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笔记

抽象代数域扩张理论

学域域了
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代数扩张#

α\alpha 在 FF 上生成的域：设 FF 是域，α\alpha 是包含 FF 的某个域 EE 中的元素，则由 FF 和 α\alpha 生成的最小子域，记为 F(α)F(\alpha)，称为 α\alpha 在 FF 上生成的域。 扩张：设 E/FE/F 是域扩张，α∈E,S⊂E\alpha \in E,S\subset E，称 F(α)F(\alpha) 为 FF 的单扩张，而当 SS 有限时，称 F(S)F(S) 为 FF 的有限扩张，当 S=KS = K 也是 EE 的子域时，F(K)F(K) 也记为 FKFK，并称之为 FF 和 KK 的复合域。 代数扩张：设 E/FE/F 是域扩张，α∈E\alpha \in E，若 α\alpha 是 FF 上某个非零多项式的根，则称 α\alpha 为 FF 上的代数元，否则称为 FF 上的超越元。若 EE 中的每个元素都是 FF 上的代数元，则称扩张 E/FE/F 为代数扩张，否则称为超越扩张。 有理数域上的代数元通常称为代数数，超越元称为超越数。 有限扩张：以 [E:F][E:F] 表示 EE 作为 FF 上线性空间的维数，成为扩张 E/FE/F 的次数，若 [E:F][E:F] 有限，则称扩张 E/FE/F 为有限扩张，否则称为无限扩张。

F−F- 同态：设 E/FE/F 和 E′/FE'/F 是域扩张，映射 σ:E→E′\sigma: E \to E' 称为 F−F- 同态，若对任意 a∈Fa\in F 有 σ(a)=a\sigma(a)=a，即 ψ\psi 限制在 FF 上是恒等映射，则称 σ\sigma 为 F−F- 同态。 若 σ\sigma 是双射，则称为 F−F- 同构。 代数封闭域：设 EE 为域，若 EE 上的任意非常数多项式在 EE 中都有根，则称 EE 为代数封闭域。 设 FF 是域，K/FK/F 是一个代数扩张，若 KK 是代数封闭域，则称 KK 为 FF 的代数闭包。

  • 命题 6.1.1：设 E/FE/F 是域扩张，S1,S2⊂ES_{1},S_{2}\subset E，则
F(S1)(S2)=F(S1∪S2)=F(S2)(S1)F(S_{1})(S_{2}) = F(S_{1} \cup S_{2}) = F(S_{2})(S_{1}) 
- 其实就是说添加次序不重要
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  • 命题 6.1.2：设 E/FE/F 为代数扩张，ψ:E→E\psi: E\to E 为 F−F- 同态，则 ψ\psi 是 F−F- 同构。

    • 代数扩张十分紧凑，单射即满射

  • 命题 6.1.3：设 E/FE/F 为域扩张，令 E′E' 是 EE 中 FF 上的所有代数元构成的集合，若 EE 为代数封闭域，则 E′E' 为 FF 的代数闭包。

  • 定理 6.1.1（望远镜法则）：设 F⊂L⊂EF\subset L\subset E 是域扩张链，则 [E:F]=[E:L][L:F][E:F] = [E:L][L:F]。

    • 推论 6.1.1：设 F⊂L⊂EF\subset L\subset E 是域扩张链，若 E/LE/L 和 L/FL/F 都是有限次扩张，则 E/FE/F 也是有限次扩张，且 [E:L][E:L] 和 L:FL:F 都整除 [E:F][E:F]。

  • 定理 6.1.2：设 E/FE/F 是有限扩张，则 E/FE/F 是代数扩张。

  • 定理 6.1.3：设 E/FE/F 是域扩张，α∈E\alpha \in E 是 FF 上的代数元，且在 FF 上的次数为 nn，则 [F(α):F]=n[F(\alpha):F]=n

  • 定理 6.1.4：设 E/FE/F 是域扩张，α1,α2,⋯ ,αn∈E\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} \in E 都是 FF 上的代数元，则扩张 F(α1,α2,⋯ ,αn)/FF(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})/F 是有限扩张，即有限次扩张就是有限生成的代数扩张。特别地，域 FF 上的任意两个代数元的和差积商仍为 FF 上的代数元。

  • 定理 6.1.5：设 F⊂L⊂EF\subset L\subset E 是一个域扩张链，则 E/FE/F 是代数扩张当且仅当 E/LE/L 和 L/FL/F 都是代数扩张。

  • 定理 6.1.6：设 FF 是一个域，则存在 FF 的代数闭包

  • 定理 6.1.7：设 FF 是一个域，E1E_{1} 和 E2E_{2} 都是 FF 的代数闭包，则存在 F−F- 同构 π:E1→E2\pi: E_{1} \to E_{2}，即 FF 的代数闭包在 F−F- 同构意义下是唯一的。

多项式的分裂域域正规扩张#

1 定义#

分裂域：设 FF 为域，EE 为 FF 的扩域，f(x)∈F[x]f(x)\in F[x] 且 deg⁡f(x)≥1\deg f(x)\ge 1. 称 f(x)f(x) 在 EE 上分裂，如果 f(x)f(x) 在 E[x]E[x] 上能分解为一次因式的乘积，或者 f(x)f(x) 的根都在 EE 中。若 f(x)f(x) 在 EE 上分裂，且 EE 是包含 FF 的所有根的最小子域，则称 EE 为 f(x)f(x) 在 FF 上的分裂域。

延拓：设 E/FE/F 和 E′/F′E'/F' 都是域扩张，φ:F→F′\varphi: F \to F' 是域同态，若 ψ:E→E′\psi: E\to E' 也是域同态，且对任意 a∈Fa\in F 有 ψ(a)=φ(a)\psi(a) = \varphi(a)，则称 ψ\psi 是 φ\varphi 在 EE 上的延拓。

正规扩张：设 EE 是 FF 的一个代数扩张，如果对于任一 FF 上的不可约多项式 f(x)f(x) ，若 EE 中有 f(x)f(x) 的一个根，则 EE 中就有 f(x)f(x) 的所有根，则称扩张 E/FE/F 为正规扩张。 正规闭包：设 E/FE/F 是有限次扩张，称 EE 的代数扩张 E~\tilde{E} 为 EE 在 FF 上的一个正规闭包，如果 E~\tilde{E} 是 FF 的正规扩张，并且对于 FF 的任意正规扩张 KK，若 F⊂E⊂K⊂E~F\subset E\subset K\subset \tilde{E}，则有 K=E~K=\tilde{E}. 所以 EE 在 FF 上的正规闭包就是包含 EE 的 FF 的最小正规扩张

2 定理#

命题 6.2.1：设 F⊂L⊂EF\subset L\subset E 是域的一个代数扩张链，如果 E/FE/F 正规，那么 E/LE/L 也正规

定理 6.2.1（分裂域的存在性）：设 FF 为域，f(x)∈F[x]f(x)\in F[x] 且 deg⁡f(x)=n≥1\deg f(x)=n\ge 1. 则存在 f(x)f(x) 在 FF 上的分裂域 EE 且，且 [E:F]≤n![E:F] \le n!

定理 6.2.2（同构延拓定理）：设 φ:F→F′\varphi: F\to F' 为域同构，f(x)∈F[x]f(x)\in F[x] 且 deg⁡f(x)≥1\deg f(x)\ge1 。若 f(x)f(x) 在 FF 上的分裂域为 EE ，φ(f)(x)\varphi(f)(x) 在 F′F' 上的分裂域为 E′E'，则

[E:F]=[E′:F′][E:F]= [E':F']

定理 6.2.3（分裂域的唯一性）：设 FF 为域，f(x)∈F[x]f(x)\in F[x] 且 deg⁡f(x)≥1\deg f(x)\ge 1，若 E1E_{1} 和 E2E_{2} 都是 f(x)f(x) 在 FF 上的分裂域，则存在 F−F- 同构 ψ:E1→E2\psi: E_{1} \to E_{2}，即分裂域在 F−F- 同构意义下是唯一的。

定理 6.2.4：设 EE 为 FF 的有限扩域，则下列陈述等价：

  • EE 是 FF 的正规扩张
  • EE 是某些多项式在 FF 上的分裂域
  • 对于域 EE 的任意扩张 KK 和任意 F−F- 自同态 σ:K→K\sigma : K\to K，都有 σ∣E\sigma \mid_{E} 为 EE 的 F−F- 自同构。

定理 6.2.5：设 E/FE/F 是有限次扩张，那么 EE 在 FF 上的正规闭包存在且唯一（在 F−F- 同构意义下），进一步地 E~/F\tilde{E}/F 有限

可分扩张#

1 定义#

重根：设 FF 为域，f(x)∈F[x]f(x)\in F[x] 且 deg⁡f(x)≥1\deg f(x)\ge 1，KK 为 FF 的扩域，θ∈K\theta \in K 称为 f(x)f(x) 在 KK 上的重根，如果 (x−θ)2(x-\theta)^{2} 整除 f(x)f(x) 在 K[x]K[x] 上的分解式，否则称为单根。

导数：设

f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0∈F[x]f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0} \in F[x]

定义 f(x)f(x) 的导数为：

f′(x)=nanxn−1+(n−1)an−1xn−2+⋯+2a2x+a1f'(x)=n a_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+2 a_{2}x + a_{1}

完全域：域 FF 为完全域，若 FF 的特征为 00 或者 FF 的特征为素数 pp 且 Fp=FF^{p}=F 可分多项式：设 FF 为域，p(x)∈F[x]p(x)\in F[x] 在 FF 上不可约，若 p(x)p(x) 在它的分裂域中没有重根，则称 p(x)p(x) 为可分多项式，对任意 f(x)∈F[x]f(x)\in F[x] ，称 f(x)f(x) 可分，若它在 F[x]F[x] 中的每个不可约因式都是可分的，否则称 p(x)p(x) 或 f(x)f(x) 为不可分的。 可分元素：设 EE 为域 FF 的一个代数扩张，α∈E\alpha \in E，若 α\alpha 在 FF 上的极小多项式可分，则称之为 FF 上的一个可分元素，否则称其为 FF 上的不可分元素。代数扩张 EE 称为 FF 的可分扩张，若 EE 中每个元素都是 FF 上的可分元素，否则 EE 称为 FF 的不可分扩张。

2 定理#

命题 6.3.1：设 FF 为域，则 ∀f(x),g(x)∈F[x]\forall f(x),g(x)\in F[x]，有

(f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x)(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)(f(g(x)))′=f′(g(x))g′(x)\begin{align} &(f(x)\pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \\ &(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \\ &(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x) \end{align}

命题 6.3.2：设 FF 为完全域，f(x)∈F[x]f(x)\in F[x]，则 f(x)f(x) 无重因式当且仅当 f(x)f(x) 与 f′(x)f'(x) 互素

命题 6.3.3：设 F⊂L⊂EF\subset L\subset E 是域扩张链，若 E/FE/F 可分，则 E/LE/L 和 L/FL/F 都可分

命题 6.3.4：设 FF 是域，α\alpha 在 FF 上可分，β\beta 在 F(α)F(\alpha) 上可分，则 β\beta 在 FF 上也可分

定理 6.3.1：设 K/FK/F 为域扩张，f(x)∈F[x]f(x)\in F[x]，deg⁡f(x)≥1\deg f(x)\ge 1，且 θ∈K\theta \in K 是 f(x)f(x) 在 KK 上的根，则 θ\theta 是 f(x)f(x) 的重根的充分必要条件是 θ\theta 也是 f′(x)f'(x) 在 KK 上的根。 推论 6.3.1：设 f(x)∈F[x]f(x)\in F[x]，deg⁡f(x)≥1\deg f(x)\ge 1 ，则 f(x)f(x) 在 FF 的扩域中有重根当且仅当 f(x)f(x) 与 f′(x)f'(x) 不互素 推论 6.3.2：设 f(x)∈F[x]f(x)\in F[x] 不可约，则 f(x)f(x) 有重根当且仅当 f′(x)=0f'(x)=0

定理 6.3.2：设 FF 为域，f(x)∈F[x]f(x)\in F[x] 在 FF 上不可约。若 FF 的特征为 00，则 f(x)f(x) 在 FF 的分裂域中没有重根。若 FF 的特征为素数 pp，则 f(x)f(x) 在 FF 的分裂域中有重根的充分必要条件是存在多项式 g(x)∈F[x]g(x)\in F[x]，使得

f(x)=g(xp)f(x) = g(x^{p})

推论 6.3.3：设 FF 为完全域，则 FF 上任意不可约多项式一定没有重根

定理 6.3.3：设域 FF 的特征为素数 pp，f(x)f(x) 是 FF 上的不可分不可约多项式， EE 是 f(x)f(x) 在 FF 上的分裂域，则 f(x)f(x) 在 E[x]E[x] 中的分解为

f(x)=c(x−α1)pe(x−α2)pe⋯(x−αk)pef(x)=c (x -\alpha_{1})^{p^{e}}(x -\alpha_{2})^{p^{e}} \cdots (x -\alpha_{k})^{p^{e}}

其中 cc 为 FF 中的非零常数，α1,α2,⋯ ,αk\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{k} 为 EE 中互不相同的元素，ee 为正整数

定理 6.3.4（同构延拓定理的强形式） 设 ϕ:F→F′\phi: F \to F' 为域同构，f(x)∈F[x]f(x) \in F[x] 在 FF 上的分裂域为 EE，ϕ(f)(x)∈F′[x]\phi(f)(x) \in F'[x] 在 F′F' 上的分裂域为 E′E'。若 f(x)f(x) 可分，则 ϕ\phi 在 EE 上的延拓恰有 [E:F][E:F] 个。 推论 6.3.4：设可分多项式 f(x)∈F[x]f(x)\in F[x] 在 FF 上的分裂域为 EE，则 EE 的 F−F- 自同构个数为 [E:F][E:F]

定理 6.3.5：设 FF 为域且 char⁡F=p\operatorname{char}F=p，E/FE/F 为代数扩张， α∈E\alpha \in E，则 α\alpha 是 FF 上的不可分元素的充分必要条件是

F(α)=F(αp)F(\alpha) = F(\alpha^{p})

定理 6.3.6：设 EE 是域 FF 的有限可分扩张，则 EE 是 FF 的单扩张，即存在 α∈E\alpha \in E，使得 E=F(α)E=F(\alpha)。

定理 6.3.7：设 F⊂L⊂EF\subset L\subset E 是域的一个代数扩张链，则 E/FE/F 是可分扩张当且仅当 E/LE/L 和 L/FL/F 都是可分扩张。

有限域#

1 定义#

2 定理#

命题 6.4.1：设 FF 为 qq 元域，EE 为 FF 的扩域，则元素 β∈E\beta \in E 落在它的子域 FF 中当且仅当 βq=β\beta^{q}=\beta

命题 6.4.2：设 pp 为素数，mm 为正整数, FF 为 pmp^{m} 元域，则 FF 的子域的阶为 pdp^{d}，其中 d∣md\mid m. 反之，pmp^{m} 的每个正因子 dd 都对应着 FF 的一个唯一的子域，且该子域的阶为 pdp^{d}

定理 6.4.1：设 pp 为素数，mm 为正整数，q=pmq=p^{m} ，则 qq 元域存在。进一步地，两个 qq 元域是同构的。 这说明了有限域的存在性和唯一性。

定理 6.4.2：设 FF 为 qq 元域，E/FE/F 为 nn 次扩张，α∈E⋆\alpha \in E^{\star}，则 α\alpha 在 FF 中的极小多项式为

p(x)=(x−α)(x−αq)(x−αq2)⋯(x−αqd−1)p(x)=(x-\alpha)(x-\alpha^{q})(x-\alpha^{q^{2}}) \cdots (x-\alpha^{q^{d-1}})

其中 dd 为满足 qd≡1(mod⁡o(α))q^{d}\equiv 1(\operatorname{mod}o(\alpha))

定理 6.4.3：设 FF 是 qq 元域，nn 为正整数，f(x)f(x) 是 FF 上的首一不可约多项式且 deg⁡f(x)=d\deg f(x)=d，则 f(x)∣(xqn−x)f(x)\mid(x^{q^{n}}-x) 当且仅当 d∣nd\mid n

定理 6.4.4：设 FF 是 qq 元域, nn 为正整数, 则 FF 上 nn 次首一不可约多项式的个数为

Iq(n)=1n∑d∣nμ(d)qnd,I_q(n) = \frac{1}{n} \sum_{d \mid n} \mu(d) q^{\frac{n}{d}},

其中 μ\mu 为 Möbius 函数。

定理 6.4.5：设 F=FqF=\mathbb{F}_{q} 是 qq 元域，则 FF 的代数闭包为

F‾=⋃n=1∞Fqn\overline{F} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \mathbb{F}_{q^{n}}

抽象代数域扩张理论
https://adreamleft.site/blog/abstractalgebra/abstractalgebrafield
Author ADL
Published at January 8, 2026
Copyright CC BY-NC-SA 4.0
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