随机过程引论#
1 随机过程#
- 定义: 一个随机过程 {X(t),t∈T} 是一个由时间 t 索引的随机变量的集合。
- 时间集 T: 可以是离散的(如 T={0,1,2,…})或连续的(如 T=[0,∞))。
- 状态空间: 随机变量 X(t) 所有可能取值的集合。
- 信息流 (Filtration):
- 定义:一个 filtration {F(t),t≥0} 是一个递增的 σ -代数族,即对所有 s≤t,都有 F(s)⊆F(t)。
- 直观理解:F(t) 代表了直到时间 t 为止可获得的所有信息。
- 适应过程 (Adapted Process):
- 定义:一个随机过程 {X(t)} 如果对于所有 t,随机变量 X(t) 都是 F(t) -可测的,那么我们称该过程是适应于 filtration {F(t)} 的。
- 直观理解:在时间 t 的过程状态 X(t) 是基于当时已知的信息 F(t) 的。
- 理想的性质
- Stationary:有限时间点的分布具有平移不变性
(X(t1),X(t2),⋯,X(tn))=d(X(t1+h),X(t2+h),⋯,X(tn+h))
- Stationary increments:相同时间内增量分布相同 X(t)−X(s)=dX(t+h)−X(s+h)
- Independent increments:增量之间彼此独立
2 马尔可夫过程 (Markov Process)#
- 马尔可夫性质: 给定“现在”的信息,“将来”与“过去”相互独立。
- 形式化定义: 对于所有 s,t≥0 和任何集合 A,有
P(X(t+s)∈A∣F(t))=P(X(t+s)∈A∣X(t))
- 转移概率:
- 离散时间转移概率:
P(Xn+1=a∣Xn=b,⋯,Xn−1=c,⋯)=P(Xn+1=a∣Xn=b)
- 连续时间转移密度:
p(t,y;s,x)=dydP(X(t)≤y∣X(s)=x)
2.1 随机过程实例#
- 简单对称随机游走 (Simple Symmetric Random Walk, SRW):
- 定义:Sn=∑i=1nXi,其中 Xi 是独立同分布 (i.i.d.) 的随机变量,且 P(Xi=1)=P(Xi=−1)=21。
- 性质:It is not stationary but has independent and stationary increments.
- 概率性质:
- 转移概率 P(Wn+1=s∣Wn=r)={21,21,if s=r+1,if s=r−1
- 条件期望
E(Wn∣F(m))=Wm
- 条件二阶矩 E(Wn2∣F(m))=Wm2+(n−m)
- 泊松过程 (Poisson Process):
- 定义:一个计数过程 {N(t),t≥0},其定义依赖于以下几个关键特性:
- N(0)=0。
- 独立增量: 在不重叠的时间区间内,过程的增量是相互独立的。
- 平稳增量: N(t+s)−N(s) 的分布仅依赖于时间差 t,与起始时间 s 无关。
- 概率质量函数: P(N(t+Δt)−N(t)=k)=k!λk(Δt)ke−λΔt
- 推论:
- 实际上是指数分布间隔下的计数个数。
- 条件期望:
E(N(t+Δt)−N(t))=λΔt
3 鞅#
- 动机: 鞅是“公平博弈”的数学模型。
- 公平博弈: 对未来任何时刻财富的最好预测就是当前的财富值。
- 鞅性质: 对于所有 s≤t,有 E[M(t)∣F(s)]=M(s)。
- 下鞅 (Submartingale) / 上鞅 (Supermartingale):
- 如果鞅性质中的等号变为 ”≥“,则为下鞅(有利可图的游戏)。
- 如果等号变为 ”≤“,则为上鞅(不利的游戏)。
3.1 鞅的实例#
- 鞅投注策略: 其实是无利可图的,可以分为两种情况讨论其鞅性质
- 如果赢了,那么 P(Vn+1=1∣Vn=1)=1
- 如果没赢,那么 P(Vn+1=1∣Vn=−(2n−1))=1/2,P(Vn+1=−(2n+1−1))∣Vn=−(2n−1))=1/2
- 所以实际上是符合鞅性质的
- 简单随机游走: 对于 Sn=∑i=1nXi, {Sn} 是一个鞅,{Sn2−n} 也是一个鞅
- 鞅变换 (Martingale Transform):
- {θn} 是 F(n−1) -measurable,若给定一个鞅过程 {Mn},那么可以构造 T0=0,Tn=k=1∑nθk(Mk−Mk−1)
- {Tn} 也是一个鞅过程,被称为鞅变换
- 补偿泊松过程 (Compensated Poisson Process):
- 泊松过程 N(t) 的期望是 E[N(t)]=λt。
- 补偿后的过程 M(t)=N(t)−λt 是一个鞅。
3.2 停时#
- 停时 (Stopping Time):
- 定义:一个随机变量 τ 被称为停止时间,如果对于所有 t,“决定在 τ 时刻停止”的事件 {τ≤t} 仅依赖于到 t 时刻为止的信息,即 {τ≤t}∈F(t)。
- 例子:达到某个价格水平的首次穿越时间。
- 可选抽样定理 (Optional Sampling Theorem):
- 停止过程(Stopped process)Xτ(t)=X(min(t,τ)),若 X(t) 是一个鞅过程,那么 Xτ(t) 也是一个鞅过程
- 定理:若 {Mn} 是一个鞅过程,在某些条件下,EMτ=EM0
- 常见的几种条件:
- 停时有界
- 停时的期望有界,而且 {Mn} 右连续且 supt<τE∣Mt∣<∞
- Mn 有界
- 应用:赌徒破产问题:
- 由于此时并不满足那几种条件,所以不能直接使用可选抽样定理,但是可以使用停时鞅来代替求解 EWrτ=EW0τ=EW0t→∞limEWrτ=Er→∞limWrτ=EWτ
- 于是就可以得到 EWτ=EW0=0,所以给出结果 P(Wτ=m)=n+mn
4 二叉树定价#
- 定价方法:复制,使用已知价格的证券对衍生品定价
- 选择二叉树的原因
- 尽管简单,但是使用的无套利方法是普适的
- 多期二叉树近似于连续 BSM 模型
- 多期二叉树提供了一个强大的数量定价工具
- 二叉树模型,假设上涨幅度为 u,下跌幅度为 d,无风险利率为 r,然后使用期权和股票的复制组合构造无套利组合,计算得到股票份额 Δ0 和期权价格 X0 Δ0=S1(H)−S1(T)V1(H)−V1(T),X0=1+r1[u−d1+r−dV1(H)+u−du−(1+r)V1(T)]
- 由此还可以定义一个风险中性概率 p,即 p=u−d(1+r)−d
- 于是给出了风险中性测度 Q 的定义:是满足 S0(1+r)=EQ(S1∣F0),由此还可以得到 r=EQ(S0S1−S0∣F0)
- 多期定价实际上也可以用风险中性测度(鞅方法定价):也就是说,在风险中性测度 Q 下,股票的价格过程 {(1+r)nSn} 是一个鞅过程,由无套利方法定价的话,得到的期权的价格也是一个鞅过程
- 概率测度变换:定义 Radon-Nikodym 导数 Z(ω)=P(ω)Q(ω),显然,可以得到以下结论:EPZ=1,EQY=EPYZ
- 套利的定义:一个自融资证券组合 Xn 满足 X0=0 且 ∃N′<∞ s.t. P(XN′≥0)=1,P(XN′>0)>0
- 状态价格:
- 状态价格密度 ζ(ω)=(1+r)N1P(ω)Q(ω)
- 状态价格 ζ(ω)P(ω)
- Arrow-Debreu 证券:贴现值为 ANωˉ(ω)=1ω=ωˉ 的证券
- RN 导数过程:Zn=E(Z∣Fn) ,是一个鞅过程
- 状态价格密度过程:ζn=(1+r)nZn,也是一个鞅过程
- 在真实概率测度下,{ζnVn} 是一个鞅过程,我们有 Vn=ζn1E(ζNVN∣Fn)
- 奇异期权(Exotic Options):期权的价值可能是 path-dependent 的,即它的价值取决于标的资产价格的路径,而不仅仅是终点价格。
- lookback options(回望期权),它的价值取决于标的资产在整个期权有效期内的最高或最低价格;call 是 VN=SN−min0≤n≤NSn,put 是 VN=max0≤n≤NSn−SN;
- Asian options(亚洲期权),它的价值取决于标的资产价格在期权有效期内的平均价格;call 是 VN=max(N1∑n=0NSn−K,0),put 是 VN=max(K−N1∑n=0NSn,0);
- Barrier options(障碍期权),它的价值取决于标的资产价格是否触及某个预设的障碍水平。
- American options(美式期权),它的价值取决于标的资产价格在期权有效期内的任何时刻。Backward induction 方法可以用来计算美式期权的价格。Vn={max{g(Sn),vnc(Sn)}vN(SN)=g(SN)1≤n≤N−1n=N 其中, g(Sn) 是行使期权的价值,vnc(Sn) 是继续持有期权的价值。
- 美式期权的超复制策略(super-replication):在任何情况下都能保证期权的价值不低于其理论价值的策略。可以通过构造一个包含标的资产和无风险资产的自融资组合来实现。
- Δn=Sn(u−d)vn+1(Snu)−vn+1(Snd)
- Xn+1=ΔnSn+1+(1+r)(Xn−ΔnSn),其中 Xn 是自融资策略的价值
- 然后通过提前行权的额外价值 Cn=vn(Sn)−1+r1[p~vn+1(Snu)+q~vn+1(Snd)] ,我们可以得到一个递推关系 Xn+1−Vn+1=(1+r)(Xn−Vn+Cn),其中 p~ 和 q~ 是风险中性概率
- 美式期权的无套利定价:美式期权的“公平价格” 就是最小的初始财富,能让一个自融资组合在任意时刻都覆盖期权可能被行权的价值(super-replication)。
[!note] No Early Exercise (NEE) 定理
如果股票不分红,那么美式期权的价值等于对应的欧式期权的价值。也就是说,如果股票不分红,那么在任何时刻都没有必要提前行使期权。因为 {(1+r)ng(Sn)} 在风险中性测度下是一个 submartingale,其中 g(Sn)=max{Sn−K,0},这一点可以用 Jensen 不等式来证明。
- 美式期权定价的鞅方法:τ=min{n:Vn≥g(Sn)},即最小的时刻使得期权价值大于等于行使价值。然后可以使用停时鞅来求解美式期权的价格:V0=maxτ∈T0EQ[g((1+r)τSτ)]
5 布朗运动#
- 布朗运动 (Brownian Motion): 随机过程 {W(t)} 被称之为一维标准布朗运动,若满足
- W(0)=0
- For each ω∈Ω , W(t,ω) 是连续的
- 对任意的 0≤s<t,W(t)−W(s) 服从正态分布 N(0,t−s)
- 对任意的 0≤s<t,W(t)−W(s) 与 W(s) 独立
- 对股价的估计,几何布朗运动更合适 S(t)=exp{σW(t)+at}
- 从随机游走构造布朗运动
- 考虑对称随机游走:Mn:=j=1∑nXj ,其中 Xj 是独立同分布的随机变量,且 P(Xj=1)=P(Xj=−1)=21。
- 然后得到加权后的对称随机游走:当 nt 为整数时, W(n)(t)=n1Mnt
- 当 n→∞ 时,W(n)(t) 收敛到 N(0,t)。
- 当 nt 不是整数时,可以通过线性插值来定义 W(n)(t)。
- W(n)(t)=nM⌊nt⌋+(nM⌊nt⌋+1−nM⌊nt⌋)(nt−⌊nt⌋)
- 高斯过程:对于任意的 t1,t2,…,tn,W(t1),W(t2),…,W(tn) 服从多元正态分布;布朗运动是一个高斯过程。
- 布朗运动是强马尔可夫过程:
- 给定有限停时 τ,E(f(W(τ+t))∣F(τ))=E(f(W(τ+t))∣W(τ))
- 推论:布朗运动在停时之后刷新
- 一些基本性质:
- 时间平移不变性:B(t)=W(t+s)−W(s) 是 BM,与 s 无关
- 尺度不变性:B(t)=c1W(ct) 是 BM
- 对称不变性:B(t)=−W(t) 是 BM
- 时间反演不变性::B(t)=W(T)−W(T−t) 是 BM
- 路径性质:
- 无界:P(sup0≤t<∞W(t)=∞)=1,P(inf0≤t<∞W(t)=−∞)=1
- 常返:布朗运动会不断“回到”之前到过的位置,甚至在某点附近无限次经过。
- 几乎每一条布朗运动路径在任意时刻 t 都没有导数。
- 变差:
- 一阶变差:对于过程 Sn ,时间 k 前的一阶变差定义为 FVkS=j=1∑k∣Sj−Sj−1∣。
- 二阶变差:对于过程 Sn ,时间 k 前的二阶变差定义为 QVkS=j=1∑k(Sj−Sj−1)2。
- 对于随机游走,一阶变差为 FVkM=k,二阶变差为 QVkM=k。
- 对于加权随机游走,二阶变差为 FVW(n)(T)=nT,一阶变差为 QVW(n)(T)=T。
- 在概率意义下,布朗运动的二阶变差为 QVTW=T,一阶变差为 FVTW=∞,更高阶变差为 0。
- 由变差的性质,我们还可以证明布朗运动的路径几乎处处不可微,同时给出非正式的记号 (dW(t))2=dt
- FPT (首次通过时间):对于过程 Y(t) ,定义 τm=inf{t≥0:Y(t)=m} 为首次通过时间。
- 计算 FPT 分布的方法:反射原理或者拉普拉斯变换
- 反射原理:将 τm 之后的路径翻转到水平线以下,得到的路径 Wˉ(t)={W(t),2m−W(t),0≤t≤τmt>τm 仍然是一个布朗运动。所以我们可以得到 P(τm≤t)=2P(W(t)≥m)。 ^reflect-theorem
- 类似的,我们也可以用他来分析历史最大值的分布:记 M(t)=max0≤s≤tW(s) 为历史最大值,我们可以得到,P(M(t)≥m,W(t)≤w)=P(W(t)≥2m−w),于是我们还可以得到 (M(t),W(t)) 的联合分布密度:当 m≥0,w≤m 时, fM(t),W(t)(m,w)=∂m∂w∂2P(M(t)≤m,W(t)≤w)=∂m∂w∂2[P(W(t)≤w)−P(M(t)≥m,W(t)≤w)]
- Laplace 变换:只需要估计 Eeθτm 即可,这时候可以使用指数鞅 Z(t):=exp(σW(t)−2σ2t) 。利用 EZ(τm)=EZ(0) ,可以得到 Eexp(−2σ2τm)=exp(−σm) (严谨证明需要用到停时鞅及极限的可交换性)
- 布朗运动衍生出的随机过程
- 带有漂移的布朗运动:X(t)=μt+σW(t),其中 μ 是漂移项,σ 是波动率。
- 几何布朗运动:S(t)=exp(μt+σW(t)),其中 μ 是期望收益率,σ 是波动率。
- 布朗桥:B(t)=W(t)−tW(1),其中 W(t) 是布朗运动。布朗桥是一个条件于 W(1)=0 的布朗运动。
- 应用实例:Merton 的违约
- 假设公司的总价值 V(t)=S(t)+B(t) ,其中 S(t) 是公司的股价,B(t) 是公司的债务,债务面值为 K 且在 T 到期。
- 到期时,B(T)=min{K,V(T)},S(T)=max{0,V(T)−K}
- 如果假设公司价值服从几何布朗运动 V(t)=V(0)exp(μt+σW(t)),那么可以得到违约概率为 P(V(T)<K)=P(W(T)<σTlog(V(0)K)−μT)
- FPT:假设违约阈值为 D, τ=inf{t>0:V(t)<D},可以得到 τ=inf{t>0:W(t)+σμt=σ1logV(0)D}.
- 多维布朗运动
- 标准形式:d 维运动 W(t)=(W1(t),W2(t),…,Wd(t)) 满足
- W(0)=0
- 对任意的 i=j,Wi(t) 和 Wj(t) 独立,且 W(t)−W(s) 服从正态分布 N(0,(t−s)Id)
- 每个 Wi(t) 都是连续的
- 相关形式:只需要将协方差矩阵 Σ 替换单位矩阵,得到的过程仍然是一个布朗运动。
- Cholesky 分解:总能找到一个标准正交矩阵 A,使得 Σ=AAT,然后定义 W(t)=AW′(t),其中 W′(t) 是标准布朗运动。
6 随机微积分#
- 随机微积分:定义何为 I(t)=∫0tΔ(u)dW(u)
- 其中 Δ(u) 是一个过程,W(u) 是布朗运动。
- 难点在于布朗运动的路径几乎处处不可微,而且几乎处处没有有界变差
- 简单过程:{Δ(t)} on [0,T] 是一个简单过程,如果它可以表示为有限个分段常数的和,即 Δ(t)=∑i=1n−1Δ(ti)1[ti,ti+1)(t),其中 Δ(ti) 是常数,t0=0<t1<…<tn=T。
- 简单过程满足 E∫0TΔ2(u)du<∞
- 伊藤积分(Itô Integral):对于简单过程 Δ(t),定义伊藤积分为 I(t)=∫0TΔ(u)dW(u)=j=0∑k−1Δ(tj)[W(tj+1)−W(tj)]+Δ(tk)(W(t)−W(tk))
- 对于简单过程的伊藤积分的性质
- 连续性:I(t) 是连续的。
- 适应性:I(t) 是适应于 F(t) 的。
- 线性性:两个简单过程的伊藤积分满足线性性,即 ∫0T(αΔ1(u)+βΔ2(u))dW(u)=αI1(T)+βI2(T),其中 α,β 是常数。
- 鞅性质:I(t) 是一个鞅过程,即 E[I(t)∣F(s)]=I(s) 对于所有 s≤t 成立。
- 等距公式:EI2(t)=E∫0tΔ2(u)du
- 二次变差:[I,I](t)=∫0tΔ2(u)d(u)
- 伊藤公式
- 最简版本:如果 f 是一个二次可微函数,一阶导和二阶导都连续,那么对于布朗运动 W(t),有 f(W(t))=f(W(0))+∫0tf′(W(u))dW(u)+21∫0tf′′(W(u))du,或者也可以写成微分形式: df(W(t))=f′(W(t))dW(t)+21f′′(W(t))dt。
- 时间版本:如果 f(t,x) 有连续的一阶偏导 ft,fx 和二阶偏导 fxx,那么就可以得到 f(T,W(T))=f(0,W(0))+∫0Tft(t,W(t))dt+∫0Tfx(t,W(t))dW(t)+21∫0Tfxx(t,W(t))dt,或者也可以写成微分形式: df(t,W(t))=ft(t,W(t))dt+fx(t,W(t))dW(t)+21fxx(t,W(t))dt。
- 伊藤过程的伊藤公式
- 如果 X(t) 是一个伊藤过程,即 X(t)=X(0)+∫0tΔ(u)dW(u)+∫0tΘ(u)du,其中 Δ(u) 和 Θ(u) 是适应于 F(u) 的过程,且 E∫0tΔ2(u)du<∞ 且 ∫0t∣Θ(u)∣du<∞,∀t, 或者写成微分形式 dX(t)=Δ(t)dW(t)+Θ(t)dt,其中 Δ(t) 表示波动率,Θ(t) 表示趋势项。
- 伊藤过程的二阶变差为 [X,X](t)=∫0tΔ2(u)du。
- 伊藤过程的积分:对于适应过程 Γ(t) 和伊藤过程 X(t),其中 E∫0tΓ2(u)Δ2(u)du<∞,定义伊藤积分为 ∫0tΓ(u)dX(u)=∫0tΓ(u)Δ(u)dW(u)+∫0tΓ(u)Θ(u)du,或者写成微分形式 ==df(t,X(t))ft(t,X(t))dt+fx(t,X(t))dX(t)+21fxx(t,X(t))d[X,X](t)ft(t,X(t))dt+fx(t,X(t))Δ(t)dW(t)+fx(t,X(t))Θ(t)d(t)+21fxx(t,X(t))Δ2(t)dt.
- 伊藤公式的应用
- 假设广义几何布朗运动 S(t)=S(0)exp(X(t)),其中 X(t) 是一个伊藤过程,满足 dX(t)=σ(t)dW(t)+(α(t)−21σ2(t))dt,X(0)=0。
- 通过伊藤公式,可以得到 dS(t)=α(t)S(t)dt+σ(t)S(t)dW(t)
- 若 α(t)=α,σ(t)=σ,则 S(t)=S(0)exp{(α−21σ2)t+σW(t)},可以得到 S(t)dS(t)=αdt+σdW(t) ,这就是 BSM 模型的经典形式。
- 若 α(t)=0,则 S(t) 是一个鞅,因为 S(t)=S(0)exp{∫0tσ(s)dW(s)−21∫0tσ2(s)ds} 也就是 S(t)=S(0)+∫0tσ(s)S(s)dW(s)
- 确定性被积函数(非随机)的 Itô 积分
- I(t)=∫0tΔ(s)dW(s) 的分布是正态分布 N(0,∫0tΔ2(s)ds)。
- 求解思路是构建矩母函数 EeuI(t),然后利用伊藤公式和布朗运动的性质来计算,只需要注意到 exp{∫0tuΔ(s)dW(s)−21∫0t(uΔ(s))2ds} 是一个鞅过程。
7 随机微分方程#
- 一维随机微分方程(SDE):形式为 dX(t)=β(t,X(t))dt+γ(t,X(t))dW(t),其中 μ 是漂移项,σ 是扩散项或者叫波动项。
- Strong solution(强解) 是在一个给定的概率空间上解随机微分方程(SDE),其中驱动布朗运动 W(t)W(t) 是已知的(给定的)。
- Weak solution(弱解) 是你同时给出一个概率空间 + 一个过程,使得这个过程在这个概率空间上是 SDE 的解。
- 解的存在性和唯一性:如果 β 和 γ 满足 Lipschitz 条件和线性增长条件,那么 SDE 的强解存在且唯一。
- Lipschitz 条件:对于任意的 t 和 x,y,有 ∣β(t,x)−β(t,y)∣+∣γ(t,x)−γ(t,y)∣≤L∣x−y∣,其中 L 是 Lipschitz 常数。
- 线性增长条件:对于任意的 t 和 x,有 ∣β(t,x)∣+∣γ(t,x)∣≤C(1+∣x∣),其中 C 是常数。
- 线性 SDE:漂移项满足 β(t,x)=a(t)+b(t)x,扩散项满足 γ(t,x)=γ(t)+σ(t)x
- Example 1: 广义几何布朗运动 dS(t)=α(t)S(t)dt+σ(t)S(t)dW(t),其中 α 是漂移项,σ 是波动率。可以通过伊藤公式求解这个式子。
- 当 α 和 σ 是常数时,这个方程就是经典的 BSM 公式。
- Example 2: Vasicek Model for Interest Rate dR(t)=(α−βR(t))dt+σdW(t)。
- 当 α=0 时,这是一个 Ornstein-Uhlenbeck 过程
- 可以等价写成 dR(t)=κ(θ−R(t))dt+σdW(t),其中 κ=β, θ=βα。κ 表示均值回复速度,θ 表示长期均值。
- 解这个方程可以模仿 ODE 的方法,利用 deκtR(t)=eκtαdt+eκtσdW(t) ,得到 R(t)=R(0)e−κt+θ(1−e−κt)+σ∫0te−κ(t−s)dW(s)。
- 再利用 ∫0teκsdW(S)∼N(0,∫0te2κsds),可以得到 R(t) 的分布为 R(t))∼N(e−κtR(0)+θ(1−e−κt),2κσ2(1−e−2κt))。
- 模型的缺点是它的利率可能会变为负数,优点包括三个方面
- κ 刻画了利率的均值回复速度
- 长期均值:limt→∞ER(t)=θ,即长期均值是 θ。
- 长期方差:limt→∞Var(R(t))=2κσ2,即长期方差是 2κσ2。
- Example 3: Cox-Ingersoll-Ross (CIR) Model for Interest Rate dR(t)=(α−βR(t))dt+σR(t)dW(t)。
- 这是一个非线性 SDE,因为扩散项 σR(t) 是非线性的。
- 这个模型的优点是它可以保证利率永远不会变为负数。
- 这个模型没有闭式解,但是知道服从非中心卡方分布。
- 广义线性 SDE:漂移项和扩散项都是线性函数,即 dX(t)=[a(t)+b(t)X(t)]dt+[γ(t)+σ(t)X(t)]dW(t),X(0)=x0
- 借助算子我们可以得到 X(t)=Y(t)x0+∫0t[a(s)−γ(s)σ(s)]Y(t)Y−1(s)ds+∫0tγ(s)Y(t)Y−1(s)dW(s),其中 Y(t)=exp(∫0t[b(s)−21σ2(s)]ds+∫0tσ(s)dW(s))
- 为了考虑波动率微笑的情况,我们很自然地可以考虑波动率的变化
- 局部波动率模型:dS(t)=μS(t)dt+σ(S(t),t)S(t)dW(t),其中 σ(S(t),t) 是一个函数,表示局部波动率。
- 随机波动率模型:dS(t)dV(t)=μS(t)dt+V(t)S(t)dW1(t)=κ(θ−V(t))dt+σvV(t)[ρdW1(t)+1−ρ2dW2(t)]
期权定价#
1 期权定价:偏微分方程方法#
自融资策略(self-financing):如果它在整个交易过程中没有外部资金的注入或取出
1.1 BSM 模型#
核心假设:
- 无风险利率为 r,也就是 B(t)=ert
- 假设股票价格 S(t) 服从几何布朗运动:dS(t)=αS(t)dt+σS(t)dW(t),其中 α 是漂移项,σ 是波动率。
- 要为 T 时刻支付 (S(T)−K)+ 的欧式看涨期权定价,而且这个期权价格只与股票价格和到期时间有关。
- 假设 t 时刻的期权价格为 V(t)=c(t,S(t)),显然 V(T))=(S(T)−K)+。
- 假设 ct(t,x),cx(t,x),cxx(t,x) 存在,求解 c(t,x)
复制现金流:
- 利用自融资策略 X(t) 复制期权的现金流,即 X(t)≡V(t)=c(t,S(t)),我们可以得到 dX(t)≡dV(t)=dc(t,S(t))
- 假设 X(t) 的策略是:做多或者做空 Δ(t) 份额的股票,剩余的现金投资于无风险资产。
- 于是我们可以得到这个自融资策略的微分 dX(t)=Δ(t)dS(t)+B(t)X(t)−Δ(t)S(t)dB(t)=[rX(t)+Δ(t)(α−r)S(t)]dt+Δ(t)σS(t)dW(t)
- 同时另一个方面,我们计算期权价格的微分形式 dc(t,S(t))=ct(t,S(t))dt+cx(t,S(t))dS(t)+21cxx(t,S(t))d[S,S](t)=ct(t,S(t))dt+cx(t,S(t))[αS(t)dt+σS(t)dW(t)]+21cxx(t,S(t))σ2S2(t)dt=[ct(t,S(t))+αS(t)cx(t,S(t))+21σ2S2(t)cxx(t,S(t))]dt+σS(t)cx(t,S(t))dW(t)
- 这两个微分形式应当是相等的,我们可以得到 Δ(t)=cx(t,S(t)) 和 ct(t,S(t))+rS(t)cx(t,S(t))+21σ2S2(t)cxx(t,S(t))−rc(t,S(t))=0,简单替换 S(t) 为 x 之后,就得到了 BSM 公式:ct(t,x)+rxcx(t,x)+21σ2x2cxx(t,x)−rc(t,x)=0
[!tip] 两个小问题:
- 期权价格只和股票价格和到期时间有关是否合理?合理。因为自融资策略和期权的支付是一样的,无套利的情况下一定是一样的。
- 为什么和股价漂移率 α 无关?因为期权价格是受 S(t) 间接影响的,在风险中性世界下,r 是固定的,所以 α 的影响会被其他因素抵消
1.2 求解 BSM 偏微分方程#
目标:
ct(t,x)+rxcx(t,x)+21σ2x2cxx(t,x)−rc(t,x)=0,∀t∈[0,T)c(T,x)=(x−K)+
1.2.1 一维热力方程#
∂τ∂u=21∂z2∂2u,τ≥0,z∈R
而且满足初始条件 u(0,z)=f(z),其中 f(z) 是一个已知函数,连续且有界
那么就可以给出解的形式:
u(τ,z)=∫−∞+∞f(y)G(z,y,τ)dy,
其中
G(z,y,τ)=2πτ1exp(−2τ(z−y)2),
是热核(heat kernel)或者高斯核(Gaussian kernel)。
在一定的条件限制下可以确定唯一性,比如 u(τ,∞)=u(τ,−∞)=0
1.2.2 将 BSM 方程转化为一维热力方程#
从终端条件 c(T,x)=(x−K)+ 开始,我们需要找到一些边界条件:
- 条件一:limx→0c(t,x)=0,这是因为我们知道股票价格满足 S(T)=S(t)exp{σ(W(T)−W(t))+(α−21σ2)(T−t)}
- 条件二:limx→∞∂x∂c(t,x)≡1,这是因为当 x 很大的时候,期权价格 (S(T)−K)+≈S(T)−K,另一个方面,我们通过在 t 时刻的 call-put 平价关系式,可以知道 c(t,S(t))≈S(t)−Ke−r(T−t),所以 ∂x∂c(t,x)≈1。
接下来对 BSM 模型进行变量替换:
u=e−rtc,y=lnx,τ=(T−t)σ2z=y+σ21(r−21σ2)τ
代入 BSM 方程,得到
uτ(τ,z)=21uzz(τ,z)
满足初始条件 u(0,z)=e−rTmax{ez−K,0},以及边界条件 u(τ,∞)=u(τ,−∞)=0
于是就可以解出来:
c(t,x)=xN(d+)−Ke−r(T−t)N(d−)
其中
d±=σT−tlnKx+(r±2σ2)(T−t)
其中,热力方程的解也可以用布朗运动的期望来解释
u(t,x)=Ef(W(t)+x)
1.2.3 多维拓展#
考虑多维情况,x=(x1,x2,⋯,xd)∈Rd,再考虑一个多维热力方程 g:Rd→R ,欲求解 ∂t∂u=21Δu,u(0,x)=g(x) ,其中 Δ=∑i=1d∂xi2∂2 是 Laplace 算子。
可以得到解的形式:
u(t,x)=E[g(x+W(t))],
其中 W(t) 是一个 d 维布朗运动。
1.3 拓展#
1.3.1 布朗运动和逆向热方程#
假设 v(t,x)=u(T−t,x),那么就可以得到 vt(t,x)+21vxx(t,x)=0,0≤t≤T,同时满足 v(T,x)=f(x)。于是就可以给出解 v(t,x)=E[f(B(T))∣B(t)=x]。
1.3.2 随机过程与 PDE#
能否泛化刚刚的结论?
Feynman-Kac 定理:如果 X(t) 是一个伊藤过程,满足
\mathrm{d}X(u) = \beta(u, X(u))\mathrm{d}u + \gamma(u, X(u))\mathrm{d}W(u),
$$而且由函数 $h(y)$ 定义 $g(t,x):=\mathbb{E}[h(X(T))|X(t)=x]$,
那么 $g(t,x)$ 满足偏微分方程
g_t(t,x)+\beta(t,x)g_x(t,x)+\tfrac{1}{2}\gamma^2(t,x)g_{xx}(t,x)=0,
$$而且满足终值条件 g(T,x)=h(x)。
[!note] Feynman-Kac 的折现版本
如果 X(t) 是一个伊藤过程,满足
dX(u)=β(u,X(u))du+γ(u,X(u))dW(u), 而且由函数 h(y) 定义 f(t,x):=E[e−r(T−t)h(X(T))∣X(t)=x],
那么 f(t,x) 满足偏微分方程
ft(t,x)+β(t,x)fx(t,x)+21γ2(t,x)fxx(t,x)=rf(t,x),
且满足终值条件 f(T,x)=h(x)。
使用折现版本的 Feynman-Kac 定理,可以得到 BSM 模型的解
2 期权定价:鞅方法#
Girsanov Theorem(初步版)
设 0≤t≤T,W(t) 是概率空间 (Ω,F,P) 上的标准布朗运动,取任意常数 θ∈R。定义新的测度 P 如下:
dPdP=Z(T), Z(t)=exp(−θW(t)−2θ2t).
在 P 下定义新的过程:
W(t)=W(t)+θt.
则有结论:
- P 是与 P 等价的概率测度;(“事件的概率为 0” 在两个测度下必须完全一致。)
- 在 P 下,W(t) 是标准布朗运动。
2.1 应用在 BSM 上#
考虑夏普比率 θ=σα−r,根据 Girsanov 定理,定义新的测度 Q 满足
dQ=Z(T)dP, Z(t)=exp(−θW(t)−2θ2t).
于是我们可以得到布朗运动
WQ(t)=W(t)+θt=W(t)+σα−rt.
同时,我们还可以得到在 Q 下 S(t) 的 SDE
dS(t)=rS(t)dt+σS(t)dWQ(t)
所以我们可以得到如下这些鞅:
- 折现股票价格:e−rtS(t)
- 折现复制组合价格:e−rtX(t)
- 折现期权价格:e−rtV(t)
也就是说 Q 是一个风险中性测度,在风险中性测度 Q 下,(S(t),B(t),V(t)) 都无法套利,于是我们可以得到
⇒e−rtV(t)=EQ[e−rT(S(T)−K)+∣F(t)]V(t)=EQ[er(T−t)(S(T)−K)+∣S(t)]
[!note] 变换测度的意义
这里变换测度的核心意义是使得在新的测度下,股票价格的漂移率变为无风险利率 r,从而使得期权定价可以通过折现未来现金流来计算。
2.2 Monte Carlo 方法#
通过 Monte Carlo 模拟,我们可以计算期权价格:
c(t,S(t))=e−r(T−t)EQ[(S(T)−K)+∣S(t)]≈e−r(T−t)N1i=1∑N(Si(T)−K)+)
所以问题的关键是如何采样 Si(T):
我们通过 S(T) 的解析解 S(T)=S(0)exp{σWQ(T)+(r−21σ2)T} 来采样 Si(T),其中我们知道 WQ(T)∼N(0,T),所以只需要采样一个正态分布。
2.2.1 更一般的 SDE 模拟#
如果 S(T) 的精确分布不知道,那么可以使用 Euler-Maruyama 方法来近似模拟 SDE:在离散时间步长 Δt=mT 下,迭代计算
Si+1=Si+μ(Si,ti)Δt+σ(Si,ti)ΔWi, ΔWi∼N(0,Δt)
于是就可以得到整条路径
3 为奇异期权定价#
3.1 Preparation#
关键问题是带漂移的布朗运动的历史最大(小)值问题,用到的重要工具是反射原理。
考虑带漂移的布朗运动 W(t):=W(t)+θt,定义历史最大值 M(t):=max0≤s≤tW(s),然后利用 Girsanov 定理,定义新的测度 P 于是我们发现,若 dPdP~=Z(T),那么
Z(t)1=dP~dP=exp(θW(t)+2θ2t)=exp(θW(t)−2θ2t)
也是一个鞅。
于是利用反射原理,我们可以分别计算历史最大(小)值和当前值的联合分布:历史最大值的 pdf 记作 fM(t),W(t)(m~,w~) ,历史最小值的 pdf 记作 fm(t),W(t)(m~,w~)。结果如下:
fM(t),W(t)(m,w)=2πt32(2m−w)exp(θw−2t(2m−w)2−21θ2t),w≤m,fm(t),W(t)(m,w)=2πt32(w−2m)exp(θw−2t(2m−w)2−21θ2t),w≥m.
于是我们可以计算得到最大(小)值的密度:
fM(t)(m)=∫−∞+∞fM(t),W(t)(m,w)dw=2πt2e−2t(m−θt)2−2θe2θmN(t−m−θt),fm(t)(m)=∫−∞+∞fm(t),W(t)(m,w)dw=2πt2e−2t(m−θt)2+2θe2θmN(tm+θt).
3.2 鞅方法为奇异期权定价#
首先,在风险中性测度 Q 下,BSM 模型满足
dS(t)=rS(t)dt+σS(t)dWQ(t),S(0)=s0
所以我们可以得到 S(t) 的显式解
S(t)=s0exp{σWQ(t)+(r−21σ2)t}=s0exp(σWQ(t))
其中 WQ(t)=WQ(t)+θt,θ=σ1(r−21σ2) ,定义 WQ(t) 的最大值和最小值为 MQ(t) 和 mQ(t)。
利用鞅方法的核心定价公式
V(t)=EQ[e−r(T−t)V(T)∣F(t)]
分别为 Lookback 期权和 Barrier 期权定价。
3.2.1 Lookback 期权定价#
- Lookback call 期权:V(T)=S(T)−min0≤t≤TS(t)
- Lookback put 期权:V(T)=max0≤t≤TS(t)−S(T)
不妨先考虑 Lookback put
V(t)=e−r(T−t)EQ[0≤s≤TmaxS(s)−S(T)∣F(t)]=e−r(T−t)EQ[0≤s≤TmaxS(s)∣F(t)]−S(t)
如果记 X(t)=max0≤s≤tS(s) ,那么我们可以得到
EQ[X(T)∣F(t)]=EQ[X(T)∣S(t)=s,X(t)=x]=s0EQ[exp(σMQ(T))∣WQ(t)=σ1lns0s,MQ(t)=σ1lns0x]
很自然地,我们希望定义
g(w,m))=EQ[exp(σMQ(T))∣WQ(t)=w,MQ(t)=m]
于是我们可以得到
V(t)=e−r(T−t)s0g(σ1lns0s,σ1lns0x)−S(t)
[!note] g(w,m) 的表达形式
g(w,m)=∫0∞eσmax{m,m′+w}fM(T−t)(m′)dm′=eσm[−eσ(m−w)(σ22r−1)N(−δ−(τ,m−w))+N(−δ−(τ,w−m))]+eσw[2eσ(w−m)+rτN(δ+(τ,w−m))+(2σ−1−(w−m)+rτ)N(δ+(τ,w−m))eσ(2r/σ2)−(σ22r+1−(m−w))N(−δ−(τ,m−w))eσ(2r/σ2)],
其中 τ=T−t,并且
δ+(τ,x)=σ1(σr+2σ)τ+στx,δ−(τ,x)=σ1(−σr+2σ)τ+στx.
3.2.2 Barrier 期权定价#
以 up-and-out call 为例,期权的价格
V(T)=(S(T)−K)+1{X(T)<B},X(t)=0≤s≤tmaxS(s)
我们可以利用风险中性定价公式得到
V(t)=e−r(T−t)EQ[(S(T)−K)+1{X(T)<B}∣F(t)]=e−r(T−t)EQ[(S(T)−K)+1{X(T)<B}∣S(t),X(t)]
由于
=EQ[(S(T)−K)+1{X(T)<B}∣S(t),X(t)]EQ[(s0exp(σWQ(T))−K)+1{MQ(T)≤σ1lns0B}∣WQ(t)=σ1lns0s,MQ(t)=σ1lns0x]
所以我们可以考虑这样一个函数
h(b,w,m)=EQ[(s0exp(σWQ(T))−K)+1{MQ(T)≤b}∣WQ(t)=w,MQ(t)=m]
4 BSM 公式实践:希腊字母和风险套利#
先看 BSM 对 call 期权的定价公式
c(t,x)=xN((d+(T−t,x))−Ke−r(T−t)N(d−(T−t,x))
其中 N(y) 是标准正态分布的累积分布函数,
d±(T−t,x)=σT−tlnKx+(r±2σ2)(T−t).
接下来我们要讨论的是期权价格对某些参数的敏感度,我们称之为希腊字母。
4.1 Delta#
Δ=cx(t,x)=N(d+(T−t,x))>0
- As x increases, c(t,x) increases.
- c(t,x)→0 as x→0.
- As x→∞, c(t,x)∼x−Ke−r(T−t).
- Economic interpretation: Δ is the number of shares needed to replicate a call option.
4.2 Gamma#
Γ=cxx(t,x)=xσT−tN′(d+(T−t,x))>0
- The price curve c(t,x) is convex.
- Δ increases as x increases.
4.3 Theta#
Θ=ct(t,x)=−rKe−r(T−t)N(d−(T−t,x))−2T−tN′(d+(T−t,x))σx<0
- Measures the time value of the option.
- As t increases, the option involves less uncertainty, so c(t,x) decreases.
- As t→T, c(t,x)→(x−K)+.
4.4 Vega#
V=cσ(t,x)=xN′(d+(T−t,x))T−t>0
- As volatility σ increases, uncertainty increases.
- Since the option prices uncertainty, higher σ increases option value.
4.5 理解 BSM 公式#
通过自融资策略去复制期权,我们可以得到
X(t)=Δ(t)S(t)+[X(t)−Δ(t)S(t)],
其中 Δ(t)S(t) 是股票投资,剩余部分是无风险资产投资,我们有
(X(t)−Δ(t)S(t))=−Ke−r(T−t)N(d−(T−t,x))
也就是期权是在借钱买股票。
4.6 Delta 中性做多 Gamma 策略#
由于凸性,期权价格的曲线高于切线,也就是说我们有
c(t,x1)≥x1cx(t,x1)
于是我们可以在 t 时刻构建一个策略:
0=P(t,x1)=c(t,x1)−x1cx(t,x1)+x1cx(t,x1)−c(t,x1)
- 买入期权 c(t,x1)
- 卖出 x1cx(t,x1) 股股票
- 将剩余资金借出
此时如果忽略时间影响,我们可以得到当股价从 x1 变到 x2 时,
P(t+Δ,x)=c(t,x2)−x2cx(t,x2)+x1cx(t,x1)−c(t,x1))
于是我们可以做差并重写为
P(t+Δ,x)−P(t,x)=c(t,x2)−[c(t,x1)+cx(t,x1)(x2−x1)]
由于凸性的存在,我们可以知道 P(t+Δ,x2)>0
4.7 两种波动率#
- 隐含波动率:市场给出的波动率,通常是通过反推 BSM 公式得到的。
- 实际波动率:历史数据计算得到的波动率,通常是通过计算股票价格的标准差得到的,为 RV0,T
RV0,T:=nΔt1i=0∑n−1(logS(ti)S(ti+1))2
4.8 波动率套利#
假设真实标的过程
dS(t)=α(t)S(t)dt+β(t)S(t)dW(t)
数据显示大部分情况下,我们都有 σimp(K,T)≥T1∫0Tβ2(t)dt
所以我们构建一个这样的策略:
- 卖空期权(call 或者 put)
- 按照隐含波动率 σimp(K,T) 投资股票进行 Delta 对冲
- 将剩余资金借出
我们就可以得到
dY(t)=rY(t)dt+21(β2(t)−σimp2(K,T))S2(t)cxx(t,S(t))dt