个集列 $\{ A_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}$ ，它的上限集、下限集分别定义为

$$\overline{\lim}_{ } A_{n}=\cap_{n=1}^{\infty}\cup_{k=n}^{\infty}A_{k}, \quad \underline{\lim}_{ } A_{n}=\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{k=n}^{\infty}A_{k}$$

收敛：当 $\overline{\lim}_{ }A_{n}=\underline{\lim}_{ }A_{n}$ 时，称集列 $\{ A_{n} \}$ 收敛，并将共同的极限记作 $\lim_{ n }A_{n}$

近一致收敛：设 $f,f_{n}(n \in \mathbb{N})$ 是可测集上几乎处处有限的可测函数，如果对于任意的 $\delta>0$ ，存在 $E_{\delta}\subset E$，使得 $m(E-E_{\delta})<\delta$ 且 $\{ f_{n} \}$ 在 $E_{\delta}$ 上一致收敛于 $f$，则称序列 $\{ f_{n} \}$ 在 $E$ 上近一致收敛于 $f$。

测度收敛：设 $\{ f_{n}(x) \}$ 是定义在可测集上的可测函数列，$f(x)$ 是定义在 $E$ 上的可测函数，如果对于任一 $\varepsilon>0$，都有

$$\lim_{ n \to \infty }m\{ x\in E:|f_{n}(x)-f(x)|\geq \varepsilon \}=0$$

则称序列 $\{ f_{n}(x) \}$ 在 $E$ 上测度收敛于 $f(x)$。

依测度基本列：设是定义在可测集上的可测函数列，如果对于任一 $\varepsilon>0$，都有：

$$\lim_{ n,m\to \infty }m\{ x\in E:|f_{n}(x)-f_{m}(x)|\geq \varepsilon \}=0$$

• 定理 2.1（叶果洛夫定理）：设是可测集，$mE<\infty$ ，$f_{n}(x)(n \in \mathbb{N})$ 与是上几乎处处有限的可测函数，且 $\{ f_{n}(x) \}$ 在上几乎处处收敛于 $f(x)$，则对于任一 $\delta>0$，存在 $E_{\delta}\subset E$ ，使得序列 $\{ f_{n}(x) \}$ 在 $E_{\delta}$ 上一致收敛于而 $m(E-E_{\delta})<\delta$.
• 定理 2.2（叶果洛夫定理的逆）：设可测集 $E$ 上可测函数 $\{ f_{n}(x) \}$ 近一致收敛于 $f(x)$ ，则 $\{ f_{n}(x) \}$ 在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f(x)$.
• 定理 2.3：设 $mE<\infty$ ，则序列 $\{ f_{n} \}$ 几乎处处收敛于 $f$ 蕴含 $\{ f_{n} \}$ 在 $E$ 上测度收敛于 $f$。
  • 但是反之不成立，这是因为测度收敛是在当 $n$ 很大时同时看一个区间的情况；但是几乎处处收敛考虑的是每个点在 $n$ 很大时的情况
• 定理 2.4：设 $mE<\infty$ ，则序列 $\{ f_{n} \}$ 在 $E$ 上测度收敛于 $f$ 的充分必要条件是：对序列 $\{ f_{n}(x) \}$ 的任一子列 $\{ f_{n_{k}}(x) \}$ ，都存在一个子列 $\{ f_{n_{k_{j}}}(x) \}$ ，使得 $\{ f_{n_{k_{j}}}(x) \}$ 在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f(x)$。
• 定理 2.5：设 $mE<\infty$ ，序列 $\{ f_{n} \}$ 是可测集 $E$ 上依测度基本列，则存在 $E$ 上可测函数 $f(x)$ ，使 $\{ f(x) \}$ 测度收敛于 $f$.
• 定理 2.6：设序列 $\{ f_{n}(x) \}$ 在可测集 $E$ 上测度收敛于 $f(x)$，序列 $\{ g_{n}(x) \}$ 在 $E$ 上测度收敛于 $g(x)$，则
  • 序列 $\{ af_{n}+bg_{n} \}$ 在 $E$ 上测度收敛于 $af+bg$，其中 $a,b$ 为任意常数
  • 序列 $\{|f_{n}| \}$ 在 $E$ 上测度收敛于 $|f|$
  • 序列 $\{ \sup(f_{n},g_{n}) \}$ 在 $E$ 上测度收敛于 $\sup(f,g)$，序列 $\{ \inf(f_{n},g_{n}) \}$ 在 $E$ 上测度收敛于 $\inf(f,g)$

3 可测函数的构造#

限制连续：设 $f$ 为定义在可测集 $E$ 上的可测函数，如果存在 $E_{0}\subset E$ ，$f$ 在 $E_{0}$ 上连续，则称 $f$ 限制在 $E_{0}$ 上连续。

• 定理 3.1：设 $f$ 为定义在可测集 $E$ 上几乎处处有限的可测函数，则对于任一 $\delta>0$，都存在闭集 $F_{\delta}\subset E$ ，使得 $f$ 限制在 $F_{\delta}$ 上连续，且 $m(E-F_{\delta})<\delta$。
• 定理 3.2：设 $f$ 为定义在有界可测集 $E$ 上几乎处处有限的可测函数，则对于任一 $\varepsilon>0$，都存在在 $E$ 上连续的函数 $g(x)$ ，使得 $m\{ x\in E:|f(x)-g(x)| \neq 0\}<\varepsilon$。

勒贝格积分#

1 勒贝格积分的引入#

简单函数的积分：设 $E$ 上简单函数 $\varphi (x)$ 可表示为

$$\varphi (x)=\sum_{k=1}^{n}y_{k}\chi_{e_{k}}(x),$$

其中 $e_{k} =E(\varphi=y_{k})$ 是互不相交的可测集，$y_{k}$ 为互异的实数。称和 $\sum_{k=1}^{n}y_{k}me_{k}$ 为简单函数 $\varphi$ 在 $E$ 上的勒贝格积分，记作

$$\int_{E}\varphi (x)\mathrm{d}m=\sum_{k=1}^{n}y_{k}me_{k}$$

积分：设 $f(x)$ 是有界可测集 $E$ 上的可测函数，对于 $f(x)\geq{0}$ 的情形，取简单函数 $\varphi (x)$ 满足 $0\leq \varphi (x)\leq f(x)$，定义 $f$ 在 $E$ 上的勒贝格积分为

$$\int_{E}f(x)\mathrm{d}m=\sup_{\varphi \leq f}\int_{E}\varphi (x)\mathrm{d}m$$

如果此量为有限值，则称 $f$ 在 $E$ 上可积，否则只说 $f(x)$ 在 $E$ 上的积分为 $\infty$。对于任意实值函数 $f(x)$，定义

$$\int_{E}f(x)\mathrm{d}m=\int_{E}f_{+}(x)\mathrm{d}m-\int_{E}f_{-}(x)\mathrm{d}m$$

当右式两项均有限时，称在 $E$ 上可积，记为 $f\in L_{E}$ 或者简记为 $f\in L$。在其余情形，只说在 $E$ 上有积分（为 $\infty$ 或 $-\infty$），当然 $\infty-\infty$ 没有意义。

• 定理 1.1 设 $f$ 是可测集上可测函数，则 $f$ 和 $|f|$ 的可积性相同。在可积情形有： $$\begin{align}& \int_{E}f(x)\mathrm{d}x=\int_{E}f_{+}(x)\mathrm{d}x-\int_{E}f_{-}(x)\mathrm{d}x,\\ \\& \int_{E}|f(x)|\mathrm{d}x=\int_{E}f_{+}(x)\mathrm{d}x+\int_{E}f_{-}(x)\mathrm{d}x\end{align}$$
• 定理 1.2：设 $f$ 是 $E$ 上可测函数，如果存在 $E$ 上可积函数 $g$，几乎处处成立 $\left| f(x) \right|\leq g(x)$，则 $f$ 在 $E$ 上可积且 $f$ 的积分不超过 $g$ 的积分。特别当 $mE<\infty$ 时，若 $f$ 有界：$\left| f(x) \right|\leq M$ 几乎处处成立，则 $f$ 在 $E$ 上可积且 $\left| \int_{E}f(x)\mathrm{d}m \right|\leq MmE$。
• 定理 1.3：在 $E$ 上可积函数几乎处处有限

2 积分的性质#

基本引理：设是有界可测集上的非负可积函数，$\{ f_{n}(x) \}_{n \in \mathbb{N}}$ 是满足条件

$$0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \cdots;\lim_{ n \to \infty } f_{n}(x)=f(x)(x \in E)$$

的简单函数列，则

$$\int_{E}f(x)\mathrm{d}m=\lim_{ n \to \infty } \int_{E}f_{n}(x)\mathrm{d}m$$

• 定理 2.1（有限可加性）：设 $f(x)$ 是有界可测集 $E$ 上的可积函数，$E=\cup_{k=1}^{n}E_{k}$，其中 $E_{k}$ 互不相交且均为可测集，则 $f$ 在每个 $E_{k}$ 上可积，且 $\int_{E}f(x)\mathrm{d}m=\sum_{k=1}^{n}\int_{E_{k}}f(x)\mathrm{d}m$
• 定理 2.2（绝对连续性）：设 $f(x)$ 是有界可测集 $E$ 上的可积函数，则对任一 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对任一可测集 $e\subset E$，当 $me<\delta$ 时，有 $\left| \int_{e}f(x)\mathrm{d}m \right|<\varepsilon$。
• 定理 2.3（$\sigma$ 可加性）：设 $f(x)$ 是有界可测集 $E$ 上的可积函数，$E=\cup_{k=1}^{\infty}E_{k}$，其中 $E_{k}$ 互不相交且均为可测集，则 $f$ 在每个 $E_{k}$ 上可积，且 $\int_{E}f(x)\mathrm{d}m=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{E_{k}}f(x)\mathrm{d}m$
• 定理 2.4：设 $f(x)$ 在 $E$ 上可积，则对任意实数 $c$，$cf(x)$ 也可积，且 $\int_{E}cf(x)\mathrm{d}m=c\int_{E}f(x)\mathrm{d}m$
• 定理 2.5：设 $f,g$ 在 $E$ 上可积，则 $f+g$ 也可积，且 $\int_{E}(f(x)+g(x))\mathrm{d}m=\int_{E}f(x)\mathrm{d}m+\int_{E}g(x)\mathrm{d}m$
• 定理 2.6：设 $f,g$ 在 $E$ 上可积，且 $f(x)\leq g(x)$，则 $\int_{E}f(x)\mathrm{d}m\leq \int_{E}g(x)\mathrm{d}m$
• 定理 2.7（唯一性定理）：设 $f$ 在 $E$ 上可积，则 $\int_{E}\left| f \right|\mathrm{d}m=0$ 的充分必要条件是 $f\sim_{0}$
• 定理 2.8：设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的可积函数，则对任何 $\varepsilon>0$，有 $[a,b]$ 上的连续函数 $g(x)$，使得 $\int_{[a,b]}\left| f(x)-g(x) \right|\mathrm{d}m<\varepsilon$。
  • 引理 2.1：设 $f(x)$ 是可测集 $E$ 上的可积函数，那么对任意 $\varepsilon>0$，存在 $E$ 上的简单函数 $\varphi (x)$，使得 $\int_{E}\left| f(x)-\varphi (x) \right|\mathrm{d}m<\varepsilon$。
  • 引理 2.2：设 $E$ 是闭区间 $[a,b]$ 中的可测集，则对任何 $\varepsilon>0$，存在 $[a,b]$ 上的连续函数 $g(x)$，使得 $\int_{[a,b]}\left| \chi_{E}(x)-g(x) \right|\mathrm{d}m<\varepsilon$

3 积分序列的极限#

等度的绝对连续积分：设 $E$ 可测，$mE<\infty$ 且 $\{ f_{\alpha}:\alpha \in I \}$ 为 $E$ 上可测函数族，如果对任一 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对任一可测集 $e\subset E$，当 $me<\delta$ 时，有 $\left| \int_{e}f_{\alpha}(x)\mathrm{d}m \right|<\varepsilon$ 对任意 $\alpha \in I$ 都成立，则称函数族 $\{ f_{\alpha}:\alpha \in I \}$ 在上等度的绝对连续积分。

• 定理 3.1：设 $f(x),u_{n}(x)(n \in \mathbb{N})$ 均为可测集 $E$ 上的非负可测函数，且 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x)$，则 $\int_{E}f(x)\mathrm{d}m=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{E}u_{n}(x)\mathrm{d}m$
• 定理 3.2（勒维定理）：设可测集 $E$ 上可测函数列 $\{ f_{n}(x) \}$ 满足 $0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \cdots,\lim_{ n \to \infty }f_{n}(x)=f(x)$, 则 $\{ f_{n}(x) \}$ 的积分序列收敛于 $f(x)$ 的积分：$\int_{E}f(x)\mathrm{d}m=\lim_{ n \to \infty }\int_{E}f_{n}(x)\mathrm{d}m$
• 定理 3.3（法杜定理）：设 $f_{n}(x)$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数列，则 $\int_{E}\underline{\lim}_{n\to \infty}f_{n}(x)\mathrm{d}m\leq \underline{\lim}_{n\to \infty}\int_{E}f_{n}(x)\mathrm{d}m$
• 定理 3.4：设可测集 $E$ 上可测函数列 $\{ f_{n}(x) \}$ 满足下述条件：$f_{n}(x)$ 的极限存在，$f(x)=\lim_{ n \to \infty }f_{n}(x)$，且有可积函数 $g(x)$ 使 $\left| f_{n}(x) \right|\leq g(x)(x \in E;n \in \mathbb{N}),\mathrm{a.e.}$ 那么，$f$ 可积且满足 $\int_{E}f(x)\mathrm{d}m=\lim_{ n \to \infty }\int_{E}f_{n}(x)\mathrm{d}m$
  • 推论：设 $mE<\infty$，$E$ 上可测函数列 $\{ f_{n}(x) \}$ 满足 $\left| f_{n}(x) \right|\leq M(x \in E,n \in \mathbb{N})$，$M$ 为常数，$f(x)=\lim_{ n \to \infty }f_{n}(x)$，则 $f(x)$ 可积。这个定理称为有界收敛定理。
• 定理 3.5（勒贝格-维它利定理）：设 $mE<\infty$ ，序列 $\{ f_{n} \}$ 测度收敛于 $f$，并设每个 $f_{n}$ 可积，则关系式 $\lim_{ n \to \infty }\int_{E}\left| f_{n}-f \right|\mathrm{d}m=0$ 成立的充分必要条件是序列 $\{ f_{n} \}$ 在 $E$ 上有等度的绝对连续积分
  • 引理 3.1：设 $mE<\infty$ ，序列 $\{ f_{n} \}$ 测度收敛于 $f$ 且每个 $f_{n}$ 可积，则当 $\{ f_{n} \}$ 在 $E$ 上有等度的绝对连续积分时，$f$ 在 $E$ 上可积。
• 定理 3.6（勒贝格控制收敛定理）：设 $\{ f_{n} \}$ 为 $E$ 上可测函数列，满足条件：存在可积函数 $g$ ，使得 $\left| f_{n}(x) \right|\leq g(x)(x \in E,n \in \mathbb{N}),\mathrm{a.e.}$。又设 $f_{n}$ 测度收敛于 $f$，那么 $f$ 可积且 $\int_{E}f\mathrm{d}m=\lim_{ n \to \infty }\int f_{n}\mathrm{d}m$

4 R 积分与 L 积分的比较#

• 定理 4.1：设 $f$ 是区间 $[a,b]$ 上的有限函数，若 $f$ 在 $[a,b]$ 上 $R$ 可积，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界
• 定理 4.2：函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上 $R$ 可积的充分必要条件是 $\lambda\to{0}$ 时，大和和小和都趋于同一极限 $I$
• 定理 4.3：若在有限区间上的函数 $R$ 可积，则必 $L$ 可积，而且积分值相等

5 乘积测度与傅比尼定理#

设 $\{X_{\alpha}:\alpha \in A\}$ 为非空集的类. 考虑映射 $f:A \to \bigcup_{\alpha \in A} X_{\alpha}$, 满足条件 $f(\alpha) \in X_{\alpha} (\alpha \in A)$. 一切这样的 $f$ 所成的集称为类 $\{X_{\alpha}\}$ 中集 $X_{\alpha} (\alpha \in A)$ 的积集, 记为 $\prod_{\alpha \in A} X_{\alpha}$, 积集也称为乘积空间, 每个 $X_{\alpha}$ 称为分支空间. 积集中的元也可以记为 $x = \{x_{\alpha}\}$, 这里 $x_{\alpha} = f(\alpha)$. $x_{\alpha}$ 称为元 $x$ 的第 $\alpha$ 坐标, 它是 $x$ 在集 $X_{\alpha}$ 上的投影. 当 $A = \mathbf{N}$ 时, $\prod_{n \in A} X_{\alpha}$ 可以看成序列 $(x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots)$ 的集, 这里 $x_i \in X_i, i \in \mathbb{N}$. 当 $X_1 = X_2 = \cdots = X_n = \mathbb{R}$ 时, $\prod_{i = 1}^{n} X_i$ 可以看成 $\mathbb{R}^n$ (两者同构). 下面着重考虑两个集 $X$ 与 $Y$ 的积集的情形. 这时, 它们的积集记为 $X \times Y$, 其中的元就是有序点偶 $(x, y)$: $x \in X, y \in Y$ 的全体. 点 $(x, y)$ 中的 $x$ 称为此点的 $X$ 坐标或第一坐标, $y$ 称为点 $(x, y)$ 的 $Y$ 坐标或第二坐标.

可测空间：设 $X$ 是基本集，$\mathscr{R}$ 是 $X$ 的子集构成的环，且 $\cup_{A\in \mathscr{R}}A=X$，则称 $(X,\mathscr{R})$ 为可测空间。如果对于可测空间 $(X,\mathscr{R})$ ，定义了 $\sigma$ 环 $\mathscr{R}$ 上的测度 $\mu$，则称 $(X,\mathscr{R},\mu)$ 为测度空间。 笛卡尔乘积：$\mathscr{R},\mathscr{S}$ 分别表示基本集 $X,Y$ 的子集所成的 $\sigma$ 环，则 $\mathscr{R}\times \mathscr{S}$ 表示所有形如的矩形集缩产生的 $\sigma$ 环，当 $(X,\mathscr{R}),(Y,\mathscr{S})$ 均是可测空间时，$(X\times Y,\mathscr{R}\times \mathscr{S})$ 也是可测空间，称 $(X\times Y,\mathscr{R}\times \mathscr{S})$ 为 $(X,\mathscr{R}),(Y,\mathscr{S})$ 的笛卡尔乘积。 截口：简单理解为联合分布中的单变量分布

乘积测度：设 $(X,\mathscr{R},\mu),(Y,\mathscr{S},\nu)$ 分别是可测空间与测度空间，$\lambda$ 是 $\mathscr{R}\times \mathscr{S}$ 上的测度，如果对任一矩形集，有 $\lambda(A\times B)=\mu(A)\nu(B)$，则称 $\lambda$ 为 $\mu$ 与 $\nu$ 的乘积测度，记作 $\lambda=\mu \times \nu$。测度空间 $(X\times Y,\mathscr{R}\times \mathscr{S},\lambda)$ 称为 $(X,\mathscr{R},\mu)$ 与 $(Y,\mathscr{S},\nu)$ 的笛卡尔乘积空间。

完备测度：设 $X$ 是基本集，$\mathscr{R}$ 是 $X$ 的一些子集构成的 $\sigma$ 环，$\mu$ 是 $\mathscr{R}$ 上的测度，则称 $(X,\mathscr{R},\mu)$ 为完备测度空间，如果对任一 $E\in \mathscr{R}$，当 $\mu(E)=0$ 时，$E$ 的任一子集 $F\subset E$ 也属于 $\mathscr{R}$ 且 $\mu(F)=0$。这时称 $(X,\mathscr{R},\mu)$ 为完备测度空间。 这里有一个基本的情况：如果用 $m,\mathscr{M}$ 分别表示一维勒贝格测度与勒贝格可测集类，而 $m_{2},\mathscr{M}_{2}$ 分别表示二维勒贝格测度与勒贝格可测集类，则 $m$ 和 $m_{2}$ 均是相应 $\sigma$ 环上的完备测度，但是 $m\times m$ 却不是完备的。 完备化方法：设 $(X,\mathscr{R},\mu)$ 是测度空间，这里 $\mathscr{R}$ 是 $\sigma$ 环，令 $\tilde{R}$ 是 $X$ 中一切这样的子集 $E$ 所成的，存在 $A,B\in \mathscr{R}$ 满足

$$A\subset E\subset B,\mu(B-A)=0.$$

这时在 $\tilde{R}$ 上定义测度 $\tilde{\mu}$，使得 $\tilde{\mu}(E)=\mu(A)$，这里 $A$ 是上式中所指的 $A$。则 $(X,\tilde{R},\tilde{\mu})$ 是 $(X,\mathscr{R},\mu)$ 的完备化，且 $\tilde{\mu}$ 是唯一确定的。

• 定理 5.1：设 $\mathscr{R},\mathscr{S}$ 分别是 $X,Y$ 的子集构成的环，令 $\mathscr{T}$ 为形如 $A\times B$ 的矩形集的一切不相交有限并组成的类，则 $\mathscr{T}$ 为环。
• 定理 5.2：
  • 乘积空间中的可测集的每个截口是可测的
  • 可测函数的每个截口是可测的
• 定理 5.3（傅比尼定理）：设 $h(x,y)$ 是 $X\times Y$ 上的可积函数，则 $h(x,y)$ 的每个截口是可积的，且 $\int_{X\times Y}h(x,y)\mathrm{d}\lambda=\int_{X}\left( \int_{Y}h(x,y)\mathrm{d}\nu\right)\mathrm{d}\mu=\int_{Y}\left( \int_{X}h(x,y)\mathrm{d}\mu\right)\mathrm{d}\nu$
• 定理 5.4：设 $(X,\mathscr{R},\mu)$ 是测度空间，则完备化后 $\tilde{\mu}$ 是 $\tilde{\mathscr{R}}$ 上的完备测度， $(X,\tilde{R},\tilde{\mu})$ 是完备测度空间。
• 定理 5.5：设 $(\mathbb{R},\mathscr{M},m)$ 与 $(\mathbb{R}^{2},\mathscr{M}_{2},m_{2})$ 分别表示一维与二维勒贝格测度空间，则 $(\mathbb{R}^{2},\mathscr{M}_{2},m_{2})$ 是乘积测度空间 $(\mathbb{R}^{2},\mathscr{M}\times \mathscr{M},m\times m)$ 的完备化

6 微分与积分#

跳跃函数：设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上定义的有限增函数，则它的不连续点击至多为可列集。用 $\{ \xi_{k} \}$ 表示 $f$ 在 $(a,b)$ 内的所有不连续点，定义

$$s(x)=\begin{cases} f(x)-f(x-0)+f(a+0)-f(a)+\sum_{\xi_{k}<x}(f(\xi_{k}+0)-f(\xi_{k}-0)), & a<x\leq b \\ 0, & x=a \end{cases},$$

则称 $s(x)$ 为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的跳跃函数。称 $f(\xi_{k}+0)-f(\xi_{k}-0)$ 为 $f$ 在 $\xi_{k}$ 处的跳跃。

列导数：设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的有限函数，$x_{0}\in[a,b]$ ，若存在 $h_{n}\to 0$ 使极限

$$\lim_{ n \to \infty } h_{n}^{-1}(f(x_{0}+h_{n})-f(x_{0}))=\lambda$$

存在。则称 $\lambda$ 为在 $x_{0}$ 处的列导数，记作 $\lambda=Df(x_{0})$。如果 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处一切列导数相等，则称 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 广义可微。如果这些可能的列导数相等且有限，广义可微将化为平常可微。列导数方法本质上是极限的序列说法。

维它利意义覆盖：设 $E$ 是实直线的任一子集，$\mathscr{M}= \{ d \}$ 是长度为正的闭区间所成的集。如果对任一点 $x \in E$，恒有一个区间列 $d_{n}\in \mathscr{M}$ 使得

$$x \in d_{n}(n \in \mathbb{N}),\lim_{ n \to \infty }md_{n}=0,$$

则称 $\mathscr{M}$ 依维它利意义覆盖 $E$。

变差：设 $f(x)$ 是区间 $[a,b]$ 上的有限函数。考察区间 $[a,b]$ 的任一分划：$a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b,$ 考察上确界

$$\sup_{(x_{0},x_{1},\cdots,x_{n})}\sum_{k=1}^{n}\left| f(x_{k})-f(x_{k-1}) \right|,$$

称之为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的全变差，记为 $V_{a}^{b}f$。如果 $V_{a}^{b}f<\infty$，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上为有界变差函数。 另外，若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界变差，那么在任一子区间上也是有界变差，我们就可以定义

$$\pi (x)=V_{a}^{x}f(x),a< x \leq b,\pi(a)=0$$

则 $\pi (x)$ 是 $[a,b]$ 上的非负有限函数。

正变差与负变差：设 $f(x)$ 是上的有界变差函数，考察区间 $[a,b]$ 的任一分划：$a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b,$ 令

$$P=\Sigma'[f(x_{i})-f(x_{i-1})],N=\Sigma''[f(x_{j-1})-f(x_{j})],$$

其中 $\Sigma'$ 表示对所有 $f(x_{i})-f(x_{i-1})\geq0$ 的项求和，$\Sigma''$ 表示对所有 $f(x_{j-1})-f(x_{j})>0$ 的项求和。当考虑子区间 $[a,x]$ 时，相应的 $P,M$ 分别记为 $P(x),N(x)$。对划分方式取上确界

$$p(a,b)=\sup P,n(a,b)=\sup N,$$

类似地，我们可以得到 $p(a,x),n(a,x)$，简记为 $p(x),n(x)$，称为 $f(x)$ 的正变差与负变差。 标准分解：设是上的有界变差函数，则 $f(x)$ 可分解为

$$f(x)=f(a)+p(x)-n(x)$$

其中 $p,n$ 分别为 $f$ 的正变差与负变差，且均为非负增函数。

绝对连续函数：设 $[a_{1},b_{1}],[a_{2},b_{2}],\cdots,[a_{n},b_{n}]$ 表示 $[a,b]$ 上的一列互不相交的子区间，如果当 $m(\cup_{k}[a_{k},b_{k}])\to 0$ 时，有

$$\sum_{k=1}^{n}\left| f(b_{k})-f(a_{k}) \right|\to 0,$$

则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上为绝对连续函数。 显然，绝对连续函数对和差积商封闭。 在绝对连续的情形下我们可以建立牛顿-莱布尼茨公式

$$\int_{[a,b]}f'(x)\mathrm{d}m=f(b)-f(a)$$

奇异函数：设 $r(x)$ 为 $[a,b]$ 上的连续有界变差函数且不恒为常数，如果 $r'(x)\sim0$ ，则称 $r(x)$ 为奇异函数。 对于一个连续有界变差函数 $f_{0}(x)$ ，我们有分解

$$f_{0}(x)=\varphi (x)+r(x)$$

其中 $\varphi (x)=f_{0}(a)+\int_{[a,x]}f_{0}'(t)\mathrm{d}m$ 是一个绝对连续函数，$r(x)=f_{0}(x)-\varphi (x)$ 是一个奇异函数。这种分解是唯一的。

勒贝格点：设 $f$ 是 $(-\infty,\infty)$ 上的可积函数，$(\alpha,\beta)$ 是含有 $x$ 的变动区间，则

$$\lim_{ \beta-\alpha \to 0 } \frac{1}{\beta-\alpha}\int_{[\alpha,\beta]}\left| f(t)-f(x) \right| \mathrm{d}m=0,\mathrm{a.e.}$$

这些点 $x$ 称为 $f$ 的勒贝格点。几乎处处都是可积函数的勒贝格点

• 定理 6.1：定义于 $[a,b]$ 上的增函数 $f(x)$ 可以分解为一个连续增函数与一个跳跃函数之和。
• 定理 6.2（维它利引理）：设 $E$ 为有界集，$\mathscr{M}$ 依维它利意义覆盖 $E$，则可由 $\mathscr{M}$ 中选出有限个或可列个闭区间 $\{ d_{n} \}$，使得 $m(E \setminus \cup_{k}d_{k})=0,d_{k}\cap d_{j}=\emptyset(k\neq j)$
  • 设 $E$ 是有界集，$\mathscr{M}$ 依维它利意义覆盖 $E$，则对任一 $\varepsilon>0$，都能由 $\mathscr{M}$ 中选出有限个闭区间 $\{ d_{k} \}_{k=1}^{n}$，使得 $m(E \setminus \cup_{k=1}^{n}d_{k})<\varepsilon,d_{k}\cap d_{j}=\emptyset(k\neq j)$
• 定理 6.3：设 $E$ 为有界集，$\mathscr{M}=\{ d \}$ 是闭区间集，它们的并包含 $E$，并且 $\sup_{d\in \mathscr{M}}md<\infty$。那么由 $\mathscr{M}$ 可以选出有限个或可列个闭区间 $\{ d_{k} \}$ ，使得 $\sum_{k}^{}md_{k}\geq \frac{1}{5}m^{*}E,d_{k}\cap d_{j} =\emptyset(k \ne j)$
• 定理 6.4：设 $f$ 是 $[a,b]$ 上的单调函数，则它在这区间上几乎处处有有限导数
  • 引理 6.1：设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的严增函数，令 $E$ 为 $[a,b]$ 中这样的点 $x$ 所成的集；存在一个列导数 $Df(x)\leq p$, 这里 $p$ 为非负常数，则 $m^{*}f(E)\leq pm^{*}E$，这里 $f(E)$ 表示 $f$ 在 $E$ 上的像集
  • 引理 6.2：设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的严增函数，令 $E$ 为 $[a,b]$ 中这样的点 $x$ 所成的集；存在一个列导数 $Df(x)\geq q,q\geq 0$，则 $m^{*}f(E)\geq qm^{*}E$
• 定理 6.5：设 $f$ 是 $[a,b]$ 上的增函数，则 $f'(x)$ 可积，且 $\int_{[a,b]}f'(x)\mathrm{d}m\leq f(b)-f(a)$。
• 定理 6.6：$[a,b]$ 上函数 $f(x)$ 有界变差的充分必要条件是 $f(x)$ 可表示为两个单调函数之差。
  • 引理 6.3：$\pi (x)$ 满足有限可加性
• 定理 6.7：闭区间上定义的有界变差函数恒可表示为它的跳跃函数与一个连续有界变差变差函数的和。
• 定理 6.8：设 $f$ 是 $[a,b]$ 上的有界变差函数，则其标准分解成立，若 $f(a)=0$，假设 $f$ 有分解 $f(x)=p_{1}(x)-n_{1}(x)$，其中 $p_{1},n_{1}$ 均为增函数，且 $p_{1}(a)=n_{1}(a)=0$，则 $p_{1}(x)-p(x)$ 与 $n_{1}(x)-n(x)$ 也是非负增函数
• 定理 6.9：在 $[a,b]$ 上定义的函数 $f(x)$ 绝对连续的充分必要条件是存在可积函数 $g(x)$ ，满足 $f(x)=f(a)+\int_{[a,x]}g(t)\mathrm{d}m$
  • 引理 6.4：在 $[a,b]$ 上定义的绝对连续函数 $f(x)$ 是有界变差的
  • 引理 6.5：设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的绝对连续函数，它的导函数 $f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上几乎处处为零，则 $f(x)$ 为常数。
  • 引理 6.6：设 $g(x)$ 为区间 $[a,b]$ 上的可积函数，则函数 $f(x)=C+\int_{[a,x]}g(t)\mathrm{d}m$ 为绝对连续的，它的导数几乎处处存在且 $f'(x)\sim g(x)$
• 定理 6.10：定义在 $[a,b]$ 上的有界变差函数 $f(x)$ 可以分解为 $f(x)=\varphi (x)+r(x)+s(x)$，其中 $\varphi (x)$ 为绝对连续函数，$r(x)$ 为奇异函数或 0，$s(x)$ 为跳跃函数，这种分解是唯一的。

7 勒贝格-斯蒂尔切斯积分概念#

LS 测度：设 $\mu (x)$ 为闭区间 $[a,b]$ 上定义的增函数，约定 $\mu(a-0)=\mu(a),\mu(b+0)=\mu(b)$。对任一 $[a,b]$ 上的任一子区间 $(\alpha,\beta)$ ，它的 $\mu$ 测度定义为

$$\mu \{ (\alpha,\beta) \}=\mu(\beta-0)-\mu(\alpha+0)$$

对于一点 $\alpha$ 的 $\mu$ 测度定义为

$$\mu \{ \alpha \}=\mu(\alpha+0)-\mu(\alpha-0)$$

于是，对于开集 $G$，若 $G=\cup(\alpha_{k},\beta_{k})$ ，$(\alpha_{k},\beta_{k})$ 互不相交。则它的测度定义为：

$$\mu G=\sum_{k}\mu \{ (\alpha_{k},\beta_{k}) \}$$

我们也可以仿照之前，定义外测度为

$$\mu^{*} E=\inf \{ \mu G:E\subset G,G\text{ 为开集} \}$$

闭集的测度、内测度也一样定义。若 $\mu^{*}E=\mu_{*}E$，则称 $E$ 为 $\mu$ 可测。 类似地，我们也可以证明可测的充分必要条件是 Carathéodory 条件 一切 $\mu$ 可测的集用 $\mathscr{M}_{\mu}$ 记之，可以证明 $\mathscr{M}_{\mu}$ 构成一个 $\sigma$ 环。

LS 可积 ：对于 $\mu$ 为 增函数，$LS$ 积分定义不变。对于可测函数 $f$ ，关于 $\mu$ 可积可以记为 $f\in L_{\mu}$ ；对于 $\mu$ 为 $[a,b]$ 上的有界变差函数。在 $[a,x]$ 上的全变差，正变差与负变差分别为 $v(x),p(x),n(x)$。再设 $f\in L_{v}$ ，那么称 $f$ 关于关于 $LS$ 可积，并定义它的积分值为

$$\int_{E}f\mathrm{d}\mu=\int_{E}f\mathrm{d}p-\int_{E}f\mathrm{d}n$$

RS 可积：设 $\mu (x)$ 为区间 $[a,b]$ 上的增函数，$f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的有界实函数。对 $[a,b]$ 上的任一分划

$$a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b,$$

每个小区间 $[x_{k-1},x_{k}]$ 上取一点 $\xi_{k}$，做和

$$\sigma=\sum_{k=1}^{n}f(\xi_{k})[\mu(x_{k})-\mu(x_{k-1})]$$

如果当 $\lambda=\max_{k}(x_{k+1}-x_{k})\to{0}$ 时，和 $\sigma$ 存在有限极限 $I$ 且与分划方式及 $\xi_{k}$ 的选取无关，则称 $f$ 关于 $\mu$ 的 RS 积分存在，记为

$$I=\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}\mu(x),$$

或者简记为 $\int_{a}^{b}f \mathrm{d}\mu$

• 定理 7.1：设 $\mu$ 为 $[a,b]$ 上的增函数，$f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 关于 $\mu$ 的 $RS$ 积分存在
  • 引理 7.1：设 $\mu_{1},\mu_{2}$ 均为增函数，且对任何区间 $[\alpha,\beta]$ ，有 $\mu_{1}(\beta)-\mu_{1}(\alpha)\leq \mu_{2}(\beta)-\mu_{2}(\alpha)$，则有 $\mathscr{M}_{\mu_{2}}\subset \mathscr{M}_{\mu_{1}}$
  • 引理 7.2：设 $\mu_{1},\mu_{2}$ 均为增函数，则 $E\subset \mathscr{M}_{\mu_{1}+\mu_{2}}$ 的充分必要条件是 $E\in \mathscr{M}_{\mu_{1}}\cap \mathscr{M}_{\mu_{2}}$
  • 引理 7.3：设 $\mu_{1},\mu_{2}$ 为有界增函数，且对任意区间 $(\alpha,\beta)$ ，有 $\mu_{1}(\beta)-\mu_{1}(\alpha)\leq \mu_{2}(\beta)-\mu_{2}(\alpha)$，则当 $f$ 关于 $\mu_{2}$ 为 LS 可积时，$f$ 关于 $\mu_{1}$ 也为 LS 可积。
  • 引理 7.4：设 $\mu_{1},\mu_{2}$ 均为有界增函数，若 $f\in L_{\mu_{1}}\cap L_{\mu_{2}}$ ，则 $f\in L_{\mu_{1}+\mu_{2}}$，且 $\int_{E} f\mathrm{d}(\mu_{1}+\mu_{2})=\int_{E} f\mathrm{d}\mu_{1}+\int_{E}f\mathrm{d}\mu_{2}$
• 定理 7.2：设 $\mu$ 为 $[a,b]$ 上的增函数，则
  • 关于 $\mu$ RS 可积符合线性性：$\int_{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\mathrm{d}\mu=\alpha \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}\mu+\beta \int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}\mu$
  • 关于 $\mu$ RS 可积对区间可加：$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}\mu=\int_{a}^{c}f(x)\mathrm{d}\mu+\int_{c}^{b}f(x)\mathrm{d}\mu,a<c<b$
  • 关于 $\mu$ RS 可积符合保号性：若 $f(x)\geq 0$，则 $\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}\mu\geq 0$；
• 定理 7.3：设 $\mu$ 为 $[a,b]$ 上的增函数，$f$ 在 $[a,b]$ 上有界，$f$ 关于 $\mu$ 的 RS 积分存在时，$f$ 关于 $\mu$ 的 LS 积分也存在，且二者相等

函数空间 $L^{p}$#

1 $L^{p}$ 空间 · 完备性#

$L^{p}$ 空间：设 $p\geq{1}$，若 $\left| f(x) \right|^{p}$ 可积，则称 $f(x)$ 为 $p$ 幂可积。一切 $p$ 幂可积函数所成的集记为 $L^{p}(E)$ 或 $L^{p}$，称为 $L^{p}$ 空间，即

$$L^{p}=\{ f:\int_{E}\left| f \right|^{p}\mathrm{d}m<\infty \}$$

相伴数：设 $p>1$，$q$ 满足 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，则称 $q$ 为 $p$ 的 相伴数。如果 $p=1$，则 $q=\infty$。

[!note] 本性有界函数空间 当 $p,q$ 中有一个 $1$，而另一个为 $\infty$ 时，我们就遇到了本性有界函数空间 $L^{\infty}$。

范数：在空间 $L^{p}$ 中引进记号 $||f||_{p}=\left\{ \int_{E}\left| f \right|^{p}\mathrm{d}m \right\}^{\frac{1}{p}}$，称为 $f$ 的 $p$ 范数。 特别地，当 $p=2$ 时，定理 1.2 的不等式称为施瓦茨不等式。 范数公理：

1. 非负性，$||f||_{p}=0\iff f\sim 0$
2. 齐次性，$||\alpha f||_{p}=|\alpha|||f||_{p}$
3. 三角不等式，$||f+g||_{p}\leq ||f||_{p}+||g||_{p}$ 强收敛：设 $f,f_{n}\in L^{p},n \in \mathbb{N}$，如果当 $n\to \infty$ 时，$||f_{n}-f||_{p}\to 0$，则称 $\{ f_{n} \}$ 强收敛于 $f$ 或 $\{ f_{n} \}$ 依范数收敛于 $f$，称 $f$ 为 $\{ f_{n} \}$ 的强极限，简记为 $f_{n} \overset{\text{强}}\to f$。 根据三角不等式，强收敛一定有范数列收敛。

基本列：设 $\{ f_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}$ 是 $L^{p}$ 中的元列，如果当 $m,n\to \infty$ 时，有 $||f_{m}-f_{n}||_{p}\to 0$ ，则称 $\{ f_{n} \}$ 为 $L^{p}$ 中的基本列。 完备：$L^{p}$ 空间的任何基本列必定有强极限，而且极限元在 $L^{p}$ 中，所以空间 $L^{p}$ 是完备的。

• 定理 1.1： $L^{p}$ 空间是线性空间
• 定理 1.2（赫尔德不等式）：设 $p,q$ 互为相伴数，$f\in L^{p},g\in L^{q}$，则 $fg$ 可积，且 $\int_{E}\left| fg \right|\mathrm{d}m\leq \left( \int_{E}\left| f \right|^{p}\mathrm{d}m \right)^{\frac{1}{p}}\left( \int_{E}\left| g \right|^{q}\mathrm{d}m \right)^{\frac{1}{q}}$
• 定理 1.3（闵可夫斯基不等式）：设 $p\geq 1$，$f,g\in L^{p}$，则 $f+g\in L^{p}$，且 $||f+g||_{p}\leq ||f||_{p}+||g||_{p}$
• 定理 1.4：基本列必强收敛

2 $L^{p}$ 空间的可分性#

稠密：设 $A$ 是 $L^{p}$ 的一个子类。若对任一 $f\in L^{p}$ ，都存在元列 $\{ g_{n} \}\subset A$ 使得 $g_{n}\overset{\text{强}}\to f$，则称 $A$ 在 $L^{p}$ 中稠密。如果存在可列子类 $A$ ，使得 $A$ 在 $L^{p}$ 中稠密，则称 $L^{p}$ 是可分的。 简单函数类 $S$：其中每个元形如

$$\varphi (x)=\sum_{k=1}^{m} r_{k}\chi_{e_{k}}(x),$$

这里 $e_{k}=(a_{k},b_{k})$ 等为开区间且互不相交，端点 $a_{k},b_{k}$ 以及 $r_{k}$ 均为有理数。

线性算子：$C=C[a,b]$ 表示区间 $[a,b]$ 上一切连续函数的类。称映射 $L: C\to C$ 为 $C$ 中线性算子，如果对任意 $f,g\in C$ 以及任意标量 $\alpha,\beta$，都有

$$L(\alpha f+\beta g)=\alpha L(f)+\beta L(g).$$

若 $f\geq 0\implies L(f)\geq_{0}$，则称 $L$ 为正算子。若对每个 $f\in C$，$L(f)$ 恒为多项式，则称 $L$ 为多项式算子。 伯恩斯坦多项式：$C=C[0,1]$ ，则线性算子

$$B_{n}(f;x)=\sum_{k=0}^{n} f( \frac{k}{n} )\binom{n}{k}x^{k}(1-x)^{n-k},0\leq x \leq 1$$

称为 $f$ 的伯恩斯坦多项式

弱收敛：设 $\{ f_{n} \}\subset L^{p}$，若存在 $f\in L^{p}$，使得对于每个 $g\in L^{q}$ 都有

$$\lim_{ n \to \infty } \int_{E}f_{n}g\mathrm{d}m=\int_{E}fg\mathrm{d}m,$$

则称 $\{ f_{n} \}$ 弱收敛于 $f$，记为 $f_{n}\overset{\text{弱}}\to f$。其中 $q$ 为 $p$ 的相伴数。 强收敛一定弱收敛，但是弱收敛未必强收敛，可以利用傅里叶级数中的黎曼勒贝格引理证明。

内积空间：$L^{p}$ 在 $p=2$ 时有很多有趣的性质，比如可以在 $L^{2}(E)$ 引入内积

$$(f,g)=\int_{E}f\bar{g}\mathrm{d}m,$$

这里 $\bar{g}$ 表示的复共轭。这样 $L^{2}(E)$ 就成为一个复内积空间。还可以考察规范正交系 $\{ \omega _{n} \}_{n \in \mathbb{N}}$ ，即满足条件

$$(\omega_{k},\omega_{j})=\delta_{kj}.$$

对于 $L^{2}(-\pi,\pi)$ 则 $\frac{1}{\sqrt{ 2\pi }},\frac{1}{\sqrt{ \pi }}\cos nx,\frac{1}{\sqrt{ \pi }}\sin nx(n=1,2,\cdots)$ 构成规范正交系，我们称之为三角系。 对于 $L^{2}(0,1)$，令

$$\varphi _{n} (x)= \operatorname{sgn}(x)\{ \sin(2^{n+1}\pi x) \}, n \in \mathbb{N}$$

并规定函数不连续点处右极限为其函数值，则可以定义沃尔什函数系 $w_{k}(x)$

• 定理 2.1：设 $E$ 是有界可测集，则 $L^{p}(E),p\geq 1$ 是可分的
  • 引理 2.1：设 $f\in L^{p}(E)$，则对任一 $\varepsilon>0$，都存在一个有界可测函数 $g(x)$，使得 $||f-g||_{p}<\varepsilon$
  • 引理 2.2：设 $E$ 是有界可测集，$g$ 是 $E$ 上有界可测函数，则对任一 $\varepsilon>0$，都存在一个简单函数 $\varphi(x)$，使得 $||g-\varphi||_{p}<\varepsilon$
  • 引理 2.3：设 $\varphi (x)$ 是有界可测集 $E$ 上的简单函数，则对任一 $\varepsilon>0$，都存在一个简单函数 $s(x)\in S$，它在 $E$ 上的限制 $s_{0}(x)$ 适合 $||\varphi-s_{0}||_{p}<\varepsilon$
• 定理 2.2：设 $\{ L_{n}(f;x) \}_{n \in \mathbb{N}}$ 是 $C[a,b]$ 中的线性算子列，且满足：对每个 $\alpha_{i}(x)=x^{i}$ ，$L_{n}(\alpha_{i};x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $\alpha_{i}(x)$，$i=0,1,2,\cdots$，则对每个 $f\in C[a,b]$，都有 $L_{n}(f;x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f(x)$。
  • 推论 1：对任何 $f \in C[0,q]$，伯恩斯坦多项式列一致收敛于 $f(x)$
  • 推论 2（魏尔斯特拉斯逼近定理）：对任何 $f \in C[a,b]$ 和任一 $\varepsilon>0$，都存在一个多项式 $P(x)$，使得 $|f(x)-P(x)|<\varepsilon,x\in [a,b]$

3 傅里叶变换概要#

傅里叶级数：设 $f(x)$ 是 $(-\pi,\pi)$ 上的可积函数，可以由

$$f(x)\sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx)$$

给出其傅里叶级数。 另外，可以利用欧拉公式给出

$$f(x)\sim \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}e^{ikx}.$$

其中，$c_{0}=\frac{a_{0}}{2}, c_{k}=\frac{a_{k}-ib_{k}}{2},c_{-k}=\frac{a_{k}+ib_{k}}{2},k=1,2,\cdots$。 当 $f(x)$ 为复函数时，系数由

$$c_{k} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}\mathrm{d}x,k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$$

给出。 傅里叶变换：离散情形给出了级数，我们还可以考虑连续情形，引进积分

$$\hat{f}(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-itx}\mathrm{d}x,$$

称为 $f$ 依 $L^{1}$ 意义的傅里叶变换，或称可积函数 $f$ 的傅里叶变换。

帕塞瓦尔公式：对于 $f\in L^{2}$，

$$\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^{2}\mathrm{d}x=2\pi \int_{-\infty}^{\infty}|\hat{f}(t)|^{2}\mathrm{d}t$$

卷积：设 $f,g$ 同属于 $L^{1}$ 或 $L^{2}$ ，定义它们的卷积为

$$(f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x-t)g(t)\mathrm{d}t$$

• 定理 3.1：设 $f,g\in L^{1}, a,b,h,\lambda \in \mathbb{R}$。有
  • 线性性：即 $\hat{(af+bg)}=a \hat{f}+ b \hat{g}$，且 $||\hat{f}||_{\infty}\leq \frac{1}{2\pi}||f||_{1}$
  • 平移：$\hat{f}(t+h)=e^{iht}\hat{f}(t)$
  • 函数 $\varphi (x)=f(x) e^{ ihx }$ 的傅里叶变换为 $\hat{\varphi}(t)=\hat{f}(t-h)$
  • 伸缩：设 $\varphi (x)=f(\lambda x)$，则 $\hat{\varphi}(t)=\frac{1}{|\lambda|}\hat{f}(\frac{t}{\left| \lambda \right|})$
• 定理 3.2：设 $f\in L^{1}$ ，则 $f$ 的傅里叶变换处处有限，并且是有界连续函数
• 定理 3.3：设 $f\in L^{1}$ ，则 $\hat{f}\to {0},t \to\pm \infty$
• 定理 3.4：设 $f\in L^{1}(-\infty,\infty)$ 则 $\lim_{ \rho \to \infty }\int_{-\infty}^{\infty}e^{ -t^{2}/\rho^{2} }\hat{f}(t)e^{ itx }\mathrm{d}t=f(t),\mathrm{a.e.}$
  • 引理 3.1：设 $f\in L^{1}(-\infty,\infty)$ ，则对任一 $\rho>0$，则 $\lim_{ h \to 0 }\int_{0}^{h}[f(x+t)-f(x)]\rho e^{ -\rho^{2}t^{2} }\mathrm{d}t=0,\mathrm{a.e.}$
  • 推论：设 $f,\hat{f}\in L^{1}(-\infty,\infty)$ ，则有反演公式 $f(x)=\int_{\infty}^{\infty}\hat{f}(t)e^{ itx }\mathrm{d}t,\mathrm{a.e.}$
• 定理 3.5：设 $x^{r}f(x)$ 在 $(-\infty,\infty)$ 上可积，则 $\hat{f}(t)$ 为 $r$ 阶可微，且有等式 $\frac{\mathrm{d}^{r}}{\mathrm{d}t^{r}}\hat{f}(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}(-ix)^{r}f(x)e^{-itx}\mathrm{d}x$
• 定理 3.6：设 $f(x)\in L^{2}$ ，若 $\hat{f}(t)$ 是 $f$ 依 $L^{2}$ 意义的傅里叶变换，则 $\hat{f}\in L^{2}$ 且 帕塞瓦尔公式成立
  • 引理 3.2：设 $\chi=\chi_{(\alpha,\beta)}(x)$ 是区间 $(\alpha,\beta)$ 的特征函数， $\hat{\chi}$ 是它的傅里叶变换，则 $\lim_{ N \to \infty }\int_{-N}^{N}\hat{\chi}e^{ itx }\mathrm{d}t=\chi (x),\mathrm{a.e.}$
  • 推论：设 $f,g\in L^{2}$ 则 $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\bar{g}(x)\mathrm{d}x= 2\pi \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(t)\bar{\hat{g}}(t)\mathrm{d}t$
• 定理 3.7：设 $f\in L^{2}$ ，$\hat{f}$ 是 $f$ 依 $L^{2}$ 意义的傅里叶变换，则 $\hat{f}\in L^{2}$ 且成立反演公式
  • $\hat{f}(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(u) \frac{e^{ -itu }-1}{-iu}\mathrm{d}u \right\},\mathrm{a.e.}$
  • $f(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(t) \frac{e^{ itx }-1}{it}\mathrm{d}t \right\},\mathrm{a.e.}$
  • 定理 3.6 与定理 3.7 通常称为普朗席奈定理
• 定理 3.8：设 $f(x)$ 属于 $L^{1}$ 或者 $L^{2}$ ， $\varphi (x)=f(x+a)$ ，则 $\hat{\varphi}(x)=e^{ ita }\hat{f}(t)$
• 定理 3.9：设 $f,g\in L^{1}$ 时有 $\hat{(f*g)}(t)= 2\pi \hat{f}(t) \hat{g}(t)$，当 $f,g\in L^{2}$ 时，卷积 $f*g$ 存在且属于 $L^{1}$，且 $(f*g)(t)=2 \pi \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(u)\hat{g}(u)e^{ itu }\mathrm{d}u$。